考研数学历年真题年数学一.pdf

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：广8 小题，每小题4分，共 3 2分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1-COSA/X(1)若函数/(%)=(-晟-在 二0处连续，则()0(A)ah=(B)ab=-(C)ab=0(D)ab=22 2(2)设函数/(x)可导，且则()(A)/(l)/(-l)(B)/(l)|/(-l)|(D)|/(l)|/(-l)|(3)函数/(苍2)=/丁+22在点(1,2,()处沿向量(1,2,2)的方向导数为()(A)1 2(B)6(0 4 (1)2(4)甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方1 0 (单位:m)处，如下图中，实线表示甲的速度曲线u =匕(。(单位:m/s)虚线表示乙的速度曲线丫=彩。)，三块阴影部分面积的数值依次为1 0,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为小(单位:s),则()(A)t0=1 0 (B)1 5 f0 25v(m/s)(5)设a为 n 维单位列向量，E 为 n阶单位矩阵，则()(A)E-aa，不可逆(B)+a a 不可逆(C)E +2 a a 不可逆(D)2 a a 不可逆-200-21o-0o-(6)己知矩阵4 =0 21B=020c=020,则()0 01001002_(A)A与 C 相 似,B与 C 相似(0 A与 C 不相似，B与 C 相似(B)A与 C 相似，B与 C 不相似(D)A与 C 不相似，B与 C 不相似(7)设 A,B为随机事件，若0 P(A)l,0 P(8)P(6 同BP(B|A)P(B 同 D.P(B|A);2 1 内与路径无关，则。=(1 2)基级数(-l)”T y i在 区 间(-1,1)内的和函数S(x)=n=l i o r(1 3)设矩阵A=1 1 2,%,为线性无关的3 维列向量组，则向量组A,A%，A a 3 的秩为0 1 1(1 4)设随机变量X的分布函数为尸(x)=0.5(x)+0.5仔 )其 中 (x)为标准正态分布函数，则 EX=三、解答题：1 5 23 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(1 5)(本题满分10分)设函数具有2阶连续偏导数，y =/(,c o sx),求 苴 ，9心：x=0*x=0(1 6)(本题满分10分)(1 7)(本题满分10分)己知函数y(x)由方程13 +、3-3+3 尸 2 =0 确定，求 y(x)得极值(1 8)(本题满分10分)设函数工)在 ，1 上具有2阶导数，/，h m 尤证(1)方程/(x)=0 在区间(0,1)至少存在一个根；(2)方程/(/(j o+i r c o f M O 在区间(o,i)内至少存在两个不同的实根.(1 9)(本题满分10分)设薄片型物体S是 圆 锥 面Z =yx2+y2 被 柱 面 Z?=2 x 割 下 的 有 限 部 分，其 上 任 一 点 弧 度 为u(x,y,z)=9ylx2+y2+z2 o记圆锥与柱面的交线为C(1)求 C在 xOy平面上的投影曲线的方程(2)求S的质量M(2 0)(本题满分11分)设三阶行列式A =(四,火,名)有 3个不同的特征值，且=必+物(1)证明*4)=2(2)如果4=%+4+。3 求方程组A x =P的通解(2 1)(本题满分11分)设二次型/a,和 演)=21 一 考+收+2 与%2-8大七+2%2%3 在正交变换x =Qy下的标准型为求。的值及一个正交矩阵。.(2 2)(本题满分11分)设随机变量X,Y 互独立，且X 的概率分布为P X=0 =P X =2 =；,Y 概 率 密 度 为=(1)求 P y E Y (2)求 2 =*+丫的概率密度2y,0yl0,其他(2 3)(本题满分11分)某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量是已知的，设 n次测量结果 看,，怎 相 互 独 立，且均服从正态分布,该 工 程 师 记 录 的 是n次 测 量 的 绝 对 误 差z,.=%-“,=1,2,n),利用 4*2，,z“估计cr(D求4的概率密度(II)利用一阶矩求cr的矩估计量(in)求cr的最大似然估计量2 016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：1 8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答断纸指定位置上.若 反 常 积 分 就产收敛则，)(A)a 1(B)a l跳1 (C)a l()(2)已知函数,则”X)的一个原函数是()I n x,x-2 2(A)/(x)=|(5)F()=1 (、x(l n x-l),x l I x(l n x+l j-l,x l-2(?/、(-1),X 1 /、/,x)F(x)=x(l n x +l)+l,1 x(l n x-l)+l,x N 1(3)若 y=(1+%2)2+j2,y=(+%2)+J+%2 是微分方程 y +p(x)y=q(x)的 两 个 解,则 以 力=()(A)3X(1+Y)(8)-3X(1+%2)xl +x2(0 X1 +x2x,x 0(4)已 知 函 数=h 1、+l1 ，则(x0),记p =p X M/+,则()(A)p随着的增加而增加(B)p随着(T的增加而增加(C)p随着的增加而减少(D)p随着b的增加而减少(8)随机试验E有三种两两不相容的结果4,A2,4,且三种结果发生的概率均为g,将试验E独立重复做2次,X表示2次试验中结果4发生的次数,丫表示2次试验中结果为 发生的次数，则x与y的相关系数为()12(A)(B)-3(C)I(D)3二、填空题：91 4小题，每小题4分，共2 4分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9)l i m+f s i n f W1-co s x2(1 0)向量场 A(x,y,z)=(x+y+z)i +x切+zZ 的旋度rA=(1 1)设 函 数 可 微，z=z(x,y)由方程(x+l)z-y2 =x 2/(x z,y)确定，则 喝 产(1 2)设函数/(x)=a rcta n x-二，且/”(0)=1,则“=+ax-2-100 2-1(1 3)行列式0 0 A00-14 3 2 4 +1(1 4)设玉,工2,当 为 来 自 总 体 的 简 单 随 机 样 本，样本均值嚏=9.5,参数的置信度为的双侧置信区间的置信上限为，则 的 置 信 度 为 的 双 侧 置 信 区 间 为.三、解答题：1 52 3小题，共94分.请将解答写在答陛纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(1 5)(本题满分1 0分)已 知 平 面 区 域e)2 W T 2(l +co s。),四计算二重积分。火遍y.2 2 八(1 6)(本题满分10 分)设 函 数 y(x)满足方程y +2y +价=。其中0%+1/是从点(0,0)到点(1,0OX的光滑曲线，计算曲线积分/)=:行(Xy)d x+守(：y)d y,并求/的最小值北 dx dy(1 8)设有界区域C 由平面2 x+y +2z =2 与三个坐标平面围成，Z为。整个表面的外侧，计算曲面积分/=j j (x2+ijdydz-2ydzdx+3zdxdy(19)(本题满分10 分)已知函数/(幻 可导，且/(O)=1,0 /X x)o c nf o or 1 -1(2 0)(本题满分11分)设 矩 阵 A=2 a、一1 1T)(21,B=1ci,、a 1当。为何值时，方程A X =5无解、有唯一解、有无穷多解?0 -1 1、(2 1)(本题满分11分)已知矩阵4=2-3 0、。0 0(I)求 人9 9(I I)设3阶矩阵B =(a,%)满足 2=3 A,记B10 0=3,尾，月)将丹，乐区分别表示为,a2,a3的线性组合。(2 2)(本题满分11分)设二维随机变量(X,Y)在区域0 =(x,y)|0 x l,x 2 y G 上服从均匀分布，令,X YU-|o,xy(I)写出(x,y)的概率密度;(H)问。与x是否相互独立？并说明理由:(I I I)求2=。+乂 的分布函数F(z)._ _ _ 0 y-(23)设总体X的 概 率 密 度 为=，其中6 e(0,+8)为未知参数，乂1，,/3为来自总体乂0,其他的简单随机样本，令T =m ax(X 1,X 2，X 3)。(1)求T的概率密度(2)确定。，使得a T为。的无偏估计20 15 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1)设函数/.(X)在(-8,+8)连续，其2阶导函数/(x)的图形如下图所示，则曲线y=/(x)的拐点个数为()(A)0(B)1 (C)2(D)3(2)设y =卜是二阶常系数非齐次线性微分方程y +W +6 y =c e，的一个特解，()则：(A)Q=3力=1,c =1.(B)。=3,b=2,c=1.(C)。=3,b=2,c=1.(D)a=3,b=2,c =l.若 级 数 条 件 收 敛，贝k=也与x=3依 次 为 幕 级 数(x-l)的：W=1(A)收 敛 点，收敛点.(B)收 敛 点,发 散 点.(C)发 散 点，收 敛 点(D)发 散 点，发散点.()(4)设D是第一象限中曲线2肛=1,4冲=1与直线丁 =乂y=百工围成的平面区域，函数/(x,y)在D上连续，则J J f(x,y)dxdy=()Dn n(A)d 0 ne/(rcos0.rsin 0rdr(B)j j f (rcos0,rsin 0)rdr4 2sin2。4 42sin2。n n I(C)Jjd e J叫 /(rcos 0,rsin 6dr(D)产 y(r c o s sin 0)dr4 2sin20 4 煨 sin 20q(5)设矩阵A=1J1241 1 (1 a,b=d，若集合 =1,2,则线性方程组A x =8有无穷多个解的充分必要条件为()(A)a 史 O,d 任。(B)a 史 Q,d GQ(C)a w Q,d 史。(D)a e Q,d。(6)设二次型/(x,9,&)在正交变换X =P y下的标准形为2寸+一y；,其中p =(q,0 2,0 3)，若Q =e 1 d)则/(5,七,七)在正交变换x =Q y下的标准形为()(A)2 y；_ y；+y；(B)2 y；+_ y；(C)2 yt2-y-yj(D)2 y；+y；+y；(7)若AB为任意两个随机事件，则()(A)P(AB)0sin x-Fl +c o sx(1 1)若函数由方程e*+j z+x +c o sx =2 确定，则 d z|)j)=U J J J (x +2 y+3z)dxdydz(1 2)设Q是由平面x+y+z =l与三个坐标平面所围成的空间区域,2 002-1 20 20 02 2(1 3)n阶行列式0 0-1 2=(1 4)设二维随机变量服从正态分布，则三、解答题(1 5)设函数，g(x)=kx3,若/(幻 与g(x)在x-0是等价无穷小，求a,b,女值。(1 6)设函数/(无)在定义域/上的导数大于零，若对任意的/()e/,曲线y=/(x)在点(X。，/*。)处的切线与直线龙=X。及 X轴所围成的区域的面积为4,且 7()=2,求/(X)的表达式。(1 7)己知函数/(x,y)=x+y +x y,曲线+)?+孙=3 ,求/(x,y)在曲线C上的最大方向导数.(1 8)(本题满分1 0 分)(I )设函数(尤)一(%)可导，利用导数定义证明(II)设函数%(%),%(%)%,(%)可导，/(1)=(%)2(%).(1),写出 了(%)的求导公式.(1 9)(本题满分1 0 分)已 知 曲 线 L 的 方 程 为 1=也 _/一),一,起 点 为A(O,、/,O)，终 点 为B(0,-&0),计 算 曲 线 积 分Z=X,/=(y+z)dx+(z2-x2+y)dy+(x2+y2)dz(2 0)(本题满分1 1 分)设向量组。1，。2，。3 是 3 维 向 量 空 间 3 的一个基，=2 ,+2kay,f32=2a2,笈=+(4+1)4。(I)证明向量组百，河,4,是3 的一个基；(II)当 k为何值时，存在非零向量J在基%,与基丹，尾，尸 3 下的坐标相同，并求出所有的4。(2 1)(本题满分1 1 分)0 2-3、1-2 0、设矩阵A=-1 3-3相似于矩阵B=0 Z?0J -2 a)、0 3 1,(I)求q,。的值.(ID求可逆矩阵?，使得尸T A P为对角阵.(2 2)(本题满分1 1分)设随机变量X的概率密度为、2-In2 x 00 x0对x进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记y为观测次数.(I)求y的概率分布；c m求石丫.(2 3)(本题满分1 1分)设总体X的概率密度为0 x g(x)(B)当 r(x)zo 时,f(x)g(x)(C)当/(x)4 0时，f(x)N g(x)(D)当/(x)0 时,/(x)EY2,DYt DY2(B)EYt=EY2,DYt=DY2(C)EY,=EY2,DY,DY2二、填 空 题(本 题 共 6 小题，每小题4 分，满 分 24分.把答案填在题中横线上)9.曲面z=x2(l si n j)+j2(l si n x)在点(1,0,1)处的切平面方程为1 0 .设/(*)为周期为4的可导奇函数，且 r(x)=2(x-l),xe 0,2,则/(7)=1 1 .微分方程xj +y(l n x-I n j)=0 满足j(l)=/的解为1 2.设 L是 柱 面*?+y 2=l 和 平 面 y +z =0的交线，从 Z轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分 zdx+ydz=1 3 .设二次型/(芭,三,*3)=*：-*+勿 冲 3+4 叫*3 的负惯性指数是1，则。的取值范围是.,2x1 4 .设总体X的概率密度为/(4 6)=，4/*2 夕，其中。是未知参数，X”X 2,X ”是来自总体的简单样本,.0,其它若c 力x；是e-的无偏估计，则常数c -.1=1三、解答题15.(本题满分1 0 分)求极限f(t(cl 1)t)dtl im-X T+8 +Jx2l n(l +-)x1 6 .(本题满分1 0 分)设函数J =f(x)由方程/+盯 2+*2+6 =0确定，求/(X)的极值.1 7 .(本题满分1 0 分)设函数/()具有二阶连续导数，2=/(小飞0 5 月 满 足 匹+玖=(4 2+/：0 5 执 2，.若/(0)=0/(0)=0，求/()dx2 dy-的表达式.1 8 .(本题满分1 0 分)设 2 为曲面 z =刀2+j?(z 1)的上侧，计算曲面积分：+(y-y(lzdx+(z-)dxdy1 9 .(本题满分1 0 分)设数歹U%,仇 J满足0%生,0 00(2)证明级数 充 公 收敛.=12 0.(本题满分11分)1 -2 3 -4、设 4=oi-l l-E 为三阶单位矩阵.J 2 0 3,(1)求方程组AX=0的一个基础解系；(2)求满足A 5 =E 的所有矩阵B.21.（本题满分11分）1 1 1 A 仅 证明阶矩阵1 1 1与 j 1 ij o 0 1、0 2 相似.022.(本题满分11分)设随机变量X的分布为尸(X =1)=尸(X =2)=4，在给定X =i的条件下，随机变量Y服从均匀分布1 7(0,1),1 =1,2.(1)求 V的分布函数；(2)求期望E(y).23.(本题满分11分)设总体X的分布函数为产,e)=,1 -e*,*2 0,其中。为未知的大于零的参数，,X”是来自总体的简单0,x a =三.解答题：(1 5)(本题满分1 0 分)计算，其 中f(x)=(1 6)(本 题 1 0 分)设 数 列 a 满足条件:S (x)是基级数(1)证明：(2)求(1 7)(本题满分1 0 分)求函数.(1 8)(本题满分1 0 分)设奇函数僧幻在上具有二阶导数，且/U)=l,证明:(I)存在(n)存在19.(本题满分10分)设直线L 过 A(1,0,0),B(0,1,1)两点将L 绕 z 轴旋转一周得到曲面，与平面所围成的立体为。(1)求曲面的方程；(2)求的形心坐标。20.(本题满分11分)设，当 a,b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B,并求所有矩阵C。21.(本题满分11分)设二次型，记，。(1)证明二次型f 对应的矩阵为;(2)若正交且均为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为。22.(本题满分11分)设随机变量X 的概率密度为令随机变量(1)求 Y 的分布函数；(2)求概率.23.(本题满分11分)设总体X 的概率密度为其中为未知参数且大于零，为来自总体X 的简单随机样本。(1)求的矩估计量;(2)求的最大似然估计量.20 1 2年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：1 8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.X2 4-X(1)曲线y 渐近线的条数为()x-1(A)0(B)1 (C)2(D)3 设函数/(x)=(e、I)，2)(em-n),其中为正整数，则f(O)=(A)(I)“(一 1)!(B)(-l)n(n-l)!(O(-l)n-1w!(D)(一 1)!(3)如果函数/(x,y)在(0,0)处连续，那么下列命题正确的是()(A)若极限存在，则/(x,y)在(0,0)处可微(B)若极限lim4 )?存 在,则/(x,y)在(0,0)处可微(C)若在(0,0)处可微，则极限lim 存在W+3(D)若f(x,y)在(0,0)处可微，则极限lim 华 山 存 在；*+V(4)设 Ik=ex sinxdx(A=l,2,3),则有 D(A)/I2 k(B)12 水 K(0/)I3 h,(D)尿 12A0、设4 =0,a2()1、a3 -T,、7 31-其中9，%,。3，。4为任意常数，则下列向量组线性相关的是()产4(A)ava2,a3(B)ara2,a4(C)apa3,6Z4(D)%,%,%(6)设A为3阶矩阵，尸为3阶可逆矩阵，且，P=(%,4,%)，。=(6+%，%，。3)则。一么。=()(A).(B).(C).(D).(7)设随机变量x与y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则p x)-5 3 5 5(8)将长度为1 m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为()(A)1 (B)g (C)(D)-1二、填空题：9 1 4 小题，每小题4 分，共 2 4 分，请将答案写在答断纳指定位置上.(9)若函数/(x)满足方程(x)+f(x)-2/(x)=0 及 f (x)+/(x)=2/,则 f(x)=。(1 0)x l x-x1 dx _oJ o/、z(1 1)g r a d xy+。I (1 2)设 Z=(%,V，y +z =1,x0,y 0,z o,则 J jy2ds=。支(1 3)设 X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵石-xZ的秩为_ o(1 4)设 A,B,C 是随机事件，A,C 互不相容，尸(4 B)=；,P(C)=g，贝！|_。三、解答题：1 5 2 3 小题，共 9 4 分.请将解答写在等型纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(1 5)(本题满分1 0 分)1 4-Y f证明：x l n -+c o sx 1 +1 x 11 x 2(1 6)(本题满分1 0 分)2 2求函数/(x,y)=x e 生 产 的 极 值。(1 7)(本题满分1 0 分)00求某级数zn=04 2+4 7 1 +32 +1一的收敛域及和函数(1 8)(本题满分1 0 分)已知曲线，其中函数/具有连续导数，且/(0)=0,。若曲线L的切线与X 轴的交点到切点的距离恒为1,求函数/的表达式，并求此曲线L与 x 轴与y 轴无边界的区域的面积。（19）（本题满分10分）已知L是第一象限中从点（0,0）沿圆周f +y2=2x到点（2,0）,再 沿 圆 周/+y2=4到点（0,2）的曲线段，计算曲线积分.（20）（本题满分10分）设.（I）求网（H）当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解.1 o r（21）（本题满分10分）三阶矩阵A=0 1 1 ,为矩阵A的转置，已知r（A）=2,且二次型/=、T 01）求a 2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。（22）（本题满分10分）已知随机变量X,Y以及X Y的分布律如下表所示，求：P（X=2Y）；cov（X y,y）与 A r（23）（本题满分11分）设随机变量X与y相互独立且分别服从正态分布N（Q2）与N（,2/）,其 中 b是未知参数且。0,设Z=X-Y,（1）求z的概率密度/（z,b2）；（2）设Z1,Z2，Z“为来自总体Z的简单随机样本，求 的 最 大 似 然 估 计 量（/；（3）证明为的无偏估计量。2011年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷一、选择题：1 8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在笋断纸指定位置上.(1)曲线 y=(xl)(x2)2(x3)3(%4)4 的 拐 点 是()(A)(1,0).(B)(2,0).(0(3,0).(D)(4,0).设数列%单调减少，吧a=0,S=之&(=L2,k=）无界，则幕级数 1）”的收敛域为（）n=l(A)(-1,1.(B)-1,1).(C)0,2).(D)(0,2.设函数/（x）具有二阶连续导数，且:（x）0,/（0）=0,则函数z=/（x）ln/（y）在点（0,0）处取得极小值的一个充分条件是（）（A）/（o）i,r（o）o.（0 /（0）1,r（o）o.（B）/（o）i,r（o）o.（D）/（o）b r（o）o.n(4)设/=J。，Insinx公,nnJ=j*c o t x d x,K=J”c o sx d x,则/,J,K的大小关系是()(A)I J K.(B)I K J .(C)J I K.(D)K J I.（5）设A为3阶矩阵，将A的 第2列 加 到 第1列得矩阵B,再交换B的 第2行 与 第3行得单位矩阵，记T 0 0、=1 1 0、0 0 1 0 0、P2=0 0 1 ，则 A=(、0 1 0,)(A)他.(B)甲方.(C)P2P.(D)P2P；.（6）设A=（q,%,%,%）是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若（1,0,1,0）7是方程组At=0的一个基础解系，则A*x=O的基础解系可为（）(A),。3.(B)a1,a2.(C)a,a2,a3.(D)a2,a3,a4.(7)设耳(x),g(x)为两个分布函数，其相应的概率密度力(x),力(x)是连续函数，则必为概率密度的是()(A(x).%(x).2力(x)K(x).(C)f(x)E(x).工(幻玛(%)+力()耳 ).(8)设随机变量X 与y 相互独立，且 E(X)与 E(y)存在，记U=m axX,y,V=m inX,y则 E(U V)=()(A)E(U)-E(V).(B)E(x).E(y).(0 E(U)-E(Y).(D)E(X)-E(V).二、填空题：9 14小题，每小题4 分，共 24分，请将答案写在答题纲指定位置上.(9)曲线 y=tantdt(O x )的弧长s=.(1 0)微分方程y+y=x co sx 满足条件y(0)=0 的解为y=.(1 1)设函数尸(x,y)=半力，则可=-%1+加片 0-y=2(1 2)设 L 是柱面方程炉+了2=1与平面z=x+3，的交线，从 z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分2xzdx+xdy+-dz-.(1 3)若二次曲面的方程f+3 y 2 +z2+2axy+2xz+2yz=4,经过正交变换化为y；+4z；=4,则。=.(14)设二维随机变量(x,y)服从正态分布N(,4Q2Q2；O),则 E(xy2)=.三、解答题：15 2 3 小题，共 9 4 分.请将解答写在答博纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)求极限 lim(l n(l +“)六.X(16)(本题满分9 分)设函数z=/Q y,y g(x),其中函数/具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x=l 处取得极值g(l)=l,求dxdy(1 7)(本题满分1 0 分)求方程A a r c t a n x-x =O不同实根的个数，其中k 为参数.(18)(本题满分10分)(I)证明：对任意的正整数，都有一L l n(l +工)工 成立.+1 n n(ID 设/=l +g+-l n H =l,2,),证明数列 ,收敛.(19)(本题满分11分)已 知 函 数/(x,y)具 有 二 阶 连 续 偏 导 数，且/(l,y)=O,/(x,l)=O,f(x,y)dxdy,其中DZ)=(x,y)|自 x(II)求矩阵A.(22)(本题满分11分)设随机变量x 与 y的概率分布分别为X01P1/32/3Y-101P1/31/31/3且 p x 2=y 2 =i.(D求二维随机变量(x,y)的概率分布;(II)求2 =*丫 的概率分布;(III)求 x 与 y的相关系数夕*广(2 3)(本题满分11分)设X 1,X 2,X “为 来 自 正 态 总 体 的 简 单 随 机 样 本，其中 0 己知，0 2 0 未知.样本均值和样本方差.(I)求 参 数 的 最 大 似 然 估 计 量。2；X和 S2分别表示(II)计算E(4)和。2).2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8 小题,每小题4 分，共 32分,下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)极限=()(A)1 (B)(0(2)设函数由方程确定，其中为可微函数，且则=()(A)(B)(0(3)设为正整数，则反常积分的收敛性()(A)仅与取值有(B)仅与取值有关(C)与取值都有关(D)与取值都无关(4)=()(A)(B)(0(D)设为型矩阵为型矩阵，为阶单位矩阵，若 则()(A)秩秩(B)秩秩(0 秩秩(D)秩秩(6)设为4 阶对称矩阵,且若的秩为3,则相似于()(A)(B)(0(D)(7)设随机变量的分布函数，贝上()(A)0(B)l (0(D)(D)(8)设为标准正态分布的概率密度为上均匀分布的概率密度,方 为概率密度,则应满足()(A)(B)(C)(D)二、填空题(9-14小题,每小题4 分，共 24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)设求.(10)=.(11)已 知 曲 线 的 方 程 为 起 点 是 终 点 是 则 曲 线 积 分=.(12)设则的形心的竖坐标=.(13)设若由形成的向量空间的维数是2,贝值.(14)设随机变量概率分布为则=.三、解答题(1 5-23 小题,共9 4 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(1 5)(本题满分1 0 分)求微分方程的通解.(1 6)(本题满分1 0 分)求函数的单调区间与极值.(1 7)(本题满分1 0 分)(1)比较与的大小，说明理由(2)记求极限(18)(本题满分10分)求累级数的收敛域及和函数.(19)(本题满分10分)设为椭球面上的动点，若在点的切平面与X。)，面垂直,求点的轨迹并计算曲面积分其中是椭球面位于曲线上方的部分.(20)(本题满分11分)设已知线性方程组存在两个不同的解.求(2)求方程组的通解.(21)(本题满分11分)设二次型在正交变换下的标准形为且的第三列为求(2)证明为正定矩阵,其中为3阶单位矩阵.(22)(本题满分1 1 分)设二维随机变量的概率密度为求常数及条件概率密度(23)(本题满分1 1 分)设总体的概率分布为123其中未知，以来表示来自总体的简单随机样本(样本容量为)中等于的个数试求常数使为的无偏估计量,并求的方差.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(-)试卷一、选择题(卜8小题,每小题4 分，共 3 2分,下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)当时,与等价无穷小，则()(A)(B)(C)(D)(2)如图，正方形被其对角线划分为四个区域,，则()(A)(B)(C)(D)(D)(0(4)设有两个数列，若，则()(A)当 收 敛 时,收 敛.(B)当发散时,发散.(0 当 收 敛 时,收 敛.(D)当发散时,发散.(5)设是3 维向量空间的一组基，则由基到基的过渡矩阵为()(A)(B)(0(D)(6)设均为2 阶矩阵,分别为的伴随矩阵,若,则分块矩阵的伴随矩阵为(A)(B)(0(D)(7)设随机变量的分布函数为，其中为标准正态分布函数，则()(A)0 (B)(0 (D)l(8)设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为()(A)0 (B)l (C)2(D)3二、填空题(9-1 4 小题,每小题4分，共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)设函数具有二阶连续偏导数,，则.(1 0)若二阶常系数线性齐次微分方程的通解为,则非齐次方程满足条件的解为.(1 1)已知曲线,则,(设,则.(1 3)若 3 维 列 向 量 满 足,其 中 为 的 转 置,则 矩 阵 的 非 零 特 征 值 为.(1 4)设 为 来 自 二 项 分 布 总 体 的 简 单 随 机 样 本,和 分 别 为 样 本 均 值 和 样 本 方 差.若 为 的 无 偏 估 计 量,则.三、解答题(1 5 23 小题,共9 4 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(1 5)(本题满分9分)求二元函数的极值.(1 6)(本题满分9分)设为曲线与所围成区域的面积，记,求与的值.(1 7)(本题满分1 1 分)椭球面是椭圆绕轴旋转而成，圆锥面是过点且与椭圆相切的直线绕轴旋转而成.(1)求 及 的 方 程.(2)求与之间的立体体积.(1 8)(本题满分1 1 分)(1)证明拉格朗日中值定理:若函数在上连续，在可导，则存在,使得.(2)证明：若函数在处连续,在内可导,且,则存在,且(1 9)(本题满分1 0分)计算曲面积分,其中是曲面的外侧.(2 0)(本题满分1 1分)设，(1)求满足的.的所有向量,.(2)对(1)中的任意向量，证明无关.(2 1)(本题满分1 1分)设二次型.(1)求二次型的矩阵的所有特征值；(2)若二次型的规范形为，求的值.(2 2)(本题满分1 1分)袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球，以分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(1)求.(2)求二维随机变量概率分布(2 3)(本题满分11分)设总体的概率密度为,其中参数未知,，是来自总体的简单随机样本.(1)求参数的矩估计量.(2)求参数的最大似然估计量.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分，共3 2分,下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数则的零点个数()(A)0(B)l(02(1)3(2)函数在点处的梯度等于()(A)(B)-(0(3)在下列微分方程中，以(为任意常数)为通解的是(D)(A)(0(B)(D)(4)设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是(A)若收敛,则收敛(C)若收敛,则收敛(5)设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵.若，则()(B)若单调，则收敛(D)若单调，则收敛(A)不可逆，不可逆(C)可逆，可逆(B)不可逆，可逆(D)可逆,不可逆(6)设 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图，则的正特征值个数为()(A)0(B)l(02(D)3(7)设随机变量独立同分布且分布函数为，则分布函数为()(A)(B)(0 (D)(8)设随机变量,且相关系数,则()(A)(B)(0 (D)二、填空题(9-14小题,每小题4分，共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)微分方程满足条件的解是.(10)曲线在点处的切线方程为.(11)已知事级数在处收敛,在处发散,则塞级数的收敛域为.(12)设曲面是的上侧，则.(13)设为2阶矩阵,为线性无关的2维列向量,，则的非零特征值为.(14)设随机变量服从参数为1的泊松分布,则.三、解答题(152 3小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)求极限.(16)(本题满分10分)计算曲线积分,其中是曲线上从点到点的一段.(17)(本题满分10分)已知曲线,求曲线距离面最远的点和最近的点.(18)(本题满分10分)设是连续函数，(1)利用定义证明函数可导，且.(2)当是以2为周期的周期函数时，证明函数也是以2为周期的周期函数.(19)(本题满分10分)将，用余弦级数展开，并求的和.将函数(20)(本题满分11分)设 为3维列向量，矩阵，其中，分别是，的转置.证明:(I)秩；(I I)若线性相关，则秩.(21)(本题满分11分)设元线性方程组，其中(I)证明行列式;(I I)当为何值时，该方程组有唯一解，并求;(I I I)当为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.(22)(本题满分11分)设随机变量与相互独立,的概率分布为,的概率密度为，记,求.(2)求的概率密度在(z).(23)(本题满分11分)设是总体为的简单随机样本.记,(1)证明是的无偏估计量.当 时，求.