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【人 教 版 数 学 笔记2015年版本】目 录正弦定理(一),T1 匚F I核N A宗tL 理(一)一 _ _ _ _ -P4-5*，余弦定理【综合A组】-p 8【综 合B组】-P9三角形应用举例距离问题-P10三角形应用举例高度问题 _ 一/11解三角形高考试题汇编举例-P12-13解三角形高考试题汇编试题 一.p 14-15数列的概念与简单表示法(1)-P16数列的概念与简单表示法(2)-P17-18等 差 数 列 _P19-20等差数列(2)-P21等差数列的前项和(1)2 2-2 3等差数列的前项和(1)JP 2 3 1 2 4等比数列(D一 5-2 U等比数列(2)-P25-26等比数列的前项和(1)-P28-30等比数列的前项和(2)-P30-31数列通项公式的求法专题-P32-33数列通项公式的求法练习-P34数列求和的基本方法和技巧-P35-36数列求和练习 -P 3 7-3 8不笺式关系与不笺式_P39-41一元二次不等式及其解法_ 一 _ _P42-44二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题P45-46基本不等式-P47-48数学必修5测试题-P50-51必修五重点级公式在4 A B C中ab(1)正弦定理sin A sin 8 sin C=2 Ra b c=sin N：sin 5 ：sin C(2)余弦定理cos AcosBcosC.b2+c2-a22 bc2 2 i 2a+Llac2+/一22 ab(3)正弦面积公式S=1 =a b s in C =Z Z 4K(4)三角化两角 sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosCi ccos 120=;sinl20()=2 2c 6 +2sin 15=-,cos 15=-4 4sin(a y?)=sin a cos p cos a sin 0cos(a /)=cos a cos 尸干 sin a sin fisin 2a=2 sin a cos acos 2a=cos2 a-sin2 a=2cos2 a-1=l-2sin2 a万能公式(心2)(6)等差通项%=%+(n-Y)d=am+(n-m)d(7)等差中项：p+q=m+=a，+册=+%(8)等差求和：S=(q+4)=a+迎 二2 2(9)等差结论S 2 i=(2(1 0)等比通项a“=qq T(1 1)等比中项：p+q=m +几=bpbq=nbn(1 2)等 比 求 和Zia；(?=1)s“=32(”i)-q(1 3)裂项法 L=-L-L(几 4-1)n +1L=1(1L)(+%)k n +k(1 4)基本不等式(均值不等式)a2+h2 2 aba,b是正数,a+h 2 yb(一正二定三相等)“当且仅当a=时取等号”a 2 +b2+c2 ab+be+ca(1 5)分式不等式口诀：移项通分数轴标根(1 6)二次不等式最高项系数为正大 于(号)取两边小于(号)取中间（17）线性规划解方程带点求最值（18）不等式选择题多考虑特殊值代入 正弦定理（一）JI CHU ZH I SHI SH U LI基 础 知 识 嘛理正弦定理（阅读教材完成下列内容）2.如何证明正弦定理对任意的三角形都成立呢？证明：如图在AA6C中角A、B、C所对的边分别为a、b、c则 A 4 8 c 的面积利用正弦关系，又可以表示为S=-a t-sin 5 =-a/sinC2 2则 同理所以正弦定理成立其中我们将=*疝/=1-s i n B=以仙。叫做正弦面积公式（R 为 A4BC的外接圆半径）4.由此还可以推出以下结论：a：c=sinN:sin 5：sin C；（边的比为角的正弦值的比，不是角值得比）W sin A a sin A b sin B 八工2 、而广而 而？；（边角互化）-=一=一=也型（合比定理）sin/I sin sin C sin/l+sin+sin C 口 无理a=2K sin4 A=2/?sin B,c=2/fsin C；（边化角）s i n N=玲，s i n 5=赤，s i n C=；（角化边）/V 5 O a V 6 U 2/?s i n 4 V 2 A s i n B O s i n /V s i n 3.（恒成立结论）正弦定理是三角形中的边与角联系的纽带和桥梁，也就是说，能够将三角形中边的关系转化为角之间的关系,也能将角的关系转化为边之间的关系.这是正弦定理的“灵魂”【基础练习】1 .在 A A B C 中，已知 A =4 5,B =3 0,c =1 0,解三角形。（解三角形就是解出题中没有给出的边和角）2 .在 AA8C中，已知A =4 5,。=2 1 =0,解三角形3 .在 A A B C 中，已知 4=7 5,8 =4 5,。=3 后，求 a、b4 .在 A 4 8 C 中，已知 A =4 5,a =2,6 =e，求 B、C5 .在 AA8C中，已知a =1 8 2=2 0,A =1 5 0,解三角形评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。仿照正弦定理的证法：SM BC=absx C =-&c s i n A =casin B ,并运用这一结论解决下面的问题:（1）在 A 4 8 C 1 中，已知。=2,8 =3,C =1 5 0,求SMSC；(2)在 AA3C中，已知。=10,4=45,C=30,求 b 和 SBc：(3)在ABC 中，若 B=30,AB=26，AC=2,求 A 4 8 c 的面积【典型习题】sin A1.在ABC 中，a=2,b=3,则2.在aABC 中，c=3,A=45,C=6 0,贝 lj a=.3.在ABC 中，a=2,b=L s in A=|,贝 lj sin B=.4 在4ABC 中，A=60,a=473,b=472,贝!J B=5 已知a,b,c 分别是AABC的三个内角A,B,C 所对的边,若“=1,b=a，A+C=2B,则 sin A=.6 在A B C 中，a,b 分别是A B C 的内角A,B 所 对 的 边.若 B=45。，b=41a,则 C=.7 在ABC 中，a=5,B=45。，C=1 0 5,则边 c=.8.已知 A ABC 中，sin A:sin B:sin C=2:3:4,则 a:b:c =9.已知4ABC 中，A：B：C=1：1：4,则 a：b：c 等于10.4A B C 中，已知下列条件，解三角形：(l)b=10,c=5*,C=60；(2)a=V3,b=啦，B=45.【思维扩展】确定三角形解的个数剖析：(1)已知两角与一边，根据正弦定理，有解时，只有一解.(2)已知两边及其中一边的对角，根据正弦定理，可能有两解、一解或无解.在/ISC 中，已知，和顶点的个数即为三角形解的个数.也可以根据三角函数的性质来判断.由正弦定理，得sin B=蛆詈.(1)当姆 1 时，则无解；(2)当 妈 学=1 时，则有一解;(3)当 0吟1Vl时，如果壮力，即 企 5,则 8一定为锐角，则有一解;如果即NV3,则有两解.不解三角形判断下列三角形解得个数 a =7,b =1 4,A =3 0 (2)a =3 0力=2 5,A =1 5 0(3)a =6)=9,A =4 5 (4)b =9,c =1 0,8 =6 0 正 弦 定 理(二)【题 型 1】判断三角形的形状例.在 A B C 中，若已知a c o s 4 =b c o s 8,判断三角形的形状。练 习 1：在aABC中，已知。2 t a n 8 =/t a n A,试判断A48c的形状。a b c练习2：在AABC中 若 嬴 了 =嬴万判断ABC的形状.练习3：已知在4ABC中,6 4 1 1 3 =。4 1 1。,5 m 2 4 =5 诂2 8 +5 皿2。,试判断三角形的形状。【题 型 2 正弦定理与三角变换的综合应用4例 2.在 A A 3 C 中，已知 A C=2,B C=3,c o s A=-,(1)求 s i n B 的值；TT(2)求 s i n(2 8 +)的值。练 习 在 AA8C中角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若。=2,C=工,cosq=拽4 2 5求 AABC的面积星础知识嘛理 余弦定理 J 1 C H U Z H I S H I SH U L I文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和_ _ _ _ _这两边与它们的夹角的余弦的积的一 一 倍符号语言在A/15。中，=A2+c2-26ccos A 9 b2=c2+a22accos B9 c2=_ _ _常用计算公式b2+c2 a2 c-a bLcos A 26c，cos 5 2a c，cos C_作用解三角形、判断三角形的形状等归 纳 总 结:(1)余弦定理中包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，便可求得第四个量，即“知三求一”.(2)余弦定理适用的题型：已知三边求三角，用余弦定理，有解时只有一解；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理，必有一解.(3)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具.【做一做】1.在 A B C 中，a=4,b=4,C=3 0,则 c?等于2.在aABC 中，a=2,b=5,c=6,贝 U cos B 等于例 1.在 AA8C 中，已知 4=2#,c=J +J 5,8 =4 5 ,求 b 及 A分析：求 b 只能用正弦定理，求出b 后求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理例 2.在 AA8C中，已知a=7,b=5,c=3,判断A 48C 的类型。结论：已知三边a、b、c 判断三角形形状的方法A为直角O A为锐角O A为钝角O 随堂练习(1)在 A 4 8 c 中，已知sinA:sin8:sinC =2:4:5,判断A 4 8 c 的类型,(2)设 x、x+1、x+2是锐角三角形的三边长，求实数x 的取值范围,（3）设la+l,a,2a-1 是钝角三角形的三边长，求 n 的取值范围。【典型习题】1 已知aA B C 满 足 B=60。，AB=3,A C=J7 ,则 BC的长等于2 在ABC 中，bcosA=acos B,则ABC 是（）A.等 边 三 角 形 B.等腰三角形C.直角三角形D.锐角三角形3 在ABC 中，若。=b=l,c=拒，则 C=.4 在aABC 中，cos 2A=cos 2A-cos A(1)求角 A 的大小；(2)若 a=3,sinB=2sinC,求ABC 面积5.在ABC 中，若 b2sin2C+c2sin2B=2bc cosBcos C,试判断4ABC 的形状6.在钝角三角形4B C 中，a=l,h=2,c=t,且 C 是最大角，则/的取值范围是 97.在/3 C 中，/?=5,=J5,cos4=而，求 c 的值.8.在侬?中，sin2 A s i n B,则4ABC的形状是（）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形4 .等腰三角形一腰上的高是J5,这条高与底边的夹角为6 0,则底边长为（）A.2 B.C.3 D.2A/325 .在 A B C 中，若b =2 a s i n 8,则 4 等 于（）A.3 0或6 0 B.4 5 或6 0 C.1 2 0或6 0 D.3 0或1 5 06.边 长 为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A.9 0 B.1 2 0 C.1 3 5 D.1 5 07 .在 Rt A A B C 中，C =9 0,则 s i n A s i n B 的最大值是.8 .在a A B C 中，若/+%0+。2,则A =09 .在 A B C 中，若匕=2,6 =3 0,C =1 3 5,则a =。1 0.在a A B C 中，若s i n A :s i n B :s i n C =7 :8 :1 3,则。=。1 1 .在A A B C 中，A 5 =V 6-V 2,C =3 0,则 A C +B C 的最大值是1 2 .在A a A B C.中，4求一证：a -b=c（z-c-o-s-B-c-o-s-）h a b a13.jr在A A B C 中，设a +c =2 b,A C =，求s i n B 的值。31 4.在 A 4 8 C 中，已知(a +/+c)S +c-a)=3 Z c ,s i n A =2 s i n B c o s C,试判断 A 4 8 C 的形状。【综合练习B组】1 .A为AABC的内角，贝(I s i n A +c o s A的取值范围是()A.(V 2,2)B.(-V 2,V 2)C.(-1,V 2 D.-V 2,V 2 2 .在aABC中，若C =9 0,则 三边 的 比 土吆 等于()crz A+B rz A B rz.A+B rr.A-BA.V 2 c o s-B.v 2 c o s-C.V 2 s i n-D.V 2 s m-22223 .在AABC中，若。=7/=3,c =8,则其面积等于4 .在AABC中，Z C =9 0,0 A c o s A B.s i n B c o s A C.s i n A c o s B D.s i n B c o s B5 .在A B C 中，若(a +c)(a c)=b 3 +c),贝!N A =6 .在AABC中，若 咽4=，则aABC的形状是()t a n 8 b2A.直 角 三 角 形B.等腰或直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形7 .在a A B C 中，若s i n/s i n 8,则 A B8 .在A B C 中，若 C O S?A +C O S?8 +C O S 2 c =1,则A B C 的形状是.9 .在a A B C 中，N C 是钝角，设 工=5皿。,丁 =s i n A+s i n 8,z =c o s A +c o s B,则x,y,z的大小关系是、10.在A B C 中，若a+C =2/7,贝此05 4 +(:05。一 ：05 4/?c 且 a+c=2%,A-C=,求 a:/?:c216.在AABC 中，若(a+b+c)(a-匕+c)=3ac,且 tan A+tan C=3+6，AB 边上的高为 4/5,求角A,B,C 的大小与边a,。,c 的长 三角形应用举例 【距离问题】【例 题 1】如图，在河岸边有一点4河对岸有一点8,要测量4 8 两点之间的距离，先在岸边取基线 N C,测得 NC=120m,N A 4c=45。，NBCA=75。,求/,5 两点间的距离.这实际上就是已知三角形的两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理就可解决【例 题 2】如图，隔河看到两个目标4 B,但不能到达，在岸边选取相距5km 的 C,。两点，并测得N4C5=75。，ZBCD=45,ZADC=30,ZADB=45（A,B,C,0 在同一平面内），求两个目标/,B之间的距离.首先把求不可到达的两点A,B 之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求B,C和 A,C 的距离问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题.【练习】1 已知4,8 两地相距10km,B,C 两地相距2 0 k m,且NHBC=120。，贝 Ij/G C 两地相距（）A.10 km B.loV3km C.loV5km D.loV7km2 设 4 5 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在力的同侧，在所在的河岸边选定一点G 测出4 C 的距离是100 m,ZBAC=60,ZACB=30,贝（J X,8 两点的距离为 m.3如图，一艘船上午8：00在 Z 处测得灯塔S在它的北偏东30。处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达5 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75。处,且与它相距4瓶n m ile,则此船的航行速度是 n mile/h.4 如图，为了开凿隧道，要测量隧道上D,E 间的距离，为此在山的一侧选取适当点C,测 得 C4=400 m,C5=600 m,N 4 c 5=60。，又测得 4 8 两点到隧道口 的距离0=8 0 m,SE=40 m（A,D,E,B 在一条直线上），计算隧道。E 的长.5 在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在 两 个 相 距 且 a 的军事基地C 和。测得蓝方两支2精锐部队分别在N处和5 处，且NND3=30。，Z BDC=30,NC4=60。，ZA C B=45,如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离.三角形应用举例 【高度问题】测量中的有关概念/=4/(1)坡角：坡面与 的夹角，如图所示，a 为坡角.h(2)坡比：坡面的铅直高度与 之比，即 i=tan a,如图所示.-I/目 标 视 线(3)仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和_ _ _ _ _ _ _ 视线的夹角，伊 力/目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图所示).在 屈 镌 一 水 平 视 线(4)铅直平面：铅直平面是指与海平面_ _ _ _ _ _ 的平面.(5)基线：在测量上，根据测量需要适当确定的线段.用小视线例 1 如图，测量河对岸的塔高A B时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C 和。.现测得N5CO=a,ZBDC=/i,C D=s,并在点C 测得塔顶4 的仰角为，求塔高45.例 题 2 如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为a,在塔底C 处测得点A的俯角为“，已知铁塔8 c 部 分 的 高 为 求 山 高 CD.1 如图，从山顶N望地面上C,O 两点，测得它们的俯角分别为45。和 30。,已知CZ=100米，点 C 位于5 0 上，则山高N 5 等于()A.100 米 B.5 0 G 米C.50亚 米 D.50(百+1)米2 如图，线段45,C。分别表示甲、乙两楼，ABA.BD,C D 1 B D,从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C 的仰角为a=30。，测得乙楼底部D的俯角0=60。，已知甲楼高4 5=2 4 米，则乙楼高。=米.B D第 2 题图3 如图，A,8 是海平面上的两个点，相距800 m,在 N点测得山顶C 的仰角为45。，NR4Q=120。，又在8 点测得NN3Z)=45。，其中。是点CD到水平面的射影，求山高CD.4 如图所示，在高出地面30 m 的小山顶上建造一座电视塔CD,在距离5 点 60 m 的 地 面 上 取 一 点 若 测 得 NCZO=45。，求此电视塔的高度.C第 4 题图 【高考试题汇编】本章公式汇总a b c.1.正弦定理：一；=-=;=2R.(R为4 A B C 外接圆半径)sin A sin B sin C2.余弦定理：.2 2 2a2=b2+c2-2bc cos A;常用变形 cos A=?+?2bch2-c2+a2-2cacosB;常用变形c o s 8=十 2acc=a2+82-2ahcosC.常用变形cosC=+2ab3.正弦面积定理：5=1 4/由。=工 历 3114=工 或 5由8.(看题中给角，选择公式)2 2 24.三角形内角和定理(三角化两角，两角成一角)A+8+C=7=C=7-(A +B)0 2 =工一 2c=27 一2(A+B)2 2 2【母题】说明：满 分 12分，利用正余弦定理进行处理标志性语言“在 A 4BC 中，角 A,B,C 对应的边分别是a ,c 思路：三角若全齐，内角和化简，看问定公式，边角要统一在 AABC中，角 4,B,C 对应的边分别是a,b,c.已知cos2A-3cos(B+C)=1.(I)求角A 的大小；(II)若 M 5 C 的面积 S=5 6,8=5,求 sin 8 sin C 的值.解：因 为 cos2A-3cos(8+C)=l ABC三角都有，用 A+B+C=T1化简所以cos2A+3cosA=l 角为2 倍关系，则用二倍角公式2cos2 A+3cos A-2=0,转化二次方程求cosA,注意范围【-1,1】解得8$4 =,，角 A=60。2(H)S=bcsinA=5 j5,b=5nc=4,给哪个角用哪个角的对应公式2由余弦定理得：/=2 1,边多用余弦，角多用正弦(2 7?)=2 8 s i n 8 s i n C=s i n2 A 4 R 2 71 J?可得c o s?B =一,又co sB 0,故c o s B =，所以3 =4 5 2 2（高考真题）在BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知（1）求包工的值；（2）若c o s B=!，b =2,求AABC的面积.sin A 4（本题将解三角形的公式全部用到，是练习公式的一道好题）（高考真题）48。在内角A,B,C的对边分别为o，c,已知=Z?cosC+c si n B.（I）求5；（II）若b =2,求 A BC面积的最大值.解：a=b cos C+c sin B 由正弦定理得 sin A=sin B cos C+sin C sin B将边统一化为角的正弦，达到统一（问求的是角）sin(B+C)=sin B cos C +sin C sin B三角化两角，两角变一角，必然先用A +8 +C =%sin B cos C+cos B sin C =sin B cos C +sinC sin B；.cos 5 sin C =sin C sin B cos B =si n B -：B e(0,1)4最后一步必须说出角原有的范围后,再答角(2)S=ocsin B =a c 由余弦定理可得cos 8 =二 二-=叵2 42a c 2a2+c2-4=41a c a2+c2=4+V 2 a c a2+c2 la c(均值不等式)4+4 2 a c a c a c 。S /2 a.(1)求2；(II)若 6a1,求 B.a解：(D 由正弦定理得sin?A +sin 8cos2 A =J Esin A即 sin Gin?A+cos2 A)=V 2 sin A 故 sin 3 =V sin A,所 以？=V 2.6 分a由 余 弦 定 理 得=/+石”2,得cos8 =由 知=2/,故c2 =(2+百)/.2 ccos A-2 cos C _ 2 c-acosB b【解析】（I ）由正弦定理得cos A-2 cosC2 c-a _ 2 sin C-sin AcosBbsin 8即 sin B cos A-2 sin B cos C=2 sin C cos B-s i n A cos B,sin C即有sin(A+8)=2sin(8+C)即 sin C=2 sin A,所以1一=i,sin AsinC由 T）知：；TQ=2,即c=2a,又因为b=2，所以由余弦定理知：b2=+/-2a c cos B ,c即*=4/+/-2ax 2ax解得a =1,所以 c=2,又因为 cosB=-,所以 sinB=l,4 4 4故A 4 B C的面积为,a csinB2lxlx2x=24 41)在 A B C 中，A =6 0 ,A C =2,B C=6，则 A A BC 的面积等于.2)3)设的内角4 B,。所对的边分别为&b,c,若。cosC+ccos8 =a sinA,则网7的形状为（A）锐 角 三 角 形（B）直 角 三 角 形（C）钝 角 三 角 形（D）不确定在 胸 中，N A BC=C,48 =V ,8 C=3 5 iJ sinN 8 4C=4噜普等(D)f4)在 A 48 C,内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,/c.a sin B cos C +c sin B cos A b,S.a h,则 N B =2A,.一乃62万C.3,571D.65)在锐角中A 4 B C,角A,8所对的边长分别为a力.若2 a sin 8 =回，则角4等于71A.1 2D.36)A BC 中，Z C =9 0 ,M 是 8。的中点，若 sin/BA M =工，则 sin/BA C=37)Q BMB C 中，已知点 D 在 BC 边上,A D L A C,sin A B A C =-,A B=3 痣,4。=3 则 B D 的长为8)在A BC中，内角A,8,C的对边分别是a,b,c,且/+/+6 ab=c2.则角C是.9)设A 4 B C的内角A,8,C的对边分别为a,b,c,(a+b +c)(a-b +c)=a c.则 角B是.1 0)设 A B C的内角A,8,C所对的边分别为a,b,c.若(a+6-c)(a +6 +c)=a b,贝1 1角C=1 1)在A BC中，角4、8、C所对边长分别为a、。、c,若3 a 2 +2帅+3/2-3 c2=0,则角C的余弦值是在A 4 8 c中，角A、B、C所对边长分别为a、氏c,若a =5 =8,8 =6 0,贝ijb=1 3)设A BC的内角A,8,C所对边的长分别为a,4c.若 匕+c=2 a ,贝i j 3 sin A =5 sin B,则角C =1 4)设 A B C 的内角A,B,C 所对边的长分别为a,c 已知a=bcos C+c sin 8.则角B是.1 5)在 A 4 8 c 中，内角A,8,C 所对的边分别是a 力,c,已知油=5c,C=2 8,则 cosC=1 6)在 A 4 8 c 中，若 4 1?4 +4112 8111A.B.-1-C.-+-D-1-H-3 +2 3 3 +1 3 +1 3 +2 3 3 +1 3 +2课后作业1.下列说法正确的是().A.数列中不能重复出现同一个数B.1,2,3,4 与 4,3,2,1 是同一数列C.1,1,1,1不是数列D.两个数列的每一项相同，则数列相同2.下列四个数中，哪个是数列“(”+1)中的一项().A.380 B.392 C.321 D.2323.在横线上填上适当的数：3,8,15,35,48.4.数列(-1).的第4 项是.5.写 出 数 列-会12722x3右的一个通项公式.6.写出数列 2 的前5 项.7.写出数列I 早某的一个通项公式为-8.已知数列G,不，拒,V15,7 1 9,那么3 而是这个数列的第.项 2.1数列的概念与简单表示法派 学 习 探 究：探究任务：数列的表示方法问题：观察钢管堆放示意图，寻找每层的钢管数与层数之间有何关系？1.通项公式法：试试：上图中每层的钢管数%与层数之间关系的一个通项公式是.2.图象法：数列的图形是,因为横坐标为 数，所以这些点都在y 轴 的 一 侧，而点的个数取决 于 数 列 的.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.3.递推公式法：递推公式：如果已知数列%的 第 1 项(或前几项)，且任一项巴与它的前一项4-(或 前 n 项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.试试：上图中相邻两层的钢管数“与耳”之间关系的一个递推公式是.4.列表法：试试：上图中每层的钢管数%与层数之间关系的用列表法如何表示？派典型例题4=1例 1 设数列%满足,1,写出这个数列的前五项.(%=1 +(n 1).变式：已知。|=2,%+i=2 q 写出前5 项，并猜想通项公式小结：由递推公式求数列的项，只要让依次取不同的值代入递推公式就可求出数列的项.2练 1.已知数列”满足q =1,=-且。“一|-2 a“_ 1%+|=0 求%,4.练 2.已知数列 g 满足。=0,.A.0 B.-V 3 C.V3=4,-6岛,+1D.B2(“)，贝!J .=()练 3.在数列 ,中，q=2,。*=6 6,通项公式是项数的一次函数.求 数 列 ,的通项公式；(2)88是否是数列 对 中的项.课后作业1.已知数歹！-%-3=0,则数列 叫 是().A.递增数列 B.递 减 数 列 C.摆动数列 D.常数列2.数列 q 中，a=-2n2+9n +3,则此数列最大项的值是().A.3 B.13 C.13-D.1283.数 列 应 满足4=1,j=a,+2(2 1),则该数列的通项”“=().A.n(n+1)B.n(n-l)C.-D.-2 24.已知数列&满足q =；,an=(-l)r t 2an_x(2 2),贝！J%=.5,已知数列 凡 满足q=!，a =l-(2 2),贝|J&=_.26.数 列%中，=0,“+1=%+(2-1)(N),写出前五项，并归纳出通项公式.7.数列 a,满足=1,限=&（n e N）,写出前5 项，并猜想通项公式a,.4+22.2等差数列（1）派学习探究 探究任务一：等差数列的概念问 题 1:请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？0,5,10,15,20,2 5,48,53,58,63 18,15.5,13,10.5,8,5.5 10072,10144,10216,10288,10366新知：1.等差数列：一般地，如果一个数列从第一项起，每一项与它 一项的 等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这 个 常 数 就 叫 做 等 差 数 列 的,常用字母 表示.2.等差中项：由三个数a,A,b 组成的等差数列，这时数 叫做数和的等差中项，用等式表示为A=_ _ _ _ _ _ _探究任务二：等差数列的通项公式问题2：数列、的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？若一等差数列 ,的首项是q,公差是，则据其定义可得:a2-at=,即：a2=at+a3 a2=,即：&=%+d =4 +_ _ _a4 a3=，即：a4=a3+d =at+_ _ _由此归纳等差数列的通项公式可得：=已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差”，便可求得其通项4.派典型例题例 1 求等差数列8,5,2的第20项；一 401是不是等差数列-5,-9,-13的项？如果是，是第几项？变式：(1)求等差数列3,7,1 1,的 第 10项.(2)100是不是等差数列2,9,1 6,的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.小结：要求出数列中的项，关键是求出通项公式；要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得巴等于这一数.例 2 已知数列%的通项公式%=p +q,其中p、g 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？变式：已知数列的通项公式为%=6-1,问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？小结：要判定 为 是不是等差数列，只 要 看%-a,-(2 2)是不是一个与无关的常数.派动手试试练 1.等差数列1,-3,-7,-11,求它的通项公式和第20项.练 2.在等差数列 4 的首项是为=10,%=31，求数列的首项与公差.X学习小结1.等差数列定义：(22)；2.等差数列通项公式:an=at+(n-1)JX知识拓展1.等差数列通项公式为“=4+(-D d 或q,=am+(n-m)d.分析等差数列的通项公式,可知其为一次函数,图象上表现为直线y=q+(x-l)d 上的一些间隔均匀的孤立点.2.若三个数成等差数列，且已知和时，可 设 这 三 个 数 为+d.若四个数成等差数列，可设这四个数为 a 3d,a d,a +d,a +3d 3课后作业1.等差数列1,-1,一3,，一89的项数是().A.92 B.47 C.46 D.452.数列 q 的 通 项 公 式=2n+5,则此数列是().A.公差为2 的等差数列 B.公差为5 的等差数列C.首项为2 的等差数列 D.公差为的等差数列3.等差数列的第1 项 是 7,第 7 项是一 1,则它的第5 项 是().A.2 B.3 C.4 D.64.在N 5C 中，三个内角4 B,C 成等差数列，则N5=.5.等差数列的相邻4 项是4+1,a+3,b,a+b,那么“=,b=.6.在等差数列 q 中，已知 =2,d=3,=1 0,求凡已知q=3,an=21,d=2,求;已知 =1 2,6=27,求”;(4)已知%=8,求 q.7.一个木制梯形架的上下底边分别为33cm,75cm,把梯形的两腰各6 等分，用平行木条连接各分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度.2.2等差数列（2）派学习探究 探究任务：等差数列的性质1.在等差数列%中，”为公差，M 与 凡有何关系？2.在等差数列%中，”为公差，若且w7+“=p+4,则q“，ap,与有何关系？注意：%+%*%+,，左右两边项数一定要相同才能用上述性质.派典型例题例 1 在等差数列%中，已 知%=1。，=3 1，求首项与公差变式：在等差数列%中,若%=6,4=1 5,求公差及a”小结：在等差数列%中，公差 可以由数列中任意两项%，与a,通 过 公 式 上 =d 求出.m-n例 2在等差数列 以 中，%+%+即）+。1 1 =36,求 知+G 和。6+%变式：在等差数列 4 中,已知生+。3 +。4+%=3 4,且 电。5=5 2,求公差小结：在等差数列中，若桁+可+%贝|4+“=%+%,可以使得计算简化.X动手试试练 1.在等差数列“中，a,+a7=3 9 ,/+牝+%=3 3,求 能+纭+“9 的值.练 2.已知两个等差数列5,8,1 1,和 3,7,1 1,都 有 100项，问它们有多少个相同项？7课后作业1 .一个等差数列中，5=3 3,a25=66,则%5=（）.A.99 B.49.5 C.48 D.492.等差数列。中%+%=1 6,a4=1 9则 2 的 值 为（）.A.15 B.30 C.31 D.643.等差数列 中，3，|（）是方程/一 3 工 一 5 =0 ,则。5+4=（）.A.3 B.5 C.3 D.54.等差数列 中，的=-5,6 =1 1，则公差=.5.若 48,a,b,c,-1 2 是等差数列中连续五项，贝 U =,b=6.若 q+4+%=3 0 ,a6+a7 4-F a1 0=8 0 ,+aI 2 H-F ai 5.7.成等差数列的三个数和为9,三数的平方和为3 5,求这三个数.2.3 等差数列的前项和（1）派学习探究 探究：等差数列的前n 项和公式问题：1.计算 1+2+100=?2.如何求1+2+”=?新知：数列 q 的前n 项的和：一般地，称 为数列。“的前n 项的和，用 S“表示，即S“=反思：如何求首项为囚，第项为巴的等差数列 4 的前项的和？如何求首项为“，公差为的等差数列伍“的前项的和？试试：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列%的前项和5“.q=-4,%=-1 8,n =8；（2）a,=1 4.5,d =0.7,n =1 5.小结：1.用 S“,必须具备三个条件：_.22.用 5“=陷+（I”,必须已知三个条件：2派典型例题例 1 2000年 11月 1 4 日教育部下发了 关于在中小学实施“校校通”工程的统治.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从 2001年 起 用 1 0 年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该 市 在“校校通”工程中的总投入是多少？小结：解实际问题的注意：从问题中提取有用的信息，构建等差数列模型；写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前项和公式进行求解.例 2 已知一个等差数列%前 10项的和是3 1 0,前 20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前项和的公式吗？变式：等差数列%中,已 知 0=3 0,2 0=5 0 ,5.=2 4 2,求.小结：等差数列前项和公式就是一个关于为、或者、”、”的方程，已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量.X动手试试练 1.一个凸多边形内角成等差数歹U,其中最小的内角为120,公差为5 ，那么这个多边形的边数为（）.A.12 B.16 C.9 D.16 或 9派知识拓展1.知三求二”问题，即：已知等差数列之,4 次,5“五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.2.若数列 4 的前项的和S“=A 2 +8 A,5 是与无关的常数），则数列 4 是等差数列.3.已知数列 a,是公差为d 的等差数列，&是其前项和，设 壮 产,九 5”-1,%-%也成等差数列，公差为k2d.，J课后作业1.在等差数列%中,品 =1 2 0,那么