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为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益数学推理方法一、推理 推推理理是从从一一个个或或几几个个已已知知的的判判断断，得得出出另另一个新判断的思维形式。一个新判断的思维形式。演绎推理演绎推理 推理推理 归纳推理归纳推理 合情推理合情推理 类比推理类比推理为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 数数学学推推理理方方法法是是寻寻求求新新结结果果、由由已已知知进进入入到到未未知知的的方法；也是解答数学问题、进行数学证明的工具。方法；也是解答数学问题、进行数学证明的工具。例如：例如：（1）因因为为角角A角角和和B是是对对顶顶角角，所所以角以角A等于角等于角B。（2）因因为为四四边边形形ABCD是是平平行行四四边边形，所以其对角线互相平分。形，所以其对角线互相平分。演绎推理 推推理理的的结结构构：任任何何推推理理都都包包含含前前提提和和结结论论两两部部分分。前前提提是是推推理理的的依依据据部部分分，可可以以是是一一个个也也可可以以是是几几个个；结论是根据前提所推出的判断。结论是根据前提所推出的判断。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益（3）因为）因为 S=180，S四边形四边形=2180，S五边形五边形=3180，所以所以 Sn边形边形=(n-2)180.（4）(5)归纳推理类比推理类比推理显然这个推理是错误的显然这个推理是错误的为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益二、演绎推理与合情推理 1 1、演演绎绎推推理理属属逻逻辑辑推推理理范范畴畴。逻逻辑辑推推理理要要求求，在在推推理理的的过过程程中中要要合合乎乎逻逻辑辑推推理理的的形形式式，遵遵守守推推理理的的规则。规则。演演绎绎推推理理中中常常用用的的方方法法是是三三段段论论法法，所所遵遵守守的的规规则则是是：若若集集合合A中中所所有有元元素素都都具具有有属属性性F，则则A中中每每一一个元素也具有属性个元素也具有属性F。即。即 三段论法三段论法 大前提大前提 （定理、公理等）（定理、公理等）小前提小前提 （已知）（已知）结论结论 演绎推理是从演绎推理是从一般到特殊一般到特殊的推理方法。的推理方法。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益归纳推理与类比推理都属于合情推理。归纳推理与类比推理都属于合情推理。演演绎绎推推理理多多用用于于证证明明，而而合合情情推推理理多多用用于于发发现现。在在数数学学领领域域中中，合合情情推推理理的的方方法法也也被被称称为为是是数数学学发发现的方法。数学家的发现多用的是这种方法。现的方法。数学家的发现多用的是这种方法。2 2、合合情情推推理理是是运运用用观观察察、实实验验、归归纳纳、类类比比、猜猜想想、验验证证等等一一套套自自然然科科学学中中常常用用的的、探探索索式式的的方方法进行的推理。法进行的推理。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益1 1、归归纳纳推推理理是是观观察察资资料料、认认识识模模型型并并从从观观察察作作出概括的过程，所得出的概括叫做出概括的过程，所得出的概括叫做猜想猜想。归纳推理是由归纳推理是由特殊到一般特殊到一般的推理方法。的推理方法。归纳推理又称为归纳法归纳推理又称为归纳法。完全归纳法完全归纳法 归纳法归纳法不完全归纳法不完全归纳法三、归纳推理为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益由由于于用用完完全全归归纳纳法法解解决决问问题题时时考考虑虑到到了了事事物物的的所所有有对对象象的的情情况况，所所以以完完全全归归纳纳法法是是一一种种严严格格的的推推理理方方法法。其其前前提提和和结结论论之之间间有有着着必必然然的的联联系系，如如果果把把演演绎绎推推理理看看成成是是前前提提和和结结论论之之间间有有着着必必然然的的联联系系的的推推理理，那那么么完完全全归归纳纳法法实实质上是演绎推理。质上是演绎推理。例如：例如：1，2，3，4，5，以其元素作为真数和底数，能出现以其元素作为真数和底数，能出现多少个不同的对数值？多少个不同的对数值？43+1=13 完完全全归归纳纳法法是是根根据据某某类类事事物物中中每每一一个个对对象象（或或每每一一个个子子类类）的的情情况况，作作出出关关于于事事物物一一般般性性结结论论的的推推理理（又又叫叫枚枚举法）。举法）。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 不不完完全全归归纳纳法法具具有有不不可可靠靠性性，应应用用不不完完全全归归纳纳法法推推理理得得出出的的结结论论只只是是一一种种猜猜想想，其其正正确确与与否否还还要要经过验证或证明。经过验证或证明。在在用用不不完完全全归归纳纳法法进进行行数数学学归归纳纳时时，应应注注意意归归纳纳的的基基础础，一一部部分分对对象象应应当当有有一一定定的的数数量量，过过于于少少了会影响猜想的正确性。了会影响猜想的正确性。不完全归纳法不完全归纳法是根据事物中是根据事物中一部分对象一部分对象的情况，的情况，而作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。而作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 例如：例如：费尔马猜想费尔马猜想当时称为费尔马定理这说明费尔马猜想不是定理为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 又如：又如：哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想4=22，6=3+3，8=3+5，10=3+7=5+5，12=5+7，14=3+11=7+7，16=3+13=5+11，18=5+13=7+11，猜猜想想，任任意意大大于于或或等等于于2的的偶偶数数都都可可以表示为两个素数的和。以表示为两个素数的和。陈景润为之奋斗了一生仍然是猜想为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 （1）帮助学生进入研究问题的起点帮助学生进入研究问题的起点（发现的起点）发现的起点）万万事事开开头头难难，尤尤其其是是低低年年龄龄段段的的学学生生（大大学学以以下下），习习惯惯与与接接受受式式学学习习方方式式的的学学生生，对对于于一一个个有有待待于于研研究究的的问题，往往无从下手。问题，往往无从下手。如如果果有有一一种种方方法法可可以以把把你你的的学学生生带带到到研研究究问问题题的的起起点，何乐而不为呢？点，何乐而不为呢？2 2、不完全归纳法在学生进行数学发现中的作用、不完全归纳法在学生进行数学发现中的作用为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例如：例如：数线段：从最简单的做起，寻找规律；数线段：从最简单的做起，寻找规律；2+13+2+1我我国国著著名名数数学学家家华华罗罗庚庚先先生生有有一一个个主主张张，叫叫做做“退退回回到到1 1”，其其实实质质就就在在于于研研究究问问题题要要从从最简单的做起，从特殊的做起。最简单的做起，从特殊的做起。多多边边形形内内角角和和的的获获取取：从从三三角角形形开开始始，然然后后四四边边形形、五五边边形形、六六边边形形，寻寻找找规规律律得得到到n边形内角和公式。边形内角和公式。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 特特殊殊情情形形是是具具体体的的不不抽抽象象的的，这这就就使使学学生生在在研研究究问题时，有一个具体的对象。问题时，有一个具体的对象。例例如如：有有关关n条条线线段段的的问问题题，可可以以两两条条线线段段、三三条线段的问题；条线段的问题；有有关关求求前前n项项和和的的问问题题，可可以以先先研研究究前前两两项项和和、前三项和问题。前三项和问题。从从特特殊殊的的、具具体体的的问问题题入入手手，学学生生可可以以下下手手进进行行操操作作，在在实实验验、操操作作过过程程中中，去去思思考考一一些些问问题题，寻寻求求问题的答案。问题的答案。（2）便于学生思考问题便于学生思考问题（进行发现的过程）为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 在在归归纳纳的的过过程程中中，经经过过对对大大量量的的、简简单单的的、具具体体的的情形，进行观察、比较后，经过思考结论就在其中了。情形，进行观察、比较后，经过思考结论就在其中了。同同时时，正正确确的的归归纳纳方方法法本本身身，就就提提供供了了发发现现结结论论的的途途径，有时还提供了证明的方法。径，有时还提供了证明的方法。例如例如：十字相乘法则的归纳过程：十字相乘法则的归纳过程 多边形对角线条数的归纳过程多边形对角线条数的归纳过程（3）有利于学生发现结论和证明方法有利于学生发现结论和证明方法（达到有所创新）为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 直接比较法：直接比较法：比比较较所所得得结结果果与与实实验验次次数数n的的关关系系或或所所得得结结果果与与具具体体问题的关系。问题的关系。递推法：递推法：寻寻求求：后后面面的的结结果果是是在在前前面面的的基基础础上上发发生生了了哪哪些些变变化。化。3 3、正确地进行归纳的方法、正确地进行归纳的方法为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 从图形的规律中找结果与从图形的规律中找结果与n的关系：的关系：一一个个顶顶点点处处有有n-3条条对对角角线线，每每条条对对角角线线属属于于两两个个顶顶点点，n个个顶顶点点共共有有 条条对对角角线。线。直接比较法例如：例如：多边形内角和定理的发现多边形内角和定理的发现 边数边数 3 4 5 6 n 三角形数三角形数 1 2 3 4 n-2 结果结果 n边形内角和边形内角和=（n-2)180不利于归纳出结论 n边形对角线的条数的发现边形对角线的条数的发现 边数边数 3 4 5 6 n 对角线条数对角线条数 0 2 5 9？为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益证明思路：证明思路：第第n条直线与前面条直线与前面n-1条直线交于条直线交于n-1个点，使平面区域增加个点，使平面区域增加n个，个，所以所以f(n)=f(n-1)+n。f(n)为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 例例如如，如如图图，在在有有公公共共边边的的三三角角形形和和矩矩形形的的边边上上有有规规律律地排列一些点，填空：地排列一些点，填空：每边有每边有2 2个点，个点，每边有每边有3 3个点，个点，每边有每边有4 4个点，个点，每边有每边有n n个点，个点，共有共有 个点；个点；共有共有 个点；个点；共有共有 个点；个点；，共有，共有 个点个点（选自朝阳区（选自朝阳区2002-2003第一学期初三期末统考题）第一学期初三期末统考题）为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益每边有每边有2 2个点，个点，每边有每边有3 3个点，个点，每边有每边有4 4个点，个点，每边有每边有n n个点，个点，共有共有 5 5 个点；个点；共有共有 1111 个点；个点；共有共有 1717 个点；个点；，共有，共有？个点个点 这样归纳不利于得到猜想，其主要原因是，没有注意到这样归纳不利于得到猜想，其主要原因是，没有注意到在在n的变化的变化过程中过程中，点的总数的，点的总数的变化过程变化过程。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益每边有每边有2 2个点，个点，每边有每边有3 3个点，个点，每边有每边有4 4个点，个点，每边有每边有n n个点，个点，共有共有 5 5 个点；个点；共有共有 5+65+6 个点；个点；共有共有 5+6+65+6+6 个点；个点；，共有，共有？个点个点 这样归纳，注意到了后次比前次多这样归纳，注意到了后次比前次多6个点，因此很快得到个点，因此很快得到猜想：每边有猜想：每边有n个点时，共有个点时，共有5+6(n-2)=6n-7 个点个点 这这就就是是递递推推法法：寻寻求求后后面面的的结结果果是是在在前前面面的的基基础础上上发发生生了哪些变化。了哪些变化。本题还可以通过观察图形特点，直接得到猜想。本题还可以通过观察图形特点，直接得到猜想。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 类类比比推推理理，是是根根据据两两个个或或两两类类对对象象有有部部分分属属性性相相同同，从从而而推推出出它它们们其其它它属属性性也也相相同同的的推推理理方方法法 从从 特特殊殊到到特特殊殊的的推推理方法。理方法。类比推理与归纳推理一样具有不可靠性。类比推理与归纳推理一样具有不可靠性。例如：例如：由由 a(b+c)=ab+ac 类比类比 sin(A+B)=sinA+sinB lg(M+N)=lgM+lgN 结论是不正确的结论是不正确的 由类比得到的结论，只是猜想，经过证明的才是正确的。由类比得到的结论，只是猜想，经过证明的才是正确的。四、类比推理为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益五、数学课程标准对合情推理的要求 课程标准在对学生课程标准在对学生学习学习内容内容的要求中指出：的要求中指出：学学生生的的学学习习内内容容应应该该是是现现实实的的、有有意意义义的的、富富有有挑挑战战性性的的，应应该该有有利利于于学学生生主主动动地地进进行行观观察察、实实验验、猜猜测测、验验证证、推推理理与与交交流等数学活动。流等数学活动。课程标准在学生课程标准在学生学习学习的的方式方式中指出：中指出：动手实践、自主探索、合作交流动手实践、自主探索、合作交流是学生是学生数学学习的重要方式数学学习的重要方式。课课程程标标准准把把数数学学教教学学称称为为数数学学教教学学活活动动，并并指指出出教教师师应应向向学学生生提提供供充充分分从从事事数数学学活活动动的的机机会会，帮帮助助学学生生在在自自主主探探索索和和合合作交流的过程中进行学习。作交流的过程中进行学习。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 这这就就意意味味着着，学学生生学学习习数数学学应应该该是是自自己己做做会会的的，而而不不只只是是凭凭老老师师教教能能会会的的；定定理理、概概念念、法法则则的的得得出出，应应该该是是学学生生探探索索出出来的，而不是老师给的。来的，而不是老师给的。学学生生的的动动手手实实践践、自自主主探探索索、再再发发现现的的过过程程，正正是是合合情情推推理的过程。理的过程。因因此此，我我们们在在设设计计教教学学过过程程的的时时候候，应应该该给给学学生生提提供供动动手手实实践践的的素素材材、提提供供自自主主探探索索的的载载体体、提提供供合合情情推推理理的的环环境境，指指导学生得出猜想，发现新知。导学生得出猜想，发现新知。学生的学习过程是学生的学习过程是动手实践、自主探索动手实践、自主探索的主动建构过程，的主动建构过程，是学生再创造、再发现的过程。是学生再创造、再发现的过程。