2023年新高考复习讲练必备第21讲空间几何体（解析）.pdf
2023年新高考复习讲练必备第21讲空间几何体一、知识梳理1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形D，A BSAA BO，修A B底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点,但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形2.直观图(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形a：0卷母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点X轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆面侧面展开图矩形扇形扇环空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是：原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，V轴、V轴的夹角为4 5。(或1 3 5),7轴与V轴、铲轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于龙轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的二笠.3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图ft i/|/2方 彳；/2irr2侧面积公式S圆柱侧=2兀”S圆锥侧=三 S圈台侧=兀（始+f 2）/4.柱、锥、台、球的表面积和体积称表面积体积柱体（棱柱和圆柱）S表面积=S侧+2 S底V=S h锥体（棱锥和圆锥）S表面积=S侧+S底V=S h3-台体（棱台和圆台）S表面积=S他+S上+S下V=|(SE+ST+V )球S=4T TR24 aV=TTIR33-二、考点和典型例题1、空间几何体的结构特征【典例1-1 （2 0 2 2.广东深圳.高三阶段练习）通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是1 c m和4 c m）制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为（）A.-c m B.1 c m C.J 3 c m D.2 2【答案】D【详解】由已知圆台的侧面展开图为半圆环，不妨设上、下底面圆的半径分别为，R（r 0,当2 指 /436 时，卜/ss7)=1X9X(140X106+180X106+A/140X180X1012)=3 x(3 2 0+60 /7)x l 06a(9 6+1 8 x 2.65)x l 07=1.4 3 7 x l 09 1.4 x l 09(m3).故选：c.【典例2-4】（2 0 2 2.全国高考真题（理）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2 兀，侧面积分别为S 甲和S 乙，体 积 分 别 为%和 吟.若*=2,则 券=（）3乙 V乙A.7 5 B.2 夜 C.屈 D.4【答案】C【详解】解：设母线长为/,甲圆锥底面半径为乙圆锥底面圆半径为则&=故=，S乙兀4 r22,所以4=2r2,一，2 乃 6 2仃、又十2%，则宁:1,2 1所以4=/，4 =/，所以甲圆锥的高=乙圆锥的高为=所 以*=V乙9 3=回.1町”3|招故选：C.【典例2-5】（2 0 2 2 山东临沂三模）战国时期的铜链是一种兵器，其由两部分组成，前段是高为3 c m、底面边长为2 c m 的正三棱锥，后段是高为1 c m 的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镇的体积为（）3、与球有关的切、接问题【典例3-1】（2022.北京J 0 1 中学三模）一个底面积为1 的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为20兀，则该四棱柱的高为（）A.丛 B.2 C.3也 D.M【答案】C【详解】设球的半径为R,则4兀 R2=20兀，解得后=5设四棱柱的高为，贝号2+1 +1 =4六，解得人=3点故选：C【典例3-2（2022 广东深圳市光明区高级中学模拟预测）若 正 三 棱 柱 的 所 有 顶 点 都 在 同 一44个球O 的表面上，且 球。的体积的最小值为 手，则该三棱柱的侧面积为（）A.6 6 B.3百 C.372 D.3【答案】B【详解】如图：设三棱柱上、下底面中心分别为。|、。2,则。0 2 的中点为。，设球。的半径为R,则。4=R,设AB=BC=AC=,4 4)=,则 0 0,=:/?,O.A=-x -A B =a,2 2 3 2 3则在 RM OQA 中，R2=O/r=0 0；+02 =-h2+-a2 2 x-h x轧Wh,4 3 2 3 3当且仅当g =a 时，Rmm=居ah因为=乎2：，即 心“=1所以 4 =1，即 ah=J5 所以该三棱柱的侧面积为3a=3N/3.故选：B.【典例3-3】（2 0 2 2 湖北模拟预测）几何原本是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点和底面上各点均在该球面上），求此圆锥侧面积和球表面积之比（）A.B.C.7 2 D.4 2 4【答案】A【详解】设直角圆锥底面半径为，则其侧棱为夜r，所以顶点到底面圆圆心的距离为：病r j i=r，所以底面圆的圆心即为外接球的球心，所以外接球半径为，故选：A.【典例3-4】（2 0 2 2 山东聊城三模）几何原本是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为4&兀，圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的体积为（）8 3 2A.一 B.Ji C.1 6 7 r D.3 2 乃3 3【答案】B【详解】设球半径为R，圆锥的底面半径为厂，若一个直角圆锥的侧面积为40兀，设母线为/,则+r=4/=所以直角圆锥的侧面积为：葭 2 4/=枭 2 仃 历=4r,2 2可得：r =2 ,/=2，圆椎的局 BO、=/=或-4 =2 ,由 +（2R）2=R2,解得：R =2,所以球0的体积等于界4*=奇4 万 乂 8 =X子）T T，故选：B【典例3-5】（2022全国高考真题（文）已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在 球。的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其 高 为（）A.-B.；C.D.也3 2 3 2【答案】C【详解】设该四棱锥底面为四边形A B C D,四边形A B C D所在小圆半径为r,设四边形ABC。对角线夹角为a,（当且仅当四边形43。为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点。到底面ABCO所在小圆距离一定时，底面A B C D面积最大值为2r又 产+川=1则展士”邛尸可与当且仅当r2=2h2即力邛时等号成立，故选：C
