2023年河北省秦皇岛市高考冲刺模拟数学试题含解析.pdf

2023年高考数学模拟试卷考生须知：1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若（1+依）（1 +幻5的 展 开 式 中 的 系 数 之 和 为_ 0,则实数。的 值 为（）A.3B.-2c.-1D.12.已知cI GR若(T-ai)(3+2i)为纯虚数，则a的 值 为（）33_ 22A.B.-C.D.一2233.在正方体A3 CD-A与G中，点E,F,G分别为棱A。-D,D ,的中点，给出下列命题：A _ L E G G C/E D；平面BGG；族 和 成 角 为 囚.正 确 命 题 的 个 数 是（）4A.0B.1C.2 D.34.已知i为虚数单位，实数%）满足（x +2 =y 贝!l|x y i|=（）A.1 B.V2 C G D.y/55.已知复数2=亘，贝!I z的共转复数在复平面对应的点位于（）1-iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.已知底面是等腰直角三角形的三棱锥尸-ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（）QA.PA,PB,PC两两垂直 B.三棱锥P-45C的体积为C.|P A|=|P B|=|=V 6 D.三棱锥P-45C 的侧面积为3蓬37,已知a是第二象限的角，t a n（万+a）=-一，则s i n 2a =（）48.要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（）A.84 B.54 C.42 D.18，29.已知双曲线C:吞-与=1（0*0）的左、右焦点分别为，F、,点尸是C的右支上一点，连接P”与y轴交于a b点 M,若|耳。|=2|。用|（O为坐标原点），PFt PF2,则双曲线C的渐近线方程为（）A.y=i3x B.y=C.y=2x D.y=+/2JV10.已知集合A=y|y=|x|-1,xGR,B=x|x2,则下列结论正确的是（）A.-3GA B.3B C.AC1B=B D.AUB=B11.我国古代数学巨著 九章算术中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女35子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布一尺，则这位女子织布的天数是（）31A.2 B.3 C.4 D.112.设耳，鸟是双曲线3一 方=1（。0,方 0）的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点尸，使（而+西 卜 哥=0（。为坐标原点），且 两=百9，则双曲线的离心率为（）A.立 里 B.V2+1 C.D.V3+12 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知多项式（无+2）（尤+1）=4+4然+。2*2+a,+x满足=4，1=1 6,则m+=,aQ+at+a2+ani+n=-.14.已知等比数列%的各项都是正数，且成等差数列，则 例233+。4）一 团2（4+。5）=15.已知函数/0）=以2%+。011%一以）$%）+3%+2019在 0,71上单调递增，则实数a值范围为.16.已知随机变量,服从正态分布N（3,），若P（7 6）=0.4,则P 0)过点(加,2面)(加().(1)求抛物线C 的方程；(2)口是抛物线C 的焦点，过焦点的直线与抛物线交于A,B两 点,若 旃=2 丽，求 IA 8 I的值.2v220.(12分)已知椭圆C、+a-3l(a 0,0 0)的长轴长为4,离心率e=#(1)求椭圆C 的方程;(2)设 A 3 分别为椭圆与x 轴正半轴和)轴正半轴的交点，尸是椭圆C 上在第一象限的一点，直线Q 4与),轴交于点 M，直 线 必 与 x 轴交于点N,问APM N与 AR43面积之差是否为定值？说明理由.21.(12分)为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区，在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记，由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验，在某普查小区，共有50家企事业单位，150家个体经营户，普查情况如下表所示：普查对象类别顺利不顺利合计企事业单位401050个体经营户10050150合计14060200(1)写出选择5个国家综合试点地区采用的抽样方法；(2)根据列联表判断是否有9 0%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；(3)以该小区的个体经营户为样本，频率作为概率，从全国个体经营户中随机选择3家作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为X,写出X的分布列，并求X的期望值.n(ad-be)，(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2k0)0.100.0100.0012.7066.63510.82822.(10分)在 平 面 直 角 坐 标 系 中，已知椭圆。的中心为坐标原点。，焦点在x轴上，右顶点A(2,0)到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为工.2(1)求椭圆C的标准方程；(2)若是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，设P(-4,0),连接PM交椭圆C于另一点E.求证：直线NE过定点B,并求出点8的坐标；(3)在(2)的条件下，过点8的直线交椭圆C于S,T两点，求砺.讨的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】由（1 +0 X）（1 +x）5=（l +X）5+0 X（1 +X）5,进而分别求出展开式中X2的系数及展开式中X3的系数，令二者之和等于-1 0,可求出实数”的值.【详解】由（1 +a x）（l +x）5=（1 +x）5+ax（y+x）5,则展开式中x2的系数为C；+C5 =10 +5 ,展开式中x3的系数为Cl+C52=10 +10 ,二者的系数之和为（10 +5a）+（10 a +10）=15a +20 =10,得a=2.故选：B.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.2.A【解析】根据复数的乘法运算法则化简可得3+2a+（2-3）z,根据纯虚数的概念可得结果.【详解】由题可知原式为3+2a+（2 3“）i,该复数为纯虚数，3+2。0 3所以c =-2-3a H 0 2故选：A【点睛】本题考查复数的运算和复数的分类，属基础题.3.C【解析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.【详解】设正方体边长为2,建立空间直角坐标系如下图所示，A（2,0,0）C（0,2,2）,G（2,l,2）,C（0,2,0）,E（l,0,2）,Z）（0,0,0）,B,（2,2,2）,F（0,0,l）,B（2,2,0）.，A q =（-2,2,2）,E G =（1,1,0）,A q-G =-2+2+0 =0,所以AG_LEG,故正确.，G C =（-2,1,-2）,ED=（-1,0,-2）,不存在实数；I使 江=4诟，故G C即不成立，故错误.，m=(2,2,-1),而=(O,T,2),g=(一2,0,2),而.丽=0,m.莺=2/0,故 与 尸，平 面BGG 不成 立，故错误.，丽=（1,0,1）,函=（0,0,2）,设 瓦 和 成 角 为 凡 贝ijcos9=炉瓯RW邛,由于7120,g ,所 以6=3,故正确.I，_ 4综上所述，正 确 的 命 题 有2个.【点 睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.4.D【解 析】,/(x+2z)z=-2+xi=贝！Jz=1-i1-i（7-f）（7+/）所以复数Z在复平面内对应的点的坐标为（一,，位于复平面内的第三象限，故 选C.点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中根据复数的四则运算求解复数Z是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6.C【解 析】根据三视图，可 得 三 棱 锥 P-A 5 C 的直观图，然后再计算可得.【详 解】解：根据三视图，可 得 三 棱 锥 P-A B C 的直观图如图所示，P其 中。为 4 8 的中点，底 面 ABC.1 1 4所 以 三 棱 锥 P-A 3 C 的体积为一x x 2x 2x 2=,3 2 3.,|A C|=|B C|=|P D|=2,|A B|=ylACf+BCf=24 2 .-.DA=DB=DC=4 2,.,I PA|=|PB|=|PC=,22+(V 2)2=瓜-.PAf+PBf ABf,:.PA./8不可能垂直，即PA,PB,P C 不可能两两垂直，SA叫=g x 2血X 2=2 0,.SBC=S A C =；x J:/X 2=6.三 棱 锥P-ABC的 侧 面 积 为2石+20.故 正 确 的 为 C.故选：C.【点 睛】本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题.7.D【解 析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出cos2 a，再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【详 解】3因为tan（乃+a）=,4 3=-q sin a 3由诱导公式可得,tana=-=,cos a 4nn.3即 sina=cose,4因为sin2 a+cos2 a-1,16所以 cos-a=一,25由二倍角的正弦公式可得，3 2sin 2a=2 sin tz cos a=cos-a,2 C 3 16 24所以sin 2。=x=.2 25 25故选:D【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题.8.C【解析】根据题意，分两种情况进行讨论：语文和数学都安排在上午；语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案.【详解】根据题意，分两种情况进行讨论：语文和数学都安排在上午，要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻，将2节语文课和2节数学课分别捆U A 3绑，然后在剩余3节课中选1节到上午，由于2节英语课不加以区分，此时，排 法 种 数 为3弋,、=18种:4语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但2节语文课不加以区分，2节数学课不加以区分，2节英语课也不&国6加以区分，此时，排法种数为=24 种.综上所述，共有18+24=42种不同的排法.故选：C.【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题.9.C【解析】利用三角形A0M6与APgE相似得|P6|=2仍 用，结合双曲线的定义求得仇c的关系，从而求得双曲线的渐近线方程。【详解】设耳(c,0),玛(c,0),由怩q =2|QM|,A。耳与AP吊尸相似，所以瑞=曝!=2,即 阀|=2|尸 部又因为|尸耳|-|尸闾=为,所以|尸制=4a,|P闾=2。，所以 4c2 =1 6/+4/，B P c2=5a2 /=4/，所以双曲线C的渐近线方程为y=2x.故选：C.【点睛】本题考查双曲线几何性质、渐近线方程求解，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力。10.C【解析】试题分析：集合A=y|yN-l.8=A，A cB =B考点：集合间的关系11.B【解析】将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题.【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题，在等比数列 ,中，公比4=2,前八项和为S“，$5=5,S,=,求加的值.因为S故选：D【点睛】本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质，难度一般.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.5 72【解析】,多项式(x+2)(x+1)=6!()+atx+a2xz H-H ”满足/=4,tz,=16令x=0,得2xl=4=4,则加=2(x+2丫”(x+1)”=(f +4x+4)(x+1)”该多项式的一次项系数为4C：T +4 c 1-=16/.n 3m+n =5令 x =1,得(1 +2)x (1 +1)3=a0+o2 H-h am+n=7 2故答案为5,7 21 4.-2【解析】根据等差中项性质，结合等比数列通项公式即可求得公比；代入表达式，结合对数式的化简即可求解.【详解】等比数列 凡 的各项都是正数，且 3%,；4，44成等差数列，则 a3=3 a 2 +4 q ,由等比数列通项公式可知q炉=3 4 q +44，所以 q 2 _ 3 q _ 4 =0,解得4 =4 或 q=-l (舍)，所以由对数式运算性质可得log 2 +a4)-log2(a4+a5)=皿 4+%9 3 1=四 2/W=32!%q+q q q,1 c=log 2-=-2 故答案为：-2.【点睛】本题考查了等差数列通项公式的简单应用，等比数列通项公式的用法，对数式的化简运算，属于中档题.1 5.-,3 1【解析】由f(x)2 0在 0,兀 上恒成立可求解.【详解】f(x)=-2 sin 2x+(cos x+sin x)+3,令1=cosx+sinx=Vsin(x+),:x e 0,7i,A t e,4又产=l+sin2x，sin2x=1 f2 从 而/(x)=-2厂+3 +5,令gQ)=2/+5,.g(1)=-2 a+5 2 0 6问题等价于g(/)2 0在用时恒成立，jg(0)T +&q +s。，解得 苧a 4 3.故答案为：一 也,3.2【点睛】本题考查函数的单调性，解题关键是问题转化为/(2 0恒成立，利用换元法和二次函数的性质易求解.16.0.4【解析】因为随机变量(服从正态分布N3,利用正态曲线的对称性，即得解.【详解】因为随机变量，服从正态分布N3,o-2所以正态曲线关于x=3对称，所 P 6)=0.4.【点睛】本题考查了正态分布曲线的对称性在求概率中的应用，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)详见解析；(2)且.5【解析】(1)连接A C,由菱形的性质以及中位线，得B D L F E,由平面以。，平面A B CO,且交线A。，得P E L平面A B C D,故 而 即 最 后 由 线 面 垂 直 的 判 定 得 结 论.（2）以E为原点建平面直角坐标系，求出平面平2 4。与平面P 8/）的法向量机=（0,1,0）,7 =（6,-1,一1）,最后求得二面角3-尸。一4 的余弦值为*.【详解】解：（1）连结ACV P A =P D ，且 E是 A 的中点，:.P E L A D:平 面 BAD _ 1 _ 平面A B C D,平面P A。0平面A B C D =A D ,:.平面 A B C D.:B D u 平面 A B C D,:.B D P E又 ABCD为菱形，且昆厂为棱的中点，E F/A C,B D A C二 B D E F.又,：B D 人 PE,P E c E F =E,P E,E/7 u 平面二 平面 PEF.（2）由题意有，四边形A B C。为菱形，且 N B A。=6 0 ,A E B 1 A D分别以E 4,EB,EP所在直线为x 轴，）轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系中，设4）=1，则、(小 一；1,0,0）,3 0岑，0 尸 0,0,一22设平面P B D的法向量为 =(x,y,z).,而 D B =0,x+/3y =0由 4 一一,得 L n D P -0 x+Gz=0令 x=6 ,得=(6,取平面A P D的法向量为联二(0,1,0)工 c o s m,）=-A =一 二面角B-P D-A为锐二面角，二面角B-P D-A的余弦值为5【点睛】处理线面垂直问题时，需要学生对线面垂直的判定定理特别熟悉，运用几何语言表示出来方才过关，一定要在已知平面中找两条相交直线与平面外的直线垂直，才可以证得线面垂直，其次考查了学生运用空间向量处理空间中的二面角问题，培养了学生的计算能力和空间想象力.21 8.(1)曲线C：+/=1,直线/的直角坐标方程x y +2 =0；(2)1.3【解析】试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线。化为普通方程，再根据x=p c o s a y =p s i n d将直线/的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据题意设直线4参数方程，代 入C方程，利用参数几何意义以及韦达定理得点M到A,8的距离之积2试题解析：（1）曲线C化为普通方程为：+/=1,3-吟p c o s 6+-=-,得p c o s 9-Qs i n(9 =_ 2,I 4J所以直线/的直角坐标方程为x-y +2 =0 .(2)直 线4的参数方 程 为 7+国2庭y =t-2。为参数),代 入、_+丁=1化 简 得：2/_拉2 =0,设A,3两点所对应的参数分别为4,弓，贝I 也=T，二|川4卜 阴=卜1+1.,91 9.(1)力以(2)-2【解 析】代入(加,2向)计算即可.(2)设 直 线A B的 方 程 为y =&1)，再联立直线与抛物线的方程，消 去x可 得)的一元二次方程，再根据韦达定理与旃=2而 求 解3进而利用弦长公式求解即可.【详 解】解：(1)因 为 抛 物 线C ：/=2Px 0)过 点(m,2面)，所 以4 m=2 p m,所 以p =2，抛 物 线 的 方 程 为y2=4x(2)由题意知直线A B的斜率存在，可 设 直 线A B的 方 程 为y =-x-1),4(石,y ),以 毛,力).因为BF=2万i，所以%=-2%,联立y =Z(x-l)9 4 4 4 9l/=4 x，化 简 得 人 正 一4 二。,所 以 乂+%，加7,所 以 乂=-户-=2,解得k=2y/2，所以|4例=%+%)2-町火【点 睛】本题考查抛物线的方程以及联立直线与抛物线求弦长的简单应用.属于基础题.22 0.(1)2-+/=1 (2)是定值，详见解析4【解 析】a=2(1)根据长轴长为4,离心率6 =立，则 有 =四 求解.2 a 2a2-b2=c2 设 P（X o，%）（%。，%0），则 4工0 2 +为2=4,直线 P A：y =-2 a _ x-i）,令 x=o 得，yM=,则/T/一 BM=l-yM,直线尸8:丫 =迎 匚 尤+2,令y =0,得则1 4V l邛 一*，再根据X2%一 ,SMN-SAPAB=（-SAEW）-_ *A/W V ）=MAN ABAN 求解.【详解】(1)依题意得a=2c V 3 0,%0），则4 x02+为2 =4,直线 PA：y =-7（x _ l）,尤0-1令 尤=0得，加=,则忸M=|2-%|=2 +白直线P B:y=*2犬 +2,X2-2xo令y =0,得4=-%-2则|AN|=|1 0|=1+%|V n 一，S 2 M N SfiPAB=S居AN)-CsPAN)=M A N SISBAN2N Z2/一12.【点睛】本题主要考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，还考查了平面几何知识和运算求解的能力，属于中档题.21.(1)分层抽样，简 单 随 机 抽 样(抽 签 亦 可)(2)有(3)分布列见解析，E(X)=2【解析】(1)根据题意可以选用分层抽样法，或者简单随机抽样法.(2)由已知条件代入公式计算出结果，进而可以得到结果.(3)由已知条件计算出X的分布列，进而求出X的数学期望.【详解】(1)分层抽样，简单随机抽样(抽签亦可).(2)将列联表中的数据代入公式计算得k1=n(ad-he)22(X)(40 X 50-100X1 0)3 J 7 5 2J0 6(a+b)(c+d)(a+c)S+d)140 x60 x50 x150所以有9 0%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”.2(3)以频率作为概率，随机选择1家个体经营户作为普查对象，入 户 登 记 顺 利 的 概 率 为X可取0,1,2,3,计算可得X的分布列为:X0123P1272949827E(X)=3x g =2【点睛】本题考查了运用数学模型解答实际生活问题，运用合理的抽样方法，计算/以及数据的分布列和数学期望，需要正确运用公式进行求解，本题属于常考题型，需要掌握解题方法.2 222.(1)+匕=1；(2)证明详见解析4 3,8(-1,0)；(3)-4,-：【解析】(1)根据题意列出关于。c的等式求解即可.(2)先根据对称性，直线N E过的定点B一定在x轴上，再设直线P M的方程为y=%(x +4),联立直线与椭圆的方程，进而求得N E的方程，并代入乂=%（西+4）,必=（无2 +4）化简分析即可.（3）先分析过点B的直线S T斜率不存在时O S -0 T的值，再分析存在时,设直线S T的方程为y=m（x+1），联立直线与椭圆的方程，得出韦达定理再代入面面=占七+%以 求解出关于攵的解析式，再求解范围即可.【详解】2 2解：（1）设椭圆C的标准方程二+2=1（人0）,焦距为2c,a b由题意得,=2,a-c _ c _ 1由 a2 一。一2,可得c=L-ac则。2=4-C2=3,2 2所以椭圆C的标准方程为工+匕=1；4 3（2）证明：根据对称性，直线N E过的定点B一定在x轴上，由题意可知直线P M的斜率存在，设直线P M的方程为y=k（x+4）,y=k（x+4）联立丁，消去），得到（较2+3）/+3 2女2%+6 4 -12=0,-1-=14 3设 点/（和 乂）,七（工2，%），则 N(X 1,-M).所以内+x2=32k2 6 4 P-12族。中2=前行，所以N E的方程为y一%二 巨 以 一 马）,x2-X）令 y=o,得 x =2 =将y =k(3+4),y2=k(x2+4)代入上式并整理,2%工2 +4（%+%）玉 +*2+8（128 24）128左 2整理得x=-丁 一-穴=-1,-32k2+（24+32k2）所以，直线NE与x轴相交于定点B（-1,O）.（3）当过点8的直线ST的斜率不存在时，直线ST的方程为x=l 丁（-1，一?此时OS.OT=_己,4当过点B的直线ST斜率存在时，设直线ST的方程为v=，（x+1）,且S（,%），7（声，”）在椭圆。上,y=mx+）联立方程组1 x2 y2,14 3消去）,，整理得（4m2+3）%2+8m2x+W-l2=0,则 A=（8/y-4（4/2 +3）（4/2-12）=144（疗 +1）（）.8m2所以工3 +Z4m2-12-,X.X,=-4加 +3 4 r +3 ）9/7?所以y3y4 =m2 （工3 +1）（工4+1）=加2 （1314+工3 +*4+1）=-不-，4m+3所以os-oT=七匕+%=5M+12 _5 _ 334，+3 4 4（4/+3）5由40,得0 S 5 C T,三综上可得，丽.讨 的 取 值 范 围 是-4,-1【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及定值和范围的问题，需要分析直线的斜率是否存在的情况,再联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理以及所求的解析式，结合参数的范围进行求解.属于难题.