数学高考冲刺模拟卷及答案.pdf

高考模拟测试数学试题（满分：150分，完卷时间：120分钟）第 I 卷一、选择题（本大题有10个小题，每小题4 分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设 集 合 月=卜|%1,3 =X,2一 2W。,则 A C|8=（）A.巾 1 B.小 2-1C.x|-l x l D,x|l x 2 2.“数列a,J 为常数列”是“数列 “为等比数列”的（）A,充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D,既不充分也不必要条件3.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：cn?）是（）y 4 2,4.若 ,丁 满足约束条件C 8.已知椭圆和双曲线有相同 焦点大，工，它们的离心率分别为4,2，尸是它们的一个公共点，且/耳。名 二 才.若,/=6，则牲=()V 6+1#+夜 y/6+yfi a+2A.-D.-U.-U.-2 2 2 29.已知函数/(%)=原2 _奴+2。(。0),存在互不相等的实数机七夕，使 得/(加)=。，/(/?)=ap,f(p)=a m,贝ij()A.a2b B.aAb D.a4b1 0.设数列 满足4 =1，a x=a+册(ne N*),记 二(1-4)(1一。2一(1一。),2 2 0 2 1则使北 0,e N*.根据这个公式，则/6 r i4兀.,兀1/兀.兀、4 m.lc o s 一 +i s i n 一 =_ _ _ _ _ _；右 r(c o s+i s i n)=-1 6，则尸=_ _ _ _ _ _ I 12 12；L 4 4 12.已知多项式(X-1)(X +1)6=工8+4/+%1 6+%5+.+%工+8 ,则/=，q+a?+3 +,+4+%=.13 .已 知 函 数/(幻=2；%-0,则/(/(3)=_ _ _ _ _；若/(/(a)=0(a e R),.x +x-2,x 2(a +的正整数n的值.21.已知抛物线。:2=2期(0 0)的焦点?到其准线的距离为2,过点F的直线交抛物线于A、3两点，直线A O、80分别与直线y =-2交于点加、N(O为原点).(1)求抛物线C的方程；(2)已知点Q(0,5 ),试问：/X M N Q的外接圆是否恒经过y轴上的定点P(异于点Q)?若是，求出点尸的坐标；若不是，请说明理由.22.已知函数J(x)=-x l n x +a(x +l),a e R.(1)求函数/(x)的单调区间；(2)若关于x不等式f(x)W 2 a 在 2,+8)上恒成立.求a的取值范围;(3)若实数b 满足。廿+i 且。1,证明：f(x)l-2 nb2.答 案 与 解 析第I卷一、选择题（本大题有10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合 A=x|xl,fi=x|x2-x-2 o|,则 A p|8=（）A.x|x-l|C.x|-l x l D,x|lx2 答案C 解析 分析 由题可得集合B,结合交集的定义即得.详解 求解一元二次不等式可得：B=x|x2 x 2 0=x|-lx2,又 A=x|xl/.A p|8=x|-l x Q,设 尸 依，则左的最大值是（y+2x 4 2 0,)A 22B.-32C.一5 答案A 解析 分析 根据约束条件画出可行域.当X HO时 由y 得&=，其几何意义是可行域内的点XP和原点0连线的斜率，结合图形求出斜率的范围；当尤=0时，z =o,综合可求出我的最大值.”2,详解 作出约束条件，y-x +Q,对应的平面区域如图:y+2 x-4 0,则 左=?的几何意义为可行域内的动点P与原点。连线的斜率,x由图象可知，当点P位于A(l,2)时，直线的斜率最大,2此时=,=2.故选：A5.函数/(x)=#7 s i n x的图象可能是()答案B 解析1分析 分析函数力 的奇偶性、/(乃)的值以及函数/(x)在(0,)上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.详解函 数 /(x)=/j?sinx/(-%)=-幻?sin(-x)=-Vj?sin x=-/(x)的定义域为 R函数/(x)=MFsinx为奇函数，排除D选项;f (兀)=再 了 sin兀=,排除A选项;当0、兀时，sinx0,则/(x)=M?sinxO ,排除 C选项.故选：B.6.已知袋中有4个红球，3个黄球，2个绿球.现从中任取2个球，记取到的红球的个数为自,则 0 =()答案D 解析 分析 根据题意，直接写出分布列，套公式求出数学期望.详解4的所有可能取值：0,1,2.叱。嚏=急=-1)18，C：C；_ 5x4-CT=9 82x|1018；zr2P(4=2)=#=C94x3 398 18所以 E=o x a+ix W+2 x a18 18 18故选：D8-97.如图，正方体 中，M是4。的中点，贝M)A.直线MB与直线与。相交，直线M B u平面ABGB.直线MB与直线C平行，直线Affi平面4。C.直线MB与直线4。垂直，直线MB平面D.直线MB与直线AC异面，直线MB，平面A。1答案C 解析 分析 建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明平行与垂直，即可判断；详解 解：如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为2,则8(2,2,0),M(1,0,1),B,(2,2,2),R(0,0,2),C(0,2,0),(0,0,0),A(2,0,0),4 (2,0,2),C,(0,2,2),所 以 丽=(1,2,T),C =(O,2,-2),则=(2,2,0),所 以 砺 与 方 不平行，故直线A组与直线。C不平行，即B错误；万=(2,0,2),所 以 标.函 =2*1+0/3 口 瓜+2A.-D.-C.-U.-2 2 2 2 答案 B 解析 分析 利用椭圆和双曲线的定义把归 用，归 国 用长半轴长q和实半轴长的表示，再用余弦定理求得4,4与。的关系，从而得4,e z的等式，结合己知可求得0 2.详解 设归用=加,|桃|=，椭圆 长半轴长为弓，双曲线的实半轴长为电，焦点为2 c,不妨设P在第一象限，m +n=2a m =ax+a1则 1，所以,=C+02故选：B.9.已知函数/（）=62_办+2。（a0）,存在互不相等的实数机，0，使得/（加）=即，f(n)=a p,f(p)=a m,则()A.a 2 b B.a 4 b D.a 0,小，上互不相等，(加一 1)2+(-1)2+(-1)2 0,所以6 8 3。2。.故选：A.1 0.设数列。满足4 =,，。,什 =an+a(n N“)，记 2-2 0 2 1-1,“2 0 2 2 i=i ai+2 0 2 1 2 0 2 1 +2“2 0 2 2 11 2 0 2 2 1 1=2-V-2-2 0 2 2-1当“W 2 0 2 2 时，又 T.=（1一。1）（1一。2）（1一。”）.当“W 2 0 2 2时，Tn 0,当=2 0 2 3时，7；,04 +i 占 2 0 2 1 +。“使7；0,e N*.根据这个公式，则/、6|4c os-l-i s i n一 =若 r(c os +i s i n)=-1 6，则 =.I 1 2 n)44 答案.i .2 解析TT TT 分析(1)直接代公式得原式为c os-+isin化简即得解；2 2(2)直接代公式化简得产=1 6，解方程即得解./、6r/1 I 兀，.兀 /右 兀、./兀、7C.TC.详解(1)c os-i-i s i n一 =c os(6x一)+i s i n(6x一)=c os +i s i n=i ；(1 2 1 2 j 1 2 1 2 2 2 4TTI T(2)“c os +i s i n)=/(c os/r +i s i n%)=r4(-l)=-1 6,/.r =2._ 4 4 _故答案为：i ；2.1 2.已知多项式(X-1)2 (x+l)6=%8+4 X7+2%6+%5-,则 q =q +见+/+4 +%=.答案 .1 .-2 解析 分析 设/(x)=(xl)(x+l)6-y?+a x+a2x6+a3x5 H+aqx+a3,利用赋值法可得出/=/(。)，求得g =1，利用赋值法可得出4+4+4 +4+。7的值.详 解设/(X)=(x1)(x+1)6=x8+atx7+a2x6+a3x5 H+a1x+ai,则G=/(0)=1，因为(x-l)2 (X+I)6=任 一2 x+C；?+C4+C 3 +c：%2 +C M+c：),所以，4 =C；=1,因此，t Z|+i z+c i f /(1)-UQ 4 =0 1 一 1 2故答案为：1；-2.1 3.已知函数y(x)=2；。二 则 八?)：_ _ _ _ _ _；若/(/(a)=0(。e R),x+x-2,x0,则”.答案.1 6 .-1 解析 分析 根据函数的解析式，先求出/(-3),再将该值代入对应的函数式，求得了(/(-3；因为当x N O时，X)=2，1,则由函数值为0可知/(q)l,则由/(/(a)=0 知/(a)0,且/(/(叫=.r(。)+/(。)一2 =0,所以/(。)=一2 0,a 6ac,Q =c 时等号成立，I T T T TcosB,B&,所以3的最大值为一.2 3 3故答案为：2；一.315.现有7人排队接种新冠疫苗，若要求甲在乙的前面，乙在丙的前面，且丙丁相邻，则有种不同的排队方法.（用数字作答）答案240 解析 分析 丙丁捆绑作为一个人，7个人7个位置变成6个位置，从中选3个安置甲乙丙（丁），其他3个任意排列，由此可得结论.详解 丙丁捆绑作为一个人，7个 人7个位置变成6个位置，从中选3个安置甲乙丙（丁），其他3个任意排列，方 法 数 为A；=240.故答案为：240.2 6 5 216.若正实数x、y满足x+y+=1 0,则-的最大值是_ _ _ _ _ _.x y y x 答案4 解析2 5 4 1 2 5 分析 分析可得出-=x+y+1 0,利用基本不等式可得出-的最小值，即x y x y x y5 2可得出-的最大值.y 尤2 61详解 由题意可得X+V +10=0,尤 y2 5 4 I I 4 I f 5 2所以，-=XH FyH-10 2.x 卜2y 10=-4,所以，4,xyxy x y y x(x=2 5 2“当且仅当，时，等号成立，此时有-=4.7=1 y%5 2因此，-的最大值是4.y x故答案为：4.1 7.已知。=1,AC是以。为圆心，2夜 为 半径的圆周上的任意两点，且满足RA应7=0，设 平 面 向 量 与6B的夹角为夕（0 2 x O B x B A 2 7 9-4 7 2 co s 所以 c os Z O B C=-V 1 -sin2 Z O B C =-J 8 8 悭 s-J 夕 e0,工V 9-4A/2COS 4令/=9e，则 e 9 4A/5,5 ,c osZ.O BC=J -设/(r)=f+：/e 9 _ 4 V l5 ,/(。=1_?m a x=管，X =9 4 正 时 ym in=。，所以-c osZ O B C =e 0，|逐同理，当C位 于G处时，投影为c os/O B C w所 以 以 在 曲 上 的投影的取值范围为-|6,|逐故答案为：c os Z O B C=-V l-sin2 Z O B C8-8C O S2。0 G9-4正c os。G 点睛 本题非常复杂，用的方法较多，注意两个问题：如果没有思路，那么就按照定义和定理方向走，需要什么就求出什么；TT0,-这一步接下来的处.4理方式，“设t=9-4 0 c o s e，分式型函数的换元法一般情况下换掉次数较低的，自己注意归纳总结，接下来用导数或者对勾函数处理即可.三、解答题(本大题有5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1 8.已知函数/(x)=2 6 sinxc osx_ 8 s2 x(xe R).求 的 单 调 递 增 区 间；(2)设且/(a)=S，求sin2 a 的值.答案 k n-,k兀+三G Z)；+6.L 6 3 jv 1 0 解析 分 析 利 用 三 角 恒 等 变 换 化 简 函 数 解 析 式 为/(x)=2 sin(2 x-J,解不等式2版-了2%-白2攵 万+(Z e Z)可得函数/(X)的单调递增区间；(2)由已知条件求出sin(2 a ,由a e 结合同角三角函数的平方关系可求得co s(2a-的值，再利用两角和的正弦公式可求得si n 2a的值.详解(1)因为/(x)=2 G si n x c o s x-c o s 2x=8 si n 2x-c o s 2x =2si n l 2%-1,T T /T T由 2k冗-2x-2 k (k G Z),解得女乃-x?=-z，三 j O，C4=(2,o,o),CP=(1,-1,V3),设面PAC的法向量为In.2x=Ql ,令 y=6,则 z=l，x=0,所以n-C P x-y +y/3z=0n=(0,V 3,l),设直线DR与平面B4C所成角为8,所以故直线Q R与平面P A C所成角的正弦值为我;2820.已知数列 为 和也 满足4=1,an+i=2a+1,且,n+1 +1 +1bn=-+-+-1 x 2 2x 3 +n e N*求数列“和 也 的通项公式;设数列。也 的前项和为1,求满足4 2(a+的正整数n的值.答案%=2 -1,bn=n,=1或2.解析 分析(1)推导出数列%+1 为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得%+1 的通项公式，即可得出 为 的通项公式，利用裂项求和法可求得 2 的通项公式；(2)利用错位相减法结合分组求和法可求得7；,根据已知条件可得出关于的二次不等式，结 合 可 得 出”的取值.详解 对任意的 e N*，4,+i=2a“+l,则。用+1 =2(%+1),且“+1 =2,所以，数列 4+1 是等比数列，且首项和公比均为2，故a“+l =2x 2T =2,:.an=2-,1 1 1因 为/上1=-77矶+1)n +17所以，包=n 必+1+诟+1+；n+=1 (/+1)11一51+51 一1 +71 一 而1 )=(+山 一.卜”；设数列 -2的前n项和为Sn,则 S“=12+2-22+3 23+.+-2,所以，25“=122+223+.+(-12+-2向，上式一下式，得-S=2 +22+23+.+2,-n-2,+,=2(1-2)_“.2用=-2+(l-n)-2,+1,1-2 7所以，邑=(-12向+2,/anbn=n.(2-1)=.2-“，则(+1)7；,=(l-2+2-22+3-23+-+/i-2n)-(l+2+3+-+n)=(n-l)-2,+1+2一一,由 7；N 2(%+1)(也,T)_ l可得(T).2+1+2一(+1)(n-l)-2B+1-l,整理可得 +6 0,解得30)的焦点厂到其准线的距离为2,过点F的直线交抛物线于A、B两点，直线A 0、3。分别与直线y=-2交于点 、N(0为原点).(1)求抛物线C的方程;(2)已知点Q(0,5),试问：M N Q的外接圆是否恒经过轴上的定点尸(异于点Q)?若是，求出点P的坐标；若不是，请说明理由.答案 f=4 y；是，解析 分析(1)根据抛物线 焦准距可求得0的值，即可得出抛物线C的方程；(2)设直线A8的方程为丁 =丘+1，设点A(X，y)、3(天,%)，联立直线A8与抛物线C的方程，列出韦达定理，求出点A/、N的坐标，根据圆的几何性质可求得 M N Q的外接圆圆心E的坐标，根据|E Q|=|M|结合两点间的距离公式求出f的值，即可得出结论.详解(1)由题意可知，抛物线C的焦点F到其准线的距离为P =2 ,因此，抛物线C的方程为f=4 y；(2)若直线A8的斜率不存在，则直线A8与y轴重合，此时，直线AB与抛物线。只有一个交点，不合乎题意.设直线AB的方程为丁 =履+1，设点A(x，x)、8(%,必)，y=kx+联立2 ,可得好一4%4=0，=1 6公+1 6 0,1%=4y由韦达定理可得X +%=4%中2=-4V.y =x 2x,8 8直线A。的方程为y =Ax,联立1%可得X,“=一 L=一一，即点M-,-2占cM 玉 【A、同理可得点N-,-2/、见+八 4 4设 M N Q的外接圆圆心为E(%),%),由于MN J.y轴，则=假设 M N。的外接圆恒过y轴上一点P(O,Z),则 为=三，4 4，一5故点后的坐标为-,二I X 尤2 2III I(4 4 I It-5由于怛0=怛 划，从而:+5x2 J I 2_,6 4,.1 0整理可得3/+6 =-=1 6,解得，=一玉 3因此，MNQ的外接圆是否恒经过y轴上的定点p1 o,g2 2 已知函数/(x)=-x lnx +a(x +l),G R .求函数/(x)的单调区间；(2)若关于%的不等式/(x)2 a在 2,+8)上恒成立.求a的取值范围；(3)若实数满足a1,证明：/(x)l-2 1 nf e2.答案“X)的单调增区间为(0,e“)单调减区间为(e+8)；(2)(9,2 1 n2 ；证明见解析.解析 分析(1)分情况讨论a ,然后用导数法求单调区间即可；x lnx JCI n JC(2)由/(x)W2 a得。上 ，令g(x)=J ,x N 2,则问题可转化为ag(x)min成立,x-X-1利用导数法求解g(x)的最值即可求解；(3)结合题意与(1)可得/(x)f(ea-)=eu-+a/-及+1，故问题可转化为证e/+i i 2 1 n/成立即可，即 证 十+21户一人0,令=层，即要证3 +2 1 nx x e*0),/(x)=lnx l,由/(x)0解得0c x|，由/(x)e-，故/(X)的单调增区间为(0/),单调减区间为3,+8)；当“。()时，由/(x)=-xlnx+a(x+l),得/(幻的定义域为(0,+8),fx)=-(lnx+l)+6Z,令/(%)=-(皿 +1)+。=。解得=/7，由 fx)0 解得 0 x eT,由 fx)eT,故/(%)的单调增区间为(0,eT),单调减区间为(ei,+8)；经验证，4=0时，/(x)的单调增区间也符合(0,e-),单调减区间也符合(e T,综上可知：/(x)的单调增区间为(0,-)，单调减区间为(e“T,48)；：/(x)2 a,a 2,令 f(x)=ln x-x+l,W iJ t(x)=1 =由 f(x)0解得Ovx v l,由 t(x)0解得1,故f(x)在(0,1)递增，在(l,s)递减，r(x)1mx=&l)=o,/.t(x)0,所以 lnx)20任(%)在2,+8)上单调递增,；遭(%)而1=8(2):.a g(2)=2n2,，。的取值范围(-8,21112；(3)a h2+1,ci 1 v b”，又/(x)f(ea-)=/I +a,y=尸+a在a E上递增,所以 f(x)f(ea)=e J +Q 6一 一+1，下面证明：6 一 从+11一2111/，即证+2 In/?-b 1,-+2 in x x 0.(2 1 nx-x)-ev -1,h(x)=(2 1 nx-x)-eA,/z,(x)=2 nx-x+-1-ex 92 ,2 2(p(x)=2 I n x x+l,v (p(x)=1 -0,.(x)夕(1)=0.X X X”(x)v 0,/z(x)在(l,+o o)递减,/./(%)/z(l)=-?-1所以原命题成立