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数学学业水平复习知识点第一章集合与简易逻辑1、集合(1)、定义：某些指定的对象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。集合中的元素具有确定性、互异性和无序性：表示一个集合要用 。(2)、集合的表示法：列 举 法()、描 述 法()、图 示 法()：(3)、集合的分类：有限集、无限集和空集(记作。，。是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集);(4)、元素a和集合A之间的关系：aE A,或a史/：(5)、常用数集：自然数集：N ；正整数集：N；整数集：Z ；整数：Z；有理数集：Q：实数集：R.2、子集(1)、定义：A中的任何兀素都属于B,则A叫B的 子 集：记作：A RB,注意：A B时，A有两种情况：A=4 与A#小(2)、性质：、A c A,(f c A：、若/=则力三。；3、其子集(1)、定义：A是B的 子 集，且B中至少有一个元素不属于A；记作:(2)、性质：、A丰风 j A；、若=8,6 =C,则4、补集、定义：记作：CVA=x|x e A；、性质：A CVA=0A=0A 0)的图象 1/.BO 1 1 XI=X2一元二次方程ax2+反+c=0(0)的根有两相异实数根再,*2(3 0(a 0)的解集x x x2取两边b、xi xyR一元二次不等式ax2+a +c v 0(a 0)的解集x I Xj x0恒成立问题=含参不等式ax2+b x+cX)的解集是R：其解答分a=0(验证bx+c0是否恒成立)、aWO(a0 J1A”取两边，V”取中间)(1)、当。0 时，|x|。的解集是x|x a ,|x|a 的解集是x|-a x 当c 0 时，|ax+6|c o a x +b c,ax+b c c -c a x +b 28、简易迂辑:(1)命题：可以判断真假的语句；逻辑联结词：或、且、非:简单命题：不含逻辑联结词的命题：复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的命题;三种形式：p 或 q、p 且 q、非 p：判断复合命题真假：”、思路：、确定复合命题的结构，、判断构成父合命题的简单命题的真假,、利用真值表判断复合命题的真假：2、真值表：p 或 q,同假为假，否则为真：p r t q,同真为真：非 p,真假相反。(2)、四种命题:原命题：若p则q：逆命题：若q则p：否命题：若“则F 逆否命题：若飞 则一 午；互为逆否的两个命题是等价的。原命题与它的逆否命题是等价命题。（3）、反证法步骤：假设结论不成立一推出矛盾一否定假设。（4）、充分条件与必要条件：若p =q ,则叫q的充分条件：若p ug，则P叫g的必要条件：若p O q ,则p叫q的充耍条件；第二章函数1、映射：按照某种对应法则/,集合A中的任何一个元素，在B中都有唯一确定的元素和它对应，记作f A-*B,若a w A,be B ,且元素a和元素b对应，那么b叫a的象，a叫b的原象。2、函数：（1）、定义：设A,B是非空数集，若按某种确定的对应关系/；对于集合A中的任意一个数x,集合B中都有唯一确定的数/（x）和它对应，就称f A-B为集合A到集合B的一个函数，记作尸/（x）,（2）,函数的三要素：定义域，值域，对应法则；自变量x的取值范围叫函数的定义域，函数值/（x）的范围叫函数的值域，定义域和值域都要用集合或区间表示；（3）、函数的表示法常用：解析法，列表法，图 象 法（画图象的三个步骤：列表、描点、连线）；（4）、区间：满足不等式a 4x4人的实数x的集合叫闭区间，表示为：a ,h满足不等式“x j 25-x2、对数：真数0,例：y =l o gu（l-）X（6）,求值域的一般方法：、图象观察法：丁=0.2 3、单调函数：代入求值法：j；=l o g,（3 x-l）,X G p 3、一次函数：配方法：y =x2-4 x,x e 1,5)y =-J-x2+2 x +2、“一次”分式：反函数法：y =2 x+l、“对称”分式：分离常数法：y=2-smx2 +s in x、换元法：y =x +y/-2x(7)、求/(x)的一般方法：、待定系数法：一次函数/(外，且满足3/(x+l)-2/(x-l)=2 x+1 7,求/(x)、配凑法：/(X-)=X2+-4，/-(X)X X、换元法：f(y/x+1)=x +2-7%,求/(x)、解方程(方程组)：定 义 在(7,0)U (0,1)的函数/X x)满足2/(x)/(x)=,，求/(x)x3、函数的单调性：(1)、定义：区间D上任意两个值七,2,若再 2时有/(/)/(匕)，称/(X)为D上增函数：若X /(七)，称/(X)为D上减函数。(致为增，不同为减)(2)、区间D叫函数/(x)的单调区间，单调区间三定义域；(3)、判断单调性的一般步骤：、设，、作差，、变形，、下结论(4)、复合函数y =/(x)的单调性：内外一致为增，内外不同为减：4、反函数：函数y =/(x)的反函数为y =/T(x)：函数y =/(x)和y =/T(x)互为反函数：反函数的求法：、由y =/(x),解出x =/(刃，、x,y互换，写成y =/(x),、写出y =/(x)的定义域(即原函数的值域)：反函数的性质：函数y =/(x)的定义域、值域分别是其反函数y =/(x)的值域、定义域；函数y =/(x)的图象和它的反函数y =/(刈的图象关于直线=对称：点(a,b)关于直线y =x的对称点为(b,a)；5、指数及其运算性质：(1)、如果一个数的n次方根等于a (l,e N ),那么这个数叫a的次方根:后 叫 根 式，当为奇数时，叱=a；当为偶数时，行=|。|=卜(2 )-a(a 0 2 0/,5 0 时：ar-ax=ar+s,(arY =an,(a b)r=arbr,5=a；6、对数及其运算性质：(1 )、定义：如 果/=N(a 0,4 w 1),数叫以a为底N的对数，记作l o g。N =b,其中。叫底数，N叫其数，以 1 0 为底叫常用对数：记为Ig N,以e=2.71 82 82 8为底叫自然时数：记为/N(2),性质：负数和零没有对数，、1 的对数等于0：l o gu 1 =0,、底的对数等于1：l o ga a=1 .M、积的对数：l o g”(M V)=l o g q A/+l o g”N ,商的对数：l o g“一 =l o gw M -l o gt f N ,N幕的对数：l o g”A/=l o g。A/,方根的对数：l o g=-l o g”A/,n7、指数函数和对数函数的图象性质函数指数函数对数函数定义y =ax(。0且。工1)y=l o g“x (a。且。工 1)图象(芈奇非偶)a l0 a l0 a l,x 0a=l,x =0 l,x 0a 0!=i,x=o l,x 0,x Il o gu K=0,x =1k 0,0 x 1l o g“1 1=0,x=1 0,0 x 0 二 图象在x轴上方/x 0/.图象在y轴右边图象关系y =a 的图象与歹=l o g“x的图象关于直线y =x对称第三章数列(一)、数列：(1)、定义：按一定次序排列的一列数叫数列；每个数都叫数列的项;数列是特殊的函数：定义域：正整数集N*(或它的有限子集 1,2,3,，n),值域：数列本身，对应法则：数列的通项公式：(2)、通项公式：数列:4 的第n 项a,与 n 之间的函数关系式；例：数 列 1,2,，n 的通项公式a“=n1,-1.11-1.,的通项公式a“=(1)；0,1.0,1,0,的 通 项 公 式/=1 +；D(3)、递推公式：已知数列 4“的第一项，且任一项/与它的前一项氏(或前几项)间的关系用一个公式表示，这个公式叫递推公式；例：数列 an ：a,=1,=1 +,求数列 an 的各项。an-(4)、数列的前n 项和：S=a1+a,+%+-+%;数列前n 项和与通项的关系：册=：户 芈 =、P-5_|(2)(二)、等差数 列：(1)、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。(2),通项公式：=4+(-1)4 (其中首项是外，公差是d；整理后是关于n 的一次函数)，(3)、前 n 项和：1.s =()2.S“=n 5+凶 啜d(整理后是关于n 的没有常数项的二次函数)(4)、等差中项：如果a,A,成等差数列，那 么/叫 做 a 与的等差中项。即：A=.2A=a +h2 说明:在个等差数列中，从 笫 2项起，每项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前项与后项的等差中项：事实上等差数列中某项是与其等距离的前后两项的等差中项。(5)、等差数列的判定方法：、定义法:对于数列 凡 ,若a+I-%=d (常数)，则数列%是等差数列。、等差中项：对于数歹!%,若2 a向=a“+a“+2,则数歹()%是等差数列。(6)、等差数列的性质：、等差数列任意两项间的关系:如 果an是等差数列的第项，am是等差数列的第优项，且m 4 ，公差为，则有、等差数列。“，若+=p +g，则 an+am=ap+a/-A-X也就是：%+册=g+%-1 =的+。-2 =，如图所示：%，。2，3 .,-2，册-产%+4-1、若数列/是等差数列，S”是其前n项的和，ke N,那么S*,S2 k-Sk,S31 tS”成等差数列。如下图所示：少+晶2+?+勺+41+1 +42勺+2攵+1+；+3勺sk sk-Sk S3k-S2t、设数列储 是等差数列，S奇是奇数项的和，S儡是偶数项项的和，S“是前n项的和，则有：前n项的和5,=S奇+S佣，当 口为偶数时，,得-S奇=5,其中d为公差：当n为奇数时，则5奇一,”中，奇-亍“中，偶一力-中(其中”中是等差数列的中间一项)。、等差数列 七 的前2-1项的和为S 2 1，等差数列 的前2-1项的和为S；“T，则 包=2。(三)、等比数列：(1),定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表 示(q工0)。(2),通项公式：(其中：首项是q,公比是q)叫,(夕=1)(3)、前n项和1 Sn=a,-anq _ ay(-qn)(推导方法：乘公比，错位相减)说明：S“=/q(gH l)S.=fl产(g xl)-q -q 当q=l时为常数列，S=nax,非0的常数列既是等差数列，也是等比数列(4),等比中项：如果在a与匕之间插入一个数G,使a,G,8成等比数列，那么G叫做a与人的等比中项。也就是，如果是的等比中项，那么回=2,即G 2=a6(或G=土 而，等比中项有两个)a G(5)、等比数列的判定方法：、定义法：对于数列 2 ,若益 =g(g w O),则数列储“是等比数列。%、等比中项：对于数歹此。“,若。/“+2=3,则数列%是等比数列。(6)、等比数列的性质：、等比数列任意两项间的关系:如 果a“是等比数列的第项，明 是等比数列的第m项，且m 4”,公比为q，则有4 =amqnm、对于笠比数列。“，若+m=+v，则a j%=a“-a,.4%/-A-也就是：acan=a2 an,=ava 2=。如图所示：勺严2，。3，,-2，册-1,，一ara-、若数列 册 是等比数列，S是其前n项的和，k w N*,那么编，S 2-k，S34-S2A成等比数列。S.如下图所示：“1 +。2 +4,+”+1+二+2%+2%+1 +；+。3S kS湍-Sk 3 k 2k(7)、求数列的前n项和的常用方法：分析通项，寻求解法+2+3+=(+1),1 +3+5+(2-1)=2,+22+3?+2 =1 (+1)(2 +1)2 6公式法：“差比之和”的数列：(2 3x5-)+(2 3x5 2)+(2 3 x5)=、并项法：1 2+3 4+(1)1 二、裂项相消法：i+L+1=2 6(77-1)/71 1 1 1-1-1-F -I-=1 +V2 V2+V3 V3+V4 y/H +y/7+l、倒序相加法：、错位相减法：“差比之积”的数列：1 +2X+3/+xT=第四章三角函数1、角：（1）、正角、负角、零角：逆时针方向旋转正角，顺时针方向旋转负角，不做任何旋转零角：（2）、与a终边相同的角，连同角a在内，都可以表示为集合/?|4=。+八360,2（3）、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就是第几象限的角：角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限。2、弧度制：（1）、定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。1 QA（2）、度数与弧度数的换算：180=）弧度，1弧度=（）*5718,兀、P（x|yy）（3）、弧氏公式：/=|a|r（a是角的弧度数）扇形面积：S=-l r=-a r2 厂 斗寸。.0 x(4)同角三角函数的常见变形：(活 用“1”)3、三 角 函 数（1）、定义：（如图）i)+yA+一+、各象限的符号：y.y rsina=-tan a =-seca=-r x xx x rcosa=cota=-csca=r y y(3),特殊角的三角函数值Osin aX OC(0+)sa taXnaa的角度030456090120135150180270360a的弧度0乃6471I兀22JTT37t46兀3兀T2Tsina012也2旦21旦22120-10cosa1鱼2在2120,12巨2一 近2-101tana0旦31石-石-13004、同角三角函数基本关系式（1）平方关系：（2）商数关系：（3）倒数关系：sin a+cos a=1 tana=-tanacotcr=1E tanasina(cosa-y _1_/1,2 2 cosa 11 +tan a=sec a cot a =-.sin a csca=1sina1 +cot2 a=esc2 a cosa sec a =1Vsec aVesc a、sin2cr=l-c o s2a ,sna=vl-cos2 a；cos2 a =1 -sin2 cr cosa=vl-sin2 a；小 八 八 cos2+sin2 0 2 八 八 cos2 a-sin2 a 2cos2a、_tan。+cot。=:-=-,cot。-tan S%：sin 2a=2sinacosa(2)、降次公式：(多用于研究性质)Ga：cos%=cos2 a-sin2 a1 .sina cos cr=s】n 2a2=1-2 sin2 a=2 cos2 a-1.)1 -cos 2a 1 -1sirr a=-=cos 2a+2 2 2c 2 tana,1 +cos 2al e 1T：tan 2a=-；cos-a=-=cos 2a+一1 -tan,。2 2 2(3)二倍角公式的常用变形：、Vl-cos2a=yl2 sina Vl+cos2a=72|cosa|；、-/cos勿=|sina|,+cos la=1 cos a I2 2zws*4 4 ,c-2，.sin 2zz、sin a+cos a-1 -2sin-a cos-a-1-2cos4 er-sin4 a=cos2a；9,三角函数的图象性质a./1-cosa 1 -costz sinatan =-=-=-2 V 1 +cosa sina 1 +cosa(I k函数的周期性：、定义：对丁函数/(x),若存在一个非零常数T,当x取定义域内的每一个值时,都有：/(x+T)=/(x),那么函数/(x)叫周期函数，非零常数T叫这个函数的周期；、如果函数/(x)的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数叫/(x)的最小正周期。0时）或 向 右（夕 0,69 0）的相关概念：函数定义域值域振幅周期频率相位初相图象y=4sin(0ix+/)XG R-A,AAT=(0(1 0/=T 2n(ox+(p(P五点法y=Jsin（ftzr+9）的图象与、=sinx的关系：当A 1时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的A倍振幅变换：y=smx 当0A1时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的 倍_（D,周期变换：y=sinx 当0 y 0时,图象匕的各点向左平移。个单位倍-相 位变换：y=sinx 当夕 0时，图象1：的各点向左平移-个单位倍_2_ 平移变换：y=Asincox 八 ,ip,y=/sinUor+o）当。1）或 伸 长（0 1）或缩短到原来的4倍（横坐标不变）得 到y =Nsinr+e）的图象.先平移后伸缩的叙述方向：y=Asin（a）x（p）先平移后伸缩的叙述方向：y=Zsin（otK+*）=Zsinpy（x+乡）10、反三角：求角条件X的值X的范围当X为钝角时s in x =a(-l a l)x=arcsin a(反正弦)xe一仔3x-n-arcsin a(0 a 1 )cosx=a(-1 a 1 )x=arccos a(反余弦)xe 0,/rx=arccosa(-1 a 0)tanx=a(a e R)x=arctan a(反正切)卜头）x=7 F +arctan a(a 0,义与向量Z 的方向相同；当4 设。是向量a=(范，必),人=(2，乃)的夹角，则cos6=2 1+j ：2 a 1 b a b=0y/x：+凹2芯+片5、重要结论：(1)、两个向量平行的充要条件：a/b o a =A b (AG R)设 a=(x”必),/?=(2，刈)，则a b=占歹2-2弘=0(2)、两个非零向量垂直的充要条件：力=0设 a=(x?),/?=(x2,j2),则 a _L%=x/2+%2=0(3)、两点/(七,必),B(X2，为)的距离：|/8 1=yj(xi-x2)2+(,-y2)2(4)、P 分线段 P R 的：设 P(x,y),Pi(XB Y I),PNxz,yQ ,且 尸=，尸？，(即 之=二 )1%x.x =!-则定比分点坐标公式 1+2必+I 1 +AX.+4X=-中点坐标公式严山L 2tI X =X +力(5)、平移公式：如果点P (x,y)按向量a =(,A)平移至P (x ,y ),贝丹 y -y k.6、解三角形：(1)三角形的面积公式：S.=-a bs n C=-a cs in B=-be s in A 2 2 2(2)在/B C中：J +5 +C =1 80 ,因为 4+8=1 80 -C：s in(/+8)=s in C,co s(4+8)=-co s C,ta n(J 4-5)=-ta n C因为 2 1 =90。一 C：s in()=Co s$,co s()=s in.ta n()=co t 2 2 2 2 2 2 2 2(3)正弦定理，余弦定理正弦定理：a=2/?,边 用 角 表 示：a=2/?s in A,h=2/?s in B,c=2/?s ins in A s in B s in Ca2=A2+c2-2hc-co s A a2+h2-c2=a h余弦定理：h2=a2+c2 co s 5 若：a?+/一/=土后力则：c2=a2-2a bco s C=(a +h)2-2a b(+co cC)a2+b2-c2=(3 a h求角.：co s A=-b-+-c-a-co s Bn =-a-+-c-b-”co s C =-a-，-+-&-一-c-2bc l a c l a b第六章：不等式1 不等式的性质：(1)对称性：a b=b byh c=a c；(3)、a b=a c b+c；a b,c d=a +c b +d（4）、a b,若 c 0=a c be ,若c v 0 =a c b 0,d 0=a c bd（5）、a b G =a b姬旗,（n w N、1）（没有减法、除法）1、均值不等式：（1）、片+2a b“V 卫2（2）,2向或4（巴 心 一正、二定、三相等2不满足相等条件时，注意应用函数/（x）=x+1图象性质（如图）X应用：证 明（注 意1的技巧），求最值，实际应用（3）、对于n个正数:2，a,(2)，那么：4+%+4叫做门个正数的算术平均数，叫做n个止数的几何平均数：n3、不等式的证明，常用方法：（I）比较法：、作差：a-b 0 a 仇。一6 0 o。1（0）a b（b 0）,0）O a 0）b b（2）综合法：山因到果，格式：，/；,J.；（3）分析法：执果索因，格式：原式一，,-*,（4）反证法:从结论的反面出发,导出矛盾。4、不等式的解法：（不等式解集的边界值是相应方程的解）一元二次不等式（x?的系数为正数）：0时“”取两边，V”取中间绝对值不等式：含一个绝对值符号的：“”取两边，取中间含两个绝对值符号的：零点分段讨论法（注意取“交”，还是取“并”）高次不等式的解法：根 轴 法（重根：奇穿偶不穿），分式不等式的解法：移项、通分、根轴法 V y *5、绝对值不等式：a -b a +b|a|+|b|a|-|Z）|a-b|a|+|b|例：/（x）=|2 x-3|+|2 x +5 h|3-2 x|+|2 x +5 以 3-2 x+2 x +5|=8（最小值）f（x）=|x+2|-|x-3|=|x+2|-|3-x|x+2 +3-x|=5 （最大值）第七章：直线和圆的方程1、倾斜角和斜率：（1）倾斜角：、范围：a e 0 0,1 8（）。）、定义：在平面直角坐标系中，对 于 条 与x轴相交的直线，如果把x轴饶交点按逆时针方向旋转到和直线重合时的最小正角记为a ,则a叫直线的倾斜角；当直线与和x轴平行或重合时，倾斜角为0。：当直线与和x轴垂直时，倾斜角为9 0（2）斜率：k=t a n a .k w（o o,+o o）当上是特殊角的三角函数值时，直接写出角当A不是特殊角的三角函数值时，可用反三角表示斜率:（3）直线上两点（再，%）,8（%,月），则 斜 率 为 左 一 乂工2 一项直线的方向向量反巨=（X2 -X,乂一夕2），或 耳 瓦=1（X2 7 1,必 一 心）=（1，X2-X所以直线的方向向量职=（1,%）或 丽 =1,4）2、直线方程：直线方程的五种影式（I）、点斜式：y M=%（x x J；（2）、斜截式：y =kx +b；（3）、两点式：yy,=XX,y2-H X?-x,（4）、截距式：-+=（截距是直线与坐标轴的交点坐标，可正可负可为零）a b（5）、一般式：J x+B y +C =O （A、B不同时为0）斜率”=一3，y轴截距为B B3、两直线的位置关系（1）平行：/|乙=勺=心且A H4 4 _ =刍 _*9 1 _时，/,/2；4 B2 C2垂直：kt-k2=-1 /,/2 AlA2+BB2=O=/,/2;（2）相交：k*k 或*凡，交点就是方程组（4X+8J+G=0；的解。A2 B2/42X+B2y 4-C2=0.任意曲线的交点就是：曲线方程构成的方程组（/（、/）=的解（x j）=。（3）到角范围：（0,乃）到角公式：t a n”电一片 左、左?都存在，I+匕 左2 H o1 +k?k夹角范围：（0,%夹角公式：t a n a=七一人 勺、火?都存在，+左/2 H o21 +k2kl（4）点到直线的距离公式,/=3二 丝 上q（直线方程必须化为一般式）V/l2+B2两平行线间的距离公式：X-p-Gl（即条直线上任点到另条直线的距离）JA2+B24,线性规划：（I）二元一次不等式表示的平面区域：不等式4X2 +BX+CN0（或或，或 0 时，表示一个以(_ _；!)为圆心，半径为+壮2 一4 户的I员 I 国 的参数方程为|x =+8 S (0 为参数)，圆心在原点时：了=9。y =力 +厂 sin y=rsin0(参数方程的实质是前线上点的横、纵坐标)(4)点与圆的位置关系:判断方法上(X-4)2+3-6)2 =/,外 0,内 r,相切=/,相交，：、利用根的判别式：联立(x?+&+C=消元后得一元二次方程的判别式,l(x-u)2+(y-h)2=r20 O宜.纹和阴相交，=0。目线和圆相切，|FIF2|)的点的轨迹。平面内到两个定点Fl,F2的距离之差的绝对值等于定值2a(02a|FlF2|)的点的轨迹.平面内到定点F 和定宜线L的距离相等的点的轨迹.即：平面内到定点F 和定直线 L 的距离之比为常数e(e=1)的点的轨迹第二定义平面内到定点F 和定直线L 的距离之比为常数e(0el)的点的轨迹。标准方程1 +5=1(060)a1 b2X2 y2-y-广=1(。0,力 0)a2从y2=2p x(p 0)图象y|y/1 KP K j圆锥曲线的几何性质曲线椭圆双曲线抛物线图象yX4 1 1V05焦点(土c,0),c =y/a2-h2(c,0),c =J/+心。)顶点(a,0),(0,b)(土a,0)(0,0)vtrfl对称轴离心率e =e (0,1)ac、e =e (1,4-0 0)ae-1准线x =-x=-P2渐近线a2 2 2 2 2 2 r由双曲线求渐进线：二 21=I=二 一与=0=-=y=xa2 b2 a2 b2 b1 a1 b a a由渐进线求双曲线：y=2 x =A=W =W-=0=W-4 =；la b a b2 a2 a2 b2 a2 b22、求离心率e：方法一：用e 的定义e=；法二：得到与a、b、c 有关的方程，解方程，求上;a a（离心率e 与。、b、。的关系可以互相表示：椭圆e=1-7,双曲线e=t r）3、直线和圆锥曲线的位置关系：（1）、判断直线与圆锥曲线的位置关系的方法（基本思路）弋直线方程一消元一一元二次方程一判 别 式“i 圆锥曲线方程（方程的思想）（2）、求弦长的方法：求交点，利用两点间距离公式求弦长：弦长公式 I=yj+k2|%1-X2|=J（l+4 2）（X +X 2）2-4 3*2 1（消y ）=J 1 +2 y y2 l=J（1+/）（乂+2）2-4 y l y 2 （消X）（3）、与弦的中点有关的问题常用“点差法”：把弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，作差一弦的斜率与中点的关系；（弦的中点与弦的斜率可以相互表示）（4）、与双曲线只有一个交点的直线：一相切，二与渐近线平行与抛物线只有一个交点的直线：一相切，二与对称轴平行4、圆锥曲线的最值问题：（1）、利用第二定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离求最值；（2）、结合曲线上的点的坐标，利用点到直线的距离公式转化为二次函数求最值;2 2在歹2 =2 p x上的点常设（匚,y）,在/=2 加 上的点常设（X,工）2p 2P（3）、利用数形结合求最值：基本思路：与直线平行，与曲线相切.（椭圆中，长轴是最长的弦：双曲线中，实轴是最短的弦。）第九章直线平面简单的几何体1、平面的性质：公理1：如果有一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。公理2：如果两个平面有个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线。（两平面相交，只有一条交线）PG ary/3=ar/3=I H.PG I公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面。（强 调“不共线”）（三个推论：1、直线和直线外一点，2,两条相交直线，3、两条平行直线，确定一个平面）空间图形的平面表示方法：斜：测画法（水平长不变，竖直长减半）2、两条直线的位置关系：平行，相交，异面：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线（I）、异面宜线判断方法：定义，判定：连结平面内一点与平面外一点的直线，利这个平面不经过此点的0线是异而直线.（两在两不在）（2）、两条直线垂直：两条异面直线所成的角是直角，这两条直线互相垂直.垂直相交（共面）、异面垂直，都叫两条直线互相垂直.（3）、空间平行直线：公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行.3、直线与平面的位置关系壮宜线在平面内直线在平面外1直线与平面相交，记作4、直线与平面平行：定义：直线和平面没有公共点。直线与平面平行，记作a a（1）、判定定理：如 果 不 在，个平面内的条直线和平面内的条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.（线线平行=线面平行）la a、m ua、豆IHmnlHa（2）、性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（线面平行二 线线平行）=5、两个平面平行：定义：两个平面没有公共点。7/（1）、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行了另一个平面，一 芯 二7 那么这两个平面平行。（线面平行=面面平行）推论：如果个平面内有两条相交直线分别平行与另个平面内的两条巨线，那么这两个平面平行。（2）、性质定理：两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行二 线线平行）两个平面平行，其中一个平面内的出线，平行另一个平而：（面面平行=线面平行）夹在两个平行平面间的两条平行线段相等。平行间的相互转化关系：线 线 平 行 钎 士 线 面 平 行）=才 面 面 平 行6、直线和平面垂直：定义：如果一条直线和一个平面相交，且和这个平面内的任意一条直线都垂直，叫直线和平面垂直。(常用于证明线线垂直：线面垂直=线线垂直)(1)、判定定理：一条宜线和一个平面内的两条相交直线都垂宜，则直线和这个平面垂直。(线线垂直二 线面垂直)(2)、性质定理：过一点和已知平面垂直的直线只有一条，过一点和已知直线垂直的平面只有一条。如果两条平行线中的条垂直于个平面，另条也垂宜于这个平面。线段垂直平分面内的任意一点到线段两端点距离相等。(3)正射影：自一点P向平面a引垂线，垂足P ,叫点P在a内的正射影(简称射影)斜线在平面内的射影：过斜线上斜足外一点，作平面的垂线，过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的射影。(4)三垂线定理：在平面内的一条直线和平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线垂直。(1)、判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。(线面垂直=面面垂直)(2)、性质定理：两个平面互相垂直，那么在个平面内垂直于它们交线的宜线，垂直于另个平面。(面面垂直n线面垂直)垂直间的相互转化关系：线 线 垂 直 二 线 面 垂 直 1=上面面垂直8、空间向量：在空间具有大小和方向的量，空间任意两个向量都可用同一平面内的有向线段表示。(1)、共线向,量定理：空间任意两个向量a,h(AHO),o a =X h(A,e R)空间直线的向量参数表达式(P在面MAB内的充要条件)：一_ _ _ _ _ _ _ _ _O P=O A +t(O P =OA+tAB=Q-t)OA+tOB(a 叫宜线 A B 的方向向量)1*1 *.*当，=5时，点P是线段AB的中点，则。尸=$(0 4 +0 3)(2)、共面向量定理：两个向量。B不共线，则向量p与。，Z共面=p =X i +y B (x.y e R)平面的向量表达式(P在面MAB内的充要条件)：而=不 总+歹 丽 或 而=而+无 总+y赢0为空间任一点，当。尸=+y O 8+z。H.x +y +z =1时，P、A、B、C四点共面。(3)、空间向量基本定理：如果三个向量、b.不共面，那么对空间任一向量方，存在一个的唯一有序实数组x,z,使p =x a +y 3 +z c,a ,b,c 叫基底，a b c叫基向量。如果三个向量、b。不共面，那么空间向量组成的集合为 p|=xQ +yZ+zc,jr,V,ZG R o（4）、两个向量的数量积：Q i=|a|g|c o s ,向量。的模|a：a 2=a-a向量在单位向量e方向的正射影是一个向量，即a c=|cos,a Lba b=O（5）、共线向量或平行向量：所在的直线平行或重合的向量：直线的方向向量：和直线平行的向量;共面向量：平行于同一平面的向量：平面的法向量：和平面垂直的向量。法向量的求法：设是3=（。”生,%）5 =（仇，仇也）平行于平面的两个不共线向量，-a n=Q =（x,y,z）是平面的法向量，则：_ _ _IQ =O9、空间直角坐标系：单位正交基底常用亿力以来表示。（如图）（i,o,o）y=（o,i,o）k=（o,o.1）其中：i=1,j=1 k=1 f-j =0,，.左=0,/.=0,1、空间向量的坐标运算:设a=（。1，。2，。3），%=他 也 也）,则（1）a+6=（q +A，%+，0 3+8）：（2）a-6=（4-，。2 一仇，生 一名）：（3）之 4=4（%,。？，%）=（%4|，而 2，/3）（%氏）；（4）a b%=入仄,%=加”。3 =屈3（即-=A）；b b2 4（5）a_Lgoa B=0 o axbx+a2h2+a 3b3=0.（6）a-h=a也+a2b2+a3b3 ；*a b=a|b|cos:.a E=aQi+a2b2 +3b3 =a；+a；+a；f b；+b；+b；cos由此可以得出：两个向量的夹角公式cosVa,b =Ja：+a；+a；Jb：+b；+b；当 cosV。、b=l 时，。与方同向；当 cosV。、/=1 时，与方反向：当 cosVo、b=0 时，aJ_.在空间直角坐标系中，已知点力（七,必，z j,B（x2.y2.z2）t AB=（X2 V2-yl,z2-zl）A、B 两点间的距离公式：d4B=J（x2-X）-+（必 ）+（Z-z?）阳+巧 乂+必Z|+Z210、角（1）、等角定理：如果个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个知相同。（2）、最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的用中最小的.公式：C O S。=C O S。C 0 S 2 ；（3）角的范围:、异面直线所成的角的范围：0。4工2两条直线所成的角的范围：0 -2两个向量所成的角的范围：o e 7 rT T、斜线与平面所成的角的范围：（）。4勺2直线与平面所成的角的范围：0 4 6 4工2、一面角的范围：04。4乃（4）、定义及求法:、异而宜线所成的角：已知两条异面宜线a、b,经过空间任一点。作a n,h/h,a 与b 所成的锐 角（或直角）叫做异而直线。与6所成的角（或夹角）.范 围：a s （0,1 .求 法 ：作平行线；求法二：（向量）两条宜线的方向向量的夹角的余弦的绝对值为两直线的央珀的余弦。、斜线和平面所成的角：一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角；斜线和平面不垂直，不平行。如果直线和平面平行或在平面内，则直线和平而所成的角是0的角。求 法 r 公式c o s。=c o s/c o s%：求法二:解直角三角形,斜线、斜线的射影、垂线构成直角三角形;求法三：向量法：已知P A 为平面a 的一条斜线，n 为平而a 的一个法向量，过 P作平而a 的垂线P O,连结OA则N P A O 为斜线P A 和平面a 所成的角为0,则IT -*sin 0=|sin(-)|=|cos|=|cos|=、二面角：从一条江线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，仃线叫二面角的棱:二面角的平面加：垂直于二面角的棱，且与两个半平面的交线所成的角。求 法 ：几何法：作二证三计算.利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角，再解直角三角形:求 法：向量法：二面角的两个半平面的法向量所成的角（或其补角）/m 和 in分别为平面a 和0 的法向此 记二面角a-/-的大小为仇/.OBAa则0=或 0 =不一 （依据两平面法向量的方向而定）I .%I总行 I COS。|=|COS|=-I 1 II 2若该一面角为锐一面角则0 =a r c c o s 三-I J I 2 I0 B若二面角。-/一万为钝二面角则6 =一 a r c c o sI /I J 11、距 离（满足最小值原理）f 於（1）、点到平面的距离：一点到它在平面内的正射影的距离；n 求法一：解围角三角形；求法二：等积法，利用体积相等：求法三：向量法：如图点p为平面外一点，点A为平面内的任一点，4-/平面的法向量为n,过点P作平面a 的垂线P O.记 P A 和平面a 所成的角为。，则点p 到平面的距离d=|尸 0 H P A s in O=P一 A-I P 4.I=上I n PA I（2）、贪线到平行平面的距离：直线上任一点到与它平行的平面的距离：求法：转化为点到平面的距离求。（3）,两个平行平面的距离:两个平行平面的共垂线段的长度：求法:转化为点到平面的距离来求.（4）、异面直线的距离：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分：（公垂线是唯一的，必须垂直相交