（本科）线性代数期末考试题及答案2套.pdf
线性代数期末考试题及答案一、填空题.141.行列式210 2 1 x2 -15 -2中元素x的代数余子式是,0012 .若阶行列式零元素的个数超过(-1)个，则行列式为.3.设A为一个阶方阵，若 同=3,则|A|AT卜.4 .与 a=(1,2,-1),4=(4,0,2)都正交的向量/=.5 .线性方程组内+/+七+/+%=0的基础解系含有 个解向量.6 .若x是矩阵4的特征向量，那么 是矩阵尸一么?的特征向量.7./(%1,w,%3，)=X：-2 考+X；-5 x：+2X2X3 所 对 应 的 实 对 称 阵.二、选择题.1.设4 5 均为阶可逆矩阵，则 2(A ,|=()A.(-2)n|A|B|B.-2|AT|B|C.-2|A|B|D.(2 产 阂 咪2 .设A,5均为方阵，则()=AkBk B.|B|A|=|B|A|C.B2-A2=(B-A)(B +A)D.若 A,5 为可逆阵，火工 0,则(乂3 尸k3.若向量组A,5的秩分别为弓，与，A组可由5组线性表示，则弓与弓的关系为().rxr2 1 B.4 0 C.4 1D.A1三、计算题.x a a aa x a a1.计算阶行列式。=a a x a的值.a a a x2.设 a =(2,3,5),W =(3,7,8),a；=(1,-6,1),炉=(7,-2,2).(1)求几使可由四,。2，%线性表示；(2)用不能由风,七，%线性表示时，求向量组4,。2,%，夕的一个最大无关组 4 2 3、3.设 A=1 1 0，且4X=A +2 X,求矩阵 X.1-1 2 3J4.求非齐次线性方程组%-5尤2 +2 x；-3x4=11,5%+3X2+6 x 3-*4 =-1,的通解.2 3+轨 +2X3+x4=-6四.综合题1.用正交变换将二次型 f(x,x2,x3)=2xf+5 2+5 3+4X/2-4%3-8犬2工3 化标准化.2.设A为阶非零矩阵，A*是A的伴随矩阵，是A的转置，当4*=4 T时，证明|A|0.模拟试题（三）答案 1 0 0 0、,0-2 1 0一、1.-10；2.0；3.3-1；4 (2,3,-4)；5.4；6.Plx；7.、0 0 0 5,二、l.D；2.D；3.B；4.B；5.A；6.D；7.C.三、1.0 =+(_ 1)翅 _“严.2.解（1）设有数匕，女2,右，使占%+%2 a 2+&%=夕，即2k+3k、+k?-7,*3k+7左,6k 2,5kl+8&+&=4 2 3B=3 1、5 81 7、-6 21(2T 03 1 7、1-3-50 0 2-15?故;1=15时，尸可由四,4,%线性表示.（2）当人W 15时，4,七,夕或4或4 2。3，万均为向量组的最大无关组2 2 33.解 由已知J(A 2 E)X =A,|A-2 E|=1 -1 0 =-1 00,A-2E可逆，则-1 2 1、-4 -3、(A-2EY =1 -5 -3、T 6 4,3-8X =(A-2 E Y A=2-9、2 12-6、6-54.解 百=5 3、2 4/1 02 -3 1P6-1-1 0197_7022_21-20 0，令则4乜、(1、0、缶3、9工3仅、。7X=&9170+k?71-1027+四、1.解 二次型的矩阵为A 22、一225-4-2、-45,A-AE=2-22-225-4-4、-20则-2、-4 =-a-l)2(2-10),5 一丸，故得特征值为4 =4 =1,4 =IO.当4 =4 =1时，由 1 2-2、2 4-4、一2 -4 4 )%、九2X3)0、00 5、解 得 乙、*3,46 2)k、1 +k210,单位化得鸟=q，2/5、4/5 .17当4 =10时，由-8 2 -2、2 5 Y-2 -4 一5,0、00,入 八解 得x2=匕一2，单位化-212J2；因此得正交阵（鼻，鸟）2飞1忑3232o3 J二次型的标准型为 f(X,y2,y3)=+y22+10 y32.2.证明反证法.若 同=0,则4 4*=4 4T=|A|E =0,因 此,设 4 的行向量为名（i =l,2,），则a,a,T=O(z =1,2,),从而a,=0(i =1,2,)，于是4 =0,与已知矛盾，故|A|wO.模拟试题（四）一、填空题.1.排列3 1 7 2 6 4 5的逆序数为2.设。11-121-11-1101-1-153-3,则知”+2 1+加3 1+加4 1为.3.设A 为一个3阶方阵,若|A|=3,则 M|A =4.线性方程组x1+x,+xA=0,/4:的解空间的维数为x2+2X3-x4=03 5、5.设三阶方阵AHO,5=2 4 f,且AB=O,则=.、3 5 3,6.线性方程组AX=有 解 的 充 分 必 要 条 件 是.7.设可逆方阵A的一个特征值为3,则A-的 一 个 特 征 值 为.8.f(xx,x2,x3,x=X；-2x；+3x；-4x：+2x2x3 所 对 应 的 实 对 称 阵.二、选择题.3 1 11.已 知 同=2 0 x,则 同 中x的 系 数 是（）.1 1 -1A.l B.-3C.2 D.-22.对任意的阶方阵A,5,下列正确的是（）.A.A B =B A B.（AB）2=A2B2C.（A5）T=（BA）T D.|A B|=|A|3.设矩阵A”“的秩夫（A）=m 1C.21D.A1三、计算题.b a a aa b a a1.计算阶行列式。=a a b a的值.a a a b 3 0 0、2.求解矩阵方程AX=A+2 X,其中A=0-1 0、0 0-2,(1)求向量组的一个最大无关组；(2)将其余向量用最大无关组线性表示.2 x）-+刍+元 4 =-34 .求4为何值时，方程组,x-x2+x3+2X4=-2有解，并求通解.3 玉-2X2+2 犬 3 +3 尤 4 =45 .求正交变换，将二次型/（芭，4 2，1 3）=2%；+3 4+3尢；+4%2 七化为标准型四、证明题设 A为正交阵且|川二一1,证明E +A不可逆.模拟试题（四）答案0 01 0 -2 1 1.8；2.0；3.9；4.2；5.4；6.R(A)=R(A,b)；7.-；8.3 0 1 3、0 0 00、00-4)、1 .D；2.D；3.C；4.C；5.C；6.B.三、1.解a a +(一 )b a=/?+(-1)。a baaaa a b1 aa a1aa a1 ba a0b-a0 0=b+(n-1)a 1 ab a00b-a -01 aa b000 b-a=h+(n-l)a(b-a)nl.2.解 由已知(4一2E)X=A,|A 2同=12。0,则A 2E可逆，所以(1 010(4-2尸=0-300 0I3 0 O*=(4-2 尸4=0-0310 0 2)r-l3.解 A=3Jn fi4-0Jo0 1、1 10 0,则R(A)=2 3,故此向量组线性相关.210其中四,。2为向量组的一个最大无关组且=4+。224.解 1-1 1 1 -3、(1 -1-1 1 2-2-0 1-2 2 3 Z J 10 01 2-2、-1-3 10 0 2+5?当；1 =5时，方程组有解.此时1 0 0-1 -PQ 1 -1-3 1、0 0 0 0 0,即须=x4-1,x2=x3+3X4+1,从而通解为、70、131X=q1+。20+0J0其中q,C2取任意实数.,2 0 0、5.解 4=0 3 2,则、0 2 3,2-200A-XE=03-22=(l-/l)(2-/l)(5-/l),023-2即得特征值为4=1,4=2,4=5.属于特征值4=1,4=2,4=5的特征向量分别为这三个特征向量互相正交f 71=0V22V2100o9-2V2-2=故所用的正交变换矩阵为p=0722_V200o。一272-2四、证 明 由A为 正 交 阵 得=E,则|E+A|=I AAT+A|=I A|AT+E|=-|E+A|即|E+A|=0,故E+A不可逆.
