2023学年上海市青浦高考冲刺模拟数学试题含解析.pdf

2023年高考数学模拟试卷请考生注意：1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前，认真阅读答题纸上的 注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量沅=（2COS2X,G）,河=（l,sin2x）,设函数同=戌万，则下列关于函数y=/（x）的性质的描述正确的是（）A.关于直线=对 称 B.关于点（各对称12 03.已知X,y满足约束条件x+y 0,b 0）的顶点到渐近线的距离为一，则 一 的 最 小 值 _.a2 b2 2 14 .二项式（炉一_L 的展开式中.一项 的 系 数 为.X1 5.命题“立 0”的否定是.1 6.设随机变量自服从正态分布N(2,9),若 P c)=P C 中侧面板 与底面8CQ 都是边长为2 的等边三角形，且面面BCD,M、N分别为线段AD、A B 的中点.P 为线段8 C 上的点，且MN LNP.(1)证明：尸为线段B C 的中点；(2)求二面角A 八户一加的余弦值.19.(12分)手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3 位行家进行质量把关，质量把关程序如下：(i)若一件手工艺品3 位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为4 级；(i i)若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2 位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2 位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为3 级，若第二次质量把关这2 位行家中有1位或2 位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；(iii)若有2 位或3 位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为:，且各手工艺品质量是否过关相互独立.(1)求一件手工艺品质量为8 级的概率；(2)若一件手工艺品质量为4,B,C 级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为。级不能外销，利润记为100元.求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件;记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与期望.20.(12分)如图，在三棱柱ABC-4 5 c中，AABC是边长为2的等边三角形，B C B B1,C C、=Q,A C、=R.B B,(1)证明：平面A8C_L平面BBC。；(2)M ,N分别是8C,BC1的中点，P是线段AG上的动点，若二面角尸 MN C的平面角的大小为30。，试确定点P的位置.21.(12 分)已 知 函 数/(刈=f+-2)x-flnx+2.(1)若x=2是/(x)的极值点，求/(x)的极大值；(2)求实数f的范围，使得/(x)N 2恒成立.22.(10 分)设函数=/-2x+2alnx(aw R).(I)讨论函数/(x)的单调性；(I I)若函数/(久)有两个极值点相，求证：m n参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】/(x)=2 cos2 x+6 sin 2x=cos 2x+6 sin 2x+1 =2 sin(2x+2)+1,当 x=2 时,sin(2x+)=sin 1,6 12 6 3TT不关于直线x=-;对称；1257r、冗当 x=时,2sin(2x+J)+1=1 ,.Ax)关 于 点(一,1)对称；/（X）得周期T=彳=，当 x e(,0)时,2 x+：w,./(x)E(,0)上是增函数.3 6 2 6 3本题选择D选项.2.C【解析】分析函数y=J=的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项.【详解】函数y=上 的定义域为（0,+“），在（0,+。）上为减函数.A选项，y=2叫2、的定义域为（）,+力），在（）,+“）上为增函数，不符合.B选项，y=log2（；J的定义域为R,不符合.C选项，y=log?1的定义域为（0,+”）,在（0,+8）上为减函数，符合.XD选项，=的定义域为 ，+8），不符合.故选：C【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.3.D【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论.【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，2 =2工+），等价于丁=一2 1+2,作直线y=-2 x,向上平移,易知当直线经过点(2,0)时Z最大，所以Z max=2 x2 +0 =4,故 选D.2展,根据函数图像的平移原则，即可得出结果.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.4.D【解析】先将 y=2 sin(2 x+.化为 y=2 cos【详解】(/2 x+=2 cos 2 x-=2 cos6/I 3)所以只需将.v =2 cos2 x的图象向右平移5个单位.O【点睛】本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即可，属于基础题型.5.B【解析】计算1 +2 +.+2 5的和，然后除以5,得到“5阶幻方”的幻和.【详解】112 5依题意“5阶幻方”的幻和为1 +2+2 5 2 ，故选以5 5【点睛】本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前项和公式，属于基础题.6.B【解析】甲同学所有的选择方案共有C；C：=12种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一3 1科即可，共有c；=3种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率p=a，故选B.7.D【解析】由折线图逐项分析即可求解【详解】选项A，3显然正确；对于C,29-1-6 0.8选项C正确；1.61.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故。错.故选：D【点睛】本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识，是基础题8.B【解析】设左焦点士的坐标，由A8的弦长可得a的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形4 8尸2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径.【详解】由双曲线的方程可设左焦点耳（-c,0）,由题意可得A B =蚩 =6,由人=1,可得a=J，v.2所以双曲线的方程为：-/=!2 -所以耳（6,0）,6（后,0），所以 S.ABF,=g A B 书F =g=戈三角形 A 8 F 2 的周长为。=46+伤+8 6=A8+（2 a+A F；）+（2 a+84）=4 a+2 A B =40+2 及=6 0设内切圆的半径为r,所以三角形的面积5=。=AF-4,3x4所以表面积 S=（36x5+3x6）+-x2+4x6+30=264.故选B项.本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题10.A【解析】1 1 32几何体为一个三棱锥，高为4,底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4,所以体积是-x4x二x4?=一，选A.3 2 311.C【解析】与点O距离为G的点P形成以。为圆心，半径为0的，圆弧M N,利用弧长公式，可得结论；当P在A（或4C）时，0 P与面ACGA所成角（或 NQ G。）的正切值为在 最小，当P在。I时，DP与面ACGA所成角3NDO0的正切值为7 2最大，可得正切值取值范围是 当，正 ；设P（x,y,1）,则V+V+1 =3,即f +y2=2,可得OP在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和.【详解】如图：错误，因为 /=JDP2_ DD；=J=血，与点。距 离 为 百 的 点p形成以R为圆心，半径为0的!圆 弧 脑V,长 度 为 兀 痣=立 兀；4 4 2正确，因为面AO G面A C A，所以点P必须在面对角线AG上运动，当P在A （或G）时，O P与面A C G 4所成角（或 N。）的 正 切 值 为 业 最 小（。为下底面面对角线的交点），当P在。时，0 P与面A c e a3所成角N O Q。的正切值为0最大，所以正切值取值范围是 当，、万；正确，设P（x,yl）,贝！/+2+1=3,即/+y2=2,0 P在前后、左右、上下面上的正投影长分别为J/+i,GT I,旧+y2 ,所以六个面上的正投影长度之2“+1 +J7 W +夜）4 2 2Jy +1X +1+V2 =6&,7当且仅当P在。时取等号.【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题.12.B【解析】计算出由 的值，推导出氏+3 =4（e N*）,再由2 0 2 0 =3 x 673 +1,结合数列的周期性可求得数列 4的前2 0 2 0项和.【详解】8 ,由题意可知a,4+4+2 =8,则对任意的wN*，%工0，则444=8,4=-一 =4,aa2由 4 4+4+2 =8,得q+4+2%+3 =8，anan+1an+2=an+ian+2an+3,/.an+3=an9:2 0 2 0 =3 x673 +1,因此，4+%-F/so=673（“+生+/）+4=673 x7+1 =4 712.故选：B.【点睛】本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.2【解析】根据双曲线的方程求出其中一条渐近线y=g x,顶点（。,0）,再利用点到直线的距离公式可得c=2 a,由6+1C2-4 +1y/3a=利用基本不等式即可求解.y/3a【详解】2 2由双曲线C：餐 与=1a2 b2(a 0,b 0,可得一条渐近线y=一个顶点（a,0）,所以,解得 c=2a2nI则+石1 c=2-a2+1 =3而/+1=屈A+而1 .当且仅当4=正 时，取等号,3所以的最小值为2.y/3a故答案为：2【点睛】本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.14.15【解析】由题得，7；句=C：（令12-3厂=6,解得厂=2,代入可得展开式中含W项的系数.【详解】由题得，=禺(-1)/-3，令 12 3 r=6,解得 r=2,所以二项式(尤2 Jj的展开式中f项的系数为C：(_1)2 =15.故答案为：15【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，考查了利用通项公式去求展开式中某项的系数问题.15.Vx 0,X2-2x-l0【解析】根据特称命题的否定为全称命题得到结果即可.【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题*0,则该命题的否定是：Vx 0,%2-2X-1 0故答案为：Vx 0,X2-2X-1 c)=P C 0,所以G(x)在3，+0 上单调递增，最后求出实数”的值.【详解】(1)由题意可知，(x)=%2 _ x _ a l n x a +1 6,则/(%)=2 8-1 0 =X X即方程2 f _ x _ a =()在 区 间|,4上有实数解，解得ae 1 0,2 8；(2)因为/(x)=/-X2 (a 1 6)x,则/z(x)=3 x2-2 x-tz +1 6,当 =4-1 2(a +1 6)K0,即 时，/(x)N O恒成立，所以/(x)在 0,句上单调递增，不符题意；当 a ，/(x)单调递增，所以不存在匕 0,使得/(x)在 0,句上的最大值为了，不符题意;当 1 6 W a W 2 8时，/（x）=3 x 2-2 x-a +1 6 =0,i p z a 1 Y3a 4 7 1 +13a 4 7解得：r =-0 ,%,=-01 3 3且当 刀（0,尤2）时，/（X）O，当（%2，+0 0）时，r（x）0，所以/（X）在（0,）上单调递减，在（W,+8）上单调递增，若0小2,则。（九）在 0,句 上 单 调 递 减,所 以/（力2=/（0），若b f,则“力（0,%2）上单调递减，在（工2力）上单调递增，由题意可知，即川一一（a i 6）V0,整理得因为存在aw 1 6,2 8,符合上式，所以从一。1 2,解得0 b W4,综上，b的最大值为4；设直线/与曲线y =/（x）的切点为（玉,工：年一（。1 6）内），因为r（x）=3 f -2%-（。一1 6）,所以切线斜率4=3片一2%-（。一1 6）,即切线方程 y 3 x；-2工（a -1 6）（x%）+x：x；_（。_ 6）苞整理得：,=3%_ 2玉 _（。_ 6）_2%+%；由题意可知，-2X：+X；=_12,即 2 x：-x；-i 2 =o,即（王2乂2片+3%+6）=0,解得西=2所以切线方程为y =（2 4-a）x-1 2,设直线/与曲线y =g（x）的切点为K，a l n w）,因为g（x）=2所以切线斜率=9，即切线方程为y =（x -X2）+a l n x 2,X X Xa i整理得.v =x +a l n x 2-a.24 a 1 1所以1当，消去。，整理得也+-7 =0,2X2 2anx2-a=-1 2且 因 为 幺=2 4-。(。目1 0,2 8),解得之,%27设 G（x）=l n x +*g，则G(X)=9=罗皿所以G(x)在上单调递增，因为G(1)=O,所以=1，所以a =2 4 a,即a =1 2.【点睛】本题主要考查导数在函数中的研究，导数的几何意义，属于难题.1 8.(1)见解析；(2)巫5【解析】(D设。为B D中点，连结0 4,O C,先证明8 O _ L A C,可证得B D J _ N P，假设P不为线段8 c的中点，可得3 0 1.平面A8 C,这与N Q 5 C =6()矛盾，即得证：(2)以。为原点，以Q B,OC,Q4分别为E V z轴建立空间直角坐标系，分别求解平面4V P,平面M NP的法向量的法向量，利用二面角的向量公式，即得解.【详解】(1)设。为8。中点，连结O A OC.：.OALBD,OCLBD,又。4noe=。3 Z）J _ 平面。4 C,A C u 平面。A C,BDA.AC.又M,N分别为A ,AB中点，MN U BD,又MN LN P,BD 1 N P.假设P不为线段B C的中点，则NP与AC是平面内A B C内的相交直线，从而3 _1 _平面A B C,这与N D B C =6 0 矛盾，所以P为线段8c的中点.(2)以。为原点，由条件面筋。_1面5 c。，,.A O 1 O C,以。8,OC,分别为X，X，z轴建立空间直角坐标系,砺=(1,0,0).设平面4 Vp的法向量为丽=(x,y,z)1 6 _()m-A N O-X-z =0所以 _m-P N =0 6 框 门-y+z=0I 2-2取 y =i,则 z =i,x =G=加=(g,i,i).同法可求得平面MN P的法向量为n=(O,Ll)/.c o s(m,in n _ 2 _/1 0Im l l n l-V 5/2-5由图知二面角A-N P-M为锐二面角,二面角A-N P-M 的 余 弦 值 为 巫.5【点睛】本题考查了立体几何与空间向量综合，考查了学生逻辑推理，空间想象，数学运算的能力，属于中档题.19.(1)曾；(2)可能是2 件；详见解析【解析】(1)由一件手工艺品质量为B 级的情形，并结合相互独立事件的概率公式，列式计算即可；(2)先求得一件手工艺品质量为。级的概率为石，设 10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是J 件，可知8(10,5)，分别令哈P C 安=k)、尸(4 与丁?1 得 左 嗡,所 以 当 时，P =k+l)p =k),即 2 4 =2)尸 4=1)尸 =0),由 毒 勺 1得 人 已 所 以 当 八 2 时，P C =1)P C =幻，所以当Z=2 时，P q =k)最 大,即 10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2 件.由题意可知，一件手工艺品质量为A 级的概率为(1-)3=白，一件手工艺品质量为B 级的概率为震，3 27 8 1一件手工艺品质量为C 级的概率为C；x l x(l-l)2x Cx l x(l-l)+(I)2=含，3 3 3 3 3 o l7一件手工艺品质量为D级的概率为二，所以X的分布列为:X900600300100P82716812087727则期望为 E(X)=9 0 0 x 2+6 0 0 x 3+30 0 x型+1 0 0 x Z=W”.27 8 1 8 1 27 27【点睛】本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查学生的计算求解能力，属于中档题.20.(1)证明见解析；(2)P为线段A G上靠近G点的四等分点，且 坐 标 为 尸 坐，坐I 4 4 4)【解析】(1)先通过线面垂直的判定定理证明C C，平面A 8C,再根据面面垂直的判定定理即可证明；(2)分析位置关系并建立空间直角坐标系，根据二面角P-M N-C的余弦值与平面法向量夹角的余弦值之间的关系,即可计算出P的坐标从而位置可确定.【详解】(1)证明：因为A C =2,CC,=V 2 ,A C =n，所以AC2+c c；=A C：,即又因为 B B J I C C,所以 B C _ L C G，A C r B C =C,所以平面ABC.因为C G u平面8 6 1 G C,所以平面A B C,平面B B C。.(2)解：连接A M，因为A B =A C =2,是8C的中点，所以由(1)知，平面ABC_L平面84GC,所以平面B B C。.以M为原点建立如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系x y z ,则平面 的一个法向量是玩=(0,0，1)，4 0,0,6),N(0,夜,0),C,(-1,7 2,0).设 丽=/菊(0 /【解析】(D先对函数求导，结合极值存在的条件可求。然后结合导数可研究函数的单调性，进而可求极大值；(2)由已知代入可得，好+(-2)x-公2 0在x 0时恒成立，构造函数g (x)=x2+(-2)x-tlnx,结合导数及函数的性质可求.【详解】(1)/(x)=2 x+f-2 9 x 0,x由题意可得，/(2)=2 +g t=0,解可得f=-4,4/f(x)=2x-6+=2(x-1 )(x-2)x易得，当x 2,O V x V l时，/(x)0,函数单调递增，当1VXV 2时，f(x)0时恒成立可得，x2+(/-2)x-定0在x 0时恒成立,令 g (x)=x2+(,t -2)x-tlnx,则 g(x)=2 x+1-2 =(l)(2x+)X X(0当它0时，g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+o o)上单调递增,所以 g(X)min=g(1)=t l 0,解可得仑1,(H)当-2 V fV 0时，g(x)在)上单调递减，在(0,(1,+o o)上单调递增,2 2此时g (1)=/-1 0,即g (x)在(0,+o o)上单调递增，此时g (1)=-3不合题意;X(iv)当t ，要证一,即证/(加)/()(4加-1)(加一九)，m +n=l,mn=a 9 设m ng(m)=I n m-l n(l -in)-4 m 4-2(m 0),x x令 g (1)=2/_ 2 x+2。，A =4(1-4a),(1)当AW0,即。之,时，g(x)N O,f(x)0,f(x)在(0,+8)上单调递增；4(2)当/0,即时，设g(x)=0 的两根为王,%,(x,若 0a,，0玉 0,4所以/(%)在(0,斗)和(马,+8)上单调递增，xe(x“X 2)时，/。)0,所以/(x)在(再,乙)上单调递减，若。4 0,%,0 x2,x e Ow)时，/(x)0,所以/(x)在(,+8)上单调递增.综上，当a 2,时，/(幻在(0,+8)上单调递增；4当0。，要证/(叨-&)4/MH-I ,m-n即证/(加)J ()(4 m n-l)(m-n),即证 f(m)-f(n)-(4 m/2-l)(m /?)0,由(I )可知，m +n=1,mn=a,0 a ,可得0 ,v m vl,4 2f(m)-f(n)=(m-ri)(m+ri)-2(m一 )+2 a(I nm-I nn)9所以有 f(m)f(n)(4mn l)(m r i)=2 a I n ml n(l m)4 m +2 ,令 g(加)=I n m一 l n(l -m)-4m+2(g m 0,m -m m(-m)所以g(M在(g，1)单调递增，所以g(M g(g)=0，因为 0a 0,所以 4mn-1.4m-n【点睛】本题考查了函数单调性，证明不等式，意在考查学生的分类讨论能力和计算能力.