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初升高衔接教材初高中数学衔接教材中学初高中数学衔接教材目 录引 入 乘 法 公 式第一讲因式分解1.1提取公因式1.2.公 式 法（平方差，完全平方，立方和，立方差）1.3分组分解法1.4十字相乘法（重、难点）1.5 关 于 x的二次三项式a x 2+b x+c （a W O）的因式分解.第二讲函数与方程2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式2.1.2根与系数的关系（韦达定理）2.2 二次函数2.2.1二次函数 y=a x 2+b x +c的图象和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式2.2.3 二次函数的简单应用第 三 讲 三角 形 的“四心”乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：(1)平 方 差 公 式(a b)(a b)a 2 b 2；222(2)完全平方公式(a b)a 2a b .b我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：23 (1)立 方 和 公 式(a b)(a a b 2b)3 a ；b23 (2)立 方 差 公 式(a b)(a a b 2b)3 a ；b2222(3)三数和平方公式(a b c c)a b c 2(a b b e ；)a3 3 23 (4)两数和立方公式(a b)a 3 a b 3 a 2b ；b3 3 2(5)两数差立方公式(a b)a 3 a b 3 a 2b .b对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明.例1计算(x l)(x 1)(x 2 x 1)(x 2 x 1).初高中数学衔接教材222 解法一：原式=(x 2 1)(x 1)x=(x 2 1)(x 4 x 2 1)=x 6 1.解法二：原式=(x=(x 3 1)(x 3 1)=x 6 1.例 2 已知a b c解：a 2 b 2练 习1.填空：1 21 21 1 a b(2)(4 m)2 1 6 m2(3 )(a 2b c)2 a 21)(x 2 x 1)(x 1)(x 2 x4,a b b e a c 4,求 a 2c 2(a b c)2 2(a b b e a c)(b a)()；9 4 231)b 2 c 2 的值.8.4 m()；(1)4 b 2 c 2().2.选择题:Imx k 是一个完全平方式，则 k 等 于()21212122(A)m(B)m(C)m(D)m 416322(2)不论a,b 为何实数，a b 2a 4b 8 的 值()(1)若 x 2(A)总 是 正 数(B)总是负数(C)可 以 是 零(D)可以是正数也可以是负数第一讲因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法.1.十字相乘法例 1 分解因式：(1)x 2-3 x+2；(2)x2+4x-12；(3)x2(a b)xy aby2；(4)xy 1 x y.解：(1)如 图 1.1-1,将二次项x2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2 分解成1 与一2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一3 x,就 是 x23x+2 中的一次项，所以，有初高中数学衔接教材x23 x+2=(x1)(x2).1 x x 1-1 2 ay 11 x x 1 6-2 -by-2 图 1.1-3 图 1.1 1 图 1.1 4 图 1.1-2说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图L 1 1 中的两个x 用 1来 表 示(如 图 1.12 所示).(2)由图1.1-3,得x2+4x12=(x2)(x+6).(3)由 图 1.1-4,得x2(a b)xy aby2=(x ay)(x by)(4)xy 1 x y=x y+(x y)1=(x 1)(y+1)(如图 1.1 5 所示).课堂练习一、填空题:1、把下列各式分解因式:(1)x 5x 6 _(2)x 5x 6(3)x 5x 6 _(4)x 5x 6 _222222x y 1 1 图 L 1-5(5)x a 1 x a o (6)x llx 1 8 o(7)6 x 7 x 2 o(8)4 m 1 2m 9 _(9)5 7 x 6 x o(1 0)1 2x x y 6 y2、x 4 x x 3 x 2222223、若 x a x bx 2 x 4 贝ij a ,b 。二、选择题：(每小题四个答案中只有一个 是 正 确 的)21、在 多 项 式(1)x 7 x 6 (2)x 4 x 3 (3)x 6 x 8 (4)x 7 x 1 0(5)x 1 5x 4 4中，有相同因式的是()A、只 有(1)(2)B、只 有(3)(4)C、只 有(3)(5)D、(1)和(2)；(3)和(4)；(3)和(5)2、分解因式a 8 a b 3 3 b得()al l a 3 B a 1 lb2222222 a li b a 3 ba 3 b C、a li b a 3 b D、23、a b 8 a b 20 分解因式得()a b 2 B、a b 5 a b 4 A、a b 1 0C、a b 2 a b 1 0 D、a b 4 a b 524、若多项式x 3 x a可 分 解 为 x 5 x b ,则 a、b的 值 是（）初高中数学衔接教材A、a 1 0,b 2 B、a 1 0,b 2 C、a 1 0,b 2 D、a 1 0,b 25、若 x 2 mx 1 0 x a x b 其 中 a、b为整数，则 m 的 值 为（）A、3 或 9 B、3 C、9 D、3 或 9三、把下列各式分解因式1、6 2p q 2 1 1 q 2p 3 2、a 3 5a 2b 6 a b 23、2y 2 4 y 6 4、b 4 2b 2 82.提取公因式法例 2 分解因式：(1)a 2 b 5 a 5 b (2)x 3 9 3 x 2 3 x解：(1).a 2 b 5 a 5 b =a(b 5)(a 1)(2)x 3 9 3 x 2 3 x=(x 3 3 x 2)(3 x 9)=x 2(x 3)3(x 3)=(x 3)(x 2 3).或x 3 9 3 x 2 3 x=(x 3 3 x 2 3 x 1)8=(x 1)3 8=(x 1)3 23=(x 1)2 (x 1)2(x 1)2 22=(x 3)(x 2 3)课堂练习:一、填空题:1、多项式6 x 2y 2x y 2 4 x y z中各项的公因式是 02、1nxy 11yx x y 。3、1nxy 2 n y x 2 x y 2。4、1nxy z n y z x x y z5 m x y z x y z x y z 。6、1 3 a b 2x 6 3 9 a 3 b 2x 5 分解因式得。7 .计算 9 9 2 9 9二、判断题：(正 确 的 打 上“，错 误 的 打 上X”)1、2a 2b 4 a b 2 2a b a b ，2 a m b m m m a b，3、3 x 3 6 x 2 1 *D X 3 x x 2 2x 5 I,4、x n x n 1 x n 1x1，3：公 式 法）（初高中数学衔接教材例 3 分解因式：(1)a 4 1 6 (2)3 x 2y 2 x y 2 解:(1)a 4 1 6=4 2(a 2)2(4 a 2)(4 a 2)(4 a 2)(2 a)(2 a)(2)3 x 2y 2 x y 2=(3 x 2y x y)(3 x 2y x y)(4 x y)(2x 3 y)课堂练习22223 3一、a 2a b b,a b,a b的公因式是二、判断题：（正 确 的 打 上“错 误 的 打 上“X”）1、4 9 x 2 0.0 12 3 x 20.1 22 2 3 x 0.13 x 0.1(2、9 a 2 8 b 23 a 2 4 b 23 a 4 b 3 a 4 b ,5 a 4 b ，,，（4、x 2(3、2 5a 2 1 6 b 5a 4 by 2 x 2 y 2x y x y ，(5、a 2 b c 2a b ca b c ，（五、把下列各式分解1、9 m n 2m n 22、3 x 21 33、4 x 2 4 x 224、x 42x 214.分组分解法例 4 (1)x 2 x y 3 y 3 x (2)2x 2 x y y 2 4 x 5y 6.(2)2x 2 x y y 2 4 x 5y 6=2x 2(y 4)x y 2 5y 6=2 x 2 (y 4)x (y 2)(y 3)=(2x y 2)(x y 3).或2x 2 x y y 2 4 x 5y 6=(2 x 2 x y y 2)(4 x 5y)6=(2x y)(x y)(4 x 5y)6 =(2 x y 2)(x y 3).课堂练习：用分组分解法分解多项式（1）x 2 y 2 a 2 b 2 2a x 2b y(2)a 2 4 a b 4 b 26 a 1 2b 9)初高中数学衔接教材5.关于x的二次三项式a x 2+b x+c(a*0)的因式分解.若关于x的方程a x 2 b x c 0(a 0)的两个实数根是x l、x 2,则二次三项式a x 2 b x c(a 0)就可分解为 a(x x l)(x x 2).例 5 把下列关于x的二次多项式分解因式：(1)x 2 2x 1；(2)x 2 4 x y 4 y 2.解：(1)令 x 2 2x 1=0，则解得x l 172x 2 1,/.x 2 2xV21=X (1 X (1=(x lx 1.(2)令 x 2 4 x y 4 y 2=0，则解得x l（2y,x l(2 y,；.x 2 4 x y0/24 y 2=x 2(ly x 2(ly .练 习1.选择题:多项式2x x y 1 5y 的 一 个 因 式 为（）(A)2x 5y (B)x 3 y (C)x 3 y (D)x 5y2.分解因式:(1)x 2+6 x+8；(2)8 a 3-b 3；(3)x 2-2x-l；(4)4(x y 1)y(y 2x).22习 题 1.21.分解因式：(1)a 1；(2)4 x 1 3 x 9；22(3)b c 2a b 2a c 2b c；(4)3 x 5x y 2y x 9 y 4.223 4 22.在实数范围内因式分解:(1)x 5x 3 ；(2)x 3；(3)3 x 4 x y y；(4)(x 2x)7(x 2x)1 2.3 .A B C 三边a,b,c满 足 a b c a b b e c a,试 判 定 A B C 的形状.4 .分解因式：x 2+x-(a 2-a).2222222222初高中数学衔接教材第二讲函数与方程2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式 情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，如求方程的根(1)x 2 x 3 0(2)x 2 x 1 0 (3)x 2 x 3 0 2 2 2我们知道，对于一元二次方程a x 2+b x+c=0 (a#0),用配方法可以将其变形为b 2 b 2 4 a c(x ).2 a 4 a 2因为a/0,所以，4 a 2 0.于是初高中数学衔接教材(1)当 b 2 4 a c 0 时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x l,2-bb2-4ac(2)当 b 2-4 a c=0 时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x l=x 2 =b；2 ab 2)2 a (3)当 b 2 4 a c 0时，方程有两个不相等的实数根b x l,2Jb2-4ac=2 a(2)当=()时，方程有两个相等的实数根b x l=x 2 =；2 a(3)当 VO时，方程没有实数根.例1判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为 常 数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根.(1)x 2 3 x +3=0；(2)x 2 a x 1 =0；(3)x 2 a x+(a 1)=0；(4)x 2 2 x+a=0.解：(1).=3 2-4*1义3 =3 0,所以方程一定有两个不等的实数根la2+4a a,标+4x 2 .x l 2 2(3)由于该方程的根的判别式为A =a 2-4 X l X (a-l)=a 2-4 a+4=(a-2)2,所以，当a=2时，A=0,所以方程有两个相等的实数根x l =x 2 =l；当 aW 2时，A0,所以方程有两个不相等的实数根x l=l,x 2 a 1.(3)由于该方程的根的判别式为 =2 2 4 X 1 X a=4 4 a=4(l a),所以 当 (),即 4(l a)0,即 aVl时，方程有两个不相等的实数根x l 1gx 2 1初高中数学衔接教材 当 =(),即 a=l时，方程有两个相等的实数根x l =x 2 =l；当 l时，方程没有实数根.说明：在 第 3,4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题.2.1.2 根与系数的关系(韦达定理)若一元二次方程a x 2+b x+c=0 (a W O)有两个实数根b2-4acb b x l,x 22 a 2 a则有b b 2 b+y/b。4ocb bx l x 2 ；h y/b c ic2 a a2 b 2 (b 4 a c)4 a cc x l x 2 2 2 4 a 4 a a所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：初高中数学衔接教材如果 a x 2 +b x+c=0 (a W O)的两根分别是 x l,x 2,那么 x l+x 2=b,x l ,x 2 ac=.这一关系也被称为韦达定理.a特别地，对于二次项系数为1 的一元二次方程x 2 +p x +q=0,若 x l,x 2 是其两根，由韦达定理可知x l +x 2 =p,x l x 2=q,即 p=(x l+x 2),q=x l x 2,所以，方程 x 2 +p x +q=0 可化为 x 2(x l +x 2)x +x l x 2 =0,由于 x l,x 2 是一2元二次方程x+p x+q=O 的两根，所以，x l,x 2 也是一元二次方程x 2(x l +x 2)x+x l x 2=0.因此有以两个数x l,x 2 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2(x l +x 2)x +x l ,x2Q.例 2 已知方程5 x k x 6 0的一个根是2,求它的另一个根及k的 值.分 析：由于已知了方程的一个根，可以直接招这一根代入，求 出 k的值，再由方程解出另个根.但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值.解法一：二U是方程的一个根，A 5 X 2 2+k X 2-6=0,：.k =-7.3所以，方程就为5 x 2 7x 6=0,解得x l=2,x 2=.53所以，方程的另一个根为一，k的值为-7.563 解法二：设方程的另一个根为x l,则 2 x 1 =-,.x l =.5 53 k 由(一)+2 =,得 k =-7.5 53所以，方程的另一个根为一，k的值为-7.5例 3已知关于x的方程x 2+2(m-2)x+m 2+4=0 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大2 1,求 m的值.分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大2 1 得到关于m的方程，从而解得m的值.但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零.解：设 x l,x 2 是方程的两根，由韦达定理，得x l +x 2 =-2 (m 2),x l ,x 2=m 2+4.2 2 V x l+x 2-x l x 2=2 1,(x l +x 2)2 3 x l ,x 2=2 1,2 即 2(m 2)3(m 2+4)2 1,化简，得 m 2-1 6m-1 7=0,解 得 m=-l,或 m=1 7.2初高中数学衔接教材当 m=1 时，方程为x 2 +6x +5=0,0,满足题意；当 m=1 7 时，方程为 x 2 +3 0 x +2 9 3=0,A =3 0 2 4 X 1 X 2 9 3 V 0,不合题意，舍去.综上，m=1 7.说明：(1)在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后 再 由“两个实数根的平方和比两个根的积大2 1”求出m的值，取满足条件的m的值即可.(1)在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式是否大于或大于零.因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根.例 4 已知两个数的和为4,积为一1 2,求这两个数.分析：我们可以设出这两个数分别为x,y,利用二元方程求解出这两个数.也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解.解法一：设这两个数分别是x,y,则 x +y=4,x y=-12.由，得 y=4 X,代入，得x(4 x)=-1 2,即 x 2-4 x-1 2=0,.*.x l =2,x 2=6.x 2 6,x 2,/.1 或 y 2 2.y l 6,因此，这两个数是一2 和 6.解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x24x12=0的两个根.解这个方程，得xl=-2,x2=6.所以，这两个数是一2 和 6.说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二(直接利用韦达定理来解题)要比解法一简捷.例 5 若 x l 和 x2分别是一元二次方程2x2+5 x-3=0 的两根.(1)求 I x lx2|的值；11(2)求 2 2 的值；xlx2(3)xl3+x23.解：xl和 x2分别是一元二次方程2x 2+5x-3=0 的两根，53/.x l x2,xlx2.2253(1)Vl x l-x 2|2=x l2+x22-2 xlx2=(xl+x 2)2-4 x lx 2=()2 4()222549=+6 =,44初高中数学衔接教材|x l-x 2=7.22121225325()2 2()3x x2(xl x2)2x1x21137(2)2 2.2239xlx2x x2(xlx2)9()2243322 2(3)x l+x 2=(xl+x2)(x l xlx2+x2)=(xl+x2)(x l+x 2)-3x1x2553215=(-)X (-)2-3 X ()=-.2228说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设 x l 和 x b+分别是一元二次方程a x 2+b x +c =0 (a W O),则 b 4-2jb2-4ac2a b+x/b 4cicla,x 2 ,x l b /b 4cic2a/.|x l x 2 1g a|于是有下面的结论:若 x l 和 x 2 分别是一元二次方程 a x 2 +b x +c=0 (a W O),则|x l x 2 =|a|中 A=b 2 4 a c).今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论.例6若关 于x的一元二次方程x 2 x+a 4=0的一根大于零、另一-根小于零，求实数a的取值范围.解：设x l,x 2是方程的两根，则x l x 2=a 4 0.由 得a 4,1 7由 得a 4.，a的取值范围是a 4.练 习1 .选择题：(1)方 程x 3 k 0的 根 的 情 况 是()(A)有 一 个 实 数 根(B)有两个不相等的实数根(C)有两个相等的实数根(D)没有实数根(2)若关于x的方程m x 2+(2 m+l)x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范 围 是()(A)m -4 41 1 (C)mV,且 m W O (D)m 一，且 m W O 4 4 2.填空：初高中数学衔接教材(1)若方程x 2 3 x 1 =0的两根分别是x l和x 2,则1 1 =x l x 2(2)方程m x 2+x -2 m=0 (m#0)的根的情况是(3)以-3和1为根的一元二次方程是3&广+8a+16-|b 1 1 0,当k取何值时，方程k x 2 +a x+b=0有两个不相等的实数根？4.已知方程x 2 3 x-l=0的两根为x l和x 2,求(x l 3)(x 2 3)的值.习题2.1A组1 .选择题：(1)已知关于x的方程x 2+k x 2=0的一个根是1,则它的另一个根是()(A)-3 (B)3 (C)-2 (D)2(2)下列四个说法:方程x 2 +2 x -7=0的两根之和为一2,两根之积为一7；方程x 2-2 x+7=0的两根之和为一2,两根之积为7；方程3 x 2 7=0的两根之和为0,两根之积为方程3 x 2+2 x=0的两根之和为一2,两根之积为0.其中正确说法的个数是()(A)l 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个(3)关 于x的一元二次方程a x 2-5x+a 2+a=0的一个根是0,则a的 值 是()(A)0 (B)1 (C)-1 (D)0,或一12.填 空：(1)方程k x 2+4 x-l=0的两根之和为一2,则1 x l x 2,求实数k的取值范围.初高中数学衔接教材4 .一元二次方程a x 2+b x +c=0 (a W O)的两根为x l和x 2.求：(1)|x l-x 2|和 x l x 2；2(2)x l 3+x 2 3.5.关于x的方程x 2+4 x+m=0的两根为x l,x 2满足|x l x 2 1=2,求实数m的值.C组1.选择题：(1)己知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2 x 2 8 x+7=0的两根，则这个直角三角形的 斜 边 长 等 于()(A6(B)3 (C)6(D)9(2)若x l,x 2是方程2 x 2 4 x+l=0的两个根，则x l x 2的 值 为()x 2 x l3 (A)6(B)4 (C)3 (D)2(3)如果关于x的方程x 2 2(1 m)x+m 2=0有两实数根a ,6,则。+B的取值范围为()(A)a+8 2 1 1 (B)a+B W(C)a +B(D)a +B 2 2c (4)已知a,b,c是AABC的三边长，那么方程c x 2+(a+b)x +=0的根的情况是4()(A)没 有 实 数 根(B)有两个不相等的实数根(C)有两个相等的实数根(D)有两个异号实数根2 .填空：若方程 x 2 8x+m =0 的两根为 x l,x 2,且 3 x 1+2 x 2=1 8,贝U m=.3 .已知x l,x 2是关于x的一元二次方程4 k x 2-4 k x +k+l =0的两个实数根.(1)是否存在实数 k,使(2 x 1 x 2)(x l-2 x 2)=一在，说明理由；3成立？若存在，求 出k的值；若不存2x l x 2 一2的值为整数的实数k的整数值；x 2 x lx (3)若k=2,1,试求 的 值.x 2 (2)求使m 20.4.已知关于x的方程x (m 2)x 4 2(1)求证：无 论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；(2)若这个方程的两个实数根x l,x 2满足|x 2|=|x l|+2,求m的值及相应的x l,x 2.5.若关于x的方程x 2+x+a=0的一个大于1、零一根小于1,求实数a的取值范围.初高中数学衔接教材2.2二次函数2.2.1二次函数y=a x 2+b x +c的图象和性质 情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如 作 图(1)y x (2)y x (3)y x 2 x 3教师可采用计算机绘图软件辅助教学2 2 2问 题1函数y=a x 2与y=x 2的图象之间存在怎样的关系？1为了研究这一问题，我们可以先画出y=2 x 2,y=x 2,y =-2 x 2的图象，通2过这些函数图象与函数y=x 2的图象之间的关系，推导出函数y=a x 2与y=x 2的图象之间所存在的关系.初高中数学衔接教材先画出函数y=x 2,y=2 x 2的图象.X -31012x 9410142x2 18820782的x的值扩大两倍就可以了.再描点、连线，就分别得到了函数y=x 2,y =2 x 2的 图 象(如 图2 1所 示)，从 图2 1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y=2 x 2的图象可以由函数y=x 2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到.同学们也可以用类似于上面的方法画出函数yl=x2,y=-2 x 2的图象，并研究这两个函数图象2图2.2 7与函数y=x2的图象之间的关系.通过上面的研究，我们可以得到以下结论：22二次函数丫=2*6*0)的图象可以由y=x的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到.在二次函数y=ax2(aWO)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小.问题2函数y=a(x+h)2+k与y=ax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系.同学们可以作出函数y=2(x+l)2+l与y=2x2的 图 象(如 图22所 示)，从函数的同学我们不难发现，只要把函数y=2x2的图象向左平移一个单位，图2.2-2再向上平移一个单位，就可以得到函数y=2(x+1)2+1的图象.这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点.类似地，还可以通过画函数y=-3x2,y=-3(x通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y=a(x+h)2+k(aW 0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而 且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而 且“k正上移，k负下移”.由 上面的结论，我们可以得到研究二次函数y=a x 2+b x+c(a W 0)的图象的方法：b b b 2 b 2 2 2 2 由于 y =a x+b x+c=a(x+x)+c=a(x+x+2)+c a a 4 a 4 ab 2 b 2 4 a c a(x ),2 a 4 a所以，y=a x 2+b x +c(a W 0)的图象可以看作是将函数y=a x 2 的图象作左右平初高中数学衔接教材移、上下平移得到的，于是，二次函数丫=江 2+6*+。5 0)具有下列性质：b 4 a c b 22,),(1)当 a0时、函数y=a x+b x+c 图象开口向上；顶点坐标为(2 a 4 ab b b 对称轴为直线x =一；当 x V 时，y随着x的增大而减小；当 x 时，y随着2 a 2 a 2 ab 4 a c b 2x的增大而增大；当 x=时，函数取最小值y=.2 a 4 ab 4 a c b 22,),(2)当 aVO时，函数y=a x+b x +c图象开口向下；顶点坐标为(2 a 4 ab b b 对称轴为直线x =一；当 x V 时，y随着x的增大而增大；当 x 时，y随着2 a 2 a 2 ab 4 a c b 2x的增大而减小；当 x=时，函数取最大值y=.2 a 4 a上述二次函数的性质可以分别通过图2.2 3 和 图 2.2 4直观地表示出来.因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.4例 1求二次函数y=-3 x 2 6 x +l图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最 大 值（或最小值），并指出当x 取何值时，y随 x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象.解：；=3 x 2 6 x+l =-3(x+l)2 +对称轴是直线X =-1；顶点坐标为(一1,4)；当 x =-1 时，函数y 取最大值y=4；当 x -l 时，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A(1,4),与 x轴3 3,0)和，(交 于 点 B(,0),与 y 轴的交3 3 图 2.2 5初高中数学衔接教材点为D(0,1),过这五点画出图象(如图2 5 所示).说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确.函数y=a x 2 +b x +c图象作图要领：(1)确定开口方向：由二次项系数a决定b (2)确定对称轴：对称轴方程为x2 a(3)确定图象与x 轴的交点情况，若()则 与 x 轴有两个交点，可由方程x 2 +b x +c=0 求出若=()则与x轴有一个交点，可由方 程 x 2+b x+c=0 求出若()则与x轴有无交点。(4)确定图象与y 轴的交点情况，令 x=0 得 出 y=c,所以交点坐标为(0,c)(5)由以上各要素出草图。练习：作出以下二次函数的草图(Dy x 2 x 6 (2)y x 2 2 x 1 (3)y x 2 1例 2某种产品的成本是1 2 0 元/件，试销阶段每件产品的售价x (元)与产.元130150w件7()50每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润=日 销 售 量 y X (销售价x 1 2 0),日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值.解：由于y 是 x的一次函数，于是，设丫=1 +(B)将 x=1 3 0,y=7 0；x=1 5 0,y=5 0 代入方程，有7 0 1 3 0 k b,5 0 1 5 0 k b,解得 k=-l,b=2 0 0.y =x +2 0 0.设每天的利润为z (元)，则Z=(-x+2 0 0)(x-1 2 0)=-x 2+3 2 0 x-2 4 0 0 0=-(x 1 6 0)2+1 6 0 0,.当x=1 6 0 时，z 取最大值1 6 0 0.答：当售价为1 6 0元/件时，每天的利润最大，为1 6 0 0元.例3把二次函数y=x 2 +bx+c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y=x 2的图像，求b,c的值.b2 b2 2解法一：y =x+bx+c=(x+)c，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4 4 2bb22个单位，得 到y (x 4)c 2的图像，也就是函数y=x 2的图像，所以，2 4初高中数学衔接教材b4 0,2 解得 b=-8,c=1 4.2b c 2 0,4 解法二：把二次函数y=x 2 +bx+c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y=x 2的图像，等价于把二次函数y=x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y=x 2+bx +c的图像.由于把二次函数y=x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y=(x 4)2 +2的图像，即为y=x 2 8 x+1 4的图像，.,.函数y=x 2 8 x +1 4与函数y=x 2+bx +c表示同一个函数，.*.b=-8,c=1 4.说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律.这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点.今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题.例4已知函数y=x 2,-2 W x W a,其 中a 2一 2,求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值.分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行 讨 论.解：(1)当a=-2时，函数y=x 2的图象仅仅对应着一个点(一2,4),所以，函数的最大值和最小值都是4,此 时x=-2；(2)当一2 a 0时，由图2.2 6 可知，当x=-2时，函数取最大值y=4；当x=a时，函数取最小值y=a2；(3)当0 W a V 2时，由图2.2 6 可知，当x=-2时，函数取最大值y=4；当x=0时，函数取最小值y=0；(4)当 a 22时，由图2.2 6 可知，当 x=a 时，函数取最大值y=a2；当 x=0时，函数取最小值y =0.说 用 了 分 类讨论图 2.2-6的方法，对a 的所有可能情形进行讨论.此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观 地 解 决 问 题.练 习1.选择题:(1)下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是()(A)y=2 x 2 (B)y=2 x 2 4 x+2 (C)y=2 x 2 1 (D)y=2 x 2 4 x(2)函数 y=2(x 1)2+2 是将函数 y=2 x 2 ()(A)向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的(B)向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的(C)向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的(D)向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2 .填空题(1)二次函数y=2 x 2 m x +n图象的顶点坐标为(1,2),贝Im=,n=.2 (2)已知二次函数y=x+(m 2)x 2 m,当m=y轴上；当m=x轴上；当m=时，函数图象经过原点.(3)函数y =-3(x+2)2 +5的图象的开口向，对 称 轴 为,顶点坐标为；当x=时，函数取最 值 丫=；当x时，y随着x的增大而减小.3 .求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最 大(小)值 及y随x的变化情况，并画出其图象.(1)y=x 2 2 x 3；(2)y =l+6 x x 2.4.已知函数y=-x 2 2 x +3,当自变量x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量x的值：(1)x2；(2)x W 2；(3)2 W x W l；(4)0 0时，抛物线y=a x 2+b x+c(a W 0)与 x 轴有两个交点；反过来，若抛物线y =a x 2+b x +c(a W 0)与 x 轴有两个交点，贝 I J ()也成立.(2)当 A=0时，抛物线y=a x 2 +b x+c(a N 0)与 x轴有一个交点(抛物线的顶点)；反过来，若抛物线y=a x 2+b x +c(a W 0)与 x 轴有一个交点，则 =0也成立.(3)当 AV0时，抛物线y=a x 2 +b x+c(a W 0)与 x 轴没有交点；反过来，若抛物线y=a x 2+b x +c(a W 0)与 x 轴没有交点，贝 ij V0也成立.于是,若抛物线y=a x 2+b x+c(a#0)与 x轴有两个交点A(x L 0),B(x 2,0),则 x Lx 2 是方程a x 2+b x +c=0的两根，所以b c x l+x 2=,x l x 2=,a ab e 即=(x l +x 2),=x l x 2.a ab e 所以，y=a x 2+b x+c=a(x 2 x )a a=a x 2 (x l+x 2)x+x l x 2=a(x x l)(x x 2).由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y=a x 2+b x+c(a W 0)与 x轴交于A(x l,0),B(x 2,0)两点,则其函数关系式可以表示为 y=a(x x l)(x x 2)(a O).这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3.交点式：y=a(x x l)(x x 2)(a W O),其 中 x l,x 2 是二次函数图象与x 轴交点的横坐标.今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选 用 般 式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题.例 1已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y=x +l 上，并且图象经过点(3,-1),求二次函数的解析式.分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a.初高中数学衔接教材解：.二次函数的最大值为2,而最大值一定是其顶点的纵坐标，.顶点的纵坐标为2.又顶点在直线y=x+l 上，所以，2=x+l,x =1.二顶点坐标是(1,2).设该二次函数的解析式为y a(x 2)2 1 (a 0),.二次函数的图像经过点(3,-1),/.1 a(3 2)2 1,解得 a=-2.二二次函数的解析式为y 2(x