2023学年北京市西城区某中学高考数学全真模拟密押卷含解析.pdf

2023年高考数学模拟试卷注意事项1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3 .请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5 .如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。2 21.设点P是椭圆T +宁=K a 2)上的一点，耳鸟是椭圆的两个焦点，若 花 国=46,则|P用+忸 可=()A.4 B.8 C.4夜 D.4 7 72.高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X近似服从正态分布N(85,且尸(6 0 X 不时，不等式/(一x.)/(一x2)2恒成立，则实数。的取值范围为()X X2 XA.(-o o,e B.(-o o,e)C.(一D.卜G O，|4 .已知等差数列 4满足q =2,公差d#0,且4,4，%成等比数列，则4=A.1 B.2 C.3 D.45 .已知复数二满足 z=3+2i (i是虚数单位)，则=()A.2+3 i B.2 3/C.2+3 i D.2 3 i6 .若(l-2x)的二项展开式中/的系数是4(),则正整数的值为()A.4 B.5 C.6 D.77 .若函数=满足=且0 a%19.（12 分）已知数列 4 和 ,满足，4=2,瓦=1,a“+=2a“（eN*）,b.H b,H 仇+H b b.（n G N）.1 2 3 n v）（I）求 a“与 b”；，为奇数，,、b b q（II）记数列%的前项和为7；,且q,=J?,若对 eN*,（“2（&恒成立，求正整数Z的值.-,为偶数，I/Y V 120.（12分）已知椭圆E：=+4 =1的离心率为一，左、右顶点分别为A、B,过左焦点的直线/交椭圆E于C、a b 2。两 点（异于A、B两点）,当直线/垂直于x轴时，四边形ABC。的面积为1.（1）求椭圆的方程；（2）设直线A C、B D的交点为Q;试问。的横坐标是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.x=2A/3+at21.（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线/的的参数方程为（其中，为参数），以坐标原点。为极y=4+/3f点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A的极坐标为（2,直线/经过点A.曲线C的极坐标方程为psin2=4cos.（1）求直线/的普通方程与曲线。的直角坐标方程；（2）过点P（百,0）作直线/的垂线交曲线C于。,E两点（。在x轴上方），求 血 一 向 的 值.22.（10 分）已知函数/（x）=/_2 x+21nx.（1）若曲线y=/（x）在（1,/（1）处的切线为y=2 x+4,试求实数。，匕的值；（2）当6=1时，若y=/（x）有两个极值点玉，/，且玉|若 不 等 式/（内）2相士恒成立，试求实数所的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】.山 闾=4 g 闾=2c=4 6,c 2-/3V c2-a2-b2 b2=4,a=4.附|+|%=2a=8故选B点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.2.D【解析】由正态分布的性质，根据题意，得到P(XN110)=P(X 60),求出概率，再由题中数据，即可求出结果.【详解】由题意，成绩X近似服从正态分布N(8 5,T2),则正态分布曲线的对称轴为x=85,根据正态分布曲线的对称性，求得尸(X 2 110)=P(X 4 60)=0.5-0.3=0.2,所以该市某校有50()人中，估计该校数学成绩不低于110分的人数为500 x0.2=100人，故选:。.【点睛】本题考查正态分布的图象和性质，考查学生分析问题的能力，难度容易.3.D【解析】f(x f(x.由.二一二变形可得尢/(芭)%2/(%2)，可知函数g(X)=4(X)在XW(O，+)为增函数，由X2%g(x)=-2ax 2 0恒成立，求解参数即可求得取值范围.【详解】X G(0,+8),Xl/(X1)(工2 )，即函数g(x)=V()=，一以2在X (0,+oo)时是单调增函数.贝!J g(x)=ex-2ax 2 0 恒成立.ex2。4 x令 m(x)=幺，贝!1 in(x)=x xx (0)时，加(x)0,m(x)单调递增.2a /(x)m in=rn(l)=e,.a W 彳故选:D.【点睛】本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题，考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力和计算求解的能力，难度较难.4.D【解析】先用公差d表示出生，%，结合等比数列求出d.【详解】=2+,%=2+4火因为4,%,生 成等比数列，所以(2+4)2=2(2+4 4),解得=4.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题，化归基本量，寻求等量关系是求解的关键.5.A【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】解：由 iz=3+2 z,得/=-=-z-=2 3/9i-i=z=2+3/.故选A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.6.B【解析】先化简(1-2力”的二项展开式中第厂+1项2。，然后直接求解即可【详解】(1 2司”的二项展开式中第r+1项 加=CL-(2x).令r=2,则7；=(-，；4C；=4 0,二 =T(舍)或”=5.【点睛】本题考查二项展开式问题，属于基础题7.A【解析】由/(a)=/(。)推导出5=,且0。1,将所求代数式变形为4“一 +1 -4=犯 虫 一 _ 利 用 基 本 不 等 式求得2a+Z?的取值范围，再利用函数的单调性可得出其最小值.【详解】函数/(x)=|lnx|满足/(a)=/(),.(Ina)=(I n即(lna lnZ?)(lna+ln/?)=0,;0 a b,lna In a+In/=0,即 ln(aZ?)=0=ab=l,l=aba2 则 0 a 2-4 _(2a+b)2-4ab-4 _(2a+b)2-8 _ 2a+b 4 4a+2b 2(2a+b)-2(2a+b)2a+b由 于 函 数 =-在 区 间 上 为 增 函 数,l 4a2 +/?2-4 2拒 4所以，当2a+b=2&时，4取 得 最 小 值 工 一一 =0.4a+2b 2 2V2故选：A.【点睛】本题考查代数式最值的计算，涉及对数运算性质、基本不等式以及函数单调性的应用，考查计算能力，属于中等题.8.D【解析】结合图(1),(2),(3)所示的情况，可得。与占的关系分别是平行、异面或相交.选D.9.C【解析】由复数的除法运算整理已知求得复数z,进而求得其模.【详解】故选：C【点睛】本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题.10.D【解析】本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a与c的等式，计算离心率，即可.【详解】结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO=MO,而6。=6。，结合四边形对角线平分，可得四边形 月加入为平行四边形，结合N N =6 0,故/耳 加 工=60对 三 角 形 片 运 用 余 弦 定 理，得到，FtM2+F2M2-FtF=2-M Ft M F2-cosZFiM F2而结合|P用=3|周，可得|阿|=a,|町|=3 a,耳心=2 c,代入上式子中，得到/+9/一4C、2=3，结合离心率满足e=,即可得出6=近，故选D.a a 2【点睛】本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难.11.B【解析】设正三棱柱上下底面的中心分别为Q，底面边长与高分别为X,0,利用0A2=。；+。2 A2,可 得 配=16-进一步得到侧面积S=3 x h,再利用基本不等式求最值即可.【详解】如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为a，o?,底面边长与高分别为乂，则尤 24 n在RfAOA。中，土 +土 =4,化为/=1 6-X2,4 3 3S=3xh,y7：.s2=9x%2=12/(12 /),12x2+12%2、2-二 432,当且仅当x=卡 时取等号，此时S=12百.故选：B.【点睛】本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题.12.A【解析】先利用正弦定理将边统一化为角，然后利用三角函数公式化简，可求出解A【详解】由正弦定理可得 sin A+2 sin C=2 sin B c o s A,即 sin A+2 sin(A+8)=2 sin B cos A,即有 sin A(1+2 cos B)=0,1 2万因为 sin A 0,贝!|cosB=，而 B e(0,i),所以 B=.2 3故选：A【点睛】此题考查了正弦定理和三角函数的恒等变形，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.2【解析】运用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，然后求解结果.【详解】抛物线y=2 f的标准方程为：则抛物线的准线方程为y=：,设M（x,”，y”），N（xN,yN）,则2 8|敏|+|即|=丁 用+：+丁”+:=：,所 以y”+y v=4,则线段MN中 点 的 纵 坐 标 为 曳=2.o o 4 2故答案为：2【点睛】本题考查了抛物线的定义，由抛物线定义将点到焦点距离转化为点到准线距离，需要熟练掌握定义，并能灵活运用,本题较为基础.14.1【解析】由 他+2亚/（2万+4）求出2,代 入,+焉）.（万5）,进行数量积的运算即得.【详解】.（力+25）/（2 +焉），.,.存在实数左，使得2+几5=人（日+25）.2=k:不共线，2=4.A=2k:同=2,M=g，a,5的夹角为30。，伍+丸5卜（汗-5）=（M +4bJ（G-5）=J +3a 石一 4万=4+3x2xxcos30-4x3=1 .故答案为：1.【点睛】本题考查向量共线定理和平面向量数量积的运算，属于基础题.15 1 -2 遥,6【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和差正弦公式，求 得 痴。=4叱 +刍 _刍 的 值.6 6【详解】解：.角1+9的终边过点尸（一1,2&）,6.si n cc si.n 1 7 oc,吟 7t(7r.7 T 2V2 V3 f 0 1 1-276H-=sin ex H cos-cos ex H sin =-一 =-9K 6)6I 6)6 L 6 6 3 2 I 31 2 6故答案为：上 芈.O【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差正弦公式，属于基础题.16.2n+11【解析】利用3-*=-4求出公差d,结合等差数列的通项公式可求明.9 5【详解】设公差为d,因 为 今 寸=一4,所以44 2d=T,即d=2.所以=4+(-l)d=9-2(n-l)=-2n+l 1.故答案为：2n+11【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的求解，利用等差数列的基本量是求解这类问题的通性通法，侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)y2=6x(2)史 立.3【解析】(1)根据抛物线定义，写出焦点坐标和准线方程，列方程即可得解；(2)根据中点坐标表示出以为和点到直线的距离，得出面积，利用均值不等式求解最大值.【详解】(1)抛物线E：y2=2px(p 0),焦 点 尸(g,0)到准线*=一的距离为3,可得p=3,即有抛物线方程为炉=6x；(2)设线段A3的中点为M(必，jo),则/=受产=2,、，一)o _-y _ 6 _ 3%=一%-，kAB x2-x y2 X x+为 先，z -6 6则线段A8的垂直平分线方程为y-y()=-/(x-2),可得x=5,y=0是的一个解，所以A5的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点,且 点 C(5,0),由可得直线A3的方程为y-yo=3 (x-2),即 1 =曰(j-j o)+2%3代入 y2=6 x 可得/2=2,0 (j -J o)+1 2,即 y2 -2 yoy+2 yo2=0 ，由题意刈，,2 是方程的两个实根，且 分2,所以A =l j o2-1 (2 城 -1 2)=-l j o2+1 8 O,解 得-2 百 V y o V 2 百,又 C(5,0)到线段 A B 的距离 h=CM=(5-2)2+(O-yo)2=)9+城,所以 SAABC=；|A B|仁;小(9 +%2)(1 2-%2),J 9 +%?=韭(9+扃(22城)(9 +),小出 9+%”：。2M二 苧,当且仅当9+城=2 1 -2 城，即 刈=布，4 (6 +4,百+近)，B J一乒,行 近),3 3或 A (6 +后,-75-77),B J-后,-V 5+V 7)时等号成立,3 3所 以 SA.C 的最大值为此巨.3【点睛】此题考查根据焦点和准线关系求抛物线方程，根据直线与抛物线位置关系求解三角形面积的最值，表示三角形的面积关系常涉及韦达定理整体代入，抛物线中需要考虑设点坐标的技巧，处理最值问题常用函数单调性求解或均值不等式求最值.1 8.(1)(4,+0 0)；(2)见解析.【解析】(1)将所求问题转化为f(x)进 一 步 转 化 为 七 一X-x2 ln(x+l)-ln(x2+1).+1 _ 1x2+12l nA+l,然后再通过构x2+1造机=In，-9二D加以证明即可.f+1【详解】(1)/(x)=1X+1a(x+2)2(%一1),根据题意，/(x)在(一1,田)内存在单调减区间,则不等式f(x)0在(T,k)上有解，由一二一 之 色 上 空，设g(x)=(x+2 ,x+1 (x+2/a 6 x+1则g(x)=(让D：2(吐 1)1=(X+)+_J _+2N4,当且仅当x=0时，等号成立,X4-1 X+1所以当%-1时，g(X)mi n=4,所以存在X 1,使得4g*)成立，所以。的取值范围为(4,+8)。(2)当。=0时，/(x)=ln(x+l),则、7 =人元1)一/(冗2)ln(x+l)/-_ln(_x2 _+11),从而玉-x2 Xj-x2所证不等式转化为X+H 2c 鬲内2(x-之x9)与，不妨设 7 则不等式转化为占+2斗一2_ln(Xj+l)-ln(x2+1)Xj+1 +13(冗1 +1)-(入2 +1)_ 2_ln(x +l)-ln(x2+1)1+1即M+1 2_网+1In x2+1x,+1 r+1 2令二”则 不 等 式 转 化 为 有 因 为x,+l x2+l 0,贝!k l,从而不等式化为inr如二D,设2(。=Inf一 型 二D,则加)=1；-ff+i t+i t Q+i)=三%0,所以，在(1，”)上单调递增，所以加Q)m=0即不等式Inf 改二2成立，故原不等式成立.【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性、利用导数证明不等式，这里要强调一点，在证明不等式时，通常是构造函数,将问题转化为函数的极值或最值来处理，本题是一道有高度的压轴解答题.1 9.（I ）。“=2也=；（I I）1【解析】（I ）易得 4为等比数列，再利用前 项和与通项的关系求解 ,的通项公式即可.（D）由题可知要求T2I,的最小值,再分析7；,-T2n_2的正负即可得T2I,随n的增大而增大再判定可知k=1即可.【详解】（I）因为4+1=24（“”）,故%是以4=2为首项,2为公比的等比数列,故%=2.又当=1时，仇=%一1,解得打=2.当 心2时，&+*+夭+1=加-1 4 +(4+；4+.-+=d_l2 3 n-有-b=%-，即组=纥(2 2).当“=1时 与=1也满足.故(%)为常数列,n n+1 n 1 I ，b h所以=1.即d=.n 1故 a a =2也=(n )因为对 G N*,N n人恒成立.故只需求&的最小值即可.设 =0,则 T2 n-T2n_2=C 21 +c2tl,(n&N+),1 1 1 1 1 1又 4I+C2=4“也用一4=(2“_ )(2，+)一声=1一下，1 1 1 1 c a l 1 1 1又当 =1 时一-=-0,“=2 时-=-4 n2-l 4 3 4 4 n2-l 4 1 5 1 6当“2 3 时，因为 4 =(+C,+C；+.+C；)2(C +C,+C )-23=8 1 +(;二 I=4 2+4 +8 4 2 1.故14 n2-l-0.4 综上可知C2T+。2”0.故7；.随着的增大而增大，故J N 4,故攵=1【点睛】本题主要考查了根据数列的递推公式求解通项公式的方法,同时也考查了根据数列的增减性判断最值的问题，需要根据题意求解T2的通项，并根据二项式定理分析其正负，从而得到最小项.属于难题.2 220.(1)+-=14 3(2)是为定值，。的横坐标为定值T【解析】(1)根据“直线/垂直于x轴时，四边形A B C O的面积为1”列方程，由此求得。，结合椭圆离心率以及。2=k+。2,求得a，c,由此求得椭圆方程.(2)设出直线/的方程x=1,联立直线/的方程和椭圆方程，化简后写出根与系数关系.求得直线A C,8。的方程，并求得两直线交点。的横坐标，结合根与系数关系进行化简，求得。的横坐标为定值T.【详解】(D依题意可知!x2a生=6,解得。2=3,即8 =6；而e =L即a =2c,结合4=+。2解得。=2,c=,2 a 22 2因此椭圆方程为土+匕=14 3(2)由题意得，左焦点厂(1,0),设直线/的方程为：x=m y l,C(x,y,),D(x2,y2).由 消去X并整理得(3疗+4)丁-6殁-9 =0,.乂 +必=/7,乂%=不*3 x+4 y=1 2,，3/+4 3 m+4直线AC的方程为：=一 三(+2),直线8。的方程为：旷=一 三(尤 2).X j +z x2-z联系方程，解得x=,又因为=3(y+%).所以x=+%)+，-6 y =一?4%=t .所以。的横坐标为定值y.3 y+必 3,+%【点睛】本小题主要考查根据椭圆离心率求椭圆方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和直线交点坐标的求法，考查运算求解能力，属于中档题.21.(1)y=&-2,y2=4 x；(2)y【解 析】利用代入法消去参数可得到直线/的普通方程,利用公式x-p cos6.八可得到曲线C的直角坐标方程;(2)设 直 线OEy=夕 sin，的参数方程为_5V3x=5/3-1,2 a为参数),iy=t-2代 入y 2=4%得 产+8 6/一1 6 6 =0,根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.【详 解】(1)由题意得点A的直角坐标为(G 1)，将 点A代 入 x-2百 +at,L得y=4+J3 力则 直 线/的 普 通 方 程 为y=瓜-2.由 psin)。=4cos6 得，sin?6=4pcos6,即 y2=4x.故 曲 线C的直角坐标方程为y2=4x.(2)设 直 线O E的参数方程为_ 0 V32 a为参数),iy=t-2代 入 丁 =得 产+8疯16百=0.设。对应 参 数 为 小 对 应 参 数 为 则4+，2=8 6，0 2=一1d石，且4。，/2。.-1 -1-_ -1-1-_ -1 -1 -_-+-/-2-_ 1PD PE h|4 J%-2-【点 睛】参 数 方 程 主 要 通 过 代 入 法 或 者 已 知 恒 等 式(如cos?a+sin2 a=1等 三 角恒等式)消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式x=pcos6y=夕 sin。(2 9 2x+y=py 等可以把极坐标方程与直角坐标方=t a n。程 互 化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题.922.(1)ci-b 6；(2)m -I n 2.8【解析】(1)根据题意，求得的值，根据切点在切线上以及斜率等于/W，构造方程组求得a,b的值；(2)函数/(x)有两个极值点，等 价 于 方 程/一 姓+1 =0的两个正根为，x2,不等式/(王)之 吵 恒 成 立，等价于m w(J 恒成立,=-X：-2$+2xj n%1,=-%3-2 x +2xnx,(0 x ),求出导数，判断单调性,即可得到久x)的范围，即m的范围.【详解】2(1)由题可知/(l)=2xl +4 =6 =b 2a,=2bx-2a-,./(l)=2Z?2a +2=2,联立可得 =/?=6.(2)当b =l时，/(x)=x2-2a x+21 n x,.,f(x=2 x-2a+-=2(xZ5a+1),X X：/(x)有两个极值点玉，2,且玉 =a 2,x.-x2=i,得 0%,2 玉 2 2令/?(%)=-x3-2x+2xl n x,(0 x g),-3 x2+21 n x 0,/?(x)在，0,彳 上是减函数，.,.(同之”方打一三一l n 2,故/一苫l n 2.2 2)o 8【点睛】该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，函数的极值点的个数，构造新函数，应用导数研究函数的值域得到参数的取值范围，属于较难题目.