考研高数整理.pdf
不定积分定义：原函数积分法 定义：几何意义、微元法性质/,(%)+bg(x)dx=a f(x)dx+“g(x)dxf f(x)dx=1 f(u)du+f f 3 d t比较定理：f(x)g(x)=f f(x)dx f g(x)dxJ a J a积分中值定理：，/(x)dx=黑器法定积小分部积分法I f(x)dx=8”=1=0常数项级数，极限判别法lim 0,“收 敛 n 匕,收敛、匕 n=1级数*（数学一、三）判别法正项级数（比较），比值与根植：lim%L=r或lim5 7=广 一 8 IJ H 00”unl 1,应,收敛”=1r 1,M“发散M=1r=l,未定募级数 a”(x-a)”,性质收敛土 阿贝尔定理T收敛半径T收敛域逐项求导逐项积分或的计算lim 一 8“,+1“=0或北01也=/7,R=函数项级数M=1.将端点代入常见函数的泰勒级数逐项求导与逐项积分定理傅里叶级数*（数 学 一 需 晶 雪 既 臂狄利克雷收敛定理f基本概念：方程的阶数、通 解、特解可分离变量方程：g(y)d)，=f(x)d x-J g(y)y=f(x)dx齐 次 方 程:=/仕 -“=2dx x J x一阶 方 程-阶 线 性 微 分 方 程:虫+P(x)y=Q(x)求解方法一 A式法：=dX 常数变易法j Q(x)J d x+c e 乎 a伯努利方程*(数学一、二)：y +p(x)y=q(x)y求 解 z=y 微分方程全微分方程*(数学一)：P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0求解方法特殊路径法(结合曲线积分)不定积分法二阶方程可降阶*(数学一、二)y =f(x,y)求”p=y，y.=半dxy J/(y,y)3M p =y,炉=乎=半？=pdx ay dx ay 性质：叠加原理线性微分方程y +P(x)y +Q(x)y=f(x)x=e 应 用：综合运用微分、积分的知识列方程定义：不 同行不同列所有元素乘积的代数和 交换行与列，行列式的值不变定义与性质LH交 换 两 行（列），行列式变号性质4某 行（列）有公倍数k,可以将k提出某 行（列）的k倍加至另一行，行列式的值不变展开定理按行展开:阳.；=1按列展开:之A4 J,Ajkj=l+q 2Ai 2+%小“=o,a 1 A l +%242+。出=|41a 1=1 A r I A lACOBAOCB0 8 T#Bmn4*,cI I 。=(-ir|A|B|特征值：网=41=1应用，矩阵A可 逆M/0AA*=a,3=，有 唯 一 解=kl*o维向量组,a“线性无关o a,.,a,丰0计算矩阵A的特征值 E-A|=0实对称矩阵正定的充要条件：顺序主子式全为正概 念：%X 的数表定 义 与 运 算运 算内 容：A+B,kA,AT,AB运 算 法 则AB*BAA B=O时，不 一 定 有A=。或8=。概 念：AB=BA=E矩 阵逆 矩 阵定 义 与 性 质 常 见 公 式：（AT=（4 7）,分 块 矩 阵：(A 0 ,。2,，%，线 性 相 关（部分相关=整体相关）相关定理，“线性无关，a,a2,线 性 相 关=解自由%,。2，.,区“线性表出四,能由4,力线性表出，s r =必,见线性相关 +1 个维向量必线性相关极大线性无关组向量组的秩，定义性 质：与原向量组等价；同一向量组任两个极大无关组所含向量个数相同向量（火十,4）:极大线性无关组中所含向量的个数矩阵的秩：非零子式的最高阶数常见公式r（A B）r（A 8）=r（8）,r（A B）=r（A）A B 0=r（A）+r（B）nn,r（A）=nr（A*）=0,r（A）4 r（4 火.，月）A x=b有 解（A =。用高斯消元法将方程组化为阶梯型方程组后，不出现矛盾方程（0 =d）o b能 由%，,a”线性表出。向量组 a,a“与巧,.,%,8等价=r(al,a2,.,an)=r(al,a2,.,a,l,b)r（A）=r（A,b）已知A x=b有解，则其解唯一=用高斯消元法将方程组化为阶梯型方程组后，非零方程数=n A x=0仅有零解线性方程组解唯一的条件。由%线性表出的方式唯一&线性无关=rai,a2,.,an)-no r(A)=n解的性质定义：都是A x=0的解，线性无关，能线性表出A r =0所有解解的结构基础解系1定理：A x=0的 基 础 解 系 中 含 有 个 向 量计算方法：求r（A）；求A x=0的-r（A）个线性无关的解Ax=0的通解：用/+k2r）2+.+kn_rr jn_r,X =b的通解：跖+4 2%+女“_力“一+（）定义与性质特征值相似对角化实对称矩阵定义:Aa-A a.a*0求法：|A-1E|=0,（A-/lE）x=0常见性质 不同特征值的特征向量线性无关Aa-Aa=f（A）=f =）（4 可逆时）“A）=O n/=0 4 =（A）,f l 4 TAi2有k个线性无关的特征向量=2至少为k重特征值A B A-A E =B-AE充要条件阶矩阵A可相似对角化=A有个线性无关的特征向量o A的每个特征值重数都等于其线性无关的特征向量个数。对4的每个特征值几 都有人 的重数=判断矩阵A是否可对角化：求出特征值；找到所有重根九检验力的重数=-/（A-a E）相关计算A与P的计算：计算矩阵的特征值与特征向量反求矩阵A:利用等式4=PAP-i求A或（A+kE）:A=PAp-,（A+kE）=P（A+AE）P 特殊性质：特征值全为实数，不同特征值的特征向量正交，可相似对角化 定义：A=QA0T,Q为正交矩阵正交相似对角化。的计算求出所有特征向量将同一特征值的特征向量正交化单位化.人 定 义：元二次齐次多项式概 念4 ,矩 阵 表 示：/=为实对称矩阵）惯性指数x Z x与y7B y合 同：存在可逆矩阵C,使得x Z x /方;或3=（5?定 义 求 法 0 x r A x正 定（A，=A）x l x的正惯性指数为正定二次型4o A的特征值全为正oA的合同规范型为0三可逆矩阵P,使得A=PP。A的所有顺序主子式全为正随机事件概念：样本空间的子集，部分结果组成的集合、一 侬 内容+5=AU 8,A3=AC 8,A 8运算 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 法则：（A+B）C=AC+8C,AU5=X n 及=火关系：包含，相等，互斥，对立，完备事件组概率公理化定义：P（A）0,P（Q）0,可列可加性条件概率：P（A I3）=:丁）（B（3）0）独立：P（A8）=P（A）P（B）A,B,C相互独立简单概型随机事件与概率古典概型（有限等可能）：概率=样本点数之比几何概型：概率=面 积（长度）比伯努利概型：独立重复试验加法公式(4+B)=P(A)+P(3)尸(4 8)推广：P(A+fi)=P(A)+P(B)(A,BKJ5).P(1)=1 P(A)P(A+B+C)=P(A)+P(8)+P(C)-P(A8)-P(8C)+P(AC)-P(ABC)常用公式减法公式:P(A 3)=P(A)P(AB)乘法公式：P(AB)=P(A)P(B I A),P(A)0全概率与贝叶斯全概率公式：P（8）=EP（B I&）p（4）k=l贝叶斯公式：尸（4 期）=P（*A,）P（A,）P（3 I 4）P（&）k=l分 布，随机变量定义：F(x)=P(X x)F(x,y)=P(X x,Yy)分 布 函 数，性 质 充 要 条 件：单调不减;尸(-o o)=0/(+o o)=l;右连续人 其 它 性 质：P(X F(x,y)=J v f(u,v)du概率密度充要条件：/(x)0,fxdx-f(x,y)0,y)dxdy=1R2性 质 仍（x）连 续（连 续 型），P（X=a）=0其它性质 j pg x P (X,y)c O =J J/(x,y)d x d yD定 义：P(X=x j=pi p(x =x;,y =%)=Pjj分 布 律 4充 要 条 件：Pi 0，E Pi=1 期T Pu N 0，E Pij=1i ij边缘与条件边缘分布边缘分布函数：七（）=/*,+8）边缘概率 密 度：f x（x）=f（x,y）dyJ-co边缘分布律：Pi=Puij条件分布条件概率密度：fx（x）条件分布律：p（y=x x=x）=PL尸（x，y）=F*（x）4（y）独 立 性：联合分布=边 缘 分 布 x 边 缘 分 布，f （x,y）=A（x）/r（y）Pa=Pi.P.j常见分布彳 基本要求要 求 1特殊方法一 维 离 散：0-l,B（M,p）,G（p）,P（2）内容，一维连续：U二 维：夕）（记 忆）：概 率 密 度 或 分 布 律（二 维 正 态 除 外），期 望 方 差（一 维）B（n,p）,G（p）：独立重复试验均 匀 分 布（一 维 与 二 维）：概率=长 度（面 积）比正 态 分 布：标 准 化，对称性二 维 正 态：x,y 的线性组合仍为正态分布；x,y 独 立 op=o基本计算公式数字特征大 数 定 律，E(g(X)=-gMf(x)dxi：E(g(X/)=3 g(x,)P,D X =E X2-(EX)2,cov(X,Y)=EXY-EXEY,pXYf常见分布的期望方差特 殊 性 质（记 忆）重要公式相关系数J J g(x，y)/(x,y)d x d yR2#(七,匕 也i，jc o v (x,y)NDXDYDE(kX)=kE(X),O(k X)=/)(x),c o v(k X,y)=k c o v(X,y)2)E(X+y)=E(x)+E(y),o(x +r)=r (x)+D(y)+2 c o v(x,y)c o v(X +Y,Z)=c o v(X,Z)+c o v(y,Z)3)c o v(y,X)=c o v(X,y),c o v(X,X)=D X4)X,y独立 时，EXY=EXEY,cov(X,K)=0,D(X+Y)=D X +DYpX Y =,P(Y=aX+b)=a 0,pXY=1C l 0,PXY=-1(|px r|）4竽 x“依概率收敛于:We 0,l imP（|X -”厂-N(0,1)A=I基本概念：总体，样本，样本值常见统计量 工 一 一 T2X=-X k：E X =,DX=k=i 葭sf(s=Vsxk-x:ES2=a2数理统计统计分布X/()：X为 个相互独立的标准正态分布的平方和；EX=n,DX=2nt t2(ny.t=-,X N(0,l)；Y/(”)；X,y独立YinY/JYIF F(/n,n):F +,X/(m)；Y/()；X,丫独立Yin2、1“2X(n-l)S21正态总体下的统计量（XN（,b 2）(72Z(-X)2 Z2(n-DA=1文与S 2独立G(x -)sn(X-jL i32矩估计：求出EX=g(e),解出e=g T(E x).o =点估计极大似然估计 写出似然函数在可能的取值范围内求。的取值。使得L达到最大值参数估计区间估计*（数学一）无偏性：E O =e估计量的评选标准”（数学一）有效性：E d =E 02=e,E仇：仇比仇有效一 致 性（相合性）：。依概率收敛于。假设检验*（数学一）
