高考数学专题：立体几何中的运动问题.尖子班.doc

1. （2006北京卷）平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是（ ）A一条直线B一个圆C一个椭圆D双曲线的一支【解析】 A2. （2006陕西卷）已知平面外不共线的三点到的距离都相等，则正确的结论是（ ）A平面必平行于 B平面必与相交C平面必不垂直于 D存在的一条中位线平行于或在内【解析】 D3. （2010全国II理11）与正方体的三条棱、所在直线的距离相等的点（ ）A有且只有个 B有且只有个C有且只有个 D有无数个【解析】 D4. （2008辽宁理11文12）在正方体中，分别为棱的中点，则在空间中与三条直线都相交的直线（ ）A不存在 B有且只有两条 C有且只有三条 D有无数条【解析】 D5. 正四棱锥中，侧棱与底面所成角为，侧面与底面所成二面角为，侧棱与底面正方形的对角线所成角为，相邻两侧面所成二面角为，则、之间的大小关系是_【解析】知识纵横 <教师备案>该板块列出了立体几何与空间向量的知识点网络体系，可以作为学生对自己知识与基本方法掌握情况的检验可以重点梳理一下平行关系转化与垂直关系转化的具体过程结合知识回顾梳理一下空间向量解决立体几何问题的方法点与线空间点、线、面的位置关系点在直线上点在直线外点与面点在面内点在面外线与线共面直线异面直线相交平行平行相交有公共点没有公共点直线在平面外直线在平面内面与面平行相交平行关系的相互转化垂直关系的相互转化线线平行线面平行面面平行线线垂直线面垂直面面垂直空间的角异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角范围：(0°，90°范围：0°，90°范围：0°，180°)点到面的距离直线与平面的距离平行平面之间的距离相互之间的转化cosqsinq|cosq|d空间向量空间直角坐标系空间的距离空间几何体柱体棱柱圆柱正棱柱、长方体、正方体台体圆台锥体圆锥球三棱锥、四面体、正四面体三视图直观图体积棱台棱锥侧面积、表面积只有一个公共点没有公共点线与面长对正高平齐宽相等例题精讲 考点1：角度小题转化例举【例1】 设直线平面，过平面外一点与都成角的直线有且只有（ ）A1条B2条C3条D4条（2009重庆卷理）已知二面角的大小为，为空间中任意一点，则过点且与平面和平面所成的角都是的直线的条数为（ ）A2B3C4D5【解析】 BB【备选】（2010江西理10）过正方形的顶点作直线，使与棱，所成的角都相等，这样的直线可以作（ ）A1条B2条C3条D4条【解析】 D【备选】已知异面直线成角为空间一点则过与都成角的平面有_个【追问】把题目中改成，答案又分别是多少？【解析】把平移至的位置为，则符合情况的平面经过的角分线，而角分线分为两种每种旋转的角的范围分别为，只有在的时候有两种符合情况的情形考点2：距离小题转化例举【铺垫】（北京2013理14）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为 【解析】【例2】 在空间中，过点作平面的垂线，垂足为，记设是两个不同的平面，对空间任意一点，恒有，则（ ）A平面与平面垂直 B平面与平面所成的（锐）二面角为 C平面与平面平行 D平面与平面所成的（锐）二面角为 （2006安徽卷）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点相邻的三个顶点到的距离分别为和，是正方体的其余四个顶点中的一个，则到平面的距离可能是：_（写出所有正确结论的编号） 【解析】 A； 【备选】（2008江西理16）如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点如果将容器倒置，水面也恰好过点（图2）有下列四个命题：A正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点C任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点D若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）【解析】BD考点3：三视图【铺垫】一条线段在三个视图中的视图长度分别为，则这条线段原长为 【解析】【铺垫】（2012北京理7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）ABCD【解析】【例3】 （2013新课标II 7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）A B C D 某几何体的三视图如图所示，则其体积为 （2013海淀高三期末理12）三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为_【解析】 A； ； 考点4：立体几何背景下的函数问题【铺垫】（2008北京理8）如图，动点在正方体的对角线上过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于设，则函数的图象大致是（ ）【解析】 B【例4】 （2012朝阳高三期末7）已知正方形的边长为，将沿对角线折起，使平面平面，得到如图所示的三棱锥若为边的中点， 分别为线段，上的动点（不包括端点），且设，则三棱锥的体积的函数图象大致是（ ）A B C D（2012丰台高三期末8）如图，是正方体对角线上一动点，设的长度为，若的面积为，则的图象大致是（ ）A BC D（2012江西10）如右图，已知正四棱锥所有棱长都为，点是侧棱上一动点，过点垂直于的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记，截面下面部分的体积为，则函数的图象大致为（ ）A BC D【解析】 B； A； A；考点5：立体几何探索性问题【铺垫】（2012北京理16）如图1，在中，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2 求证：平面； 若是的中点，求与平面所成角的大小； 线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由【解析】 ，平面，又平面，又，平面 与平面所成角的大小 设线段上存在点，设点坐标为，则则，设平面法向量为则 假设平面与平面垂直则，在线段上不存在点，使平面与平面垂直【铺垫】（2013北京理17）如图，在三棱柱中，是边长为的正方形平面平面， 求证：平面； 求二面角的余弦值； 证明：在线段上存在点，使得，并求的值【解析】 为正方形，平面平面，且垂直于这两个平面的交线，平面 二面角的余弦值为 设是线段上一点，且所以解得，所以由，即，解得因为，所以在线段上存在点，使得此时，【例5】 （2013天津）如图，四棱柱中，侧棱底面，为棱的中点 证明； 求二面角的正弦值 设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长 【解析】 方法一如图，以点为原点建立空间直角坐标系，依题意得， 易得，于是，所以 所以二面角的正弦值为 【例6】 如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，是线段的中点 求证平面； 求二面角的大小； 试在线段上确定一点，使得与所成的角是【解析】方法二 建立如图所示的空间直角坐标系设，连接，则点、的坐标分别是、，又点的坐标分别是、 且与不共线，又平面，平面，平面 即所求二面角的大小是 点是的中点考点6：备案立体几何综合题【例7】 （2013福建19）如图，在四棱柱中，侧棱底面，（）， 求证：平面； 若直线与平面所成角的正弦值为，求的值 现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式（直接写出答案，不必说明理由）【解析】 取中点，连接，四边形为平行四边形且在中，即，又，所以平面，平面，又，平面 解得故所求的值为1 共有4种不同的方案复习巩固 【演练1】（2013年高考新课标1（理）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D【解析】A【演练2】（2013湖南）已知棱长为的正方体的俯视图是一个面积为的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A B C D【解析】C【演练3】（2009浙江卷理）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，的中点， 设是的中点，证明：平面； 证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离【解析】 如图，连结，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，由题意得，因，因此平面的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面 设点的坐标为，则，因为平面，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到的距离为【演练4】在棱长为的正方体中，是侧棱上的一点， 试确定，使直线与平面所成角的正切值为； 在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于，并证明你的结论【解析】 为的中点时，满足题设的要求【演练5】（2013浙江20）如图，在四面体中，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且 证明：平面； 若二面角的大小为，求的大小【解析】 方法一：如下图左，取的中点，且是中点，所以因为是 中点，所以；又因为且，所以，所以面面，且面，所以面；方法二：如上图右所示，取中点，且是中点，所以；取的三等分点，使，且，所以，所以，且，所以面； 【演练6】（2013安徽19）如图，圆锥顶点为底面圆心为，其母线与底面所成的角为和是底面圆上的两条平行的弦，轴与平面所成的角为， 证明：平面与平面的交线平行于底面； 求【解析】 设面与面的交线为因为不在面内，所以面又因为面，面与面的交线为，所以由直线在底面上面，在底面外可知，与底面平行 思维进阶（2012华约）已知三棱锥的底面为正三角形，点在侧面上的射影是的垂心，二面角为，且，则此三棱锥的体积为_分析：”点在侧面上的射影是的垂心”条件的应用【解析】如图，取的中点，设交于，连结，由点在侧面上的射影是的垂心，可知三棱锥对棱垂直，则各个顶点在对面的投影均为垂心而底面为正三角形，则三棱锥为正三棱锥，即，设，则由，由勾股定理可以解得，则，99