人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理专题测试试题（含答案解析）.pdf

人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理专题测试考试时间：9 0分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第I I卷（非选择题）两部分，满 分1 0 0分，考试时间9 0分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选 择 题30分）一、单 选 题（1 0小题，每小题3分，共计3 0分）1、已知一个直角三角形两直角边边长分别为6和8,则斜边边长为（）A.1()B.2百 C.1 5 D.1()或262、如图，有一个长、宽、高分别为多、%、那么最短的路径是（）%的长方体，现一只蚂蚁沿长方体表面从/点爬到6点,3、下列四组线段中，不可以构成直角三角形 的 是（）A.3,4,5B.2,3,4C.S，3,4 D.7,2 4,2 54、如图，长方体的底面边长分别为1 c m和3 c m,高为6 c m.如果用一根细线从点4开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要（）3 cmA.8 c mB.1 0 c m C.1 2 c m D.1 5 c m5、在平面直角坐标系中，已知点1（2,5）,点 8（1,1）,则线段4?的长度为（)A.2 B.3 C.4 D.56、如图，/?!加中，Z BAC=90 ,分别以/8 C 的 三 边 为 边 作 正 方 形 反 正 方 形 6。子,正方形AC HI,AI 交 C F 于点、J.三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，设四边形以泞的面积为S”四边形加 7的面积为S z,若 S i-S z=1 2,S 值=4,则正方形式7&的 面 积 为（）A.1 6 B.1 8 C.2 0 D.2 27、如图是由4个全等的直角三角形与1 个小正方形拼成的正方形图案.已知大正方形面积为2 5,小正方形面积为1,若用a、力表示直角三角形的两直角边（a 6）,则下列说法：且 2+=2 5,a 一尻1,a 左1 2,行乐7.正确的是（）A.B.C.D.8、要在数轴上作出表示丽的点，可以构造两条直角边长分别为（）的直角三角形.A.1,3 B.5,5 C.2,3 D.1,99、如图，在/比 中，已知B C=4,若 是 边5c的两个“黄金分割”点，则的面 积 为（）AB DE CA.1 0 -45/5 B.3A/5-5 C.D.2 0 -8 61 0、我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作 周髀算经中.汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅 弦图，后人称之为“赵爽弦图”.现在勾股定理的证明已经有40 0多种方法，下面的两个图形就是验证勾股定理的两种方法，在验证著名的勾股定理过程，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简 称 为“无字证明”.在验证过程中它体现的数学思想是（）C.分类思想D.统计思想第n 卷（非 选 择 题 70分）二、填 空 题（5 小题，每小题4 分，共计2 0 分）1、如图所示，?!阿中，NAC B=90 ,AB=1 3,BC=1 2,是N Q 1 6 的平分线，若 只 0 分 别 是 和力。上的动点，则 然=,3&的最小值是_ _ _ _ _ _ _.2、如图，四边形 A 8 O C 中，AC =BC,Z AC B=90,ADJ.3D于点 .若 BD=1,C D=4近，则线段A3的长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _3、如图，已知圆柱的底面圆周长为1 6 腐，高/6=6 c m,小虫在圆柱表面爬行，从。点爬到对面的力点，然后再沿另一面爬回C 点，则小虫爬行的最短路程是 cm.ABC4、?1 比的三条边长。、b、c 满足c =8,7 4+|。-6|=0,贝 必/比 直角三角形（填“是”或“不是”）5、把由5 个小正方形组成的十字形纸板（如图）剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形.最少只需要剪 刀.三、解 答 题（5 小题，每小题1 0 分，共计50 分）1、如图，在中，Z C=90 .（1）用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法：在边比 上求作一点，使得点到4?的距离等于力的长；（2）在（1）的条件下，若+|，1 2|+，/一 2 6 a +1 6 9=0,试 判 断 的 形 状.4、(1)如图 1,在 Rt z M BC和 Rt A4 庞 中，AB=AC,A D=A E,且点在况边上滑(点不与点8,C重合)，连接比：则线段式；D C,比 之 间 满 足 的 等 量 关 系 式 为；求证：曲+)=2 4 吠(2)如图 2,在四边形 1 6(力中，Z ABC=Z AC B=Z AD C=45.若 BD=1 3,C D=5,求/我5、生态兴则文明兴，生态衰则文明衰.“十三五”以来，青岛市坚持生态优先、绿色发展理念，持续改善生态环境.如图现有施工遗留的一处空地，计划改造成绿地公园，已知N/=90 ,AB=AD=342米，比=1 0 米，如=8米，已知每平方米的改造费用为2 0 0 元，请问改造该区域需要花费多少元？c-参考答案-一、单选题1、A【分析】己知两直角边边长分别为6和8,利用勾股定理求斜边即可.【详 解】解：一个直角三角形两直角边边长分别为6和8,斜 边 边 长=亚 行=10,.斜边 边 长 为10.故 选A.【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中明确直角边或斜边，直接应用勾股定理，如果条件不明确时那条边是斜边，要注意讨论.2、A【分 析】将图形分三种情况展开，利用勾股定理求出两种情况下斜边的长进行比较，其值最小者即为正确答案.【详解】解：如 图(1),AB=痴(血;如 图(2),AB=成+(/+为2=20=275()；如 图(3),AB=也+(2+)=3位(血,：3/2 2y5两点之间，线段最短，故A 3,的长即是细线最短的长度，R M A A 8 中，由勾股定理可知：A B -A A2+A B 2=#7?=Q cm-故所用细线最短需要1 0。.故选：B.【点睛】本题主要是考查了勾股定理求最短路径、两点之间线段最短以及立体图形的侧面展开图，因此，正确得到立体图形的侧面展开图，熟练运用勾股定理求边长，是解决此类问题的关键.5、D【分析】根据题意画出点A 8的位置，然后根据勾股定理计算即可.【详解】过点8作X轴的平行线B C,过点A作y轴的平行线AC,AC和BC交于点C,fiC=1-(-2)=3,AC=5-1=4,AB=AC2+BC2=5故选：D.【点睛】本题考查了平面直角坐标系中两点的距离，勾股定理，根据题意构建直角三角形，运用勾股定理解题是关键.6、C【分 析】设.B C=a,AC=b,A B=c,由正方形面积和三角形面积得S正方形闲厂S正 方 形,防=1 6,即#-斤=1 6,再由勾 股 定 理 得 才-杼=2,则c?=1 6,求 出c=4,然 后 求 出6=2,则才=4+2=2 0,即可求解.【详 解】解：设 比a,AC=b,AB=c,*.*S=S正 方 彩 BCK-S&ABC-S&M J,S=S 正方形/-SA 7，S-Si=S 正 方 彩 B C F G -SABC S&A C J-S 正方形 0。+5：7=S 正方形&W：-4-S 正方形2=16,；.c=4（负值已舍去），S、BC=y bc=2 b=4,b=2,.,.2=4+/=16+22=20,正 方 形6CFG的 面 积 为20,故选：C.【点睛】本题考查了勾股定理，设参数表示三角形的边长，根 据 已 知 条 件 求 得#-杼=16是解题的关键.7、D【分 析】由大的正方形的边长为C，结合勾股定理可判断，由小的正方形的边长为。-瓦结合小正方形的面积可判断，再利用2 _ 2而+下=1,结合/+从=2 5,可判断，再由/+2而+=2 5 +2 4,可判断，从而可得答案.【详解】解：由题意得：大正方形的边长为c，a2+h2=c2=2 5,故符合题意；用a、6表示直角三角形的两直角边(a 6),则小正方形的边长为：a-b,：.(a-h)2=l,则。-匕=1 (负值不合题意舍去)故符合题意；：(a-h)2=1,a2-2 ab+b2=1,而/+/=2 5,/.2 5 -lab=1,：.ab=2,故符合题意;a2+b2=2 5,a2+2 ab+b2=2 5+2 4,，(a +b)2=4 9,：.a+h=l(负值不合题意舍去)故符合题意；故选D【点睛】本题考查的是以勾股定理为背景的几何面积问题，同时考查了完全平方公式的应用，熟练的应用完全平方公式的变形求值是解本题的关键.8、A【分析】根据勾股定理可直接进行排除选项.【详解】解：由勾股定理可得：A、斜 边 长 为 彳 后=痴，故符合题意；B、斜 边 长 为 斤 两=5 0，故不符合题意；C、斜 边 长 为 历 卒=屈，故不符合题意；D、斜边长为炉仔 =屈，故不符合题意；故选A.【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.9、A【分析】过点力作力吐回于点尸，由题意易得3/=6 =2,再根据点。，E是边B C的两个黄金分割点，可得BE =C D =-B C =2 y/5-2,根据勾股定理可得4尸=逐，进而可得DE=2OE=4际-8,然后根据三2角形的面积计算公式进行求解.【详解】解：过点A作AF L8C 于点、F,如图所示:A，在 RtXAFB 中，AF=AB2-B F2=逐，.点,E是边B C 的两个黄金分割点，/.BE=CD=J -B C =245-2,2；EF=BE-BF=2必4,DF=CD-CF=2亚-4,：.DEF,：.DE=2DF=4y/5-S,：.5A A D f=1D M F =1（4 -8）X=1 0-4 5/5 ；故选：A【点睛】本题主要考查二次根式的运算、勾股定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握二次根式的运算、勾股定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键.1 0、B【分析】利用各类数学思想的概念及相关应用，进行判断分析即可.【详解】解：两个图都验证了勾股定理即：/+从=/的 成 立，故属于数形结合思想.故选：B.【点睛】本题主要是考查了数形结合思想在勾股定理的证明中的应用，明确数形结合思想的含义及其与勾股定理的证明的关系，是解决本题的关键，另外，数形结合思想还可用于函数与方程、不等式当中，后面学习一定要注意该思想的应用.二、填空题1 5 竺13【分析】(1)根据勾股定理即可求出/。的长度；(2)过点C作。匕 47交 居 于 点M,交 物 于 点P,过点P 作 PQL/C于 点Q,由 皿 是/胡 C的平分线.得 出&七 刊/,这 时 掰 有 最 小 值，即。/的长度，运用勾股定理求出/a再运用加欣=4/心。壮 AC BC,得出CV的值，即 A%B 的最小值.【详解】解：在以46。中，/AC B=9C ,AB=1 3,BC=1 2,AC =yjAB2-BC2=V132-122=5;如图，过点C作总工4?交火6 于点必 交 AD 于点、P,过点户作“力。于 点 0,c4是/胡C的平分线.：.P Q=P M,这 时 上 内 有 最 小 值，即。/的长度,AO 5,盼 1 2,Z AC B=9Q ,SZAA/.IDCr =-2 AB-CM=2-AC.BC,故答案为：5；弓.【点睛】本题考查勾股定理、轴对称中的最短路线问题，找 出 点 只0的位置是解题关键.2阮【分 析】过 点。作血8，交 劭 的 延 长 线 于,证 明 从a 、6四点共圆，求 出 N D C 打/C D 打45 ,得到C E=D I ,利用勾股定理求出比；即可得到答案.【详解】解：过 点C作 血 物，交 劭 的 延 长 线 于 ,V ACBC,ZACB=90。，A ZABOZCAB=45a,：ADBD,：./ADB=ZACB=90。,.从 a D、8 四点共圆,/.ZAD(=ZAB/52+42=741，AB=y/2BC=底,故答案为：y/S2.【点 睛】此题考查了四点共圆的证明，勾股定理，等腰直角三角形的判定及性质，能 正 确 证 得 儿a a 8四点共 圆，求出N8庐炉4 5 是解题的关键.3、20【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解.【详 解】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点4。的最短距离为线段4C的长.在位中，N=90,C D=AB=6cm,为底面半圆弧长，AD=8c/n,所以 A C=VCD2+AD2=10 cm,.从C点 爬 到1点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为247=20防，故答案为：20.【点睛】本题考查了平面展开塌短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答.4、不是【分析】根据二次根式有意义的条件以及绝对值的非负性，得 出 ，匕 的值，运用勾股定理逆定理验证即可.【详 解】解：V4+|&-6|=0,6/-4 =0,b 6=0 ,二.。=4,=6 ,则4?+6?=5 2 8 2,2 1 2 7 a +b w c-，./%不是直角三角形，故答案为：不是.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，勾股定理逆定理等知识点，根据题意得出“力的值是解本题的关键.5、2【分 析】利用使剪成的若干块能够拼成一个大正方形，结合图形得出即可.【详解】解：如图所示：由5个小正方形组成的十字形纸板（如 图1）剪 开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方 形，正方形的边长为：炉 了=石.最 少 只 需 剪2刀.故答案为：2.【点睛】此题主要考查了图形的剪拼，勾股定理及无理数的计算，结合利用勾股定理得到四边形四条边相等是解题关键.三、解答题1、（1）图见详解；（2）3.【分析】（1）根 据 题 意 作/为。的 平 分 线 交 比 于 根 据 角 平 分 线 的 性 质 得 到 点 满 足 条 件；（2）根 据 题 意 作/T/8于凡 先 根 据 勾 股 定 理 计 算 出 除8,再 根 据 角 平 分 线 性 质 得 到 叱/；通过证明 服 出 四/?大 /!皮得至1 力后力小6,则 用=4,设。x,贝九盼8-x,在 右 颇 中，利用勾股定理得到V+4红（8-x）2,解方程求出即可.【详解】(2)作反1/5于 区 如 上 图，在 放4 6 C中，5 6=7 1 02-62=8./为角平分线，J.D O D E,在 放?!切和/或 中AD=ADDC=DE：.R t/AC D R t/AE D (HL),：.AE=A(=,除月於4斤1 0-6=4设 CA x,则 D序x,贝ij BD=8-x,在 心 则 中，/+42=(8-x)之，解 得 尸3,C F 3.【点睛】本题考查作图-复杂作图以及全等三角形判定和角平分线定理、勾股定理，注意掌握复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.2、(1)5+D扣2D户；(2)C/DR=2D户,证明见解析【分析】(1)由已知得。宫=2。尸，连 接 CE B E,证明=尸得 龙，再证明ABZ汨为直角三角形，由勾股定理可得结论；(2)连 接 CE B E,证明ACDFABEF彳 寻C庐B E,再证明ABZ犯为直角三角形，由勾股定理可得结论.【详解】解：(1)CG+Dm=2DF证明：*：D2EF,/力 石=90,DF2+EF2=DE2DE2=2DF2连 接 6F,B E,如图/比是等腰直角三角形，尸为斜边4 6 的中点/.CF=BF,C F 1A B,EP ZCFB=90/.NFCB=4FBC=45,ZCFD+4DFB=90又 NDFB+NEFB=90：.ZCFD=ZEFB在 CTO和ABFE中CF=BF-NCFD=NBFEDF=EF：.CFD=NBFE，CD=BE,ZEBF=ZFCB=45NDBF+ZEBF=450+45=90:.DB-+BE2=DE2：CD=BE,DE2=2DF2：.C)+DE=2Df；(2)5+加=2刎证明：连接CF、BE,：(M F,DQEF又；N/q部 N*9=90。：.AD FO EFB:.X D F g X E F B：.CD=BE,/D C用4 EB六 135:/EBD=NEBF-/FBD=35-4 5 =90在 以 颂 中，B队D E;院：D E=2 D户：,而+D E=2 D户【点 青】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、证明三角形全等是解决问题的关键，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.3、直角三角形，理由见解析【分析】根据非负数的性质求得a、b、c的值，利用勾股定理的逆定理即可判断三角形/比 的形状.【详解】解：是直角三角形.理由：,*(C-5)2+b-2 +/2-26 0 +1 6 9 =0 ,(c-5)2+|b-1 2|+J(a-1 3)2=0,c-5 =0,b-n =0,a-1 3 =0,c-5,b-1 2,a =1 3,5?+1 2?=1 6 9 =1 3 2,c2+b2=a1,：.A A 8 C是以a为斜边的直角三角形；【点睛】本题考查了配方法的应用及非负数的性质和勾股定理的逆定理，解题的关键是利用非负数的性质确定三个未知数的值.4、(1)&BC=D C+E C；见解析；(2)7 2【分 析】(1)证 明 阮 屋 反 得 出 劭=，可 得BODC+BD=DC+EC；根据全等三角形的性质可得/A C&/B,得 到/上9 0 ,根据勾股定理计算即可；(2)作力 1 4 使力后4 9,连 接 应，D E,证 明 必 四 。七 得 到 劭=庐9,根据勾股定理计算即可.【详 解】(1)解：BC=DC+EC,理由如下：,：ZBAC=ZDAE=90,:.N B A S ZDAC=ADAE-ADAC,即/掰A N。色在 物 和 中，-AB=AC NBAD=NCAE,AD=AE:.MBA的XCAE(%S),：.BD=EC,：.BC=DC+BD=DC+EQ故答案为：BC=D&EC；证明：.Rt A 4 6 C 中，AB=AC,：.ZB=ZAC B=45,由(1)得，胡 四 。反：.BD=CE,ZAC B=ZB=45,A ZDCE=ZACB+ZACE=9Q,您+)=4,在 的/庞 中，戒+/4=&/,又 AD=AE,.加+5=2/必(2)解：如图2,过 1 作/质L 4?,使/=/，连 接 圆 DE,：.ZEDA=45,V ZABC=ZACB=45,：.ZBA(=ZDA90,：ABAC+A CAD=Z DAE+Z CAD,即N 胡Z?=N。瓦在刃。与O K 中，AB=AC-NBAD=ZCA,AD=AE劭四(%S),：.BD=CE=13,：ZADC=45,NEDA=45,:.NEDC=9Q,:,DE=yfcE2-CD2=V132-52=12,V ZDAE=9Q,:.A4+AE=Dk：AE=AD,：.AI=-DE2=72.2B 图2【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形的判定等知识；本题难度适中，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键.5、改造该区域需要花费6600元.【分 析】连 接3 D,利用勾股定理求出8。的长，再利用勾股定理的逆定理证明 的C=90。，从而解决问题.【详 解】解：如图，连 接30,在RtAABZ）中，由勾股定理得,BD =si AB2+AD2=（3 夜 了 +（3 扬?=6 （米），.BDZ+CD1=62+82=IOO,C B2=1 00,:.BD2+C D r=C B-,.-.Z B Z X 7 =9 O,SBIHIHM BCO=MHD+SAWJC=-X3 /2 x 3 /2 +x 6 x 8 =9 +2 4 =3 3 （平方米）,.2 00 x 3 3 =6 6 00（元），改造该区域需要花费6 6 00元.【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是作辅助线构造直角三角形.