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关于历届高考试题中数列问题的研究上海市市西中学杨安澜第一部分怎样理解和解决数列中的基本问题1、怎样理解数列概念，解等差、等比数列的问题？-、正确掌握数列的函数定义数列实际上是一类特殊的函数，定义在自然数N上 或N的真子集(1,2,3,上的函数。如数列 ,有 即 此 数 列 是 一 次 函 数(x)=2 x-l,当x e N时的一列有序函数值。二、能利用%与用的关系解有关问题根 据 数 列 的 前 浮 项 和 用 的 定 义 凡=%+%,有 凡=的,Wa*(2)例1、已知数列 怎 的前物项和4=/+3%5 6加，求 数 列 的 通 项 公 式。解：的=S=4,即=S*-S 1 =/+3%-(%-1尸-3(%-1)=2伽+1)(阀 2 2),当耳=1 时,2(+1)=2 x 2=4,：,an=2(+1)(e AQo注意：1、a*=S*-S*f只有在 2 2时才成立。2、已知数列%的通项公式，求前用项和用 的问题难度较大，除等差、等比数列求和或能归结为等差、等比数列的数列求和外，其他数列的求和一般不作会考、高考的考查要求。3、这类问题中，对于变形技巧较高，综合性较强的将在综合专题篇中作详细叙述。三、掌握等差、等比数列的概念及有关公式1、正确掌握等差、等比数列的定义(1)等差数列：即+1 一即=d(“e N,d 为常数)。注意，d是与项数间无关的常数。%必=q (n&N,q(2)等比数列：即 为非零常数)。注意，1是与项数然无关的非零常数。2、正确掌握等差、等比数列的递推形式(1)等差数列：/+4=%-a (2,e y)o也=乌 _ 伽 2 2,陷已加(2)等比数列：叫 o3、熟练掌握等差、等比数列的通项公式(1)等差数列：斯=%+5-1)*5仁加，d为公差。(2)等比数列：外=%/3酌，乡为公比。4、熟练掌握等差、等比数列的前间项和公式(1)等差数列:门 加(4 1+*)n(n -1),/_号=、1 =叫 +,d,(/畋8为公差,注意用看作闷的二次函数式，ne N。rn ax(7 =1S*=,%=许_”,（阀 2 2,%e 加,1g%=1g 怎_ 口=1g%一1 +1g/（附 2 2,%e 加，故但 怎 是以尼即为首项，炮？为公差的等差数列。反之，设限4 为等差数列，公 差 为 以;上 即=lg%-i+d，5 2 2 d e M,国 4=域怎-110），%=即-11 0 1（%22,%6的，所 以 是 以 即 为 首 项，。为公比的等比数列。例 2、已知正数数列 怎 与 值 ,首 项 为，d”，对任意自然数，都有%血,4+1成等差数列；，4+i，4+i成等比数列。求证：数列 同）是等差数列证明：因即，&，怎一成等差数列，,2 4=/+%+1,朋4，4+1，%成等比数列,以 及+1-b/x+i,%0,%0,伽e N）,:即+i=J 她+i，即=J 幺-1&代入得2bx=J 久么+i+J bj17 bx,两边同除以（J 0）得2、区=+$4+1,又2b1=al+a2,a1=a,bl=b,：,b2=垃,=竺瓦 b(2b-a)_=(2b-a)-b _ b-ab 加 赤，所 以 数 列 志)是 以 指 为 首b-a项，蕊 为公差的等差数列。说明：证明数列是等差或等比数列的解题最后步骤要明确写出此数列的首项与公差或公比。七、会解与等差、等比数列有关的生产与生活实际中的应用题生产与生活实际中大量的涉及到增长（或降低）问题，其数学模型为等差、等比数列，可用等差，等比数列的知识解决。例1、已知某厂第一个月的产值为1,第十个月的产值为小，（1）如果每个月比前一个月增加的产值数相同，求这十个月的总产值。（2）如果每个月比前一个月的产值数增加的百分比相同，求这十个月的总产值。解：（1）由题意知，十个月的产值组成等差数列%（%=1 2,10）,其中的=%/0=小。由等差数列前项和公式得+in s a+b 一 八一 ，、11。xlO=xlO=5(+b)（2）由题意知，十个月的产值数组成等比数列%（%=1 2，1）,其中/=，g=9 日的=%为=如 公比为，则有 忐,由等比数列前”项和公式得,_ 以（1 -10）_ _ a /a-b/b而-炕例 2、某城市1 9 9 0 年底人口为50 0 万，人均住房面积为6 平方米，如该市每年人口平均增长率为1%,每年平均新增住房面积数为30 万平方米，试求2 0 0 0 年底该市的人均住房面积数。解：该市1 9 9 0 年底住房面积数为6 x50 0 =30 0 0 万（平方米），自1 9 9 0 年起，每年年底的住房面积数是一个公差为d为30 万的等差数列，设 1 9 9 0,1 9 9 1,2 0 0 0 年底的住房面积数分别为即，即，,阳，则即1=向+1。*=330 0 万（平方米）。自1 9 9 0 年起，每年年底人口数是一个公比勺为1.0 1 的等比数列，设 1 9 9 0,1 9 9 1,，2 0 0 0 年底的人口数分别为济，瓯，友1,则4 =用/552.31（万），2 0 0 0 年底的人均住房面积为330 0 +552 .31 a 5.9 7 （平方米）。易错题例析示例1、命 题（1）：若 数 列 的 前 浮 项 和 号=/+力 3”1）,则 数 列 是 等比数列；命 题（2）：若数列%的前然项和S a/+加+c（八）,则数列%是等差数列；命 题（3）：若数列%）的前 项和思=阳一,则 4 既是等差数列，又是等比数列。上述三个命题中，真命题的个数是（）。（A）0；（B）1；（C）2；（D）3o 失误辨析 错误地选择（B）、（C）、（D）o上述三个命题均涉及到用与4 的关系：%=S*-S i （%2 2）,对于命题（1）,为=S*-S i =0-1 -1 伽2 2）,在0-以 1 中，当衣=i时，所以只有当8 =-1 且a w 0 时 数 列 才 是 等 比 数 列。对于命题（2）,a=a+b+c,a*_工_=2.+乐 伽22）,所以只有当c =0时，&才是等差数列。对于命题（3）,为=&-1，/=8$1=支-1,5 2 2）,显然是一个常数列，只有ar*。时才既是等差数列，又是等比数列。因此应选择（A）o注意：非常数列的数列成等差数列的充要条件是它的前间项和S x=a M+物，当是常数列时，。=0。还要注意等比数列概念中的%”的两个规定。示例2、设首项为1,公比为，）的等比数列，如果E 是 鬼 的前附项和，又T*11m1设 之+i ,求1 9 *（1 9 8 5年全国高考题）。看=-=,圾 =1 失误辨析 错误解答：$*+1 ip 1-0。错误的原因：工 1 y 1 l i m a=0忽视等比数列前阀项和 i-q 的使用条件。工 1。（2）忽视极限L的条件1。Tn=l i m 7 =1正 确 解 法 是 当 I时，a 1 0(2)当 0 1 时,4 7；=1-g 及 T 9 1 -0 .当，1 时,*(-r-i4=芝 蚓=7:蚓 看=,rl (当0 DA 组练习1、已知&是等比数列，且%0，的 4 +2%+%。6=2 5,那么的+。5的值等于()(A)5；(B)1 0；(C)1 5；(D)2 0 o1 _ _ _5_ J2、等差数列的第一、二、三项依 次 是 标 最，则这个数列的第1 0 1 项是()1 2 25 0-1 3-8-(A)3 ；(B)3 .(C)2 4 ；(D)3。3、公差为1 的 等 差 数 列 的 前 9 8 项和为1 4 7,则“2+劭+即+。9 6+。9 8 的值 是()(A)9 8；(B)9 3；(C)5 9；(D)4 9 04、三个数成等比数列，它们的和与积分别为1 4 与 6 4,求这三个数。5、四个数中，前三个成等差数列，后三个成等比数列，且第一个与第四个数的和为1 6,第二个与第三个数的和为1 2,求这四个数。B 组1、命 题(1)：巴瓦,成等差数列的充要条件是a +c=2g命 题(2)：。，九，成等比数列的充要条件是双=；命 题(3)：数列/成等比数列的充要条件是数列%.%+)成等比数列。以上命题正确的是()(A)命题 1、2、3；(B)命题 1、3；(C)命题 1；(D)命题 1、2。2、已知丁 是一次函数，/2),/(5),y(4)成等比数列，且/(8)=1 5,求：/(1)+/(2)+/()(e2V)o3、设 小+c,c-a,c+a-8,a+B-c 成等比数列,且公比为夕,求证:/+/+=i4、设5 是等差数列，一 弓 ，已知+%+”一 至 也 也 色 与，求等差数列的通项公式%O5、设 1 9 8 0 年底我国人口以1 0 亿计算。(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2 0 0 0 年底将达到多少？(2)要使2 0 0 0 年底我国人口不超过1 2 亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？2、怎样求数列的极限？一、理解数列极限的意义在为无限增大的变化过程中，如果数列 4 中的项无限趋近于某个常数C,那么称C为数列&的极限。记作蚓即或当8时，有际一,。例如2nr2n 3(i a*=-l i m -=2数列1 怎J 中，有 +1,当 无限增大时，%无限趋近于2,所以2n 仁%=-/或当的8时，+1 0二、掌握儿个常用的重要的数列极限l i m =0nl u n C =C(C 为常数)；1冰1 1 或 *lim ax A11m t=i =2,(8 h 0/*HO)B*lim bx B n3、*lim(Ka)=Khm a=KA4、J#T a X T 9注意：数列极限的四则运算法则的前提是已知两个数列都有极限；数列极限的和与积的运算法则可以推广到有限个数列极限的和与积：如果有限个数列都有极限，那么这有限个数列对应各项的和与积所组成的数列也有极限，极限等于这有限个数列极限的和与积。四、能熟练应用数列极限的四则运算法则求数列的极限例 1、求下列各数列极限lim(5+-)lim(2+3?lim(1+1)+2(1)次 T9 n；(2)Xis n.(3)龙 一 上 解:lim(5+i)=lim5+lin i-=5 +0=5()X T 9 2 X T co 甩(2)lim(2+-)2=lim(2+-)lim(2+-)=2x2=4X T 9 X JU T 8%(3)lim(1+-)s+2=lim(l+-/lim(l+-)2=e-=eX T 9 g X T 9 T 9 2注意：有些数列不能直接应用数列极限的四则运算法则求极限，需设法将它们变形，化为能应用法则的形式。例2、求下列数列的极限(1)对2 +/+；(2)+(-2).(3)蚓 ”（1-和-扣-3（1-2）(4)l i m 品(A/+1 -6)X T 9解：（1）将分子分母同除以小,则有,l u n/+2%+3胡+加+112 3I +一l i m 弓 小3 +1+工n/l i m l+l i m +l i m XT 9 XT 9%XT 9 力l i m 3+l i m +l i m133*+(-23 八 3)1l i m ；-r =l i m -=3*+i+(-2严 i f +f 2廿1 3(2)将分子分母同除以32，则有，3+l i m ,-Jr，(|a|H|5|)说明:类似求 万+廿+i，要对。，8的取值作讨论。当1。1 小1时,j a+bx隗/“+从+1当|a|I R 时,亶 产+产 r/v 1、/T l、/v 1、/V 1、1 V r 2 3 4%+liInn(1-)(1-)(1-)-(1-)=lim w-x-x _ x.x-3)u s 3 4 5 甩+2 3 4 5+21 2M 3lim-=2-匕 +2（4）将分子有理化，得lim 声(J&+-而)=limJ8-9X T 9标(J+1 -而)(八+1+及)J.+1+而lim金+1 +4n易错题例析1+2+2%lim-示例1、求极限1 9（1987年全国高考题）=lim F +lim F +lim =0 失误辨析 错误解法：原 式 1 9%*7 I“。造成错误的原因是：本例的数列和的极限，随着阀的趋于无限，数列项数趋于无限，这时，和的极限不等于各项极限之和，不能用极限运算法则，必须化为有限项形式，再作计1+2+3+,+1000 Clim-=0算，此例与1 9 是有区别的。lim 1 +2+;+2J1 1M 匕纱=1 1 m 制2 养7正确解法：n-0 2 xtb 2n一 lini(、-+2n-n)示例2、求极限1 9广，,一 r 入,lim +2-)=lim&*+2%-lim 加 失误辨析 错误解法：把8看作为一个实数，并进行运算，这是错误的。同时，蚓“卡*不 存在，蚣“不存在，不能用极限运算法则。正确解法是应先对斯=府万一 有理化，再求极限：lim(V2+-w)=lim/-+2+limX T 82nJn2+2+n练习A组1、求下列各极限11 md+生3 11m(1-3)(1)*T0 n 2n.(2).-52+6w+7 八 I、?.lun 5 x-hm(1+-)ix(3)T9 3n+n-+1 ；(4)s-m n2、lim(4 +3 +求极限%-2、2-)n3、1+1+1lim-$X T 9 v 1 11+求极限 3 9+1+3s4、rpn2+2%+3 1lim z-=设-9川-%+4 q,求P g的值。B组1、已知等比数列的公比4 且 的=。=。），r ar+a2+-+axI nn-.-求：1 9 a 6+a?+怎2、求 极 限 期 J 部-弁“Q-fax-hKlim-（a 0,6 0）3、求极限（弘制+4包）=8 lim（6劭-&）=1 p lim（3aK bx）5、对于数列%,七七也”幽 3求亶然%3、怎样正确运用数学归纳法？数学归纳法是论证关于自然数命题的一种重要的推理方法。数学归纳法有它固有的理论基础，运用起来有确定的程式与步骤，有灵活多变的技巧，又和数学各个部分有广泛紧密的联系。一、理解数学归纳法的原理一个与自然数有关的命题，若：1、H%）（均 为某个自然数）真。2、假设P）（林 设 上 2 处）真，那 么/+1）真。则命题对于所有力 2%。的自然数为真。二、掌握数学归纳法的主要步骤根据上述原理，可见数学归纳法的主要步骤是：1、验证尹伽。）成立，伽。仁 加。2、假 设 次 月（上2的）成立，证明7的+1）也成立。说明：步骤1是推理的基础与根据，起着奠基作用，如缺了第一步，即使证明了第二步，命题也不一定成立。步骤2建立了推理链的关系，起着递推作用，在衣出。）成立的前提下，保证了命题序列中递推关系的成立，使推理链一环扣一环，直至对不小于讪的所有自然数双，H ）都成立。步骤2的推理过程中，必须用到（无）成立这个归纳假设，直接证明P&+1）成立，不是用数学归纳法证明。三、能用数学归纳法证明恒等式12+32+52+-+（2-1）2=1（42-1）例1、设求证：3=-（4-1）=1证明：（1）当甩=1时，左边=1,右 边3,等式成立。（2）假设当%=匕3日切时等式成立，即12+32+5?+（2上 一 I）?=1 M4/-1）3,则仔 +32+52+Q左一I）?+Q上+1/=；上（4/-1）+（2A;+1）2_ 4无3 +12发2 +11k+3 _ 4左（上2 +2天 +1）+4（无2 +2+1）（+1）3 31 1 *=耳&+1）4堆 +1）+4（上 +1）-1=1 g +1）4e+I）2-1所以，当=无+1时，等式也成立。根 据（1）和（2）,可知等式对任何“e曾都成立。例2、设 曾，求证：1 （冏2 -l）+2-（2-22）+-+（W2-/）=片0 7（2+1）4证明：（1）当为=1时，左=0,右=0,*=1时等式成立。（2）假设=匕2 1，上6弱 时，等式成立，即1 （好-1）+2 ,-2?）+妖 无2 _ /）=+4当然=尢+1时，左边=3+1）2-1 +2 1依+1尸-2 2 +-+3+1）3+1）2-3+1）2=，k 2 _“+2,上2 _ 2?+上，上2 _ 此2 +（2归+1）口 +2 +.+k +Q+1）依+1）2 _ 3+1力=吐 地 也+处 二 她 里）4 2_ 堆 +1）囱发-1）+2（2无+1）_ 境 +1尸 +2）4 4 一伏+1）2 （发 +1）-邛&+1）+1 ,“+14 时等式成立。根 据（1）、（2）可得，抬e步时等式成立。说明：用数学归纳法证明恒等式时，在递推过程中应注意等式左右的项数的变化,由4=上至腮=女+1时项数的增加量可能多于一项，各项也因照值的变化而变化，因此要仔细分析项数及各项的情况。四、能用数学归纳法证明数与式的整除问题例1、求证：三个连续自然数立方和可以被9整除。证 明:（1）/+2 3 +3 3 =3 6 =4 x 9,则能被9整除。（2）设有自然数位2D满 足 炉+/+以+伏+2）3 =9，舷（M e N）,（k+球+战+2）3 +&+司3 _ 好 _ 体+球 （元+2）3 =（汇+可3 一 好=9（好+呆+3）是9的倍数。+1）3 +3+2）3 +W+3）3 =+（上 +1）3 +（发 +2）3 +*+3）3 -好 为两个 9的倍数的和。能被9整除。由（1）、（2）知命题成立。说明：本例的证明过程中采用了相减法，运用了整数整除的性质：若a|九a|c,则士c）（其 中%8，ceZ）,。归表示Q能被已整除。例2、求证：当眼为正奇数时，芯*+1/能被x +y整除。证明：（1）当 =1时，x +y|x +y,=i,命题成立。（2）假设%=2汇7,依eN）命题成立，即/口+/皿 能 被 x+y 整除。当%=2k+1,（汇 e/时，/皿+丁21=产/+产 I./+=/（/T +产 I）+产 气 +y）（x_y）由归纳假设知：（W+产（X+）炉（产+产）,又（x+|-1yxX+1y）,：（x+y）|（，制+*+1），即阀=2氏 +1 时，命题成立。由（1）、（2）知对全体正奇数命题成立。说明：本题推理过程中采用了补项法，充分利用%=2 t-1 成立的归纳假设条件。要注意步骤（2）中不能假设%=2上+1,（上 e 成立，再推证%=2无+3,R e N）成立。易错题例析示例1、用数学归纳法证明等式n er w +1sin.co s rcos 2+cos 2 c?+cos ny=-（0 +1时,C O S 北 +C O S 2e?+coskc+COS(jt+1)北=Jr Z 4-1.ysin cos-s+sin cos(Ar+1)支2 2 2北sin22上+3 4.上+1 k+2sin-所 sin sin-trcos-&:2 2 2 27 .改2 sin sin 2 2，.小=氏+1时等式成立。由(1)、(2)知对一切自然数”，等式成立。示例2、用数学归纳法证明(1.23-2-32)+(3-42-4-52)+-+(2 -1)(2 )3-2(2+1)2=-(+1)(4+3)（1989年全国高考题）失误辩析 步骤不完整的证明:(1)当间=1时，左边=7 4,右边=-1 4 7=-14,所以阀=1时等式成立。(2)假设”=上时，等式成立，即(l12a-2-3a)+(3-42-4-52)+-+(2A;-l)(2jt)2-2 H 2上 +1)=-k(k+1)(+3)当心上+1 时，(2?-2,3?)+(2左-1)(2左尸-2k(2k+尸 +(2化 +1)(2+2)2-(2k+2)(2i+3)2=-k(k+1)(4发 +3)+(2A;+1)(2先 +2-(2k+2)(2无 +3)2=(k+1)(上 +1)+l4(i+1)+3所以，闷=无+1时也成立。步 骤(2)的证明过程中，省去了关键性的推理过程，事实上，当双=k+1时，应写完整步骤，左边=用上+D(软+为+徒+1)俳+2尸-侬+2)俳+司2 =-k(k+1)(伏+3)+2(k+1)(2上 +1)(2与 +2)-(2k+3)2=-k(k+1)(4 上 +3)+2a+1)(依-7)=-(k+T)4k2+3k+2k+14=-(k+1)(4 无 +7)&+2)=-(k+Y)(k+1)+l4(Jt+1)+3二阀=此+1时也成立。正确解答(略)。练习A组1、用数学归纳法证下列等式1 +3+6.+n(n-+-1-)L =n(n-+-1-)(-+-2)(ze AQ(1)2 6I2+22 +-2-(-+-1-)(,阀 e AmT)(2)13 3*5(2%-1)(2力 +1)2(2 力+1).nx(+l)xsin cos-cos x+cos2x+cosnx=-xsin(3)22、用数学归纳法证明下列数与式的整除问题(1)1M +12 能 被133整除;(2)l-(3+x能被x+2整除。B组1二 +2=+.+(_1拜与=102,(“地1、求证：2 4 8 2*9,2*T2、设 S=巴$2 =12+22+12,3=12+22+32+22+12,-=I2+22+32+/+毛+2?+12,-,用数学归纳法证明公式S _ 阀(2/+1)一3,对所有自然数力都成立。3、求证：/-阀+(附7)/能被(式_。)2整除。第 二 部 分 怎样解有关数列和数学归纳法的综合问题数列与极限、数学归纳法是初等数学与高等数学密切衔接的内容，是中学数学教材的重要组成部分，而且是对学生进行计算和推理训练的重要题材:由于它们涉及的知识面较广，综合性、灵活性、技巧性都较强，是考查学生能力的重要手段，因此儿乎每年都有数列与极限、数学归纳法，作为综合题目出现在高考试卷中。1.利用与J的关系解有关数列问题例1.设数列卜 的前n项的和为号=?+2 4,（州），（1）写出这个数列的前三项勺，出，。3；（2）证明：数列 4除去首项后所成数列&，&，与，是等差数列。（1 986年上海高考试题）分析由条件给出数列%中J的表达式，因此与与斯之间有如下关系：=气3 =s1r s*_ i，n=2,3,4 利用这个关系解数列的通项公式，然后再证明（2）（1）,.%=S =12+2 x1 +4=7,a2=s 2 .S =2 +2 x2 +4-7=5,=s3-s2=32+2 x3+4-（22+2 x2 +4）=7（2）当 附 2时=n+2 +4 -（-1）2+2（-1）+4 =2?+1解:从而%+1-%=2（阀 +1）+1-（2阀 +1）=2,（2）数列1J从第二项起，即“2，。3，%构成公差是2的等差数列。说明：本题不能误认为 4的通项公式就是4=2%+17 a l=7不满足上式，。实际上本题数列 W 的通项公式是：7（=1）a*=42 +1 （2）例2.设数列的，“2，。3，即 前加项的和与与6的关系是 +1 （其中K是与n无关的实数，月.K W1）(1)试写出由n、K 表示的您的表达式；(2)若1 1 ms*=1,求K的取值范围。(1 987年全国高考文科试题),1分析由条件给出了与 可求出 1-k。k由由即+1 =S*+1 _%=以+1 _ 上%，即得到劭+1 _曰/,再求即的表达式。解 即+1 =%+1 -s*=(包+i +1)-优%+1)=k a*+k an,伍 e )艮喉-1“包，.L解得2%+1 _卜若 收 0,则由题设知由 R,由易知外*0 (n l),所以，%发7。故k该数列是公比为 E的等比数列，其首项为4 1=Sl=当A=0 时，由知a*=0 (n l),即在n l时，依一般成立，所以4的aK=-(1,A Q.表达式为 dD*n 2,e )一 其中的总等于1 一 上，.1li m 1=1(2)若 舅 T 9f-i:即 蚓(3+D =L 则 叫 包=0,即 理/正 下=，即0-1k 2,本题由外+%=即”不能直接得到通项公式的表达式，而且得到斯必与乐的关系式，应根据外与4+1 的关系再判断数列的通项公式。2.用递推的方法求某些数列的通项公式=4 =1 3 _ =2例 3 已知数列 其中“弓 的一百，且当n 2 3 时，即一即“一 5(1)求数列 W 的通项公式；,、li m&(2)求i s 0(1 986 年全国文科高考试题)解 设&=%即触阴，则有“=/阴且瓦=1 1 L 1 (i?-1(i r+1 b=*I =.数列固 是以5公比，5为首项的等比数列，.*9【3)(3,1 。3-a2a;将上述n-1 个式子相加,得（w e阴 蚓 二 哽怖32说明：通 过 换“元”构造一个等差或等比的新数列，然后用等差或等比数列知识解决问题。即辅助数列法”，是求数列通项公式的一种常用方法。本例也可用“归纳、猜想、证明”方法求得许；4 1+3 1 3 1 +3+3?r-0 丁丁、4 0 1 +3 +3 2+3 3（4%-a 1 ）=_ 1 +3+3?+3*猜想乐 F 。数学归纳法证明略,在归纳过程中如何将已知各项血，町，&3)转化为统一形式是一个关键。,1sx=-ban+1 -，-1，例4.设数列“1，盯，：即 的前n项的和与和许的关系是 U+1 ,其 中b是与n无关的常数，且b#l。(1)求外和即一】的关系式；(2)写出用n和b表示外的表达式;l i m s(3)当O V bV l时，求极限1 9 1(1987年全国高考题)分析根据外与与的关系求得既与即T 关系式再用/与即T 的关系式递推出程的表达式。a*=Sx-Sx_i解(1)ba-a i)-+-2),*T(1+“(1+旷 b ba=-av_y+-由此解得，1+&(1+”b+(l+i（阀2 2）(2)A=4=一ba、+1-1 1 1 1+b由此推得(b V-1 b+b2+.+y-1 b+b2+.+y-1+bxU+4 1(1+8产(1+”“(一)(+旷,“1n3=1s _ (-地-产)/1广*b U+%+1-1+勾(1)11 V-=0,1+&lim=1 (0 i 9说明：本例第（2）小题也可用“归纳”，“猜想”，“证明”来求久。注意：最后求得即表达式时，要对b的取值进行分类讨论。递推法是探索规律，寻 求 解 题 思 路 的 一 种重要方法，一般来说，能递推归结成等差或等比数列的才作为高考、会考的考查要求。3.用拆项方法求某些数列的和某些数列是等差数列、等比数列的和或差的形式，求这些数列的和，通过拆项转化力求若干个等差数列或等比数列的和。例5.一个数列k J,当n为奇数时，a-5 n+l,当n为偶数时，外=2?。求这个数列的前2 m项和。（1 9 8 8年全国高考题）分 析 数 列 是一个等差数列与一个等比数列的和，可用拆项方法求得$2*。解.,劭A+稣1 =6侬+1）+1 -5（2上-1）+1 =1 0 （上 e）,.，。5，町所1是公差为i o,首项为6的等差数列。2 2&=%=2（林 初又1 1 町，。4，。6，巴那是公比为2,首项为2的等此数列。,S 2*=（1+口3 +白2/_ 1）+（。2 +4 4 +。2 址）=同6+5（2。7）+1 +2伫 二 1）=5苏 +根+一22 2-14.用函数的性质解某些数列综 合 题：因为数列是定义在自然数集或其有限子集，阀 上的函数，所以我们能用函数的性质来解有关数列综合题。例6.设 等 差 数 列 的 前n项和为外,已 知%=0声1 3 0 又 S i 20,S i 3 0 J C1 1 孙+78d -1 4 452d d 此函数当力=6时,n（2）*S f 最大。说明：本例求与的最大值的另一种解题思路：由d a2 a3 .a12 a13 若i 外+1 0，且0，；$6最大。5.用证明不等式的基本方法解某些数列综合题/区+33 x+1勺 0,勺K L且4+1例 7.已知：(=1 2)试证：数 列 或 者 对 任 意 自 然 数 n 都满足册，/+1,或者对任意自然数n 都满足 x*(1 986年全国理科高考试题)分析只要证明K 一匹 (或 )即可。x x +3)_ 1 _证明 川*+1 ”3 x+l 由于勺0,由数列k J的定义可知，,1 x*，(1,2,.)/+1 一/与l-x/的符号相同。假设X 1 V 1,我们用数学归纳法证明I-、/(nN)显然，n=l 时，IF：02设 n=k时，I 底成立，那么当n=k十 1 时，有1-=1-x /x j+3)3 底 2 +1因此，对一切自然数n 都有lx 从而对一切自然数n 都有+1 4o若假设为1,同理可证，对一切自然数n 都有4+1 x*说明：因为数列是定义在自然数集或其有限子集 1 23,上的一种特殊的函数f （n）,数列的通项公式就是函数f（n）解析式，所以，如同研究函数性质一样,能用综合知识和方法研究数列的增减性，有界性等性质。例 8.设 W是由正数组成的等比数列，s*是其前n 项和。1 .证明2 2.是否存在常数c 0,使得lg（sc）+lg（s/c）=（）2 成立，并证明你的结论。（1 995年全国高考试题）分析要证明（1）,只要证明即可，作差比较。证 明（1）设W 的公比为q,由题设知的0,q 0o当 q=1 时,$*,s*+2=%+：=S （+2）3-,=Y 0。（1 一 一 1 1 一/+2），非 一 六 邛=_ *0,都有s j S/2 ss+12根据对数函数的单调性，知l g （s J 8+2）尼 2,即 1 g 0,使 2sK-c y o s*+i -c 0 4+2-C 0 -C)(s*+2-c)=&+c)2 则有由得，Sx+2%+1 +S；+2 2$*+）,根据平均值不等式知 00,故式右端非负，而 由（1）中证明知，式左端小于零，矛盾。lg（sc）+lg（一甸（）故不存在常数c 0,使 2 Z o说明：对于“是否存在”这类讨论性问题，通常的解法首先是假设“存在”然后通过推理、计算，可能得出两种结果：1.若求出了所问的对象，且每步推理是可逆的，则结论是“存在”2 o 若得出各类矛盾的结果，这恰是反证法思想，则结论是“不存在”。6.用待定系数法与数学归纳法解某些数列综合题例 9.是否存在常数a、b、c 使得等式1-22+2-32+.+n n+1）2=+。卜/+bn+c）1 2 对一切自然数n 都成立？并证明你的结论。（1 98 9年全国高考试题）分析首先假设存在a、b、c,由于等式对一切自然数成立，因此对特殊的自然数等式一定成立。需待定三个字母a、b、c,的值，所以令n=l,2,3,得出关于 a、b、c 的三元方程组，求出a、b、c 再用数学归纳法证明，对一切自然数n邯成立。解假设存在a、b、c 使等式成立。ra +b+c=24 4 +25+c=449以 +3 6 +c=70令 n=l,2,3,得解方程组，得a=3,b=l l,c=1 0 o于是，对n=l,2,3下面等式成立：*2=企3犷+1 1/1 0)1 22+2 3 -|-h n(n+l)1 2记 s,=1-22+2,32+.+(+1)2设n=k时上式成立，即sk 快 2+i及+i o)当%=为+1时,s“i =SE+优+1)/+2厂=帆;10(3/+1 比+1 0)+优 +1)依 +2)2=；喂+2 忸 +5)+伏 +1)(左 +2)3=；0战+5左+24)=优+；),+2)胃 +邛+1 1/+1)+词；.n=k+l时，等式也成立。综上所述，当a=3,b=l l,c=1 0时，等式对一切自然数n成立。说明：先由特殊值法得出a、b、c,再用数学归纳法证明一般情况都成立，这是很重要的归纳思维方法。本题也可用拆项的方法，(+1尸=3+22+n：,s*=(13+23+.+/)+2(12+22+.+2)+(1 +2+.+)_ 2(+1)2+1)(2%+1)+(+1)4 6 -2-=喑源+1 1 1 0)即存在 a=3,b=U,c=1 0o但对于+23 +/J 2+2?+/这两个数列求和在教学与高考、会考中是不作要求的。所以拆项法不是高考命题者的本意。7.用无穷递缩等比数列求综合问题例 1 0 如图，已知aA O B 中，O A=b,0B=a,Z A 0B=0（a2 b,S是锐角），作工4 0B,&4 B A；再作4%_ L 0 B,为玲B A;如此继续作下去。设工班1、4为8,的面积为风,$2,，求 无 穷 数 列 当 的和。（19 8 2 年全国高考题）分析由相似三角形的性质得出数列上,再求和。ABI=5sin 381=a-3 cos tf.absi=；8sin 曲 一8 cos O 4 3 s Z a4 8 S Z a4 2%s ,4 冬 OB*OAn i cos b 遥解 A O B O B 一 （对一切n e l 成立，此时视4稣为A B），工仍严片用当6 4易用s*+i J 4丛 V-(o s J2-cosSJ B 14-1 4(-11 a,即无穷数列（sj是等比数列，公比卜 2 o s 夕 1a，数列 5是无穷递缩等比数列。,s =lr i m/S +s。+$门=$-1-=以；-b-s-i-n-夕-T I?*q 2（a+小 co s 说明：在解决有关无穷递缩等比数列儿何问题时，应利用图形寻求数量间的关系,使问题得到转化，同时要找到公比团:b*其中%=p力1 =夕,即=pa*_ i，&=啊一1 +包_m 2,，g,r是已知常数，且0,p .r 0）（1）用p、q、r、n表示并用数学归纳法证明。bK(2)求J。+&4 .已 知 数 列 满 足 条 件：即=1，的=r(r 0),且同乐是公比为q(q 0)的等比数列。设&=%一1+2 G =L2)(1)求出使不等式即即+1+即+/+2 /+2%+3 伍已加 成立的q 的取值范围。11 1 T R -求 4和25，,其中 M+Z+B。1r=2 “-1,伍6 曾)，它的前n 项的和记为应(1)如果 W 是一个首项为a,公比为q(O q l)的等比数列，且r&仔 江=a：+&J+”/伍G N),求G*。(2)如果：声?S/，是一个首项为3,公差为1 的等差数列，试比较号与3n ax(e )的大小。7.设实数a x O,数列 W是首项为a,公比为 a)的等比数列，记切=斯尼瓦|，=1，2,s*=瓦+%+&,%=L 2,(1)求证：当a x-1时，对任意自然数n,都有s*=普4 1+卜 1)7(1+%。(1+。)(2)请问：当0a A B +A C略解与答案：1.=s i=3 1,当 2 时有a*=s*-s*_=32n-n2-3 2(-1)-1)2 =3 3 -2 =3 1+(-1)(-2)，数 列 是 首 项 为3 1,公差为-2的等差数列。c 3 3-2 0,0,即 2。当 n 16 时，$；邛1 I +.I+b 16|+卜17|+,-1+冗|=al +a2+/一(，7+-+,1,+%)=S 16-(S*-与6)=2%-S*=5 12-3 2%+%?1 3 2 -n2(16)2.(1)S =%=瓦s j S i。，=bp*-1 ne N)当 心2 时，+2+.一+%=$*_1+即，,即=s*-s”i =班产2仿-1)也二得2)二 即 如 上一1).出色 多 是一个公比为。的等比数列。勺+岛+1 _ 切1仿-1，_ 2 当 众2时，3 骸1-1)打1 由已知条件知 I,.数列a 2 s 2，0的，SR，是公比为。2的无穷等比数列,JltiTmO D Wn=XlTi 9m （S +a2s2+龙s畜）=JlUTi 9m +7l4iTm9（a2s2+。名）=/+a 2 s 2 =H-P*=，2-p 2 1+j 0 +p+4+，）猜想:Z3.（1）ax=p,an=p ax_lr：,ax=px又 瓦=q,b2=q ax+曲=q（p+r）,%=q a2+曲用数学归纳法证明:当 松 时，夕叱加哨2.等式成立。假设当n=k时，等式成立，即 PT则即当n=k+l时，等式也成立。，对一切大于等于2的自然数有 P7。(2)p r 0,a 1-0 8 时).l i m /*,=/p 血 F后不74.(1)由题意得N-+r q*均川.(),q 0 解得313即2 2。1(2),%+i =的用+&*+2 =。2*-过 +%q=q*0,及=1+“0b*a2x-l+a 2 K 。2 1+a2x;仅)是 以1+r为首项，q为公比的等比数列，从而久二”为(阀*曾)s j x(l +r),l i m =0,当 q=l 时，5 0%当0 小时%=(1+神二川,砒 工=1 1 ,-q 18T9 s3 tt 1 +r当0 1时，s*(1 +少.),11 m =0,_ q xt b sK.1 詈 0?*0 q l og 2 k =l