江苏省无锡市藕塘2021-2022学年中考数学模试卷含解析及点睛.pdf

2021-2022中考数学模拟试卷考生请注意：1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选 择 题（共 10小题，每小题3 分，共 30分）1.在。2口 4“口 4 的空格口中，任意填上“+”或 在 所 有 得 到 的 代 数 式 中，能构成完全平方式的概率是（）2.一个多边形的每个内角均为120,则这个多边形是（）A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形4.如图，在 RtAABC中，NC=9（T,B E平分NABC,ED垂直平分AB于 D,若 A C=9,则 A E的 值 是（）A.673 B.C.6 D.45.如图，直 线 小 6、A表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）h6.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若 AB=2,则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）A.乃+百 B.兀 一 也 C.2兀 一 6 D.2兀 一2下）7.如图所示是由几个完全相同的小正方体组成的几何体的三视图.若小正方体的体积是1,则这个几何体的体积为俯视图A.2 B.3 C.4 D.58.如图，在A A 8C 中，ZACB=90,NA=30。，B C=4,以点C为圆心，CB长为半径作弧，交 AB于点。；再分别以点 B 和点。为圆心，大于,8。的长为半径作弧，两弧相交于点E,作射线CE交 4 8 于点F,则 4 尸的长为（）2C.7D.89.下列各数：1.414,加 ,-0,其中是无理数的为（）A.1.414 B.7 2 C.-D.021 0.在围棋盒中有x 颗白色棋子和y 颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是如再往盒中放进3 颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为上,则原来盒里有白色棋子（）4A.1 颗 B.2 颗 C.3 颗 D.4 颗二、填 空 题（本大题共6 个小题，每小题3 分，共 18分）11.我国明代数学家程大位的名著 直指算法统宗里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有 100个和尚分100个馒头，如果大和尚一人分3 个，小和尚3 人 分 1 个，正好分完，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有二，二人，则可以列方程组.12.如图，在平面直角坐标系中，二次函数丫=2*2+（aO）的图象过正方形ABOC的三个顶点A,B,C,则 a c的值13.如图，在矩形ABCD中，A D=3,将矩形ABCD绕点A 逆时针旋转，得至U 矩形A E FG,点 B 的对应点E 落在CD上，且 D E=EF,则 A B的长为.B C14.已知边长为2 的正六边形ABCDEF在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 B 在原点，把正六边形ABCDEF沿x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60。，经过2018次翻转之后，点 B 的坐标是.15.方程x=,3 +2 x 的根是.16.一辆汽车在坡度为1:2.4的斜坡上向上行驶130米，那么这辆汽车的高度上升了 米.三、解 答 题（共 8 题，共 72分）17.(8 分)已知矩形A5CD的一条边4 0=8,将矩形ABC。折叠，使得顶点8 落 在 CO边上的尸点处.如图，已知折痕与边8 c 交于点。，连接A尸、O P、0A.(1)求证:0 CPDOPAP(2)若 OCP与 PDA的面积比为1：4,求边A S 的长.18.(8 分)如 图，AB是。O 的直径，弦 CD_LAB,垂足为H,连结A C,过 BO 上一点E 作 EGAC交 CD的延长线于点G,连结AE交 CD于点F,且 EG=FG,连 结 CE.(1)求证：ZG=ZCEF；(2)求证：EG是。O 的切线;3(3)延长AB交 G E的延长线于点M,若 tanG=,AH=3百，求 EM 的值.419.(8 分)如 图，菱形ABCD中，已知NBAD=120。，NEGF=60。,NEGF的顶点G 在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC、CD于 E、F.(1)如图甲，当顶点G 运动到与点A 重合时，求证：EC+CF=BC；(2)知识探究：如图乙，当顶点G 运动到A C 的中点时，请直接写出线段EC、CF与 B C 的数量关系(不需要写出证明过程);如图丙，在顶点G 运动的过程中，若 三=/，探究线段EC、CF与 BC 的数量关系；GC(3)问题解决：如图丙，已知菱形的边长为8,BG=7,C F=|,当f 2 时，求 EC 的长度.A/G)AC图甲c图乙/c图丙20.（8 分）直角三角形ABC中，/B A C =90。，D 是斜边BC上一点，且 AB=A D,过点C 作 C E _ L A D,交 AD的延长线于点E,交 AB延长线于点F.（1）求证：NACB=/D C E；若/B A D =45，AF=2+夜，过点B 作 BG _LFC于点G,连接DG.依题意补全图形，并求四边形ABGD的面积.21.（8 分）先化简，再求值:x-1 xx2+2x x+1,其中X满足2一%一1=0.22.（10分）如图，AB是。O 的直径，弧 CDJ_AB,垂足为H,P 为弧AD上一点，连接PA、PB,PB交 CD于 E.（1）如 图（1）连接 PC、C B,求证：ZBCP=ZPED；（2）如 图（2）过点P 作O O 的切线交CD的延长线于点E,过点A 向 PF引垂线，垂足为G,求证：Z A P G=-Z F；2（3）如 图（3）在 图（2）的条件下，连 接 P H,若 PH=PF,3PF=5PG,BE=26，求。O 的直径AB.C HB图 3)B图（2）HLB图（3）E/DF23.（12 分）如图，在 ABC 中，AB=AC,点 P、D 分另lj是 BC、AC 边上的点，且NAPD=NB,求证：AC*CD=CP-BP；若 AB=10,B C=12,当 PDAB 时，求 BP 的长.2 4.为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按A,B,C三类分别装袋，投放，其中A 类指废电池，过期药品等有毒垃圾,B 类指剩余食品等厨余垃圾，C 类指塑料，废纸等可回收垃圾.甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，这两袋垃圾不同类.直接写出甲投放的垃圾恰好是A 类的概率；（2）求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率.参考答案一、选 择 题（共 10小题，每小题3 分，共 30分）1、B【解析】试题解析：能够凑成完全平方公式，则 4a前 可 是 也 可 以 是“+”，但 4 前面的符号一定是：“+”，此题总共有（-,-）、（+,+）、（+,-）、（-,+）四种情况，能构成完全平方公式的有2 种，所以概率是g故选B.考点：1.概率公式；2.完全平方式.2、C【解析】由题意得，180（n-2）=120XM,解得”=6.故选C.3、C【解析】根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解.【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误.故选c.【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋 转 180度后两部分重合.4、C【解析】由角平分线的定义得到NCBE=NABE,再根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB,贝!|/A=N A B E,可得ZCBE=30,根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE=2EC,即 AE=2EC,由 AE+EC=AC=9,即可求出AC.【详解】解：BE平分NABC,.ZCBE=ZABE,VED垂直平分AB于 D,，EA=EB,/.ZA=ZABE,ZCBE=30,；.BE=2EC,即 AE=2EC,而 AE+EC=AC=9,/.AE=1.故选C.5、D【解析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点.把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求.【详解】满足条件的有：(1)三角形两个内角平分线的交点，共一处；(2)三个外角两两平分线的交点，共三处.如图所示，h4故选D.【点睛】本题考查了角平分线的性质；这是一道生活联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，不要漏解.6、D【解析】【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可.【详解】过 A 作 AD_LBC于 D,VAABC是等边三角形，:.AB=AC=BC=2,ZBAC=ZABC=ZACB=60,VADBC,；.BD=CD=1,A D=g B D=&,.ABC的面积为LBOADX2X百=6,2 20 60万x22 2b扇 形BAC=-=一万，360 32莱洛三角形的面积S=3x-2x 73=2n-2 73,故 选 D.【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键.7、C【解析】根据左视图发现最右上角共有2 个小立方体，综合以上，可以发现一共有4 个立方体，主视图和左视图都是上下两行，所以这个几何体共由上下两层小正方体组成，俯视图有3 个小正方形，所以下面一层共有3 个小正方体，结合主视图和左视图的形状可知上面一层只有最左边有个小正方体，故这个几何体由4 个小正方体组成，其体积是4.故选C.【点睛】错因分析容易题，失分原因：未掌握通过三视图还原几何体的方法.8、B【解析】试题分析：连接 CD,.在AABC 中，ZACB=90,NA=30。，BC=4,.,.AB=2BC=1.,作法可知BC=CD=4,CE是线段BD的垂直平分线，CD是斜边A B的中线，BD=AD=4,；.BF=DF=2,:.AF=AD+DF=4+2=2.故选 B.考点：作图一基本作图；含 30度角的直角三角形.9、B【解析】试题分析：根据无理数的定义可得应是无理数.故答案选B.考点：无理数的定义.10、B【解析】x _ 2x+y 5试题解析：由题意得 ,x 1x+y+3 4解得：x=2尸3故 选B.二、填 空 题(本 大 题 共6个小题，每 小 题3分，共18分)11、卜 匚+仁=，。、口 +2=/00【解析】根 据100个 和 尚 分100个馒头，正好分完.大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚的人数+小和尚的人数=100,大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数=1()0,依此列出方程组即可.【详解】设大和尚x人，小和尚y人，由题意可得E+=1003 匚 +：二=1003故答案为，0+=1003D+n=100【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键以和尚数和馒头数作为等量关系列出方程组.12、-1.【解析】设正方形的对角线OA长 为I m,根据正方形的性质则可得出B、C坐标，代入二次函数y=ax1+c中，即可求出a和c,从而求积.【详解】设正方形的对角线OA长 为1 m,则B(-m,m),C(m,m),A(0,Im)；把A,C的坐标代入解析式可得：c=lm，ami+c=m，代入得：ami+lm=m,解得：a=-,mn l1贝!I ac=-xm考点：二次函数综合题.13、3 夜【解析】【分析】根据旋转的性质知AB=AE,在直角三角形ADE中根据勾股定理求得AE长即可得.【详解】.四边形ABCD是矩形，.ND=90。，BC=AD=3,.将矩形ABCD绕点A 逆时针旋转得到矩形AEFG,.,.EF=BC=3,AE=AB,VDE=EF,，AD=DE=3,:，AE=yjAD2+DE2=3 7 2，*AB=3 yjQ,t故答案为3 夜.【点睛】本题考查矩形的性质和旋转的性质，熟知旋转前后哪些线段是相等的是解题的关键.14、(4 0 3 3,6)【解析】根据正六边形的特点，每 6 次翻转为一个循环组循环，用 2018除以6,根据商和余数的情况确定出点B 的位置，经过第 2017次翻转之后，点 B 的位置不变，仍在x 轴上，由 A(-2,0),可得AB=2,即可求得点B 离原点的距离为4032,所以经过2017次翻转之后，点 B 的坐标是(4032,(),经过2018次翻转之后，点 B 在 IV位置(如图所示)，则4 BB，C为等边三角形，可求得BN=NC=L B，N=G，由此即可求得经过2018次翻转之后点B 的坐标.然后求出翻转前进的距离，过 点 C 作 CG_Lx于 G,求出NCBG=60。，然后求出CG、B G,再求出O G,然后写出点C 的坐标即可.【详解】设 2018次翻转之后，在 B，点位置，,正六边形ABCDEF沿 x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60。，每 6 次翻转为一个循环组，V 2018+6=336 余 2,经过2016次翻转为第336个循环，点 B 在初始状态时的位置，而第2017次翻转之后，点 B 的位置不变，仍在x 轴上，VA(-2,0),，AB=2,.点B 离原点的距离=2x2016=4032,经 过 2017次翻转之后，点 B 的坐标是（4032,0）,经 过 2018次翻转之后，点 B 在 B，位置，则 BB，C 为等边三角形,此时 BN=NC=1,B A N G，故经过2018次翻转之后，点 B 的坐标是：（4 0 3 3,下）.故答案为（4033,6）.【点睛】本题考查的是正多边形和圆，涉及到坐标与图形变化-旋转，正六边形的性质，确定出最后点B 所在的位置是解题的关键.15、x=2【解析】分析：解此方程首先要把它化为我们熟悉的方程（一元二次方程），解新方程，检验是否符合题意，即可求得原方程的解.详解：据题意得：2+2x=x2,Ax2-2x-2=0,:.（x-2）（x+1）=0,Axi=2,X2=-1.v V3+2x0,Ax=2.故答案为：2.点睛：本题考查了学生综合应用能力，解方程时要注意解题方法的选择，在求值时要注意解的检验.16、50.【解析】根据坡度的定义可以求得AC、B C 的比值，根据AC、BC 的比值和A B的长度即可求得AC 的值，即可解题.【详解】解：如图，AB=130米tun B-.=1 2.4 BC设 A C=x,则 B C=2.4x,则/+（2.4x）2=1302,解 得 尸 50,故答案为：50.【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，坡度的定义及直角三角形中三角函数值的计算，属于基础题.三、解 答 题（共 8 题，共 72分）17、（1）详见解析；（2）10.【解析】OC OP只需证明两对对应角分别相等可得两个三角形相似；故 二=F.PD AP根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与 O P的关系，然后在RtA PCO中运用勾股定理求出OP长，从而求出AB长.【详解】四边形ABCD是矩形，.,.AD=BC,DC=AB,ZDAB=ZB=ZC=ZD=90.由折叠可得：AP=AB,PO=BO,ZPAO=ZBAO,NAPO=NB.:.ZAPO=90.ZAPD=90-ZCPO=ZPOC.VZD=ZC,ZAPD=ZPOC./.OCPAPDA.OC OP,而一而.（D,/A O C P与A PDA的面积比为1:4,.*.OCPD=OPPA=CPDA=14-A/=12./.PD=2OC,PA=2OP,DA=2CP.VAD=8,，CP=4,BC=8.设 O P=x,贝!|OB=x,CO=8-x.在A PCO中，V ZC=90o,CP=4,OP=x,CO=8-x,.*.X2=(8-X)2+42.解得：x=5.,AB=AP=2OP=10.边A B的长为10.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及翻转变换，解题的关键是熟练的掌握相似三角形与翻转变换的相关知识.18、(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)%8.8【解析】试题分析：(D 由 ACE G,推出NG=NACG,由 A8_LCD 推出 A。=AC,推出NCEF=NAC。，推出NG=NCEP,由此即可证明；(2)欲证明EG是。的切线只要证明EGLOE即可；A”HC(3)连 接。C.设。的半径为r.在 R SO C”中，利用勾股定理求出r,证明A A H C sa w E O,可得=，EM OE由此即可解决问题；试题解析：(1)证明：如图 1.VAC/EG,：.ZG=ZACG,：ABLCD,：.AD=AC ZCEF=ZACD,：.ZG=ZCEF,：NECF=NECG,：.AECFAGCE.(2)证明：如图 2 中，连接 OE.,:GF=GE,:.NGFE=NGEF=NAFH,V OA=OE,：.ZOAE=ZOEA,V ZAFH+ZFAH=9Q,NGEf+NAEO=9()。，:.NGEO=9Q。,：.GEOE,.EG 是。的切线.在 RtAAHC 中，tanZAC/=tanZG=,:AH=3拒,：.HC=4y/3 在 RtAHOC 中，V OC=r,OH=r-373 HC 48H C=4 5 A(r-3V 3)2+(4V3)2=r2,工 片 至 叵，：GM/AC,：.ZCAH=ZM,:NOEM=NAHC,6AH HC 记=:.A A H C sA M E O,：.=，A EM 25、C，EM OE C6点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题.1 1 019、(1)证明见解析(2)线段EC,CF与 BC 的数量关系为：CE+CF=-BC.(2)CE+CF=-BC(3)-2t5【解析】(1)利用包含60。角的菱形，证明可求证；(2)由特殊到一般，证明A 0 IE“4 C G E,从而可以得到EC、CF与 3 c 的数量关系(3)连 接 BD与 AC交于点/,利用三角函数BH,AH,CH的长度，最后求BC长度.【详解】解：(1)证明：I四边形A8C。是菱形，NA4O=120。，.,.N R 4c=60,ZB=ZACF=60,AB=BC,AB=AC,V ZBAE+ZEAC=ZEAC+ZCAF=60,:.NBAE=NCAF,在4 氏4 和4 CAF中,ZBAE=ZCAFABACNB=NACF,BAE g C4F,：.BE=CF,：.EC+CF=EC+BE=BC,即 EC+CF=BCt(2)知识探究：线段EC,CF与 BC的数量关系为：CE+CF=-BC.2理由：如图乙，过点A 作 AE，EG,AF，G F,分别交BC、CD于 E，、类 比（1）可得：E C+CFBC,VAE/ZEG,.ZACAEACGECE CG C F-C4-2:.CE=-C E,2同理可得：CF=LC,2）=押,即 CE+C尸=，B C；2 CE+CF=!BC.t理由如下：过点 A 作 N E/E G,AF/G F,分别交 8C、CO 于 F.图丙类 比(1)可得：EC+CF=BC,AE/EG,：.ACAE 2),3由(2)得：CE+CF=-BC,t1 3 6 9：.C E=-B C -C F=-x 8一一=一.t 8 5 5【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、菱形的性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合运用，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加辅助线构造相似三角形.20、（1）证明见解析；（2）补图见解析；S四 边 形.6口=血.【解析】（1）根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 得 到=等量代换得到NABO=N8 E,根据余角的性质即可得到结论；（2）根据平行线的判定定理得到ADB G,推出四边形4 8 G o 是平行四边形，得到平行四边形4 8 G o 是菱形，设AB=BG=GD=AD=x,解直角三角形得到8 尸=J5BG=，过点8 作，A Q 于 ，根据平行四边形的面积公式即可得到结论.【详解】解：.AB=AD,.2ABD=/A D B,/ADB=/C D E,./ABD=/C D E,/BAC=90，NABD+/ACB=9 0，/CEIA E,/D C E+/C D E=90,./ACB=D C E；（2）补全图形，如图所示：/BAD=45 4 A C =9 0，./BAE=/CA E=45，4=/A CF=45，/A E 1C F,B G 1C F,.-.AD/BG,.BG_LCF,/B A C =90。，且/A C B =/D C E,AB=B G，.A B=AD,BG=AD四边形ABGD是平行四边形，.A B=AD,平行四边形ABGD是菱形，设 AB=BG=GD=AD=x，BF=V2BG=V2x AB+BF=x+/2x=2+/2 x=5/2，过 点B作B H LA D于H,BH=AB=1.2.二 S四 边 形A B G D =AD X BH=V2.故答案为（1）证明见解析；（2）补图见解析；SMABGD=42.【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线.21、1【解析】试题分析：原式第一项括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，已知方程变形后代入计算即可求出值.试题解析：x-1 x（x+2）x_ .x+2 x-1 x+原式=,X-7+TV x2-x-l=0,/.x2=x+l,则原式=L22、(1)见解析；(2)见解析；(3)AB=1【解析】(1)由垂径定理得出 NCPB=NBCD,根据/BCP=NBCD+NPCD=NCPB+NPCD=NPED 即可得证；(2)连接 OP,知 OP=OB,先证NFPE=NFEP得NF+2NFPE=180。,再由 NAPG+NFPE=90 得 2ZAPG+2ZFPE=180,据此可得2N A PG=N F,据此即可得证；PE EM(3)连接 AE,取 AE 中点 N,连接 HN、PN,过点 E 作 EMJLPF,先证NPAE=NF,由 tanNPAE=tanNF 得 一=，AP MF,GP EM.MF GP,再证NG AP=NM PE,由 sinZGAP=sinZMPE 得=,从而得出=,即 M F=G P,由 3PF=5PG 即AP PE AP APPG 3=一，可设 PG=3k,得 PF=5k、MF=PG=3k、PM=2k,由 NFPE=NPEF 知 PF=EF=5k、EM=4k 及 PE=2 6 k、PF 5AP=3 6 k,证NPEM=NABP得 BP=3指 k,继而可得B E=J k=2,据此求得k=2,从而得出AP、tanZPAE 2B P的长，利用勾股定理可得答案.【详解】证明：(1)TA B是。的直径且AB_LCD,/.ZCPB=ZBCD,.ZBCP=ZBCD+ZPCD=ZCPB+ZPCD=ZPED,；.NBCP=NPED；(2)连接 O P,贝 OP=OB,二 ZOPB=ZOBP,TPF是。O 的切线，A O P IP F,则 NOPF=90。，ZFPE=90-NOPE,:NPEF=NHEB=90。-ZOBP,二 ZFPE=ZFEP,：AB是。O 的直径，:.ZAPB=90,:.ZAPG+ZFPE=90,A2ZAPG+2ZFPE=180,ZF+ZFPE+ZPEF=180,:ZF+2ZFPE=180A2ZAPG=ZF,A Z A PG=-NF；2(3)连接A E,取 A E中点N,连接HN、P N,过点E 作 EM PF于 M,图 b由（2）知NAPB=NAHE=90。,VAN=EN,；A、H、E、P 四点共圆,AZPAE=ZPHF,VPH=PF,A ZPHF=ZF,AZPAE=ZF,tanZPAE=tanZF,.PE EM,而 一 而 由 知 NAPB=NG=NPME=90。,:.NGAP=NMPE,.sinZGAP=sinZMPE,r,GP EM则 一=AP PE.MF GPAPAP.MF=GP,V3PF=5PG,PG _ 3 =-9PF 5设 PG=3k,贝 iJPF=5k,MF=PG=3k,PM=2k由(2)知NFPE=NPEF,.PF=EF=5k,则 EM=4k,2k 1 4k 4/.tanZPEM=,tanZF=,4k 2 3k 3PE 4tan/PAE=-=，AP 3 PE=4 PM2+EM2=2加k，一 P E _ 3 后，tanZPAE 2V NAPG+NEPM=NEPM+NPEM=90。，AZAPG=ZPEM,V ZAPG+ZOPA=ZABP+ZBAP=90,KZOAP=ZOPA,/.ZAPG=ZABP,/.ZPEM=ZABP,AP PM贝(I tan/ABP=tanNPEM,即一=,BP EM3%/.厅=2k,BP 一 互贝!I BP=3逐 k,:.B E=g=2 后,则 k=2,；.AP=3 石、B P=6 6,根据勾股定理得，AB=1.【点睛】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、四点共圆条件、相似三角形的判定与性质、三角函数的应用等知识点.2523、(1)证明见解析；(2)y.【解析】Bp A3(2)易证N A PD=N B=N C,从而可证到 A B P s p c D,即可得到=，即 ABCD=CPB P,由 AB=AC即CD CP可得至lj ACCD=CPBP；(2)由 PDAB可得NAPD=NBAP,即可得到N B A P=N C,从而可证到 B A P s/B C A,然后运用相似三角形的性质即可求出B P的长.解：VAB=AC,A ZB=ZC.VZAPD=ZB,/.ZAPD=ZB=ZC.:ZAPC=ZBAP+ZB,NAPC=NAPD+NDPC,r.ZBAP=ZDPC,/.ABPAPCD,.BP AB =9CD CP.*.AB*CD=CP*BP.VAB=AC,AAC*CD=CP*BP；(2)VPD/7AB,A ZAPD=ZBAP.VZAPD=ZC,AZBAP=ZC.VZB=ZB,AABAPABCA,.BA _ BP*BA,VAB=10,BC=12,.10 BP =,12 1025.BP=.3“点睛”本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明ACCD=CPBP转化为证明ABCD=CPBP是解决第(1)小题的关键，证到NBAP=NC进而得到A BAPABCA是解决第(2)小题的关键.1 224、(1)(2)一.3 3【解析】(1)根据总共三种，A 只有一种可直接求概率；(2)列出其树状图，然后求出能出现的所有可能，及符合条件的可能，根据概率公式求解即可.【详解】解：（1）甲投放的垃圾恰好是A 类的概率是g.（2）列出树状图如图所示：由图可知，共 有 18种等可能结果，其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的结果有12种.12 2所以，P（乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类）=7.18 32即，乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率是