2023年广东省肇庆市端州区高考冲刺数学模拟试题含解析.pdf

2023年高考数学模拟试卷注意事项1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3,请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A.y=x+2 B.J=sinx C.=x-x3 D.y=2x2.九章算术是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6 步和8 步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（）7171Tl 九A.B.-C.-D.一12 3 6 93.已知复数z=（i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（）2-1机 I V）B.D C.停.卜Ifl,x=24.设函数=|.2|+1 2 a ,若函数g（=/（幻+勿1（幻+c有三个零点玉，,马，则xtx2 4-X2X3 4-xx3=（）A.12 B.11 C.6 D.35.已知向量不=（一 J J,l）/=（3,百），则向量方在向量日方向上的投影为（）A.一百 B.V3 C.-1 D.16.函数/（x）=sin 3 x 3 0）的图象向右平移三个单位得到函数y=g（x）的图象，并且函数g（x）在区间 J,刍 上12 6 3单调递增，在 区 间 上 单 调 递 减，则实数0的 值 为（）7 3 5A.-B.-C.2 D.一4 2 4f4x-y.2,7.不等式 的解集记为。，有下面四个命题：回：V（x,y）/）,2y-A；,5；p2:3（x,y）e D,2y-x.2；%+为3p3:V(x,y)G D,2 y-x,2；0：玉x,y)e O,2 y-x.4.其中的真命题是()A.P|，P 2 B.p2,py C.P|，P 3 D.p2,p48.在 AABC中，。，6,c 分别为角A,B,C的对边，若 A48C的面为S ,且 4Gs=(a+Z?c?,则 J s i n(c +?()A 1 u 6t r -V 2 +6tA.1 B-C,-D.-2 4 4X9.记个两两无交集的区间的并集为阶区间如（3 U 2,3 为 2阶区间，设 函 数/（力=而，则不等式/卜（力+3 4 0 的解集为（）A.2 阶区间 B.3 阶区间 C.4 阶区间 D.5 阶区间1 0 .下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不正确的是（）六个城市春运往返机草的平均价格和坦帕3000250020001S00100050010.00%小.北京 上 广州 茉州 天崖 重庆 M甲均伯情JS幅A.深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B.天津的往返机票平均价格变化最大C.上海和广州的往返机票平均价格基本相当D.相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加r 1 1 .已知复数2=，则 Z 的虚部为（）Z-1A.-1 B.-i C.1 D.i1 2 .若向量肩=（0,2）,元=（瓜1）,则与2 而+3共线的向量可以是（）A.（V 3,-l）B.（-1,7 3）C.（-7 3,-1）D.（-1,-7 3）二、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 2 0 分。1 3 .正方体A B C。-44a A的棱长为2,MN 是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，丽 丽 的 取 值 范 围 是，1 4.角 a 的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点尸（1,2）,则 s i （%-a）的值是.1 5.1%2+1 X 0的 取 值 范 围 是.1 6.已知 4 为等差数列，S“为其前n项和，若 4 =6,%+%=。，贝!|S 6 =.三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。Y1 7.2 V2 I（1 2 分）已知斗 鸟为椭圆后：二+%=1（。0）的左、右焦点，离心率为5,点尸（2,3）在椭圆上.（1）求椭圆E的方程；（2）过 E的直线4,4 分别交椭圆于A C和 A。，且 4工/2,问是否存在常数X,使 得 的，两 成 等 差 数 列？若存在，求出2的值；若不存在，请说明理由.1 8.（1 2 分）在 AABC,角 A、B、。所对的边分别为。、b、c,已知 c o s 3+（c o s A-2 s i n A）c o s C =0.（1）求 c o s C的值；（2）若 =石，A。边上的中线8W=姮，求 AABC的面积.21 9.（1 2 分）已知函数/（x）=f 5 x+2 1 n x.（1）求 的 极 值；（2）若/（玉）=/（工 2 ）=/（七），且尢1%2 1 .2 0.(1 2 分)已知函数/(x)=xl n x.(1)若函数g(x)=求 g(x)的极值；X X(2)证明：fx)+lex-x2.(参考数据：I n 2 =0.6 9 l n 3 1.1 0%4.4 8 6,2 7.3 9)2 1.(1 2 分)设 椭 圆 C:5+y 2 =i 的右焦点为尸，过户的直线/与C交 于 两 点，点 M 的坐标为(2,0).(1)当直线/的倾斜角为4 5 时，求 线 段 的 中 点 的 横 坐 标；(2)设点A关于x 轴的对称点为C,求证：M,B,C三点共线；(3)设过点M 的直线交椭圆于G,两点，若椭圆上存在点P,使 得 而+两=2 而(其 中。为坐标原点)，求实数2的取值范围.2 2.(1 0 分)已知函数 f(x)=x2 e 3*(1)若 x 0,求证：/x(co 0)的图象向右 平 移 个 单 位 得 到g(x)=s诃%-春)=泳 如 一 皆)，函数g (%)在71 71 71 71区 间 上 单 调 递 增，在区间_ 6 3 J L 3 2 _上单调递减，可得x 时，g(x)取得最大值，即(o x?-皆)=|+2%)，k e Z,(),当=()时，解得=2,故选C.点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”的规律求解出g(x),根据函数g(x)在 区 间 上 单 调 递 增，在 区 间 上 单 调 递 减 可 得x=时，g(x)取得最大值，求解可得实数。的值.7.A【解析】作出不等式组表示的可行域，然后对四个选项一一分析可得结果.【详解】作出可行域如图所示，当x=l,y =2时，(2y x),3=3,即2y-x的取值范围为(8,3,所以V（尤,y）G D,2y-x,5,/?,为真命题;3(%,y)eD,2y-x.2,p2为真命题；2,p4为假命题.故 选:Ax+y=3【点睛】此题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于中档题.8.D【解析】根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可.【详解】解：由 4 G s =（。+0）2 -得 XZ?sin C=a2+b2-c2+2ab,2：a2+b2 c2=2ahcos C，：2Gab sin C=2abeos C+lab，即 V 3sinC cosC =1V 0 c 乃，：.n c 冗 、冗 C ,6 6 6即eg皿 乃、.(左、.71 乃 7 C .7 1则 sin C+=sin+=sin cos +cossm 0且时，/（=黑|.令r（x）=O得X=e.可得r（x）和/（X）的变化情况如下表:X%0（。，1）(l,e)e(e,+oo)/（X）/0+小）y(x).oe/令 x）=f,则原不等式变为。4-3,由图像知/4-3的解集为re（Y 0jJU&，T）U L，l）,再次由图像得到x）e（-8 jjU L，T）U L，l）的解集由5段分离的部分组成，所以解集为5阶区间.故选：D【点睛】本题考查由函数的奇偶性，单调性求解对应自变量范围，导数法研究函数增减性，数形结合思想，转化与化归思想，属于难题10.D【解析】根据条形图可折线图所包含的数据对选项逐一分析，由此得出叙述不正确的选项.【详解】对 于A选项，根据折线图可知深圳的变化幅度最小，根据条形图可知北京的平均价格最高，所以A选项叙述正确.对 于B选项，根据折线图可知天津的往返机票平均价格变化最大，所 以B选项叙述正确.对 于C选项，根据条形图可知上海和广州的往返机票平均价格基本相当，所 以C选项叙述正确.对 于D选项，根据折线图可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五个城市的往返机票平均价格在增加，故D选项叙述错误.故选：D【点睛】本小题主要考查根据条形图和折线图进行数据分析，属于基础题.1 1.A【解析】分子分母同乘分母的共朝复数即可.【详解】2i 2i(i+l)-2+2i,.Z=-=-=-=1 -1 ,故 2 的虚部为一1.i-1 (i-l)(i+l)-2 口岫中外故选：A.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题.1 2.B【解析】先利用向量坐标运算求出向量2历+%然后利用向量平行的条件判断即可.【详解】.历=（0,2）,万=（出,1）2玩+元=（6,-3）卜 1,=一 今 百,3）故选B【点睛】本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定，属于基础题，在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应，切不可错位.二、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 20分。1 3.0,2【解析】由弦MN的长度最大可知MN为球的直径.由向量的线性运用尸0 表示出P M P N，即可由|所|范 围 求 得 丽.丽的取值范围.【详解】连接P。，如下图所示:设球心为。，则当弦MN的长度最大时，MN为球的直径，由向量线性运算可知PM-PN=PO+OM(PO+ON)=PO2+POON+OMPO+OMON=TO+PO ON+OM+OM-O正方体ABC。A ge；。的棱长为2,则球的半径为1,ON+OM=0,OM ON=-,所 以 所。用.(丽 +闲)+两 两=PO2而 同 同1,6 2 L r所以 PO-le0,2,即月I乙 丽4 0,2故答案为：0,2.【点睛】本题考查了空间向量线性运算与数量积的运算，正方体内切球性质应用，属于中档题.1 4,正5【解析】计算s加a=2 =毡，再利用诱导公式计算得到答案.r 5【详 解】由题意可 得 X=l,y=2,r=V 5.即=2=拽r 5:.Si(汗-a)=sina=-5故答案为：毡5【点 睛】本题考查了三角函数定义，诱导公式，意在考查学生的计算能力.【解 析】由题意可/(x)+/(-x)=O在定义域上有四个不同的解等价于丫=工/+0+1关于原点对称的函数6 x 2y=-春/+2 g与 函 数 x)=inx-x(x 0)的图象有两个交点，运用参变分离和构造函数，进而借助导数分析单调性与极值，画出函数图象，即可得到所求范围.【详 解】已知定义在(-8,0)。(0,斗8)上 的 函 数f(x)=61 2 Q-x +-,x 0若/(%)+/(-x)=0在定义域上有四个不同的解-yX2+-与函数/(x)=，x-x(x0)的图象有两个交点,6 x 2联立可得 In x x H -1 0 有两个解，即 a=x In x-H H x6 x 2 6 2,1 1 3可设 g(x)=xn x-x2+X3+x9 贝!g(x)=lnx-2x+x2+,6 2 2 2进 而g(力=x+-2 2 0且不恒为零，可 得g(x)在(0,+。)单调递增.由g(l)=O可得Ovxvl 时，g(x)O,g(x)单调递减;X1 时，g(x)O,g(x)单调递增,即g(X)在X=1处取得极小值且为-；作出y=g(x)的图象，可得=a 0时，lnx-x+9x 2-q +J_=o有两个解.3 6 x 2故答案为：一;，0)【点睛】本题考查利用利用导数解决方程的根的问题，还考查了等价转化思想与函数对称性的应用，属于难题.16.1【解析】试题分析：因为 凡 是等差数列，所以4+%=2%=0,即“4=0,又%-4=3 4 =-6,所以d=2,所以S$=6 4+151=6x6+15x(2)=6.故答案为 1.【考点】等差数列的基本性质【名师点睛】在等差数列五个基本量,d,n,aK,中，已知其中三个量，可以根据已知条件，结合等差数列的通项公式、前“项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换思想及方程思想的应用.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。r2 v2 717.(1)+2_=1；(2)存在，.16 12 48【解析】(1)由 条 件 建 立 关 于 的 方 程 组，可求得a,b,c,得出椭圆的方程；(2)当直线4 c的斜率不存在时，可求得|4。=6,忸。=8,求得X,当直线4 c的斜率存在且不为0时，设小：y=k(x+2)联立直线与椭圆的方程，求出线段 4 1=喋鲁，再 由 得 出 线 段I B*2：%；1,根据等差中项可求得之，得出结论.【详解】_j_a 24 9(1)由条件 得+T=1CT ba1=/+(7 2a2=1 6n =1 2,所 以 椭 圆E的方程为:c2=42 2X J1 6 1 2=1;(2)4(2,0),当 直 线 儿 的 斜 率 不 存 在 时，|A C|=6,怛。|=8,&+焉=；+:=,此 时；1=三,|A C|D/J|O O Z 4 4 82 2尸J -1 当 直 线/A C的 斜 率 存 在 且 不 为0时，设/A C：y =Mx+2),联 立1 6 1 2 消元得j=Z(x +2)(4k2+3)x2+16 k2x+1 6 r -4 8 =0,以“、1 6%2 1 6公 一4 8设 A(%，X)，C(x2,y2),X i+x2=-j ,x,x2=2TK I D TK I D/.|A C|=Jl +2 2 -工2 1=Jl +C，.J(X +&)2 4中2 =2纵?+),直 线8D的 斜 率 为-1 同理可得忸qK24 1 +24(r+1)4+3公1 1 4公+3 4 +3/7(1 +公)7|A C 十|B D|-24(1 +A:2)+24(公+1)-24(1+二)-五2/1=7 ，所以724 4 87 1 ,1综合，存 在 常 数 几=欣，使得的，两 成 等 差 数 列.【点 睛】本题考查利用椭圆的离心率求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系中的弦长公式的相关问题，当两直线的斜率具有关系时，可能通过斜率的代换得出另一条线段的弦长，属于中档题.18.(1)co s C =答 案 不 唯 一，见解析5【解 析】(1)由题意根据和差角的三角函数公式可得t a n C =2,再根据同角三角函数基本关系可得8SC的值;(2)在A A B C中，由余弦定理可得-4 +3 =0,解方程分别由三角形面积公式可得答案.【详解】解：(1)在A A B C中，因为co s 3 =-co s(A +C)=-co s A co s C+s i n A s i n C,又已知 co s B+(co s A -2s i n A)co s C =0,所以 s i n A s i n C-2s i n A co s C =0,因为s i n A w O,所以s i n C-2co s c=0,于是t a n C =2.所以 co s C =.5(2)在 A A B C 中，由余弦定理得 2 =8。？+C A/2 -28。CM co s C，得 Z?2-4 b+3 =()解得。=1 或人=3,当匕=1 时，A A B C的面积S =a bs i n C =l,2当匕=3 时，A A B C的面积 S =a bs i n C =3.2【点睛】本题考查正余弦定理理解三角形，涉及三角形的面积公式和分类讨论思想，属于中档题.91 9.(1)f(x)极大值为 21 n 2；极小值为-6 +21 n 2；(2)见解析4【解析】(1)对函数/(x)求导，进而可求出单调性，从而可求出函数的极值；(2)构造函数F(x)=/(x)-/(l-x),x e O,|j，求导并判断单调性可得F(x)0,从而f(x)1 一%,即可证明结论成立.【详解】(D 函数/(x)的定义域为(0,+。)J(x)=2x 5+j =.(2 xT 2)(工，所以当x w(0,|U(2收)时 J (x)0;当x 2)时,/(x)0,则/(%)的 单 调 递 增 区 间 为 和(2,+00),单 调 递 减 区 间 为,2.I 2 J k 2)故/(X)的极大值为：+21n；=1 21n 2；/(x)的极小值为了=4 10+21n 2=6+21n 2.乙J I 乙 乙 I(2)证明:由(1)知0 玉2 0在(0,上恒成立，即F(x)在(0，；)上单调递增，即 /(I 一 x)在(0,上恒成立.因为 X1(0,；,所以/(玉)/(1一%)，又/()=/(石)，则/()1一玉,故7+1.【点睛】本题考查函数的单调性与极值，考查了利用导数证明不等式,构造函数是解决本题的关键，属于难题.20.(1)见解析；(1)见证明【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；(1)问题转化为证e*-X1-x ln x -1 0,根 据x ln x gx (x-1),问题转化为只需证明当x 0时，e*-lx】+x -10恒成立，令k (x)=ex-lX+x-l,(x 0),根据函数的单调性证明即可.【详解】g(x)=：)，=也 一,(x。),g (x)=2,当 xe(o,e2),g,(x)0,x xxx x当xe(e2,+w),g(x)0,.g(x)在(0 1)上递增，在(e?,”)上递减，.g(x)在.“e?取得极大值，极大值为I，无极大值.e(1)要证 f(x)+l0先证明 InxWx-L 取 h(x)=ln x-x+l,贝!)h，(x)=上 三，x易知h(x)在(0,1)递增，在(1,+oo)递减，故 h(x)h(1)=0,即 InxWx-L 当且仅当 x=l 时取故 xlnxex-lx*+x-1,故只需证明当x 0时，e*-lx1+x-10恒成立，令 k(x)=ex-lx+x-1,(x 0),贝！)k，(x)=ex-4x+L令 F(x)=k(x),则 F (x)=ex-4,令 F，(x)=0,解得：x=llnl,IF，(x)递增，故 xG(0,Hnl时，F(x)0,F(x)递增，即 k，(x)递增，且 k(llnl)=5-81nl 0,k(1)=e-8+l0,由零点存在定理，可知mxiG(0,llnl),3xiG(llnl,1),使得 k，(xD=k(xi)=0,故 OVxVxi 或 xxi 时，kr(x)0,k(x)递增，当 xixVxi 时，kf(x)0,故x 0时，k(x)0,原不等式成立.【点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，属于中档题.221.(1)48的 中 点 的 横 坐 标 为(2)证明见解析；(3)(-2,2)【解析】设 A(X，X),5(X2，%)y=x-l(D因为直线/的倾斜角为45。，尸(L 0),所以直线A 3的方程为y=x-l,联立方程组/消 去 并 整 理,+y=1得3d-4 x =0,则 为+=*=|，2故线段A 5的中点的横坐标为-.3（2）根据题意得点c（%,-x）,若直线A 5的斜率为0,则直线A 5的方程为y =o,4、C两点重合，显然M,B,C三点共线;若直线A 8的斜率不为0,设直线4 8的方程为=初了+1,联立方程组x=my+1X2 2+y=1 2 消去X 并整理得(m2+2)y2+2my-l=O,则 y +%=二？，y%=-2 7，设直线B M C M的斜率分别为kBM、KM m+2 m+2则k _k=f _ M=乃(-2)+)，(4-2)=%(叫-l)+y(叫2-1)=2吵%-()，|+%)I M 2-马 2-玉 (%,-2)(x2-2)(myt-1)(w y2-1)+y2)+m2yly2-2m 2m2-X-2-Xj聿一刃二呼一=0,即原M=%M，即M,B,C三点共线.Im m1 +-5m-+2 m-+2（3）根据题意，得直线G H的斜率存在，设该直线的方程为y =x-2）,设尸（%，%），0（*3，%），“（%），y=k(x-2)联立方程组 v 2,消去y并整理，得(1 +2公)/-8 4，+8 公-2=0,y+y=11 Q L 2 O E 2 _ r y由4 =6 4/-4(1+2公)(8 -2)0,整理得公 0,令 g(x)=-X【详解】(1).函数 f(x)=x2e3x,AT2由 r (x)o,得xv-或 x(32 f(X)在(-8,-)内 递 增3,f(X)的极大值为.,.当 xVO 时，f(x)g)=(2)Vx2e3x(k+3)x+21nx+l,的极大值为7-三=二，即 证/(X；(2)等价于公1 3 J 9e 9四 二L x 0,再求函数g(x)的最小值得解.(x)=2xe3x+3x2e3x=x(3x+2)e3x.2)；由 F(x)V O,得 x 0,32,在(-一，0)内递减，在(0,+oo)内递增，34 4 _ 19/9乂4-9.f e -3x 2 nx 1.k0,X0X令A g(z x)x =-x-e-3-x-3-x-2-I-n-x-1 ,x 0,贝m!j.g，,(/x)、X令 h(x)=x2(l+3x)e3x+21nx-1,则 h(x)在(0,且 x-0+时，h(x)-oo,h(1)=4e3-l0,，存在 xoW(0,1),使得 h(xo)=0,当 x(0,xo)时,g(x)0,g(x)单调递增，表3%.g(x)在(0,+oo)上的最小值是g(xo)=_ X2(1+3X)3V+21/LV-12厂+8)上单调递增，-3XQ-21n XQ-19Vh(xo)=X：(l+3Xo)e3*+21nxo-1=0,所以芯%令片/=1,2 1 n x0+3x0=0,令 J 21n%=,.2 lnxo+3xo=01 +3x0所以康现=镭 2 1%=-3%,.g(xo)x；e 一 3x0 2 lnx0 1x。3x0+3叫)7=0*0实数k 的取值范围是（-8,0.【点睛】本题主要考查利用证明不等式，考查利用导数求最值和解答不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.