数列的概念及简单表示法.pdf

第三章 数 列 3.1 数列的概念及简单表示法一.自主学习 一。基础自测i.下列对数列的理解有四种：数列可以看成个定义在N*（或它的有限子集 1,2,3,，n ）上的函数;数列的项数是有限的；数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；数列的通项公式是惟一的.答 案C其中说法正确的序号是()A.B.C.D.答 案C2.（2 0 0 9 河池模拟）设a.=-n2+10 n+l l,则数列 aj从首项到第儿项的和最大()A.10B.11 C.10 或 11D.12答 案C3.已知数列 品 的通项公式是a.=3-,那么这个数列是3/1+1()A.递增数列B.递减数列 C.摆动数列D.常数列答案 A4.己知数列 aj的通项公式是+为奇数），Qn=*；4 8 16 3 2(3)-1,3 13 13一 ,一 ,一 ,2 3 4 5 6(4)2,31 10 17 2 6 3 7 1，7 9 11 13(5)3,33,333,3 3 3 3,.解(1)各项减去1后为正偶数，所以a.=2n+L(2)每一项的分子比分母少1,而分母组成数列2,*2 2 所以2(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(-1)-；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1,偶数项为3,即奇数项为2-1,偶数项为2+1,所以 a产(-1)2+E.n也可写为a0.(n+l)2+l(n2+l)此数列为递增数列.例3(12分)己知数列瓜 的前n项和S。满足a0+2ss尸0(n22),a k L求品.2解 当n 2 2时，an=Sn-Sn-b S;Si+2SnSz=0,即=2,4 分/.数 列 是 公 差 为2的等差数列.6分又S产a，=2,2 5，=2+(n-1)-2=2n,5“8分.当 n2 时，a=-2SS t=-2 !2n 2(-1)2n(n-1)5 =1)(n2)12分知能迁移1.根据下面各数列前儿项的值，写出数列的个通项公式：小 2 4 6 8 10(1),一,3 15 35 63 991 9 25(2)2,8,2 2 2(3)5,55,555,5 555,55 5 5 5,(4)5,0,-5,0,5,0,-5,0,(5)1,3,7,15,3 1,-解(1)这是 个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解成1X3,3X5,5X7,7X9,9 X 1 1,，每 项都是两个相邻奇数的乘积，经过组合，则所求数列的通项公式_ 2nan-(2w-l)(2w+l)(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统成分数再观察：2,生，2 2 2 2 22可得通项公式an=.2 个(3)联想为:弓二1(TT,个 个则 a0=555=己(99-9)=-(10-1),9 9即 an=3(10-1).9(4)数列的各项都具有周期性，联想基本数列1,0,-1,0,则 an=5sin.2(5)V 1=2-1,3=22-1,7=2-1,a产2n-1故所求数列的通项公式为a产2*1.2.已知函数 f (x)=2 W,数列 a j满足 f (lo g2an)=-2n.(1)求数列W的通项公式；(2)求证：数列 a j是递减数列.解 V f(x)玄-2 f (lo g2an)=2,og2 册-2 一陶 =-2n,即 an_ -2n.%Aa+2n an-l=O.-2/i v4/2+4、八.一 I 2 q an-,乂 an 0，.an-vw+1 -n.2(2)证明 V an 0,J I =J i?+1-n,.+_ J(+1)2+1 5 +1)a,i J.2 +1-n_ J/+1+n 2,n N*都有at a2,a3.a,=n则a/a等于，()A.16B.9C.16答 案A3.数列T,1 ,15，的一个通项公式an是9A.(-1)2/7+1B（_）“也 坦n+1“当D E%答 案D4.卜.图是用同样规格的黑、的代数式表示）白两色正方形瓷砖铺设的若 图案，则按此规律第个图案中需用黑色瓷砖 块（用 含n（）l_A.4nD.4n+8答 案D5.（2009 咸阳模拟）已知数列a 的前n项和S.=n 2-9 n,第k项满足5 V a 4=3,an=Sn-Sr t-i=（2n，,-l）-（2n-l）=2n（n 2 2）,A an)的通项公式为a=32(2).o c10.已知数列 a j中,a,=l,前n项和为S.,对任意的n学2,38-4,a”2-吧包总成等差数列.2(1)求 a?、a.i a,的值；(2)求通项公式an.ac解(1)当n时，3S-4,a”2-成等差数列，23 2 a n=3Sn-4+2一己Sn r,Aan=3Sn-4(n2 2).2由 a)=l,得 a2=3(l+a2)-4,a2=；,a=3(1+g )-4,._ _ 1-o f,.1 3,、d _ 1 a?一 一，ai3 14-+ci.-4,3(.4 124?8(2)当 n 22 时，an=3Sn-4,A3Sn=an+4,.1 3 S=%+4 ，可得：3 a*a“La”3S+=册+411.在数列 a j中，a.=-,全=1-一(n2 2,n W),数列 a j的前n项和为S.2%i(1)求 证:a3=an;求 a2 w.(2)解 由(1)知数歹M a j的周期T=3,a1,1，a：i=2.又 二，a2 0 c s=a3X 669，i=a1=一.a?(o s .2 2 212.已知二次函数千(xWxax+a(xR)同时满足：不等式f (x)W 0的解集有且只有 个元素；在定义域内存在0 f(x j成立.设数列5 的前n项和S0=f(n).(1)求函数f(x)的表达式；(2)求数列 a j的通项公式.解(1)f(x)W O的解集有且只有一个元素，:.=a2-4a=0=a=0 或 a=4,当a=4时，函数f (x)=x?-4x+4在(0,2)上递减，故存在OVxiVxa,使得不等式f(X)f(X2)成立，当a=0时，函数千(x)=x?在(0,+8)上递增,故不存在0 f (x j成立，综上,得 a=4,f (x)=X2-4X+4.(2)由(1)可知 Sn=M 4n+4,当 n=l 口 寸，a.=Si=l,当 n22 时，a=&S尸(吊-4 3 4)-(n-l)2-4(n-l)+4 =2n-5,3.2等差数列及其前n项和自主学习。基础自测-2。8 广东理，2)记等差数列 的 前n项和为S.，若a4，S,=20,则除等于()A.16 B.24 C.36 D.48答 案D2.设 a。是等差数列，a,0,a3o oT+a2OOTO,a2o,a21M s0,则使S0成立的最大自然数n是A.4 013 B,4 014 C,4 015 D.4 016答 案B()3.(2008 全国I理，5)已知等差数列 a.满足a?+a,=4,au+aylO,则它的前10项的和为。等于A.138 B.135 C.95 D.23答 案c()4.已知两个等差数列 a。和 b的前n项利分别为4和B,且&=乂士竺，则使得&为整数的正整数n的个数是(B“+3 bA.2B.3C.4D.5答 案D)5.数列a,b,m,n和x,n,y,m均成等差数列，则 本一不”的值为(A.正实数 B.负实数 C.零 D.不确定答 案c)典例剖析一例1已知数列 a。满足a,=4,a.=4-一(n N 2),令b.=一.求证：数列 b.是等差数歹ij.an-an-2证明a.-2=2-=2伍-2)an a1 _-2+2 _ 1 +1%+1-2 2(aft-2)2(an-2)2 an-2an+i _ 2 an-2 2 L2二数列 b j是等差数列.例2在等差数列 a j中，(1)已知 a 15=33,ats=153,求 a”;已知 a=10,Ss=5,求 a*和 S*；(3)己知前3项和为1 2,前3项积为4 8,且d 0,求解(1)方法一 设首项为a,公差为d,依条件得a1.d力解.*.a(il=-23+(61-l)X 4=217.6 7 =-23,d=4.方法二 由 d=aa,得 d=4 5-q 5n-m45-15153-33 人-二 4：30由 an=am+(n-m)d,得 a6i=ais+16d=153+16 X 4=217.a+5d=10(2),&二10工二5,.)15dj+lOd=5解方程组得a尸-5,d二3,.*.a8=a6+2d=10+2X3=16,5a=8 X(%+0 8)=44.2(3)设数列的前三项分别为a-d,a,a+d,依题意有:(。一 d)+(a+d)=12(a 一4)。(。+d)=48a=4a=4a(a2-t/2)=48，d=2 d0,.d=2,a d=2.，首项为2.，a尸2.例3(1 2分)在等差数列 a.中，已知a,=20,前n项和为S”且S/S”，求当n取何值时，S.取得最大值，并求出它的最大值.解 方 法 一 ,.，a,=20,S,=S,5,.皿2。+等*1 5 X 2。+亨 d.34分 2=20+(n-1)X(-)=-n+.3 3 38分 a 13=0.即当 nW12 时,a”。,n714 时，a 2 +仇,_ 2d+Z?2 b、_ 3d a2-a】=-=-bi-.2 2 2综上，an-i-an=d(n N).2所以 即 是等差数列.2.(2009 成都市第一次调研)设 a)为等差数歹山S。为数列 a.的前n项和，已知$,=7,S,$=75,T.为 数 列 的 前n项和,求T”.解 设等差数列 a.的公差为d,则 Sn=nai+n(r)-l)d,2,*S?7,Sis=75,.J7q+21d=7 +105d=75即+7d=5 d=1-a)+(n-l)d-2+(n-l),n 2 2 S+i _ S”_ 1-，n+1 n 2二数列 乎 是等差数列,其首项为-2,公差为;,3.等差数列 a“中，a,0,S9=S12,该数列前多少项的和最小？解 由 条 件S产S”可得c 9x8J 2 x ll nn 19a+-d-12a1+-d,即 d a1.2 2 10由a,0,即数列 a j为递增数列.方 法 一 由卜=%+”华。,1-(n-l)0得(1 0，解得 lOW nW ll.1-n 0,从而前10项或前11项和最小.方法三 VS,=S,2,；.s0的图象所在抛物线的对称轴为x=2上工=10.5,2又nGN-,a.2,n 6 hT),b=又b,=1=-3 .所以，数列 b。是以-工为首项，以1为公差的等差数歹I.ci 2 2（2）解 由（1）知，b产贝2 bn 2n-70 7 7设函数f（x）=l+二 一，易知f（x）在区间（-8,，）和（峰，+8）内为减函数.2x-7 2 2所以，当n二3时，a”取得最小值T；当n=4时，a n取得最大值3.1 0.等差数列瓜 的奇数项的和为21 6,偶数项的和为1 9 2,首项为1,项数为奇数，求此数列的末项和通项公式.解 设等差数列 a的项数为2m+l,公差为d,则数列的中间项为a.奇数项有m+1项，偶数项有m项.依题意，有S sj=(m+l)a H=21 6 S偶 二m a m，尸1 9 2 +，得 竺 里=竺，解得,m=8,m 1 9 2，数列共有2m+l=1 7项，把m=8代入,得a =24,乂 a 1+a i 7=2a 9,a i 7=2a(-a i=4 7,土 d=.1 7-9 8an=l+(n-l)X =2 3n1 5(n e Nn l 7).8 81 1.设S n是等差数列 品 的前n项和，已知,S 3,的等比中项为S 5；-S3,S 的等差中项为1,3 4 5 3 4求数列 a j的通项公式.解 方法一 设等差数列匕。的首项a i=a,公差为d,则Sn=n a+d,依题意，有2/.a=l,d=0 或 a=4,d=.5.a,或a产必一旦5 5经检验，a 0二l和a产普 均合题意.，所求等差数列的通项公式为a n或a W”.方法二 因S。是等差数列的前n项和，易知数列是等差数列.依题意得区+之=2 x&3 5 4日,+停J解得$4 3=43,或 S 4$5 =5,_ 24-T8一 二,=-4.由此得 a-,SiS a=l 3 f S r1S|1,T 16 28或a尸 ,a5=-，55/.d 二0 或 d=-.5/.an=a t+(n-4)XO=1t .、xz/12、32 12或 a产a4+(n-4)X(-)=-n.5 5 5故所求等差数列的通项公式an=l或a产 等-弓n.12.已知公差大于零的等差数列 a的前n项和为S.,且满足：a：,a产117,包+a尸22.(1)求通项；(2)若数列 b j满足b n=2,是否存在非零实数C使得0 为等差数列？若存在，求出C的值：若不存在，请说明理由.n+c解(1)由等差数列的性质得，+a5=a+a产22,所以a,、a,是关于x的方程x2-22x+117=0的解，又公差大于零，所以 a.i 9,a1 13.易知 apl,d=4,故通项为 an=l+(n-l)X4=4n-3.由 知 S=(1+4/l-3)=2n-n,2所以b产 刍-=22一 n+c +c方法一 所 以 b)=,b尸,b：F(cWO).1 +c 2+c 3+c令 2b2=b1+b：“解得 c二 -.2当 c=-1 时 .二 2/广 了二2n,21n 2当 n22 时，bn-b-F2.故当c=-,时，数列(b为等差数列.2方 法 二 当n 2 2时，,2/22 n 2(n I)2(n-1)bC一bn-l=-n+c n-+c_ 2 2+(4 c-2),-3cn2+(2c-l)n+e(c-1)欲使 b j为等差数列，只需 4c-2-2(2c-1)且-3c=2c(c-l)(c W 0)解得 c-.2 3.3等比数列及其前n项和自主学习。基础自测1.（2008 海南、宁夏理，4）设等比数列 a.的公比q=2,前n项和为S”则反等于 2()A.2B.4c.”2D.1Z2答 案c2.等比数列 a。中,a产7,前3项之和S产2 1,则公比q的值为()A.1B.-2C.1或2D.-1 或 12答 案c3.如果T,a,b,c,-9成等比数列，那么()A.b=3,ac=9B.b=-3,ac=9C.b=3,ac=-9D.b=-3,ac=-9答 案B4.在等比数列 a j中，已知aa.a“=8,则a两等于()A.16 B.6C.12D.4答 案D5.（20 0 8 浙江理，6）已知 a“是等比数列,az=2,as；=,则 aa+aza3+anan”等于4()A.16 (1-4)B.16 (l-2 n)3 2C.(l-4-n)33 2D.(1-2)3答 案c典例剖析例1已知瓜 为等比数列,0 3=2,a2+a4=,求瓜 的通项公式.3解 方法一 设等比数列 aj的公比为q,则q W O,a_-。-3-_-2,at-_a 是等比数列；(2)设c尸 且 a=an-az(n 2 2),求k J的通项公式.(1)证明 由次+S尸1及a尸Si得a1二L2乂由 an+Sn=n 及 an.i+Sn.i-n+l 得a(van+an，i=l,.Zan.ka+l.*.2(an-i-l)-an-l,即 2bnu=bn.数列(bn)是以bi=al=-L为首项，2为公比的等比数列.2 解 方 法 一 由 知2碗产为+1.*2anan I-1-1 (n22),2an”-2aan-an i,2cn ,-On (n 2).3又 Ci=a尸一，a2+a1+a2=2,I.a?二 一.2 4._ 3 _ 1 _ I ljn _ 1 C2-,即 C2-Cl.4 2 4 2.数列 c是首 项 为 公 比 为L的等比数列.2 26分8分10分12分方法二 由(1)b=(-l)-(1)-=-(1).2 2 2an=-(-)n+l.2 C L(；)+1 -出 1=小210分又c尸也适合上式，.12分例3在等比数列匕力中，ai+a2+a3+ai+a；,=8且工=2,求a?.a2 a3 a4 a5解 方 法 一 设公比为q,显然qWl,aj是等比数列，.,也是等比数列，公比为an J q由已知条件得。1(1 -/)-oi-q(1-!-)，解得 a；q、4：_ _ J?1-q=2.方 法 二 由已知得:勺 +5 +。2+。4 +3W54 2a4 al“1 +g+3 +。4 +4 5 _ 8 _9密 于.Aa 3=4.a产 2.例4某林场有荒山3 250亩，每年春季在荒山上植树造林，第 年植树100亩，计划每年比上年多植树50亩（全部成活）（1）问需要儿年，可将此山全部绿化完？（2）已知新种树苗每亩的木材量是2立方米，树木每年自然增长率为10乳 设荒山全部绿化后的年底的木材总量为S.求S约为多少万立方米？（精确到0.1）解（1）每年植树的亩数构成一个以2=100,d=50的等差数列，其和即为荒山的总亩数.设需要n年可将此山全部绿化，则Sn=a,n+-（n-l）d=100n4-X50=3 250.2 2解此方程，得n=10（年）.（2）第一年种植的树在第10年后的木材量为2a1（1+0.1）10,第二年种植的树在第10年后的木材量为材2（1+0.1）9,第10年种植的树在年底的木材量为2a10（l+0.1）,第10年后的木材量依次构成数列,则其和为T=bi+ba+f+bi。=200X1.l,o+3OOXl.r+-+l 100X1.1-1.0 （万立方米）.答 需要10年可将此山全部绿化，10年后木材总量约为L 0万立方米.,*知能迁移一1.已知等比数列 aj中，a3=，S3=4,，求a1.2 2Q 1解 当 q=l 时，a尸a?二a?=二，满足 S3=4 一 ,2 22 3=7当q#l时，依题意有 3，-Tq-2解得q=,ai=6.综上可得：a1=2或a1=6.4 22.设数列 a j是等差数列,a5=6.(1)当 时3时,请在数列 a j中找项a,使得a-.成等比数列;(2)当a：?=2时，若自然数n】,巾,，人,(te N*)满足5Vm V n 2V 使得a：%a$,旬，即，。%，是等比数歹U,求数列 n J的通项公式.解(1)设匕力的公差为d,则由a-an+2d,得 d=3,由 a.a;l=aj,2 23即 3 3+(m 一3)x =62,解得 m=9._ 2_即a：“a5,a成等比数列.(2)一：尸2,as=6,d=2,2当 n 25 时,a=a5+(n-5)d=2n-4,又a3,a5,旬，册，at,成等比数列，则 q=3,an=a5 3 t=l,2,3,.。3 2%又 an=2 nf-4j.2 nf-4=a5 3t=6 3：.2n=2 3*44.即,=3t+,+2,t=l,2,3,-.3.(1)在等比数列 a j 中，a,+a2=324,a3+a.=36,求 a、+a6 的值；(2)在等比数列在 中,己知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a$的值.解(1)由等比数歹U的性质知，ai+aas+aas+a。也成等比数歹l j,则(aa+ayn Qi+az)(as+au).a：+a6=4.(2)a3a$二a as an as=a 彳 8,a2,又,*aaFa3a5=a 4,a2a：而 总6二a j 32.4.为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2006年底，将当地沙漠绿化了 40乐 从2007年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%乂被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%?(可参考数据lg2=0.3,最后结果精确到整数).解 设该地区总面积为1,2006年底绿化面积为a尸士，经过n年后绿洲面积为金“，设2006年底沙漠面积为b”经过n5年后沙漠面积为b e,则ai+bi=L an+bft=l.依题意a.由两部分组成：一部分是原有绿洲a.减去被侵蚀的部分8%a的剩余面积9 2%a,另一部分是新绿化的12%以,所以4 3 4 4 3an-i-92%,an+12%(l-an)-an+,即 an-i-(an_),5 25 5 5 5%-3 是以-g为首项,之为公比的等比数列,.aQ 50%,-SH Y.lo g5421 =-l-31。ig2_2=3则当n/4时，不 等 式。V g恒成立.所以至少需要4年才能使绿化面积超过50%.-活 页 作 业 一一、选择题1.（2008 福建理，3）设 a j是公比为正数的等比数列，若a F l,a$=16,则数列瓜 的 前 一 7项的和为（）A.63B.64C.127答 案C2.若数列 a j的前n项和S.=3”-a,数列 a j为等比数列，则实数a的值是A.3B,1C.0答 案B3.设a,a“a“a.成等比数列，其公比为2,则学 十”的值为2。3+。4D.128()D.-1()A.-B.-4 2C.-D.18答 案A4.等比数列 a j前n项的积为L,若aaai8是一个确定的常数，那 么 数 列T,3,T17,T25中也是常数的项是（)A.Tio B.Tj3C.Ti?D.T25答 案c5.已知等比数列 a。的前n项和为S=x 3 -，则x的值为6()A.1B.-c.D.3322答 案C6.（2008 安庆模拟）已知等比数列 a.中，a,+a尸30,a：,+a,=120,则as+a6等于()A.240 B.240C.480D.480答 案c二、填空题7.（2009 广西河池市模拟）一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的2倍，它的首项为1,且中间两项的和为2 4,则 此 等 比 数 列 的 公 比 为,项数为.答 案2 88.（2008 安庆模拟）设等比数列瓜 的前n项和为S.,S,=l,S8=1 7,则通项a.=.答案-L 2 1或-5(-2)三、解答题9.数列 a j的前n项和为S n,且S产一(an-l).3(1)求 a，a;(2)证明:数列 a j是等比数列;(3)求a及Sn.(1)解 ai Si 3i=.32又 a【+a2=S?二 一(a2-1),；a2二 一.3 4(2)证明 VSn=-(an-l),3/.StF (ani-l),两式相减，31(导 an-1 an-i an,即 an-i an,3 3 2 数列 劣 是 首 项 为-公 比 为-的等比数歹U.2 2(3)解 由(2)得加二-工(-1)(-1)；2 2 210.数列 a j中，a尸2,a2=3,且匕a.是以3为公比的等比数列，记b产a*i+a2 n (nGN*).求 a：l,ab a5,的值；(2)求证：b j是等比数列.(1)解 括冏/是公比为3的等比数列，/.anSn-Fav 31=2 3%(2)证 明 a a，J是公比为3的等比数列，an8n*l=3an-ian,即 3n*l=3an 1 .*.ai,a：；,a5,*,a2n-i,与a2,a.”a ,a%,都是公比为3的等比数列.a派 尸2 3f t l,a2n=3-31,，b n=a 2 n-l+a 2n=5 3 01.L=2 2 L=3,故 b.是以5为首项，3为公比的等比数列.b 5.3-111.设数列 a j的前n项和为S n,且(3-m)Sn+2man=m+3(n N*),其中m为常数,且mW-3,mWO.(1)求证：a。是等比数列；(2)若数列瓜 的公比q=f(m),数列 b j满足J(n0N,n 2 2),求证：为等差数列，并求b证明(1)由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)Sni+2man.Fm+3,两式相减，得(3+m)anti=2man,m-3,2=*L W0 (n 2 1).品 是等比数歹U.an m+3(2)f a(3-m)Si+2mal=m+3,解th ai=l,/.b i=l.q二f(m)二 上L,n W N 且 n 2 2 时，ni+3A=2 f (b-)二-2 224ibn-+3bnbn l+3bn 3bn 1 ,推出 -.耳 力”-1 3是以1为首项、I为公差的等差数列.12.(2008 四川文，2 1)设数列 a的前n项和S=2a-2n.求a：得 a,=s+r.所以 a2=S,+22=2+22=6,S2=8,a,=S2+2:,=8+2:,=16,S3=24,a,=S：1+2=40.(2)证 明 由题设和式知a,-2a=(S+2nH)-(S+2n)=2n，-2=2n,所以 a”“-2 a j是首项为2,公比为2的等比数列.解 an=(an-2an i)+2(a 2ani)+*,+22(a2_2ai)+2 a,=(n+1)2 3.4数列的通项公式及求和自主学习。基础自测1.如果数列瓜 满足ai,aai,aa2,a c i,是首项为1,公比为3的等比数列，则等于)4 3+1A.-2答 案CD3”+3D.-2C 3-1V.-22.数列1 L 3 L 5 L 7 ,，(2 n-l)+，的前n项和S0的值等于2 4 8 16 2)A.n2+-2C.+o IB.-n+1-22 1D.n 一 +1-2答 案A3.(2008 武汉模拟)如果数列(a j满足a,=2,a2=l且(n 2 2),则此数列的第10项 为(anan-册即+1A.rjr B.C.D.210 29 10 5答 案D4.设函数f (x)=x+ax的导数为广(x)=2 x+l,则数列!_ (n e f T)的前n项和是(/(n)A.3 C._ D.ln+1n 4-1 n-1 n答 案A5.(2009温州调研)设 a j是首项为1的正项数列，且(n+l)a 3 -na+ania-O(n=l,2,3,).则它的通项公式是a产答 案-n典例剖析2n+i-a例1己知数列 a j满足五尸 笃_,a尸2,求数列 a 的通项公式.%+2用解 已知递推式可化为上=二,%+1%2n+,._1_ J_=J _ J_ J _=_l_ _1_ J_ =J _a2 i 22 3 a2 23 4 a3 241 1 _ 1an an-2 将以上(n T)个式子相加得1 1 1 1,1,Ia i 22 23 24 2 2例 2 求和：Sn=+-.a a2 a3 a解 a=l 时，S“=l+2+n=“2(2)a X l 时，S=l+-+4-+-+a a2 a3 aL s=+A +.+a a2 a3n-1 n-+-a an+l由-得+a _”.e _ a(a L 尸 1)2-a(a -)-n(a-1)-n-5-(Dan(a-I)2例3 (1 2分)已知数列 a.中，a产1,当n2 2时,(1)求S0的表达式；(2)设 4=且 一，求 b j的前n项和T”.2n+1解(1);S公a(s“-g),a=S-S-,(n 2),.,.S;=(S-S,)“-g)，即 2S,S=S由题意S-SJO,式两边同除以S,S,得 _-_=2,S.S“_I数列是首项为=i,S,J S|U|公差为2的等差数列.=1+2(n-1)=2n-l,S 2n-l(2)又 b”=S=-!-2/1 +1 (2 -1)(2 +1)=l f _!_LJ2(2般-1 2n +l；其前n项和Sc满足S；)=an(Sn-).2 3分4分6分8分1 2分 知 能 迁 移 一 1.(2008 江西理，5)在数列(a j中，a,=2,产a.+l n 1+;),则品等于A.2+l n nB.2+(n-1)I n nC.2+n l n nD.1+n+l n n答 案A)2.(2008 全国 I 文，1 9)在数列瓜 中,a.=l,an H=2an+2n.(1)设b产&.证 明:数 列 b.是等差数列;2-1 2.(2)令 b j ,贝Ijb，=一=-.a,a2 12当n-2时,bn=-二 2n-2(n+1)4所以Tn=ba+bn=二(二一二+2_+4 2 3 3 4n n+1 8(+1)所以127?18(+1)5n-24 5+1)(nN*).活页作业一 一、选择题1.(20 0 9 成都市第一次诊断性检测)已知等差数列 a.的前n项和为S.(n e M),且&=-3,S,=7那么公差d等 于()A.1B.2C.3D.4答 案A2.数列 aj的通项公式a”二 ,yin+1若前n项的和为1 0,则项数为A.11答 案CB.9 9C.120()D.1213 .数列 a.的前n 项和为S.,若 a 产 一 J-则Ss等于()n(n+1)A.1B.-C.-D.6 6 3 0答 案 B4.数列1,1+2,1+2+4,，1+2+货+2，的前n 项和S 1 020,那么n的最小值是()A.7 B.8 C.9 D.1 0答 案 D5.已知某数列前2n 项和为(2n)且前n 个偶数项的和为n*2(4n+3),则它的前n 个奇数项的和为()/.S=n+1 (1-1+1-1 +1 12 3 3 5 5 7A.一 3 n 2 (n+1)B.n2(4n-3)C.-3 n 2D.1 n32答 案 B6.1-4+9-1 6+(T)n 吊等于)A+1)B _+D.2 C.(-1 广,5 +1)D.以上答案均不对2答 案 C二、填空题7.(2008 厦门模拟)已知数列 a j+,a 1=20,an i=an+2n-l,n W”,则数列(a 4的通项公式a n 二.答案 n2-2n+21n=1n 28.(2008 大连模 拟)若数歹ll a。满足 a,+3 a?+3%,+3 2。=(n d N),则 a=.32答 案:.3 三、解答题9.S.是数列 a。的前n 项和，a 产 一 电-求 S”.(2n -1)(2”+1)解 七.(2-_(2”)2-1 +1(2n -l)(2n +1)(2n-l)(2n +l)=1+-(2n-l)(2w +l)12/z-lIn+1-n+21-高二 n+2“2+2”In+1 2n+11 0.(2008 江西文，1 9)等差数列 a j的各项均为正数，a 尸 3，前 n 项和为S0,，为等比数列,b l,b2S2=64,b3S3=960.(1)求 a”与况;求 J-+L+J-.Si 52 S.解(1)设 a j的公差为d、b j的公比为q,则d为正数,an=3+(n-l)d,b0=qj依题意有S 2b2=(6+d)q=64,S33=(9+3)g2=960,解得或1。=8,6d，40(舍去).an=3+2(n-l)=2n+l,bn=8n l.(2)S5 3+5+(2n+l)=n(n+2),r r r l1 1 1S S2 S1x3 2x4 3x5(+2)=一123 2-4 +3-5 +n n+23=211+1-2n+32 n+n+24 2(+1)(+2)11.设数列瓜 的前n项和S R r?,版 为等比数列，且a尸b”b(a9-aD=bi.(1)求数列 品 和 的通项公式;设a=9，求数列 g 的前n项和L.bn解(1)由于 Sn=2n；.5=1 时,a尸S二2；n 2 时，an-Sn-Sn-i-2n-2(n-l)J-4n-2,当n=l时也适合.an=4n2,.bi=ai=2,b2(6-2)=bi=2,b产L2b,1 ._Q(1 n-l.bn=2 .a 4(2)c=-=(2 n-l)-r,*AT=l+3 4+5 4+(2 n-l)-4n-1,/.4L=4+3 42+(2n-3)-4nH+(2 n-l)-4n,A-3L=l+2 4+2 42+2 4n-(2 n-l)-4n=1+2 4-4H1-4(2 n-l)-4n5-6 .n 5._ 5 5-6M.N-4,.Tn=-4.339 912.数列 an的前 n 项和为 Sn,a.=l,a32Sn(nN*).(1)求数列瓜 的通项a.;(2)求数列 n数的前n项和T.解(1),.,a,=2S,AS,.-S=2Sn 毡=3.S”乂TS产ai=l,.数列 是首项为1、公比为3的等比数列,S0=3T(neN).当 n02 时，a=2S-,=2 3 4 n2),1,n=1,2-3-2,n2.(2)兀=a1+2a2+3aj+也.当 n=l 时,L=l;当n 3 2时，+2n 3)3T=3+4 3+6 32+2n 3,-得：-2T=-2+4+2(3+32+-+3 2)-2n 31=2+2 3 d _2n.311-3=-l+(l-2n)3叫.=；+1-9 3n,(n2).又,.=a,=l 也满足上式，.T.=+3”T(n-L)(nEN,).2 2 3.5 数列的综合应用一 自主学习 一。基础自测1.农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2003年该地区农民人均收入为3 150元（其中工资性收入为1 800元，其他收入为1 350元），预计该地区自2004年起的5年 内（包括2004年），农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元.根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（）A.4 200 元4 400 元 B.4 400 元4 600 元C.4 600 元4 800 元 D.4 800 元5 000 元答 案B2.（2009 广西河池模拟）设 f（n）=2+2+2,+2孤（n d N）,则 f（n）等于（）A.-（8-1）B.-（8 T）C.-（8*2-1）D.-（8-1）7 7 7 7答案 B3.若互不相等的实数a,b,c成等差数列，c,a,b成等比数列，且a+3b+c=10,则a的值为（）A.4 B.2 C.-2 D.-4答 案D4.设等比数列瓜 的公比为q,前n项和为S。，若S“,S.,S.z成等差数列，则公比（）A.q=-2 B.q=l C.q=-2 或 q=l D,q=2 或 q=T答 案A5.（2009 新郑模拟）某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律，6小时后细胞存活的个数是（）A.63 B.65 C.67 D.71答 案B典例剖析一例 1 数列 a j 的前 n 项和记为 S。,a,=l,a.,=2S+l（n l）.（1）求 a.的通项公式；（2）等差数列 b j的各项为正,其前n项和为T“，且工,=1 5,又+*郎+瓯即+及成等比数列,求T.解(1)由 aa=2S“+l,可得 a.=2S.,+l(n2),两式相减得 an4 an=2an,an i 3an(n22).又 a2=2Si+l=3,/.a2=3ai.故 a j是首项为1,公比为3的等比数列，a产3。(2)设 b j的公差为d,由 TF15,b】+bz+b3=15,可得 b2=5,故可设 bi=5-d,b3=5+d,又 ai 1,82=3,a：?9,由题意可得(5-d+l)(5+d+9)=(5+3)，解得 dj 2,dz=10.等差数列 b j的各项为正，d 0,：.d=2,b,=3,，T.=3n+(T)X2=n2+2n.2例2(12分)已 知f(x)=lo g.x(a 0且a#l),设f (a),f (a),f (a.)(n e N)是首项为4,公差为2的等差数列.(1)设a为常数，求证：a j成等比数列；(2)若b.=a.f(a.),b j的前n项和是S.,当a=时，求S.(1)证明 f (an)=4+(n-1)X 2=2n+2,即 logan=2n+2,可得 an=a2n+2.a 2+2 2+2 =7777=-5-a2(n 2 2)为定值.册T /(1)+2 。2 瓜 为等比数列.(2)解 bn-anf (an)=a?210g总 (2n+2)a2nt2.当 a=V?时，b=(2n+2)(V2)2n，2=(n+l)2,*2.S=2 2+3 2+4 2s+-+(n+l)2”2分5分7分2S=2 2+3 25+4 2*+-+n 2n，2+(n+l)2,3-得-S=2 2斗2+2+2J(n+l)2 6+笔+叱=16+2n，a-2-n-2-23=-n 2*./.S=n 2g.12分例3假设某市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8$.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2008年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于