突破2023年高考数学题型之2022年数学高考真题(全国通用)专题35 分布列与期望及决策问题(解析版).pdf

专题3 5分布列与期望及决策问题【高考真题】1.（2 0 2 2.全国甲理）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1 0分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.（D求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.1 .解 析（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A8 C,所以甲学校获得冠军的概率为P=P（A B C）+P（A B C）+P（A B C）+P（A B C）=0.5 x 0.4 x 0.8+0.5 x 0.4 x 0.8+0.5 x 0.6 x 0.8+0.5 x 0.4 x 0.2=0.1 6+0.1 6+0.2 4+0.0 4 =0.6.（2）依题可知，X的可能取值为0,1 0,2 0,3 0,所以，X =0）=0.5 X 0.4 X 0.8=0.1 6 ,X =1 0）=0.5 x 0.4 x 0.8+0.5 x 0.6 x 0.8+0.5 x 0.4 x 0.2 =0.4 4 ,产（X =2 0）=0.5 x 0.6 x 0.8+0.5 x 0.4 x 0.2 +0.5 x 0.6 x 0.2 =0.3 4 ,X =3 0）=0.5 x 0.6 x 0.2 =0.0 6.即X的分布列为X01 02 03 0P0.1 60.4 40.3 40.0 6期望 E（X）=0 x 0.1 6+1 0 x 0.4 4 +2 0 x 0.3 4 +3 0 x 0.0 6 =1 32 .（2 0 2 2北京）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.5 0 m以上（含9.5 0 m）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80,9.7 0,9.5 5,9.5 4,9.4 8,9.4 2,9.4 0,93 5,9.3 0,9.2 5；乙：9.7 8,9.5 6,9.5 1,9.3 6,9.3 2,9.2 3；丙：9.85,9.6 5,9.2 0,9.1 6.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)2.解 析(1)由频率估计概率可得，甲获得优秀的概率为0.4,乙获得优秀的概率为0.5,丙获得优秀的概率为0.5,故答案为0.4(2)设甲获得优秀为事件4,乙获得优秀为事件4，丙获得优秀为事件4-3P(X=0)=尸(4&4)=0.6X0.5X0.5=4J,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ OP(X =l)=P(A 4 4)+PGM23+P(A 4 4)4 x 0.5 x 0.5+0.6 x 0.5 x 0.5+0.6 x 0.5 x 0.5 一,八 八 ，八 7p(x=2)=P(A4 4)+P(A4 4)+P(4&A 3)=04 x-5 x 05+04 x 05 x 05+06 x 05 x 05=5，P(X=3)=P(AA2A3)=0AX0.5X0.5=.；.x 的分布列为X0123P3208207202203 8 7 2(X)=0 x +l x-F2X-F3X =2 0 2 0 2 0 2 075(3)丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85 的概率为!，甲获得9.80 的概率为2,4 1 0乙获得9.7 8的概率为并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.6【知识总结】离散型随机变量X的分布列为XXX2Xi XnPPP2 PiPn则，(1 加2 0,i=l,2,，n.(2)pi+p2-l-(3)E(X)=xipi+x202 H-x,pn.(4)D(X)=fx,-(X)2p,-.1=1(5)若 Y=aX+b,则 E(Y)=aE(X)+b,D(Y)=crD(X).【题型突破】1.某校计划举行以“唱支山歌给党听”为主题的红歌合唱比赛活动，现有高一 1,2,3,4班准备从 唱支山歌给党听 没有共产党就没有新中国 映山红 十送红军 歌唱祖国5首红歌中选取一首作为比赛歌曲，设每班只选择其中一首红歌，且选择任一首红歌是等可能的.求“恰有2个班级选择 唱支山歌给党听”的概率；(2)记随机变量X表示这4个班级共选择红歌的个数(相同的红歌记为1个)，求X的分布列与均值.1.解 析(1)4个班每个班各选一首红歌基本事件总数为5。“恰有2个班选择 唱支山歌给党听”的事件A有CPP个基本事件，Ca-42 96从而“恰有2个班选择 唱支山歌给党听”的概率为 依)=寺 二 念.(2)随机变量的所有可能值为1,2,3,4,Cl 1 CC IG+A 6 A3 28 GCZA1 72 Ai 24P(X=1)=W=而，P(X=2)=-F 尸(X=3)=-=恒，町=4)=不=而故X的分布列为X1234p1T252812572125241251 28 72 24 369 X 的均值 E(X)=X 2 X )q+3x-_+4X T T T=T77.1 4 J 1 4 J 1 X r J 1 4 J A 4 J2.有编号为1,2,3的三个小球和编号为1,2,3,4的四个盒子，将三个小球逐个随机地放入四个盒子中，每个小球的放置相互独立.(1)求三个小球恰在同一个盒子中的概率;(2)求三个小球在三个不同盒子且每个小球编号与所在盒子编号不同的概率;(3)记录所有至少有一个小球的盒子，以X表示这些盒子编号的最小值，求E(X).4|2.解 析(1)记“三个小球恰在同一个盒子中,为事件A,则2(4)=不=(2)记“三个小球在三个不同盒子且每个小球编号与所在盒子编号不同”为事件其中，装有小球的三个盒子中不含4号盒子为事件为，含4号盒子为事件B2,r t l 八 2X1 2 1C?x(1+2x1)9则 P(Bi)=3=64=32,P(&)=一6中.事件8,&互斥，(8)=2(3 1+&)=尸+P(&)=船(3)X的所有可能取值为1,2,3,4,则於一？37P(X=1)=F =/P(X=2)=33-23 1943-6423 I3P(X=3)=而，尸(x=4)个=而,71 1.,.随机变量X的分布列为X1234P3 76 41 96 476 416 43 7 1 9 7 1 2 5.-.(X)=1X+2X+3X-+4X=-.3.某公司年会有幸运抽奖环节，一个箱子里有相同的十个乒乓球，球上分别标0,1,2,，9这十个自然数，每位员工有放回依次取出三个球.规定：每次取出的球所标数字不小于后面取出的球所标数字即中奖.中奖项：三个数字全部相同中一等奖，奖 励 1 0 0 0 0 元现金；三个数字中有两个数字相同中二等奖，奖励5 0 0 0 元现金；三个数字各不相同中三等奖，奖励2 0 0 0 元现金.其他不中奖，没有奖金.(1)求员工A中二等奖的概率；(2)设员工A中奖奖金为X,求 X的分布列；(3)员工B是优秀员工，有两次抽奖机会，求员工B中奖奖金的期望.3 .解 析(1)记事件“员工A中二等奖”为 有 放 回 依 次 取 三 个 球 的 取 法 有 1。3种.9 0中二等奖取法有2 G o=9 0 种，则/M)=诃=0.0 9.(2)X 的可能取值为 0,2 0 0 0,5 0 0 0,1 0 0 0 0.P(X=2 0 0 0)=需=0.1 2；P(X=5 0 0 0)=等=0.0 9；P(X=1 0 0 0 0)=*=0.0 1；尸(X=0)=1 一P(X=2 0 0 0)-P(X=5 0 0 0)-P(X=1 0 0 0 0)=0.7 8.则 X的分布列为X1 0 0 0 05 0 0 02 0 0 00P0.0 10.0 90.1 20.7 8(3)由(2)知，员工A中奖奖金的期望E(X)=1 0 0 0 0 x 0.0 1 +5 0 0 0 x 0.0 9+2 0 0 0 x 0.1 2+0 x 0.7 8=7 9 0(元),员工B每次抽奖奖金与员工A 一样为7 9 0 元.,.员工 B两次抽奖中奖奖金的期望为7 9 0 x 2=1 5 8 0(元).4 .目前，新能源汽车尚未全面普及，原因在于技术水平有待提高，国内几家大型汽车生产商的科研团队已经独立开展研究工作.吉利研究所、北汽科研中心、长城攻坚站三个团队两年内各自出成果的概率分别为最 相，若 三个团队中只有长城攻坚站出成果的概率为世(1)求吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果的概率及根的值；(2)三个团队有X个在两年内出成果，求 X的分布列和均值.4.解 析(1)设吉利研究所出成果为事件A,北汽科研中心出成果为事件B,长城攻坚站出成果为事件C若三个团队中只有长城攻坚站出成果，则 PE)P(石)P(0=*即(1 一。1 一尾=,解得,=今吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果的概率为 1 2 1 1 1 1 2P=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)=-xr+-x-+-x-=-.(2)X 的可能取值为0,1,2,3,1 2 3 1P(X=0)=P(4 )P(B)P(C)=2X3X4=4,1 2 3 113 1 2 1 1 1P(X=1)=P(A)P(B)P(C)+P(A )P(8)P(C)+P(A )P(B)P(C)=5x+-x-x1+-xx-=,一 一 113 111 121 1P(X=2)=P(A)产P(C)+/,(4 )P(8)F(O +P(A)P(B)P(Q=25X+-x-x-+-x-x-=-P(X=3)=尸(A)P(B)尸(C)=：x 1 x|=七，所以X的分布列为X0123P141 12 41412 41,1 1 ,I ,I 1 3E(X)=0 x+lx+2x-+3x=.5.随着社会的发展，一些企业改变了针对应届毕业生的校园招聘方式，将线下招聘改为线上招聘.某世界五百强企业M 的线上招聘方式分资料初审、笔试、面试这三个环节进行，资料初审通过后才能进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这几个环节能否通过相互独立.现有甲、乙、丙三名大学生报名参加了企业M 的线上招聘，并均已通过了资料初审环节.假设甲通过笔试、面试的概率分别为*乙通过笔试、面试的概率分别为东京 丙通过笔试、面试的概率与乙相同.(1)求甲、乙、丙三人中至少有一人被企业M 正式录取的概率；(2)为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，企业M决定给报名参加应聘且通过资料初审的大学生一定的补贴，补贴标准如下表：参与环节笔试面试补贴(元)1 0 02 0 0记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求 X的分布列和均值.5.解 析(1)设事件A表示“甲被企业M 正式录取”，事件B表示“乙被企业网正式录取“，事件C表示“丙被企业M 正式录取“，则尸(A)=J x =:,P(B)=P(C)=|x|=|,设事件。表示“甲、乙、丙三人都没有被企业M正式录取，则尸(0=P(T B=(7卜。4)义(一*号，所以甲、乙、丙三人中至少有一人被企业M 正式录取的概率尸=1 P(O)=1 一招=会.(2)X 的所有可能取值为3 0 0,5 0 0,7 0 0,9 0 0,P(X=3 0 0)=；X X=LL J J I oI 1 1 12 15P(X=500)=zX-X-+2X-X-X-=,乙 3 3 2.J D 1 oI 2 I,1 2 2 4P(X=700)=2X-X-X-+-X-X-=,4 j j j i n12 2 2P(X=900)=TXTX-=-z J y6.一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部 件 1,2,3需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3,各部件的状态相互独立.(1)求设备在一天的运转中，部 件 1,2中至少有1 个需要调整的概率；(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X,求 X的分布列及数学期望.6 .解 析 用 4表示事件 设备在一天的运转中，部件i 需要调整，i=l,2,3.(1)用 A表示事件“设备在一天的运转中，部 件 1,2中至少有1 个需要调整，则 A=A凶2,且4,4相互独立.从而 P(A)=P(AtA2)=P(Ai)P(A2)=(l-0.1)X(1-0.2)=0.7 2,P(A)=l-P(A)=0.2 8.所以部件1,2中至少有1 个需要调整的概率为0.2 8.(2)X 的所有可能取值为0,1,2,3.尸(X=0)=尸(4 A 1 4 3)=P(A|)(A2)P(&)=(1-O.l)x(l -0.2)X(1 -0.3)=0.5 0 4,P(X=1)=P(A A 2 A 3+A N 2 4+A 凶N 3)=P(A 也&)+P(A 142A 3)+P(4 A2A3)=尸(4 )P(4)P(A 3)+P(AI)P(A2)P(A3)+P(A 1)尸(A2)尸(A3)=0.1 X 0.8 X 0.7+0.9 X 0.2 X 0.7+0.9 X 0.8 X 0.3=0.3 9 8,P(X=3)=P(A A 2 A 3)=P(Ai)P(Ai)P(A3)=0.1 X 0.2 X 0.3=0.0 0 6,P(X=2)=1-尸(X=0)+尸(X=1)+P(X=3)=1-(0.5 0 4+0.3 9 8+0.0 0 6)=0.0 9 2.所以X的分布列为：X0123P0.5 0 40.3 9 80.0 9 20.0 0 6所以 E(X)=0 义 P(X=0)+1 X P(X=1)+2 X P(X=2)+3 X P(X=3)=0 X 0.5 0 4+1 X 0.3 9 8+2 X 0.0 9 2+3 X 0.0 0 6=0.6.7 .下象棋既锻炼思维又愉悦身心，有益培养人的耐心和细心，舒缓大脑并让其得到充分休息.现某学校象棋社团为丰富学生的课余生活，举行象棋大赛，要求每班选派一名象棋爱好者参赛.现某班有1 2 位象棋爱好者，经商议决定采取单循环方式进行比赛(规则采用“中国数目法”，没有和棋)，即每人进行1 1 轮比赛，最后靠积分选出第一名去参加校级比赛.积分规则如下(每轮比赛采取5局 3 胜制，比赛结束时，取胜者可能会出现3 ：0,3 ：1,3 ：2 三种赛式).3 ：0 或 3 ：13 :2胜者积分3分2分负者积分0 分1 分9轮过后，积分榜上的前两名分别为甲和乙，甲累计积分2 6 分，乙累计积分2 2 分.第 1 0轮甲和丙比赛，设每局比赛甲取胜的概率均为2向 丙获胜的概率为:1，各局比赛结果相互独立.(1)在第1 0轮比赛中，甲所得积分为X,求 X的分布列；求第i o 轮结束后，甲的累计积分y的均值：(2)已知第1 0轮乙得3分，判断甲能否提前一轮获得累计积分第一，结束比赛(“提前一轮”即比赛进行1 0轮就结束，最后一轮即第1 1 轮无论乙得分结果如何，甲累计积分最多)？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由.7.解 析(1)由题意得，随机变量X的可能取值为3,2,1,0,则 尸(X=3)=G+C痣翡=捺&X=2)=C 等x(l 2 片=，尸(X=1)=C崂2 x(1 一 款=备,p(X =0)=(l -3 +a x|x(l _ 1)3=W，所以X的分布列为随机变量y的可能取值为2 9,2 8,2 7,2 6,贝 U (1 9=鄂 2 9+*2 8,所以甲如果第1 0轮积3分，则可提前一轮结束比赛，其概率为尸(X=3)=居.8.一款小游戏的规则如下：每轮游戏都要进行3次，每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球、3个白球的袋中随机摸出2个球，若“摸出的两个都是红球”出现3次，则获得2 00分；若“摸出的两个都是红球”出现1 次或2次，则获得2 0分；若“摸出的两个都是红球”出现0 次，则扣除1 0分(即获得一 1 0 分).(1)求一轮游戏中获得2 0分的概率；(2)很多玩过这款小游戏的人发现，很多轮游戏后，所得的分数与最初的分数相比，不是增加而是减少了，请运用概率统计的相关知识解释这种现象.8.解 析(1)每轮游戏要进行3 次，每次游戏都需要从装有大小相同的2 个红球、3 个白球的袋中随机摸C；1出2 个球，所以每次游戏出现“摸出的两个都是红球的概率为2=言=方.设每轮游戏中出现“摸出的两个都是红球”的次数为X,p(X=i)=c x(l _#=瑞,P(X=2)=0 x()2x(l _ )=襦，243 27 27所以一轮游戏中获得20分的概率P=P(X=1)+P(X=2)=亢 丽+丁 丽=砺.(2)若“摸出的两个都是红球”出现3 次获得200分，若“摸出的两个都是红球”出现1次或2 次获得20分,若“摸出的两个都是红球出现。次,则扣除10分(即获得一都分).设每轮游戏得分为匕 则 y 的取值为-10,20,200,稣=0)=曲(5)3=品P(X=3)=阖3=击由(1)知，y 的分布列为Y-1 020200P7292711 0001001 000729 27 1E=-10 x1 000+2 0 xK)(j+2()()X|000=169 这表明，获得分数丫的均值为负.因此，多次游戏之后大多数人的分数减少了.9.“T 2钻石联赛”是世界乒联推出的一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可能出现两种模式：“常规模式”和“FAST5模式”.在 前 24分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均 为 11分制，率先拿满11分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4 局比赛，那么将进入“FAST5”模式，“FAST5”模式为5 分制的小局比赛，率先拿满5 分的选手赢得该局.24分钟计时后开始的所有小局均采用“FAST5”模式.某位选手率先在7 局比赛中拿下4 局，比赛结束.现有甲、乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，2 4 分钟内甲、乙可以完整打满2 12 局或3 局，且 在 11分制比赛中，每局甲获胜的概率为乙获胜的概率为；在“FAST5”模式，每局比赛双方获胜的概率都 为 今 每局比赛结果相互独立.(1)求 4 局比赛决出胜负的概率；(2)设在24分钟内，甲、乙比赛了 3 局，比赛结束时，甲、乙总共进行的局数记为X,求 X 的分布列及数学期望.9.解 析 设 前 24 分钟比赛甲胜出分别为4(i=l,2,3),乙胜出分别为B，G=1,2,3),在“FAST5”模式每局比赛甲获胜为C,4 局比赛决出胜负记为事件。.X +(3飞+&X+温=共(2)X的可能取值为4,5,6,7.小=4)=窗 温+(L；尸(X=5)=+C32gl2(L+b(|)G)2 0 +B4P(X=6)=修烦+畸曾电+Q 噜冏图+G)+C 哈 L+C3飙|f=J_=24;P(X=7)=3 5+C 3 M +C 瞪)&+6)有+0)窗+C3?职 哥 C4+C宿啕薪+电=所以，随机变量X 的概率分布列为：X4567P1647247241 1 7 7 137X 的数学期望为(X)=4XT+5X-+6X+7XT-=1 0.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售价每瓶6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：。C)有关.如果最高气温不低于2 5,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间 20,2 5),需求量为300瓶；如果最高气温低于2 0,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为丫(单位：元).当六月份这种酸奶一天的进货量(单位：瓶)为多少时，丫的数学期望达到最大值？1 0.解 析(1)由题意知，X 所有可能取值为200,300,500,由表格数据知 P(X=200)=2 P(X=300)=面=0.4,25+7+4尸(X=500)=-=0.4.因此X 的分布列为X2 0 030()5 0 0p0.20.40.4由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为5 0 0,至少为2 0 0,因此只需考虑2009 05 00.当3009 S 5 00时，若最高气温不低于2 5,则 丫=6“-4=2；若最高气温位于区间 20,25),则 y=6 x300+2(-300)4=1 2002；若最高气温低于 2 0,则 y=6 x200+2(n-200)-4n=8 00-2n.因此 (y)=2n x0.4+(l 200-2n)x0.4+(8 00-2n)x0.2=6 40-0.4n.当2 0 g”1时，P 0.令x,/(x)=pi+2P +3p3/-1,r(x)=2p2+6 pK 0,在(0,+8)上单调递增.当 E(X)=pi+2P 2+3而。时,当 xW(0,1 时，/(x)9(l)=pi+2P z+3p3T 初,./U)在(0,i 上单调递减，注意到y(i)=o,.4x)在 xe(o,i 上有唯一零点x=i,即p=i.当 E(x)=pi+2P 2+3口 3 1 时，注意到了(0)=勿一1 0,/(x)在(0,+s)上单调递增.存在唯一 x()G(0,1),使得/(划)=0,当0 x M)时，/(x)0,_/(x)单调递减；当M)0,贝 x)单调递增.7(O)=po O,)=0,./(xo).2)=O.A x)在(0,X 0)上有唯一零点 X I,：.pxi/?()(1 X)+piX(X 1 )+/7 3X(X I)(%+1)=0=(X l)p：犹 2+(p2+p3)X po =O.令7(X)=PM2+S 2+P3)Xpo,於)的对称轴为 x=彳:o.注意到人0)=po v 0,./(1)=2p3+P 2po=p i+2P 2 +3p3 1 =E(X)1.当E(X)W,y(i)1,y(l)0,y(x)的正实根X O 1,原方程的最小正实根P=xo+p()=S 8P 7)+(P 7-。6)+P 0)=Pi-T L I 3 u-4 4-1 )由于 P 8=l，故 p i=4 亡，所以4 =(4 一 3)+(，3 2)+(2 P 1)+(P|O)=-一=毛？,P 4 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为4=备=0.0 0 3 9,此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.1 3.为了预防某种流感扩散，某校医务室采取积极的处理方式，对感染者进行短暂隔离直到康复.假设某班级已知6位同学中有1 位同学被感染，需要通过化验血液来确定被感染的同学，血液化验结果呈阳性即被感染，呈阴性即未被感染.下面是两种化验方案.方案甲：逐个化验，直到能确定被感染的同学为止.方案乙：先任取3个同学，将他们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明被感染同学为这3 位中1 位，后再逐个化验，直到能确定被感染的同学为止；若结果呈阴性，则在另外3 位同学中逐个检测.(1)求方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；(2)表示方案甲所需化验次数，表示方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑哪种化验的方案最佳.1 3.解 析 设 4(i=l,2,3,4,5)表示方案甲所需化验次数为i 次；的(/=2,3)表示方案乙所需化验的次数为/次，方案甲与方案乙相互独立.(l)P(4)=尸(42)=尸(43)=尸(A4)=1 ,P 0 5)=|,C1 ,c l 1 2p(f i 2)=c Tc T+c Tc T 用事件。表示方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数，则 P(/)=P(A 2&+A 3&)=P(A 2)P(82)+P(A3).P(B 3)=|x|+|x|.(2)的可能取值为1,2,3,4,5.。的可能取值为2,3.由(1)知产(=1)=P(=2)=P(=3)=P(=4)=1 ,P(=5)=,所以 E()=l x +2 x +3 x +4xy+5 x =当，尸 4=2)=尸(8 2)=；,P Q=3)=P(B 3)=|,i 2 8所以 E(J=2 x +3 x-=.因为E(S E()，所以从经济角度考虑方案乙最佳.1 4.已知某高中高三年级共有2 0 个班，共 1 0 0 0 人，其中男生60 0 人，女生4 0 0 人.现在从该校高三学生中 抽 取 1 0%的学生进行玩游戏时间的调查.设置方案如下：一个罐子中放置了大小、质地相同的2 0个红球，2 0 个白球，被抽查的同学首先从该罐子中随机抽取一个球，看过颜色后放回，若抽到红球回答问题1,若抽到白球回答问题2,学生只需要对一个问题回答“是 或者否”即 可.问 题 1：你的性别是否为男生？问题2：你周末打游戏的时长是否在3小时及以上？(1)应该抽取多少学生？若用分层抽样的抽样方法，如何抽取这1 0%的学生？(2)最终有4 0 张答卷回答“是，请估计该高中高三年级有多大占比的学生周末打游戏的时长在3小时及以上.1 4 .解 析 应该抽取1 0 0 0 x 1 0%=1 0 0(人).若采用分层抽样的抽样方法，从男生中应该随机抽取60 0 x l 0%=60(人)，从女生中应该随机抽取4 0 0 x l 0%=4 0(人).(2)法一:设“抽到白球”为事件A,“抽到红球”为事件A2 0 2 0由题意知，P(A)=布=0.5,P(B)=布=0.5.设被抽查的某位同学回答“是”为事件C,以频率代替概率，则 P(C|B)=0.6,易知 P(O=P(A)P(O 4)+P(B)P(C|8),所以 P(CA)=P(C)-P(B)PP(A)(C|B)0 4-0.5 x 0.60.5=0.2.所以估计该高中高三年级有2 0%的学生周末打游戏时间在3小时及以上.法二：假设学生周末打游戏时间在3小时及以上的概率为P,易知抽到红球的概率 为:，抽到白球的概率 为:，则 4 0=1 0 0 x(x 0.6+1 0 0 x 1 x P,解得尸=0.2,所以估计该高中高三年级有2 0%的学生周末打游戏时间在3小时及以上.1 5.某公司为了切实保障员工的健康安全，决定在全公司范围内举行一次专门针对某病毒的健康普查，为此需要抽取全公司m人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案：将每个人的血样分别化验，这时需要化验，”次.方案：按女个人一组进行随机分组，把从每组女个人抽来的血样混合在一起进行化验，如果每个人的血样均为阴性，则验出的结果呈阴性，这 k个人的血样只需化验一次(这时认为每个人的血样化验次)；否则，呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组女个人的血样总共需要化验氏+1次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p,且这些人之间的化验结果相互独立.(1)设方案中，某组4 个人中每个人的血样化验次数为X,求 X 的分布列；(2)设机=1 0 0 0,p=0.1,试求方案中，上 分别取2,3,4时，各需化验的平均总次数，并指出在这三种分组情况下，相比方案，化验次数最多可以平均减少多少次？(结果保留整数)1 5 .解 析(I)设每个人的血样呈阴性的概率为q,则 4=1 p.所以2 个人的血样混合后呈阴性的概率为小,呈 阳 性 的 概 率 为 依 题 意 可 知 X=；,1+1 ,K K所以X 的分布列为X1I1+1P1一(2)方案中，结合知每个人的平均化验次数为E(X)=：q*+(l+：)(1 一/=(一小+1.当k=2时，(X)=|-0.92+I=0.6 9,此 时1 000人需要化验的总次数为690,当k=3时，(X)=|-0 9+1=0.604 3,此 时1 000人需要化验的总次数为604,当火=4时，(X)=1-0.94+1=0.593 9,此 时1 000人需要化验的总次数为594.即k=2时化验次数最多，斤=3时化验次数居中，上=4时化验次数最少.而采用方案则需要化验1 000次，故在这三种分组情况下，相比方案，当k=4时化验次数最多可以平均减少1 000594=406(次).1 6.某新型双轴承电动机需要装配两个轴承才能正常工作，且两个轴承互不影响.现计划购置甲、乙两个品牌的轴承，两个品牌轴承的使用寿命及价格情况如下表：品牌价格(元/件)使用寿命(月)甲1 0007或8乙4003或4已知甲品牌使用7个月或8个月的概率均为;，乙品牌使用3个月或4个月的概率均为参 若从4件甲品牌和2件乙品牌共6件轴承中，任选2件装入电动机内，求电动机可工作时间不少于4个月的概率；(2)现有两种购置方案，方案一：购 置2件甲品牌；方案二：购 置1件甲品牌和2件乙品牌(甲、乙两品牌轴承搭配使用).试从性价比(即电动机正常工作时间与购置轴承的成本之比)的角度考虑，选择哪一种方案更实惠？1 6.解 析(1)电动机工作时间不少于4个月共有三种情况：装入两件甲品牌，概率为2=|；装入一件甲品牌，一件乙品牌，且乙品牌的使用寿命为4个月，概率C为lxC l*1 方4；装入两件乙品牌，且两件的使用寿命均为4个月，概率为看.2 4 1 41电动机可工作时间不少于4个月的概率为2=三+出+而=布.3 1 j 6U 0()(2)若采用方案一，设电动机可工作时间为X(单位：月)，则X的可能取值为7,8,1 1 1 3P(X=8)=/=不 P(X=7)=1-P(X=8)=4，.X的分布列为X78p34_ 1 _43 1 29 EX 29.,.(X)=7x+8x-=,它与购置轴承的成本之比为T3而 钉 丽=获 而 若采用方案二，设两件乙品牌轴承的使用寿命之和为丫(单位：月)，则 丫的可能取值为6,7,8,P(y=6)=|x|=|,p(y=7)=2 g x i=；,P(y=8)=gx；=；.设甲品牌轴承的使用寿命为M(单位：月)，此时电动机可工作时间为Z(单位：月)，则 Z 的可能取值为6,7,8,P(Z=6)=P(Y=6)4P(Z=7)=P(M=7,Y7)+P(M=8,y=7)=lx,+:x=,N 4 Z Z o尸(Z=8)=P(M=y=8)=x1=|,Z 的分布列为29 11丁 芸 而 两，从 性价比的角度考虑，方案二更实惠o UUU Z ooU1 7.为了预防某种流感扩散，某校医务室采取积极的处理方式，对感染者进行短暂隔离直到康复.假设某班级已知6 位同学中有1 位同学被感染，需要通过化验血液来确定被感染的同学，血液化验结果呈阳性即被感染，呈阴性即未被感染.下面是两种化验方案.方案甲：逐个化验，直到能确定被感染的同学为止.方案乙：先任取3 个同学，将他们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明被感染同学为这3 位中的 1位，后再逐个化验，直到能确定被感染的同学为止；若结果呈阴性，则在另外3 位同学中逐个检测.(1)求方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；(2)表示方案甲所需化验次数，f 表示方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑哪种化验的方案最佳.1 7.解 析 设A(i=l,2,3,4,5)表示方案甲所需化验次数为i 次；Hj(j=2,3)表示方案乙所需化验的次数为/次，方案甲与方案乙相互独立.(1)P(A|)=尸(42)=尸(43)=P(A4)=1,P(A5)=；,。c i I 2P(B2)=3-T +r T =5 P(&)=l-P(8 2)=3 用事件/)表示方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数，则 P(D)=P(A 2 f i2+A353)=P(A2)P(B 2)+P(A3)-P(B3)=|x|+|x|=1 .(2)的可能取值为1,2,3,4,5.J的可能取值为2,3.由(1)知产(=1)=P(=2)=尸(=3)=P(=4)=3 ,P(=5)=；,所以 E()=lx +2 x1 +3 x(+4 x1 +5 x1 =-y,P(J=2)=P(8 2)=；,P e=3)=P(&)=1,i 2 2所以 E(f)=2 x+3 x -.因为E(d G)+C32X+言=|.(2)甲车间将6台设备平均分配给2名维护人员，即甲车间分成了两个小组，则甲车间分成的两个小组2 7相互独立，由(1)知每个小组能保证设备顺利运行至工作时段结束的概率均为每，记“甲车间所有设备顺利运行至工作时段结束”为事件&则/8)=(粉-=3=1.乙车间7台设备自动模式不出故障的台数记为，则8(7,记“乙车间所有设备顺利运行至工作时段结束”为事件C,则尸(O=P(=7)+P(=6)+P(=5)=C77XR)+C 7 6 X )X|+C75X(1)5XQ)-3 7+7 X 3 6+2 1 X 3 5 1 7 X 3 6=不=-4-,能=告=居 1,.P(8)P(C).故乙车间生产的稳定性较高.2 0.在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度.为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才启动的设备).已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”(即一台正常设备，两台备用设备)的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉.设三台设备的可靠度均为/0 rE(X2),因此，从期望损失最小的角度，决策部门应选择方案2.