高中数学选择性必修二等比数列的概念和通项公式讲义.pdf

4.3.1.1等比数列的概念和通项公式共 同 基 础 系统落实 课前自主学习，基稳才能楼高GONGTONGJICHUXITONGLUOSHI知识点一等比数列的概念(1)文字语言：一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(qHO)表示.(2)符号语言：誓i=q(q为常数，”GN*)C ln【重点总结】(1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分母，故每一项均不为0,因此公比也不为0,由此可知，若数列中有“0”项存在，则该数列不可能是等比数列.(2)从第2 项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒.(3)定义中的“同一个常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略.要点二等比中项如果在a 与 b 中间插入一个数G,使 a,G,b 成等比数列，那么G 叫做a 与 6 的等比中项.【重点总结】(1)若 G 是 a与 b 的等比中项，则?=*所以G?=ab,GVab.(2)与“任意两个实数a,b 都有唯一的等差中项人=皆”不同，只有当a、b 同号时a、b 才有等比中项，并且有两个等比中项，分别是 相 与 一 相；当 a,b 异号时没有等比中项.(3)在一个等比数列中，从第2 项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项.要点三等比数列的通项公式设等比数列 斯 的公比为4,则这个等比数列的通项公式是m3”gw。且 rWN)【重点总结】(1)已知首项小和公比q,可以确定一个等比数列.(2)在公式an=aiqi 中，有 a0，al,q,n 四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中小，q 为两个基本量.(3)对于等比数列 a。,若 q 0,则数列 a j各项同号.从而等比数列奇数项必同号；偶数项也同号.【基础自测】1.判断正误(正确的画“，错误的画“X”)(1)若一个数列为 如,且满足巫=虱2,q 为不等于0 的常数)，则这个数列是等比数列.()(2)在等比数列 小 中，若已知任意两项的值，则可以求出首项、公比和数列任一项的值.()(3)G为 a,b 的等比中项台仪二而4)(4)若一个数列从第二项开始，每一项都是它前后两项的等比中项，则这个数列是等比数列.()【答案】(1)V(2)V(3)X(4)X2.(多选题)下列数列不是等比数列的是()A.2,22.3X22,BA 尢C.5-1,(5-1)2,(5 1)3,D.0,0,0,【答案】A C D?2 3 X 22 7【解析】A 中，尹看，A 不是等比数列；B中，了=一 _比数列；当s#l 时，是等比数列，所以C不是等比数列3.已知 是等比数列，6 1 1 =1,4 4 =2 吸，则。3 =(A.2 B.2=1Q1屏,B是等比数列；C中，当s=l 时,显然不是等比数列.故选AC D.不是等C.-2 D.4【答案】B【解析】设等比数列 “的公比为q,则 有 l X q 3 =2&=(娘)3,:.q=y i,：.a尸彳=2,故选 B.4.已知等比数列 a 中，ai 2,a3 8,则 a”【答案】一2 或(一 2)【解析】-*4 1 1 2 。3=8,=4,，夕=2,.”=(2),2 1 或 许=(-2),(2)1=-2 或。“=(一2).,即a题型一等比数列通项公式的求法及应用探 究 1 基本量的计算【例 1】在等比数列 斯 中(1)6 2 4 =2,6(7 =8,求斯；(2)(2 2 +0 5=1 8,3 +a 6 =9,a,=I,求 .【解析】(1)因为a4=aiq3,。7=。|6,所以a i 瓦 按=(一 1)义(-9)=9；b+1 =g”“一 3 X 弓又 0 3 x(：)=-1*0,所以 斯-3 X(折 是 首项为 一 多 公比为g的等比数列.于是 an3 X()=1X1.故 斯=3 X&)-2 X 0.【方法归纳】判定数列是等比数列的常用方法(1)定义法：如:二观 是常数)或巫=式4 是常数，2)台 m 为等比数列.C t n Cln-(2)等比中项法:c&+i=an-an+2(,an0,eN*)斯 为等比数列.(3)通项公式法：斯=口-|(其中0,q 为非零常数，eN)O a“为等比数列.【易错辨析】忽略等比数列各项的符号规律致错【例 5】在等比数列 斯 中，。5=1，9=8 1,则“7=()A.9 或一9 B.9C.27 或一27 D.-2 7【答案】B【解析】由等比中项的性质得质=。5。9=81,.47=9,由于等比数列中的奇数项的符号相同，所以47=9,故选B.【易错警示】1.出错原因没有弄清等比数列各项的符号规律，直接由等比中项得”7=9,错选A.2.纠错心得在等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同.解此类题时要小心谨慎，以防上当.一、单选题1.已知等比数列 4 中，出是%,%的等差中项，则数列 q J 的公比为()1 1A.-彳或 1 B,-C.-D.12 2 2【答案】A【分析】首先根据题意得到2%=4+生，从而得到2/4 1 =0,再解方程即可.【解析】由题知：物=4+小，所以2 夕 2=1 +4，g p 2。公比ql,根据题意,4 0+4)=；q q2求解.【解析】设等比数列 4 的首项为40,公比4 1,由题意得i=1 ,+%+6 +。5 =9 3即4(1 +4)=；。“2%(1 一 力=9 3解得 4 =2所以 6 =。“4=4 8 ,故选：D5.在等比数列 q 中，若。延-4 4 为定值，为数列 q 的前项积，则下列各数为定值的是（）A.纵D.Tl4B.兀C.几【答案】C【分析】根据等比数列的通项公式用4 M表示出4 4%,然后再分别表示出各选项中的积进行判断.【解析】设公比为q,则4 4%=4 a/q d=d/8 =(q/)3为定值，即 而 为定值，7；=4 4 0 1 =可/L=心 1 )4=4%55=(%力”,不是定值，(II 12工2=4，66=44 2,不是定值，/1 3=4/8=(“国6y3,是定值，14x13 13ri4=a =(ai ,不是定值.故选：c.6.在各项都为正数的数列 4 中，首项4=2,S 为数列%的前项和，且 -5,1)2一43=0(2 2),贝!|5。=()A.1022 B.1024 C.2046 D.2048【答案】C【分析】当“2 2 时，/=S“一 5_,，故可以得到(4 +2 q-)(4 -2 c*)=0,因为勺+2_,0,进而得到 q -2an_,=0,所以 q 是等比数列，进而求出九=2046【解析】由(S.一S i y -4a,t,=0(2),得 如-=0,得(+一)=0，又数列 可 各项均为正数，且4=2,回数列 4 是首项4=2,公比q=2的等比数列，其前”项和$=2(1-2)=2 1 _ 2,得品,=2046,“1-2故选：C.s+17.已知数列 4 的前 项和为S“，若S,=2a“-1,则 谓 一=(“2022)A.2 B.1 C.g D.1【答案】B【分析】由S,=2a“-1,根据。,与S,的关系，得出 为 是首项为1,公比为2 的等比数列，结合等比数列的求和公式,即可求解.【解析】由数列 ,的前项和5 =2-1,当”=1 时，可得4 =S =2 6-1,所以q=l；当“2 2 时，an=Sn-Sn_=2an-l-（2an_t-1）,所以a“=2a“_|,所以%是首项为1,公比为2 的等比数列，1 02021 S 4-1所以$2=3=22以一1，喙=2?叫 所 以 谭 一 =1.故选：B.8.在等比数列 4 中，4+4=2（q+&）,则数列 4 的公 比 好（）A.2 B.1 C.1 或 1 D.-1 或 2【答案】D【分析】用%,q表示出己知等式后可得结论.【解析】由题意知4（4 +q 2）-2 q（l +q）=0,所以（1 +4（4-2）=0,所以 =-1 或“=2.故选：D.二、多选题9.（多选题）已知等比数列 4的前 项和是S,1,则下列说法一定成立 的 是（）A.若。3,则%21 B.若。4 ，则。2020 C.若“3。，则$2021 D.若 43。，则 S2021V 0【答案】A B C【分析】根据等比数列通项式，前项和S.代入即可得出答案.【解析】设数列 q 的公比为。，当4 o,则“2=&q20n t 0,A正确；当包 0,则。2。2。=。M刈6 0,B正确.又当g w i时，s2a2小仆0一泮）,1-4当q 0,1-/以 0,.邑0 0,当 04 0,1-?2021 0,.-.S2021 0,当 q l 时，l-q 0,l-q 2 M 0当g=l时，S2021=2 0 2 1 a,0,故C正确，。不正确.故选：ABC10.（多选题）若数列9”是等比数列，则下面四个数列中也是等比数列的有（）A.ca）（c 为常数）B.an+an+i）C.an-an+i）D.a；【答案】CD【分析】A.由c=0判断；B.q=-1时判断；CD.由等比数列的定义判断.【解析】当c=0时，c a j不是等比数列，故A错误；当数列 册 的公比q=-1时，an+an+1=0,册+%+i不是等比数列，故B错误；由等比数列的定义，选项CD中的数列是等比数列，故CD正确.故选：CD1 1.设数列 q 是各项均为正数的等比数列，7.是 q 的前”项之积，%=27,=，则当刀,最大时，的值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】A B【分析】设等比数列也 的公比为q,求出q的值，进而可求得数列 4 的通项公式，解 不 等 式 1,求出的取值范围，即可得解.【解析】设等比数列 4 的公比为4,则&乌=4=（，可得%=；，令氏=3$-2 1,解得4 5,故当7“最大时，”=4 或5.故选：A B.第I I卷（非选择题）请点击修改第I I 卷的文字说明三、填空题12.在等比数列 4 中，4=1,%=8%，5,是数列。“的前”项和，若&=6 3,则&=【答案】6【分析】由4=1,%=8%,解得 7=2 求解.【解析】在等比数列 4 中，设公比为q,因为4 =1,4 =8 2，所以=的，4#0 ,解得q=2,所以S*=；j=6 3,解得4=6,故答案为：613 .在正项等比数列%中，若 3%、2%成等差数列，则-=_.2。2023 一。2022【答案】【分析】设正项等比数列 q 的公比为4,则4 0,根据已知条件求出4 的值，再结合等比数列的基本性质可求得结果.【解析】设正项等比数列%的公比为4,则q 0,因为、J%、2 2 成等差数列，则/=3。|+2%，即=3q+2q 0,解得9=3,m,-2021-电020 _ 4 2021 4 2020 _ 因 就 匕，-2/-Q .2023 一。2022 4 1%0 2 1 1 0 2 0)/故答案为：1 4.已知正项数列”“的前项和为s“，若数列 4 的通项公式为.【答案】见=(；)“2【分析】b当 =1 时，求得 4=/0,再由 S,=-a“+。，得到 S.-=-a,i+0(“2),相减可得2%-4I=0,结合等比数列的通项公式，求得b,进而求得数列的通项公式.【解析】由题意，正项数列“满足q+S=b,a2a4=1,b当 =1 时，可得 q+S=q+4=人，贝 lj G=e 0,由 S =-an+b,则 S _=-an_x+h(n 2,neN+)9两式相减可得2 4-。自=0,所以2=(N2,eN+),-i 2即数列。“为公比为!的等比数列，所 以 生=*%=2，所以%4=3 x 得=；，解得6=4,所以4=4=2，所以数列 4 的通项公式为%=q g =2 x(1/-=(I)-2.故答案为：=(1 r2.四、解答题1 5.已知S“为数列%的前项和，4=2,7s“+2=%,b,=：,7,为数列也 的前“项log 2 an 1O&2 an+和.(1)求数列 5 的通项公式；(2)若机20227；对 所 有 恒 成 立，求满足条件，”的最小整数值.【答案】(1)4 =2 3 i(2)674【分析】(1)利用递推公式，结合前项和与第项的关系、等比数列的定义进行求解即可；(2)根据对数的运算性质，结合裂项相消法进行求解即可.(1)由题意 75“+2=4+,当2 2 时，7 5 2 =4,两式相减得：7。“=a+l-an,即：4+1=瓯,(2 2),所以“2 2 时，4 为等比数列又因为=1 时，=75+2=7x2+2=16,所 以 生=8,所以，对所有 wN*,/是以2 为首项，8 为公比的等比数列，所以 4=2X8T=232；(2),1 1由题知：bn=-；-=-R-不订log2-log2 an+l log22 log221一(3”2)(3 +l)3 13 2 3 +1所以北=4+4+=1一_1 _ _ 1_4 4 7 3 n-2 3/14-13/2+1所以 20221=2022 20227；恒成立的最小加值为6 7 4.16.等差数列 中，4=3,前项和为S,等比数列出 各项均为正数，4=1,且4+$2=1 2,低 的公比4 =兴b2(1)求。“与勿；,1 1 1 求 百+豆+【答案】(1)%=3 +3(-1)=3 ,bn=y-2n(2),/,n【分析】(1)由 2 的 公 比 凄 及 4 +5 2=12可解得q =3,由4=1则/可 求，又 由 夕=/可 得 2=9,出=6,d =%-4 =3,则。可求；(2)由(1)可得S,=3(；+D ,则/=菰 g=|-.),故由裂项相消法可求9 +(+i+?z jriyri T J n ti-r j )-(1)等差数列 4 中，4=3,前项和为S”,等比数列也 各项均为正数，仇=1,且仇+S?=1 2,也 的公比5,S、q 二 4=黄，瓦,解得4=3,h=y-.2,+$2=12物,各项均为正数,回夕=3,bn=3-.由 匕 2=3,得 2=9,4=6,d=a2-a1=3,回 4=3+3(一 1)=3.(2)3(n-l)3n(n 4-1)Sn=3 +-=-,”2 21 _ 2 _2(_ _ _ 1_ S 3n(n+1)31九 九 +1J1 1 1 2 f,1 1 1 1 1 AS,S2 S 3 1 2 2 3 n n+l)/(1 1 23(n+1)3(/:+1),1 7.已知数列 小 中，tn=4,an+i2an5,求证%5 是等比数歹！J.【答案】证明见解析【分析】由册+1 5=2(如-5)结合等比数列的定义证明即可.【解析】证明：由 an+i=2an5 得 a+i5=2(on5).又 ai5=1 x 0,故数列。”一5 是首项为-1,公比为2 的等比数列.