数学建模中数学知识的综合应用.pdf

数学建模中数学知识的综合应用数学建模中如何合理的使用不同的数学知识，是能否获得好成绩的一个重要和关键的一步。那么怎样才能做到合理而又恰当的使用数学知识呢？我们分三个方面来谈谈这个问题：一.根据问题的实际选择恰当的数学知识二.在可供选择的数学知识中选择最简单的三.综合灵活地应用各种数学知识一.根据问题的实际选择恰当的数学知识数学建模的一个主要特点是问题往往没有唯一的答案，解决的方法也不止一种，因而可供建模使用的数学知识也就可能是多种的。但是绝不是任何一种数学知识都是可用的；如果用的不当，不但不能解决问题，反而使问题复杂化，有时甚至得出谎谬的结果，这是我们需要慎重考虑和认真解决的重大问题。为了把问题说清，我们用几个例子加以说明：例 1.1995年 A、B 题1995年 A 题 飞行管理问题在 约10000m高空的某边长160km的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区城边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角，以避免碰撞。现假定条件如不：1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8 A处2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度；3）所有飞机飞行速度均为每小时8002；4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60 k m以上；5）最多需考虑6架飞机；6）不必考虑飞机离开此区域后的状况。请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度），要求飞机飞行的方向角调整的幅度尽量小。设该区域4个顶点的坐标为（0,0）,（160,0）,（160,160）,（0,160）。记录数据为：飞机编号横坐标x 纵坐标y 方向角（度）1150 140 243285 85 2363150 155 220.54145 50 1595130 150 230新进入0 0 52注：方向角指飞行方向与x轴正向的夹角。试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广。1995年B题一天车与冶炼炉的作业调度某钢铁厂冶炼车间的厂房布局是，地面沿一直线依次安置着7 个工作点：辅料供应处P;A 组 3 座转炉（冶炼成品钢）Al,A2,A3；B 组 2 座冶炼 炉（冶炼半成品钢，简称半钢）B1,B2；原料供应处Q o 这些设备的上方贯通着一条运送物料的天车轨道，上面布置着若干天车Tl,T2,Tn为炉子作业服务。布局示意图如下。天车与冶炼炉的作业过程与工序为：天车从Q 处吊起原料一罐（吊罐时间外）运至B 1或 B 2处放下（放罐时间乙）并将上一炉的原料空罐吊起（吊空罐时间。）返回Q 处放下（放空罐时间）。B 组炉在原料罐放下后即可在辅助作业下开始冶炼（冶炼时间%）,冶炼后将半钢倒入空半钢罐（时间计入4），由天车吊起半钢罐（吊罐时间。）运至A1或 A2,A3处，将半钢倒入转炉（倒入时间），并将空罐返回B1或 B2处放下（放空罐时间）。再由天车从P 处吊起辅料一罐（吊罐时间）运至A1或 A2,A3处加入转炉（加入时间。）。并将空罐返回P 处放下（放空罐时间th）o A 组炉在半钢及辅料加入后即可开始冶炼（冶炼时间。），冶炼后成品钢的输出不用天车（输出时间计入乙）。天车通过相邻两个工作点运行时间都相同，记为&o由于各台天车在同一轨道上运行，因此其顺序位置Tl,T 2,Tn不可交换。在同一时间同一座炉子上只能允许一台天车作业；但 P,Q 两处可以允许多台天车同时作业。在 P,A 1,-,Q 处每两个相邻工作点之间最多能容纳2台天车同时停放。天车与冶炼炉作业到调度的要求为：（1）成品钢产量尽量高；（2）各台天车的作业率（天车作业时间所占比例）尽量均衡（考虑到设备及人员安全等因素，一般天车作业率不超过70%）；（3）绝对不允许出现天车相撞等事故；（4）调度规则尽量简明，以利干现场人员使用。现设定：48,乙=27,乙=3 J。=c =2，d=3/e=5,tf=2,4=2 4=1,外=3,0=2（单 位：分 钟），4=15秒。A 组炉平均每炉产量W=120吨.在不超过5 台天车的条件下，设计一种满足上述要术的天车与冶炼炉的作业调度方案。（1）各台天车负责哪些作业（列 出 工序清单）；（2）在所给方案的一个运行周期内，每一时刻天车和冶炼炉处于什么状态（画 出 天车一炉子作业运行图）；（3）一份供现场人员使用的 调度规则说明书；（4）在所给方案下计算各台天车的作业率。并按每天冶炼炉数估计该车间成品钢的年产量（扣除设备维修日，每台转炉作业日每年按300天计算），实 际 生 产 过 程 中%,”都是随机的（上面设定的数值可视为平均值），讨论你的调度方案如何适用于实际生产过程,试提出该车间提高钢产量到年产300万吨以上的建议。我 们 先 看 A 题，这是一个飞行管理问题。为了确保安全，必须保证在区域内飞行的6 架飞机（其 中 5 架是已在区域内飞行，另一架是刚到达区域边缘的飞机）不能碰撞。不碰撞的条件是两架飞机之间的距离应大于8 km。调整幅度不应超过3 0 度。根据题目要求容易建立以下模型设6架 飞 机 在 调 整 时 的 方 向 角 为a,调 整 后 的 方 向 角 为乌+=1 2,6）。又设任意两架飞机在区域内的最短距离为dj=z 0（x（0+vt cos Ro v t c os do J +（Xo+v t s in%）y tl vt s in g川）根据题目的要求，飞行管理问题可归结为以下非线性规划模型6min加 用/=1痣（2+八4,。八4）8 1 Z J 6,/j|A 9,.|T14T14-T15T15-*T16j=l,2,3（三）天车一炉子作业调度规则及运行图炉子作业规则（参看下面的运行图）1.周期、连续、异步规则：循环周期ST=110分钟，A 组炉（3 座）每座冶炼 2 炉，共 2x3=6炉；3 组炉（2 座）每座冶炼3 炉，共 3x2=6炉，A,3 组合形式如图示为与4 与4 -与A 一与4 一-鸟4。同组炉子之间必须保持异步运行。即两两之间保持一定时间间隔,对于A 组炉应在18分（心于4）左右，同时注意到2的时间要能使B组炉治炼一炉（如用的半钢在供应4后，经2 4时 间 后 要 供 应 即 勿 综 上，可取1 7 Y Z -I-M M il 4 U T f E*c 4，/”-4、3 _ _ 1_ 11.天车调度运行图2.B组炉作业服从A组炉：因为3组炉生产能力超过A组炉，即3 1 24，故在周期运行中，3组炉可设置（且必须设置）空闲时间，3组炉的生产节奏完全可以按照A组炉的要求组织，记1为4炉开始冶炼时刻，TBJ是 为a提 供 半 钢 的B,炉 的 开 始 冶 炼 时 刻，则配合公式为%,=。,一（弓+/+%+5）,其中方包括设置的空闲时间（11/3）及天车运送半钢的运行时间（41），可取运行图中取3=2。天车作业调度规则（参看运行图）1.天车作业服从炉子：为保证A组炉周期、连续异步运行，天车的起始作业时刻应按下式计算：记力.为 天 车 起 始 作 业（即作业分配工序表中TH）时刻依=1,2,3）0%+4+凡），（，=1 2 3）TT2=1-（。+te+td+根4）,小视A,与鸟的配合方式而定rT3=砧一+（3-。x），（j=1,2）2.天 车T 2作业优先：T2联系着A,3两组炉的作业协调，且其作业率最高，三台天车运行中应保证T2的优先。3.天车停放位置相对固定：天车“无作业”时停放位置既影响自身作业效率，也会对其它天车作业产生干扰，在三车方案中，以Tl,T3分别停放在P,。处，T2停放在4，坊之间为优化布局。（四）天车作业率及钢年产量计算按 照 本 文4）中 的 分 析 和 记 号，天 车7；的 作 业 率 为0=2 4/5 7 =36/110=32.7%；天 车 心 的 作 业 率 为陷2 =2/57=67.5/110=61.4%；天 车 7；的 作 业 率 为KT3=3t31 ST=64.5/110=57.4%。A组3座炉每天炼炉数为 2 3（1440/55）=78,每年（300天）的年产量为W=300NA 叼=300 x78x120=280.8万吨将产量提高到300万吨以上的建议：1.提 高A组炉平均每炉产量叱 使叼=嘤等=128.2吨，即单JUU/o炉产量提高6.8%2.缩短A组 炉 的 生 产 周 期，使 每 天 冶 炼 炉 数 达z 300 10000”NA=8 ,即 每 座 炉 每 天 冶 炼2 8炉，生 产 周 期 应 为tA=1440/28=51比原来的55分缩短4分，考虑到天车作业时间潜力有限,应使炉子的冶炼周期由原来的48分缩短到44分，可以核实，B组炉仍能保证A组炉的连续生产，且天车作业率仍未超过70%。说明：本题是从某钢铁厂的“七车七炉作业运筹”等实际课题提炼、简化而得,注重检验参赛者从实际课题繁琐、复杂的信息中提炼模型的基本功。本题的作法还有移动网络法，层次分析法，对各种随机数据对天车的作业率、天车的调度和钢产量的影响进行定性定量分析。这些做法都可以，但是都不如用简单的初等数学解决清楚、有说服力。从 对A、B两题的分析可以看出选择什么数学知识建模要看问题本身的需要。其次还应考虑求解的难度和可行性。二.在可供选择的数学知识中选择最简单的在数学建模中，同样的一道题可以有多种方法求解，因此往往可以用多种不同的数学知识。在可供选择的多种数学方法中，当然是所用数学知识越筒单越好。因为我们的模型是给人看的，是为解决实际问题而建立的。只有模型（包括计算）越简单才能被更多的人看懂和应用，模型的应用价值也就更高。在建模过程中切忌故弄玄虚，把本来可以简单处理的问题复杂化，以为用的数学知识越深奥你的水平越高，不是这样的。所用数学知识的深浅不是评价论文优劣的标准。我们再看一个例子：例2.2008年D题：NBA赛程的分析与评价NBA是全世界篮球迷们最钟爱的赛事之一，姚易加盟以后更是让中国球迷宠爱有加。NBA共有30支球队，西部联盟、东部联盟各15支，大致按照地理位置，西部分西南、西北和太平洋3个区，东部分东南、中部和大西洋3个区，每区5支球队。对于20082009新赛季，常规赛阶段从2008年10月2 9日（北京时间）直到2009年4月1 6日，在这5个多月中共有1230场赛事，每支球队要进行82场比赛，附件1是30支球队20082009赛季常规赛的赛程表，附件2是分部、分区和排名情况（排名是20072008赛季常规赛的结果），见http: BA这样庞大的赛事，编制一个完整的、对各球队尽可能公平的赛程是一件非常复杂的事情，赛程的安排对球队实力的发挥和战绩有一定的影响，从报刊上经常看到球员、教练和媒体对赛程的抱怨或评论。这个题目主要是要求用数学建模方法对已有的赛程进行定量的分析与评价：1）为了分析赛程对某一支球队的利弊，你认为有哪些要考虑的因素，根据这些因素将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，并给出评价赛程利弊的数量指标。2）按照1）的结果计算、分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，并找出赛程对30支球队最有利和最不利的球队。3）分析赛程可以发现，每支球队与同区的每一球队赛4场（主客各2场），与不同部的每一球队赛2场（主客各1场），与同部不同区的每一球队有赛4场和赛3场（2主1客 或2客1主）两种情况，每支球队的主客场数量相同且同部3个区的球队间保持均衡。试根据赛程找出与同部不同区球队比赛中，选取赛3场的球队的方法。这种方法如何实现，对该方法给予评价,也可以给出你认为合适的方法。由于编幅的原因，我们没有把赛程表录下。我们只讨论用什么数学知识比较合适。本题许多人犯的一个错误是使用数学知识不当，由于出现大量的数据，很多个用回归分析法。其实本题和回归分析法无关，因为它只是赛程的安排（2000多场），这些数据没有回归分析规律可找。题目的要求是：用数学建模方法对已有的赛程进行定量的分析与评价：1）为了分析赛程对某一支球队的利弊，你认为有哪些要考虑的因素，根据这些因素将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，并给出评价赛程利弊的数量指标。2）按 照1）的结果计算、分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，并找出赛程对30支球队最有利和最不利的球队。3）分析赛程可以发现，每支球队与同区的每一球队赛4场（主 客 各2场），与不同部的每一球队赛2场（主 客 各1场），与同部不同区的每一球队有赛4场和赛3场（2主1客 或2客1主）两种情况，每支球队的主客场数量相同且同部3个区的球队间保持均衡。试根据赛程找出与同部不同区球队比赛中，选取赛3场的球队的方法。这种方法如何实现，对该方法给予评价,也可以给出你认为合适的方法。第一是分析赛程对某一支球队的利弊，有哪些要考虑的因素，也就是首先决定哪些因素。这些因素是合理的、有效的，这是第一步。第二根据这些因素将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，并给出评价赛程利弊的数量指标。这一步是建模的关键，用什么数学知识？建立什么样的数学模型？这是我们要认真考虑的问题。近年来这类问题比较多，由于强调题目要切合实际，而许多课题项目的实施都要进行科学的评估。所以这方面的问题是很有现实意义的。确定那些因素对赛程有影响后，显然这些因素影响程度不同，也就是权数大小是不一样的。由于评价这些因素的影响因人的主观判断和认识不同而不同，因而差别较大，通常采用层次分析法来评价。本题大多数采用层次分析法，这是对的。但要注意用层次分析法构造成对比较阵的时候，比较的因素最多不能超过9个。超过了，人的判别能力就会混乱，无法进行判别。有一个队构造了以下的一个层次模型大家可以看得出来，这个模型错在那里呢？这个模型第三层有3 0个方案，已经超出层次分析模型的适用范围，不可能构造如此臣大的成对比较阵。可见即使选对了数学知识，也不能随意乱用。本题正确的方法是对于4个因素的权数的确定可用层次分析法，即一，二层。而 这4个因素对30个球队的影响却不能用层次分析模型。必须再建一个总的综合评价指标。再计算各队的分数。三.综合灵活地应用各种数学知识数学建模的题目主要是客观实际经过适当简缩修改而成，而实际问题很少能够一步到位，必需分几步逐步解决才能完成。因而所用的数学知识不是一种而是多种，这就是综合应用数学知识问题。前面的两个例子已经很好地说明了这个问题。下面我们再举一个例子。例 3 B 题 彩 票 中 的 数 学近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。“传统型”采 用“10选 6+1”方案：先从6 组 09 号球中摇出6 个基本号码，每组摇出一个，然后从。4 号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从。9 十个号码中任选6 个基本号码（可重复），从 04 中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如 表 一（X表示未选中的号码）。表一中 奖等 级1 0 选 6+1 (6+1/1 0)基 本 号 码 特别号码说 明一等奖A b c d e f g选 7中(6+1)二等奖a b cd e f选 7中（6）三等奖a b cd e X X b cd e f选 7中（5）四等奖a b cd X X X b cd e X X X cd e f选 7中（4）五等奖a b cX X X X b cd X X X X cd e X X X X d e f选 7中（3）六等奖a b X X X X X b cX X X X X cd X X X X X d e X X X X X e f选 7中（2）“乐透型”有多种不同的形式，比 如“33选 7”的方案：先从0133个号码球中一个一个地摇出7 个基本号，再从剩余的2 6 个号码球中摇出一个特别号码。投注者从013 3 个号码中任选7 个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又 如“36选 6+1”的方案，先从0136个号码球中一个一个地摇出6 个基本号，再从剩下的3 0 个号码球中摇出一个特别号码。从 013 6 个号码中任 选 7 个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表二。表二中 奖3 3 选 7 (7/3 3)3 6 选 6+1 (6+1/3 6)等 级基本号码特别号码说 明基本号码特别号码说 明一等奖 选7中（7）选7中（6+1）二等奖选7中（6+1）选7中（6）三等奖选7中（6）选7中（5+1）四等奖选7中（5+1）选7中（5）五等奖选7中（5）选7中（4+1）六等奖OOO选7中（4+1）OO选7中（4）七等奖OOO选7中（4）OOO选7中（3+1）注：为选中的基本号码；为选中的特别号码；o为未选中的号码以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%,投注者单注金额为2 元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为：（当期销售总额X总奖金比例）-低项奖总额 X单项奖比例（1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。（2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。（3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。奖4方案一等奖比 例.等奖比 例三等奖比 例四等奖金 额五等奖金 额六等奖金 额七等奖金 额备 注16+1/1050%20%30%50按序26+1/1060%20%20%300205按序36+1/1065%15%20%300205按序46+1/1070%15%15%300205按序57/2960%20%20%30030566+1/2960%25%15%20020577/3065%15%20%5005015587/3070%10%20%2005010597/3075%10%15%20030105107/3160%15%25%500502010117/3175%10%15%320305127/3265%15%20%5005010137/3270%10%20%5005010147/3275%10%15%5005010157/3370%10%20%600606167/3375%10%15%50050105177/3465%15%20%500306187/3468%12%20%50050102197/3570%15%15%300505207/3570%10%20%500100305217/3575%10%15%1000100505227/3580%10%10%20050205237/35100%20002042无特别号246+1/3675%10%15%500100105256+1/3680%10%10%50010010267/3670%10%20%50050105277/3770%15%15%150010050286/4082%10%8%200101295/6060%20%20%30030本题首先要用概率公式算出各种方案的各个樊项获奖概率及获樊总概率。第二步考虑采用什么样的方案才能吸引广大彩民积极踊跃购买彩粟。即彩民如何看待获奖的机会大小和樊金的多少，也就是彩民的心理状态。用什么函数来表达彩民的心理曲线呢？这就要看每个人理解和判断，没有什么统一通用的标准。有的人认为收入较高，比较富裕的人买彩票多，有的人看法正好相反，认为越鳄的人买彩票越多，因为他们更希望通过赌一赌、博一博,碰碰运气来改变自己的地位。从而有可能一夜之间变成百万富翁。当然这是仁者见智，各有各的道理，但这都不影响比赛的成绩。下面是出题人提供的一个参考答案，可供参考，无论何种解法，本题都要用多种数学知识才能完成。这就是综合应用数学知识的一个典型范例。综合应用还应包含和计算机软件的有机结合。2002 B 题参考答案评价一个方案的优劣，或合理性如何，主要取决于彩票公司和广大彩民两方面的利益。事实上，公司和彩民各得销售总额的50%是确定的，双方的利益主要就取决于销售总额的大小，即双方的利益都与销售额成正比。因此,问题是怎样才能有利于销售额的增加I?即公司采用什么样的方案才能吸收广大的彩民积极踊跃购买彩票？具体地讲，问题涉及到一个方案的设置使彩民获奖的可能性有多大、奖金额有多少、对彩民的吸引力有多大、广大彩民如何看待各奖项的设置，即彩民的心理曲线怎样？另外，一个方案对彩民的影响程度可能与区域有关，即与彩民所在地区的经济状况以及收入和消费水平有关。为此，我们要考查一个方案的合理性问题，需要考虑以上这些因素的影响，这是我们建立模型的关键所在。1.模型假设与符号说明彩票摇奖是公平公正的，各号码的出现是随机的；彩民购买彩票是随机的独立事件；对同一方案中高级别奖项的奖金比例或奖金额不应低于相对低级别的奖金比例或奖金额；根据我国的现行制度，假设我国居民的平均工作年限为T=35年。5 第j等（高项）奖占高项奖总额的比例，j=l,2,3；升 第i等奖奖金额均值，1 WiW7；Pi 彩民中第i等奖的概率，1W1W7；（七）彩民对某个方案等i等奖的满意度，即第i等奖对彩民的吸引力，1 W W 7；2 某地区的平均收入和消费水平的相关因子，称 为“实力因子”，一般为常数；F 彩票方案的合理性指标，即方案设置对彩民吸引力的综合指标。2.模型的准备从已给的29种方案可知，可将其分为四类，(：10选6+1(6+1/10)型、K2：选机(zw/)型、K3：选机+l(w i+l/)型和储：选机(zn/)无特别号型，分别给出各种类型方案的彩民获各奖项的概率公式：10 选 6+1(6+1/10)型174 7p1、=5 x l06-=2xl0-p2=-=8 x l0-7,2 5 x l06p=1 =1.8 x 1 0-53 1 061 06=2.6 1 x l0-4,p L组叫32xl gP6=2 C；C：o C C o +3 C；CCoC；o -(3 C；C；+2 C；)=4.1 9 9 5 x 1 0-21 06勺：选 型1c.P2=mnc.m n“4=m+1)P6=c.c.mP53 0 3m 一(m+1)m 3mnc2 一(m+1)c.mnPl=tn (：选 zw+l(/n+l/)型1p 1 机+1mP 4-6=P2=-(w+1)厂 2+%m z?-(w+l)p5=Pl=。团。一(m+1)P3=%m-22C？C-(/n+l)n m-33tn 一 (m+1)c2no储：选皿 ）无特别号型Pi=p4=cmclm n-minC7 7p5=-itn-4mP3c4 一，imntn-2c2tmn1cnc各种方案的各个奖项获奖概率及获奖总概率P=EPI计算如表一。表方案PiP2P3 46+1/1 02x10-78x10-71.8x10-52.61X10-47/2 96.40705 xlO-74.48494x109.4184x10-52.8255 xlO-46+1/296.4 0 7 0 5 x lO-7L 4 0 9 6 x l()T8.4 5 7 3 x I O-58.8 8 8 0 x lO-47/304.9 1 2 0 7 x lO-73.4 3 8 4 5 x 1 0 7.5 6 4 6 x 1 O-52.2 6 9 4 x lO-47/303.8 0 2 9 0 x 1 0-72.6 6 2 0 3 x lO-66.1 2 2 7 x 1 0-51.8 3 6 8 x 1 0-47/322.9 7 1 0 1 x lO-72.0 7 9 7 1 x lO-64.0 9 9 1 3 x lO-51.4 9 7 4 x 1 0 7/332.3 4 0 8 0 x 1 0 1.6 3 8 5 6 x 1 0-64.0 9 6 4 x 1 0-51.2 2 8 9 x 1 0 7/341.8 5 8 8 7 x lO-71.3 0 1 2 1 x 1 0-63.3 8 3 1 x 1 0-51.0 1 4 9 X 1 0-47/351.4 8 7 0 9 x 1 0-71.0 4 0 9 7 x 1 0-62.8 1 0 6 x 1 0-58.4 3 1 8 x 1 0-57/361.1 9 7 9 4 x I O-78.3 8 5 5 6 x l0-72.3 4 8 0 x lO-57.0 4 3 9 x 1 0-56+1/361.1 9 7 9 4 x lO-73.4 7 4 0 2 x lO-62.0 8 4 4 x lO-52.9 1 8 2 X 1 0-47/379.7 1 3 0 1 x I O-86.7 9 9 1 lx 1 0-71.9 7 1 7 x 1 0-55.9 1 5 2 x 1 0-56/402.6 0 5 3 x lO-71.5 6 3 2 x 1 0-65.1 5 8 4 x 1 0-51.2 8 9 6 x 1 0 5/601.8 3 1 x I O-79.1 5 5 x 1 0-74.9 4 3 7 x lO-59.8 8 7 4 x 1 0-5方案P5，6Pip=p,i6+1/103.4 2 x 1 0-34.1 9 9 5 x 1 0-20.0456957/292.8 2 5 5 x 1 0-34.7 0 9 2 x lO-30.0298250.0377426+1/292.2 2 0 0 x lO-31.4 8 0 0 x 1 0-20.0197340.0377427/302.3 8 2 8 x I O-33.9 7 1 4 x 1 0-30.0264760.0331377/312.0 2 0 5 x 1 O-33.3 6 7 5 x I O-30.0235720.0292087/321.7 2 2 x 1 O-32.8 7 0 0 x 1 O-30.0210470.0258327/331.4 7 4 7 x 1 0-32.4 5 7 8 x I O-30.0188430.0229417/341.2 6 8 7 x 1 0-32.1 1 4 5 x 1 0-30.0169160.0204367/351.0961X10-31.8269x10-30.0152240.0182617/369.5092 xlO-41.5849x10-30.0137360.0163676+1/367.2954 xlO-46.5659 xlO-30.0087550.0163677/378.2813x10-1.3802x10-30.0124220.0147106/402.0634x10-32.7512x10-30.0284280.0334255/602.6202 xlO-32.6202 xlO-30.0454160.050806(2)确定彩民的心理曲一般说来，人们的心理变化是一个模糊的概念。在此，彩民对一个方案的各个奖项及奖金额的看法(即对彩民的吸引力)的变化就是一个典型的模糊概念。由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，根据人们通常对一伴事物的心理变化一般遵循的规律，不妨定义彩民的心理曲线为-化Y =l-e (2 0)其中几表示彩民平均收入的相关因子，称为实力因子，一般为常数。(3)计算实力因子几实力因子是反应一个地区的彩民的平均收入和消费水平的指标，确定一个地区的彩票方案应该考虑所在地区的实力因子，在我国不同地区的收入和消费水平是不同的，因此，不同地区的实力因子应子一定的差异，目前各地区现行的方案不尽相同，要统一来评估这些方案的合理性，就应该对同一个实力因子进行研究。为此，我们以中等地区的收入水平(或全国平均水平)为例进行研究。根据相关网站的统计数据，不妨取人均年收入1.5万元，按我国的现行制度，平均工作年限T=35年，则人均总收入为52.5万元，于是,当飞=52.5万元时，取=l =0.5（即吸引力的中位数），则有2 二 5.,2 5 xlO5 x 6.a3n0cQ58O9 xlO八5V-In 0.5同理，可以算出年收入1万元、2万元、2.5万元、3万元、4万元、8万元、10万元的实力因子如表二。表二入指 於、1 万元1.5万元2 万元2.5万元3 万元4 万元5 万元10万元X420393630589840786105098212611791681571210196442039283.模型的建立与求解问 题（）要综合评价这些方案的合理性，应该建立一个能够充分反应各种因素的合理性指标函数。因为彩民买彩票是一种风险投资行为，为此，我们根据决策分析的理论，考虑到彩民的心理因素的影响，可取=l e （4 0）为风险决策的益损函数，于是作出如下的指标函数：7尸=.（1）即表示在考虑彩民的心理因素的条件下，一个方案的奖项和奖金设置对彩民的吸引力。另一方面，由题意知，单注所有可能的低项奖金总额为，根据高项奖金的计算公式得单注可能的第j项(高项奖)奖金额为(7 PjXj=(1_匕)5=E P iX i 5,J=1,2,3 i=4 /故平均值为Y 7 A 1Xj=1 5，=1，2,3.i=4 7 J于是由(1),(2)式得，7F=心)彳 7 I,Xj=1 一ZPixi rj /Pj j=1，2,3人/=4/.(3)=1 z =l,2,-,7A =6.3 05 8 9 xl O5利用M atl ab可计算出2 9种方案的合理性指标值F及高项奖的期望值，排在前三位的如下表三。表三指标方 不、F再%2龙 3排序97/304.009 x1 0-71.08 6 xl 062067914101117/313.7 8 4 x1 0-71.7 04 X 1 06324482116257/293.6 3 7 x1 07.5 5 7 xl O53598417143问 题(-)根据问题（一）的讨沦,现在的问题是取什么样的方案机/和机取何值）、设置哪些 奖 项、高 项 模 的 比 例（/=1，2,3）为多少和低项奖的奖金额玉。=4,5,6,7）为多少时，使目标函数7的有最大值。Z=1设以加，巩（，=1,2,3）,七1 =4,5,6,7）为决策变量，以它们之间所满足的关系为约束条件，则可得到非线性规划模型:7max/=Z P i(%)i=l(7AXj=1-PE 0/p/,j=l,2,3.I i=4 7-=e (z=l,2,-,7),/=6.3 05 8 9 xl 05r+r2+r3 0.5 r(0.8-16X105X,5X106Xa,bj,i =1,2,6Pi p,+i，i =l,2,65 m 7 .2 9 H 0,x(.0；m,n为正整数。3)-(5)-(6)-(8)xl/x关于约束条件的说明:1）条件（1）,（2）同问题（一）；2）条件（3）,（4）是对图项奖的比例约束，弓的值不能太大或太小，（4）是根据已知的方案确定的；3）条件（5）是根据题意中一等奖的保底额和封顶额确定的;4)条件(6)中的%，(i=1,2,6)分别为i等奖的奖金额七比i+1等奖的奖金额须+i高的倍数，可由问题(一)的计算结果和已知各方案的奖金数额统计得：%=1 0,=2 3 3；4=4,匕=5 4；%=3Q=1 7；%=4也=2 0；%=2也 1 0；&=2也=1。5)条件是根据实际问题确定的，实际中高等奖的概率P,应小于低等奖2+1的概率，它的值主要由加，确定。6)条件(8),(9)是对方案中m,n取值范围的约束，是由已知的方案确定的。这是一个较复杂的非线性(整数)规划，其中概率Pi的取值分为四种不同的情况K 1,K 2，K 3，K4,且由整数变量相，确定，一般的求解是困难的。为此，利用 M a t la b 可求解得最优解为 K 2,6,3 2,0.8,0.09,0.11,2 00,10,1,0,最优值为b=6.8 3 99x 10-7。故对应的最优方案为：3 2选6(6/3 2),一、二、三等奖的比例分别为8 0%、9%、1 1%,四、五、六、七等奖的金额分别为2 00、10、1、0 元。前面是针对中等收入水平的彩民情况考虑的，对于经济发达地区和欠发达地区应有所不同。这里分别对年收入1万元、2万元、2.5万元、3万元、4万元、5万元、10万元，工作年限均3 5年的情况进行了讨论，给出适用于相应各种情况的最优方案，如下面的表四。表四X指标1万元2万元2.5万元3万元4万元5万元10万元A42039384078610509821261179168157121019644203928最优方案5+1/336/327/306/376+1/327/337/35F8.255 X104.623x 10-74.103X 10-73.223X 102.475X 102.075X 炉1.828X 1040.800.800.730.700.730.730.80r20.100.90.170.150.190.180.13r30.10().110.100.150.070.090.07阳6.5xl056.18xl051.38xl061.46xl062.23 xlO62.99xl063.91 xlO630371200044750652172227211.07 X10594252了 360760012351739150719741746%138200100200100200103/710102020102041152225X0000003问 题(三)(略)说明：(1)研究此问题必须要考虑心理曲线，但心理曲线的可能会有不同的形式，主要是看对问题解释是否合理，实力因子4在不同地区可以取不同的值,对方案的评判结果也会有差别。(2)问题的合理性指标函数一定与心理曲线有关，但应该在风险决策的意义下确定出益损函数，益损函数的确定不是唯一的。（3）问题中的概率公式的形式应该是唯一的。参考文献中国彩票网：http:/附录口全国大学生数学建模竞赛论文格式规范甲 组参赛队从A B题中任选一题，乙组参赛队从G D题中任选一题。论文用白色幽纸单面打印；上下左右各留出至少2 5厘米的页边距；从左侧装订。论文第一页为承诺书，具体内容和格式见本规范第二页。论文第二页为编号专用页，用于赛区和全国评阅前后对论文进行编号，具体内容和格式见本规范第三页。论文题目和摘要写在论文第三页上，从第四页开始是论文正文。论文从第三页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中。论文中其他汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距，打印时应尽量避免彩色打印。提请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写（注意篇幅不能超过一页，且无需译成英文）。全国评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。引用别人的成果或其他公开的资料包括网上查到的资料）必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如m 0等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：编号作者，书名，出版地：出版社，出版年。参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：编号作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。参考文献中网上资源的表述方式为：编号作者，资源标题，网址，访 问 时 间（年月日）。在不违反本规范的前提下，各赛区可以对论文增加其他要求（如在本规范要求的第一页前增加其他页和其他信息，或在论文的最后增加空白页等）；从承诺书开始到论文正文结束前，各赛区不得有本规范外的其他要求（否则一律无效）。本规范的解释权属于全国大学生数学建模竞赛组委会。注赛区评阅前将论文第一页取下保存，同时在第一页和第二页建立“赛区评阅编号”（由各赛区规定编号方式），“赛区评阅纪录”表格可供赛区评阅时使用（各赛区自行决定是