2023年江苏省溧水高考数学全真模拟密押卷含解析.pdf

2023年高考数学模拟试卷注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知命题：X 2 7 +1，4：X2 5X+6 B.m 2 2C.mD.ml2.已知正项等比数列 4,中，存在两项an，使得J 凡=3q,l 4%=2%+3%,则 一+一的最小值是（m n3八A.B.223.复数二的共扼复数对应的点位于（）2-1C.73D.94A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.复数的z=-l-2 i（i为 虚 数 单 位）在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于（）)A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限5.已知随机变量X服从正态分布N（4,9）,且P（X 现将ABO沿AB翻折，使点。移动至点P,且Q4_LAC,则三棱锥。一 ABC的外接球的表面积为（）A.8万 B.6 C.4%D.32x+l,x/(l)成立的x的取值范围是().A.(1,+0)个单位后得到函数g(x)=s i n(2 x+)的图象，则。的最4 4小 值 为()兀3兀 兀 5乃A.-B.C.-D.4 8 2 81 1 .已知函数/(x)=e +人的一条切线为y =a(x+l),则 曲 的 最 小 值 为()1112A.-B.-C.D.-Ie 4 e e e，nh1 2 .两圆(x+a)+y 2=4和/+&一3-=1相外切，且出7A。，则 岩 庐 的 最 大 值 为()9 1A.-B.9 C.-D.14 3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。1 3.已知温 是互相垂直的单位向量，若反式 与1+入鼻的夹角为60。，则实数1的值是一.1 4.电 影 厉害了，我的国于 2018年 3 月正式登陆全国院线，网友纷纷表示，看完电影热血沸腾“我为我的国家骄傲，我为我是中国人骄傲！”厉害了，我的国正在召唤我们每一个人，不忘初心，用奋斗书写无悔人生，小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看 厉害了，我的国，并 把 标 识 为 的 四 张 电 影 票 放 在 编 号 分 别 为 1,2,3,4 的四个不同的盒子里，让四位好朋友进行猜测:甲说：第1个盒子里放的是B,第3个盒子里放的是C乙说：第2个盒子里放的是3,第3个盒子里放的是。丙说：第4个 盒 子 里 放 的 是 第2个盒子里放的是。丁说：第4个盒子里放的是A ,第3个盒子里放的是C小明说：“四位朋友你们都只说对了一半”可以预测，第4个盒子里放的电影票为1 5 .已知 x,y e A,i 为虚数单位，且（x-2）i-y =-1 +则x+y=.1 6 .已知抛物线尸=2内（p 0）的焦点为尸，斜率为2起 的 直 线 过 b且与抛物线交于A B 两 点,。为坐标原点,S若A在第一象限，那么三应=.三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7 .（1 2 分）如图，已知在三棱台 A B C -45 c l 中，A C =2AB=2,B C =B AgLBg.（1）求证：A B 1 CC,；（2）过4?的平面A B O E分别交g q,AC于点。，E,且分割三棱台A B C-A AG所得两部分几何体的体积比为匕AE-陷。=匕B C-BG=4：3,几何体A B C EOG为棱柱，求 的 长.提示：台体的体积公式V =（S+阿+S）（S,S分别为棱台的上、下底面面积，为棱台的高）.18 .（12 分）已知四棱锥P-/W C。中，底面 A B C D为等腰梯形，A D|B C,P A=A O=/W=C O =2,8 c =4,如,底 面A B C D.I(1)证明：平面Q4C_L平面Q 43；(2)过 2 4 的平面交3 C 于点E,若平面A4七把四棱锥P-A B C。分成体积相等的两部分，求二面角A庄 3 的余弦值.19.(12分)电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了 100名观众进行调查，其中女性有 55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.(1)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?非体育迷体育迷合计男女1055合计(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1 名观众，抽取3次，记被抽取的3 名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求 X 的分布列，期望E(X)和方差附：晓 V(a +b)(c +d)(a +c)e +d)P(K)0.050.01k3.8416.63520.(12 分)已知函数/(x)=16-(1)解不等式/5),+2|；(2)若函数y =/(x)-。存在零点，求”的求值范围.x=acos(p21.(12分)在平面直角坐标系x O y中，曲线G的参数方程为,.(Qb0,9为参数)，在 以。为极点,y=bsm(pX轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲 线 是 圆 心 在 极 轴 上，且经过极点的圆.已知曲线G上的点对应的参数0 =(,射 线 夕=?与 曲 线G交于点(D求曲线G，。2的直角坐标方程；(2)若点A,8为曲线G上的两个点且。4 _ L Q B,求 总 了+薪 了 的 值.22.(10 分)如 图，在四面体 D 4 8 C中，ABA.BC,D A=D C =DB.(1)求证:平面AB C _ L平面A CD；(2)若N C 4Z)=30。，二面角CA 8。为6 0。，求异面直线A D与BC所成角的余弦值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】求出命题q不等式的解为2 x 3,P是4的必要不充分条件，得4是P的子集，建立不等式求解.【详解】解：.命题 p:x 2加+1,。：彳2 5x +6 0,即：2 c x 3,解得机2/.实数加的取值范围为m21.故选：D.【点睛】本题考查根据充分、必要条件求参数范围，其思路方法：(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解.(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验.2.C【解析】由已知求出等比数列 4 的公比，进而求出机+=4,尝试用基本不等式，但和c N*取不到等号，所以考虑直接取加，的值代入比较即可.【详解】/a6=2a5+3a4,/,-2-3=0,：.q=3(j=-l(舍)yam-an=3q ,am an-af-3/n+w-2=9 a；，加+=4.,1 4 7当m=1,几=3时 一+一=一；m n 3i 4 5当根=2,九=2时一+=；m n 2当m =3,=1时，+-=7，所以最小值为Z.m n 3 3故选:C.【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值，属于基础题.3.A【解析】试题分析：由题意可得：二 =二一一九共飘复数为二+-故 选A.2-1 5 5 5 5考点：1.复数的除法运算以及复平面上的点与复数的关系4.C【解析】所对应的点为(-1,-2)位于第三象限.【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.5.C【解析】根据在关于X=4对称的区间上概率相等的性质求解.【详解】=4,c r =3,.P(X 2)=P(X 4+2)=P(X 6)=P(X a),:.a6.故选：C.【点睛】本题考查正态分布的应用.掌握正态曲线的性质是解题基础.随机变量X服从正态分布N(,b 2),则P(X p+m).6.C【解析】由题意可得2 4上面A B C,可知因为则8 7，面 丛6,于是BC_L由此推出三棱锥。一A B C外接球球心是P C的中点，进而算出C P =2,外接球半径为1,得出结果.【详解】解：由D 4J.A3,翻折后得到Q4J _ A8,又R4J _ AC,则 P 4_ L面 A B C,可知 Q4_ L B C.又因为4B _ L 3C,则面“4 5,于是B C 工P B,因此三棱锥P -A B C外接球球心是P C的中点.计算可知C P =2,则外接球半径为1,从而外接球表面积为4%.故选：c.【点 睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识,属于中档题.7.D【解 析】画 出 函 数/（无）=2 x+l,x 0，将 方 程/（幻 =3看 作r=/（x），/（r）=3交点个数，运用图象判断根的个数.【详 解】画 出 函 数/（尤）=2 x+l,x 0令，=/（x）,;./（，）=3有 两 解%（0,1）由 （1,+8）,则G=/（x）,/（x）=/2分 别 有3个，2个 解，故方程/=3的 实 数 根的个数是3+2=5个本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题.8.C【解 析】由三视图知几何体是一个从圆锥中截出来的锥体，圆锥底面半径为r =J?+(竽 ，圆锥的高h=7(3/5)2-32，截去的底面劣弧的圆心角为二,底面剩余部分的面积为S=-r2+-r2s i n ，利用锥体的体积公式即可求得.3 2 3 2 3【详解】由已知中的三视图知圆锥底面半径为r=6,圆锥的高丹=1(3后)23 2 =6,圆锥母线1 =而+=6技 截去的底面弧的圆心角为120。，底面剩余部分的面积为。1 cS=-7vr+/s i n =x 62+x 62 x s i n =24-+9/3 ,故几何体的体积为：3 2 3 3 2 3y=；S/7 =；x(24%+96)x6=48 +18 百.故选C.【点睛】本题考查了三视图还原几何体及体积求解问题，考查了学生空间想象,数学运算能力，难度一般.【解析】由奇偶性定义可判断出/(x)为偶函数，由单调性的性质可知/(力在 0,M)上单调递增，由此知/(x)在(7,0上单调递减，从而将所求不等式化为国1,解绝对值不等式求得结果.【详解】由题意知：/(x)定义域为R,一x)=l n(l +卜x|)=l n(l +W)-j =/(x),./(X)为偶函数，当x20时，/(x)=l n(l +x)-1 ,y=I n (1 +x)在 0,物)上单调递增，y=占y在 (),中)上单调递减，./(X)在 0,+a)上单调递增，则 x)在(-8,0上单调递减，由/(6/(1)得：国 1,解得：xl,X的取值范围为(F,-l)U(l,+8).故选：B.【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.10.A【解析】首先求得平移后的函数g(x)=sin+2夕 一，再根据sin-=s i n (2 x +求。的最小值.【详解】根据题意，f(x)的图象向左平移。个单位后，所得图象对应的函数g(x)=s i n 2(%+)-4TT TT-s i n(2 x +2夕-)=s i n(2 x +),4 4)1)i 7/JI所以2。丁,所 以 好 丘+又。0,所以。的最小值为“故选：A【点睛】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型.11.A【解析】求导得到尸(x)=,根据切线方程得到匕=a l n a,故 必 二 片 加。，设g(x)=f i n x,求导得到函数在0,”上(_ (单调递减，在屋1+8上单调递增，故g(x)m i n=g ”,计算得到答案.7 /【详解】f(x)=ex+b,则1(x)=e 1 取 e =a，(a 0),故 x()=l n a,/(毛)=.+。.故 a +)=a(l n a +l),故 =a l n a,ah=cr l n .设 g(x)=f l n x,g (x)=2 x l n x+x =M 2 1 n x+l),取 g (x)=0,解得 丫 =/.故 函 数 在 0,e 5上单调递减，在-5,+8上单调递增，故 gaZmUg e，,-1)，e.+X e2=(1,k)；又夹角为60。,：(g q 4)(q+入 G)=G-九=2 x J l+(xcos60,即 6 ，=J1+A2 9解得人=.3【点睛】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题.14.A 或 D【解析】分别假设每一个人一半是对的，然后分别进行验证即可.【详解】解：假设甲说：第 1 个盒子里面放的是B 是对的，则乙说：第 3 个盒子里面放的是。是对的，丙说：第 2 个盒子里面放的是。是对的，丁说：第 4 个盒子里面放的是A 是对的，由此可知第4 个盒子里面放的是A;假设甲说：第 3 个盒子里面放的是。是对的，则丙说：第 4 个盒子里面放的是。是对的，乙说：第 2 个盒子里面放的是8 是对的，丁说：第 3 个盒子里面放的是C 是对的，由此可知第4 个盒子里面放的是D.故第4 个盒子里面放的电影票为。或 A.故答案为：A 或。【点睛】本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、分析判断能力、归纳总结能力，属于中档题.15.4【解析】解：利用复数相等，可知由x 2=l,y =l 有 x+y =4.16.2【解析】s如 图 所 示，先 证 明 不 也、ABFOI A/7 Is I p I=&，再 利 用 抛 物 线 的 定 义 和 相 似 得 到 产=3两=2.I 8尸 IS.BFO I B F|【详 解】因为 Z A F O +Z-B F O =汽,:,sin Z A F O=sin A B F O.q所 以 十 及、ABFOJ AF|一两过 点A、B分别作准线的垂线，垂 足 分 别 为M,N,过 点B作于点E,设|BF|=m,|A F|=n,则|BN|=m,|AM|=n,所 以|AE|二n-m,因为左.=2及，所以|AB|=3(n-m),所以 3(n-m)=n+m,所 以4 =2.m所 以 学 卫二、&BFO A F _ n =2 B F m 故答案为：2【点 睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解 答 题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1)证明见解析；(2)2【解 析】(1)在A A B C中，利用勾股定理，证得又由题设条件，得到用，利用线面垂直的判定定理，证得ABJL平 面B C G 4,进 而 得 到A B _ L C ；得到2(2)设三棱台和三棱柱的高都为上、下底面之间的距离为力，根据棱台的体积公式，列出方程求得A B 1即可求解-A g 2【详 解】(1)由题意，在A A B C中，A C =2 A B =2,B C =g，所以 45 2+5 0 2 =A C 2,可得因为 4 4,8g,可得 AB 1.8 4.又由B C,u平 面B C C百，所 以A B,平 面B C C f,因 为C G u平 面B C C 4,所 以A5 J_ CG-(2)因为匕AE-BBlD-ABC-ED C|=4:3,可 得 匕BC-AMG:ABC-TG=7 ：3 ,令 SMBC=S，S”181G=S,设三棱台和三棱柱的高都为上、下底面之间的距离为/2,贝Q 匕AC-AMGABC-EDCIS h1，整 理 得6 S -3即6日-后T =。即 得 杼IA B即_2又 由A 5 =l,所 以A M=2.【点 睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与应用，以及几何体的体积公式的应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理，以及熟练应用几何体的体积公式进行求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.418.（1）见证明；（2）-7【解析】(1)先证明等腰梯形ABC。中AC，A 3,然 后 证 明 左_L A C,即可得到AC_L平 面 从 而 可 证 明 平 面P4C_L平面B4B；(2)由匕:棱 锥P”松=%棱 锥P-A5CQ，可得到S BE=S梯 形，列出式子可求出B E,然后建立如图的空_ 一/|i,!间坐标系，求 出 平 面 总 的 法 向 量 为 勺，平面PBE的法向量为%，由0$(勺,%)=圻 向 可 得 到 答 案.【详解】(1)证明：在等腰梯形ABC,ADBC,AD=AB=CD=2,易得 NA5C=60在 MBC中，AC2=AB2+fiC2-2 AB-BCcosZABC=4+16-8=12，则有 ABAC?=8。2,故 AC_LAB,又./5A_L平面ABC。，A C u平面ABC。，.124_LAC,AC 1 AB即AC 1 PA=ACJ 平面H R,故平面PAC_L平面BAB.(2)在梯形ABC。中，设BE=a,vy三 棱 锥=V ,q=qP-AAE-四 校 锥P-A3co，O 梯 形AEC。，1 （CEADxh:,-xB A x BEsinZABE=-，2 2而=2-f =A/3，m n 1 c 6 （4 a+2）x K .即一x 2 x a x =-,.a=3.2 2 2以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为丁轴，AP所在直线为z轴，建立如图的空间坐标系，则(3/?、4(0,0,0),P(0,0,2),6(2,0,0),E,0,J 2,_ _ (1 o /Q、_设平面Q4E的法向量为勺=(x,y,z,AE=-,-,0 ,AP=(O,O,2),由，可,变 得./AP1 3下）x+-y2 2-2z=0=0取x =l,得 y=z =0，.!=9I 9 J同理可求得平面P 8 一(百 的法向量为2=1，子，设二面角A-P E B的平面角为。，【点睛】本题考查了两平面垂直的判定，考查了利用空间向量的方法求二面角，考查了棱锥的体积的计算，考查了空间想象能力及计算能力，属于中档题.3 919.(1)无关；(2)：,.4 16【解析】(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有 25人，从而可得列联表如下：将 22列联表中的数据代入公式计算，得非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100叩53二 阴M铲1 0 0 x(3 0 x 1 0 -4 5 x 1 5)*1 0()=-=%3,0 37 5 x 2 5 x 4 5 x 5 5 3 3因为3.0303.841,所以我们没有充分理由认为“体育迷”与性别有关.(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率%由题意知 XB(3,J),从 而 X 的分布列为4X0123P3 9E(X)=np=-=.D(X)=np(l-p)=-20.(1)或 x，5；(2)a 16.【解析】(1)通过讨论工的范围，将绝对值符号去掉，转化为求不等式组的解集，之后取并集，得到原不等式的解集;(2)将函数零点问题转化为曲线交点问题解决，数形结合得到结果.【详解】(1)有题不等式可化为|x+2|+|2x1住 16,当xW 2 时，原不等式可化为一尤一2 2 X+1 2 1 6,解得xW；3当-2 x 4,时，原不等式可化为x+2 2 x+lN 1 6,解得x ，时，原不等式可化为X+2+2 X-1 N 1 6,解得x 三 5,2所以不等式的解集为卜1-(2)因为)=；15+2 x,尤 一2所以若函数y=/(%)。存在零点则可转化为函数y=/(%)与 y=a 的图像存在交点,函数.f(x)在(-8,g 上单调增，在g,+0 0)上单调递减，且/(g)=1 6.数 形 结 合 可 知1 6.【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有分类讨论求绝对值不等式的解集，将零点问题转化为曲线交点的问题来解决，数形结合思想的应用，属于简单题目.1.2,32 1.(1)y+y2=1.(x-l)-+y2=1.(2)y【解析】(1)先求解a,b,消去参数9,即得曲线G的直角坐标方程；再求解R，利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得曲线G的直角坐标方程；(2)由于可设A(g,e),Bp2,o0 A F 0B2 p；6 I 2 J【详解】(1)将及对应的参数9=?,代入/2 .7 1 b=1=bsm 2 4+、)，代入曲线G直角坐标方程，可得月，夕2，。的关系，转化C.2 n +CO S2 0,可得解.1 2 Jx=acos(py=bsin-(p所以曲线G的方程为!=&c s。，夕为参数，y =s m e所以曲线G的直角坐标方程为y+/=l.设圆C2的半径为R,由题意，圆G的极坐标方程为p-2/?co s (或+y 2 =收)，将点 代入夕=2 R co s。，得 l =2 R c o s 2,即 R =l,所以曲线G的极坐标方程为夕=2 co s 8,所以曲线G的直角坐标方程为(x-i)2 +/=1.(2)由于。4 _ L O 6,故可设A(g,e),B(0,e +日|代入曲线G直角坐标方程，-I 但 Pi2 co s2 0 2 .2 c,s i n2 0，,.可得-+P s m-。=1，+pl co s-6 =1,1 1 1 1所以|。十|08=后+后(co s2 0.，力，s i n2 0 2 cl 3=-+s i n-6 +-+co s-6 =-.I 2 J I 2 J 2【点睛】本题考查了极坐标和直角坐标，参数方程和一般方程的互化以及极坐标的几何意义的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.2 2.(1)证明见解析36【解析】(D取AC中 点 色 连 接/，冏，得。/J _ A C,A B _ L B C,可 得 必=F B =F C,可证D E 4冬。匠5,可得OFJ _所，进而。尸，平面AB C,即可证明结论；(2)设 E,G,H 分别为边 的中点，连 DE,EF,GF,FH,HG,可得 G F/A Z),G H /BC,EF /B C,可得N F G H（或补角）是异面直线A。与 所 成 的 角，B C 1 A B,可得EELAB,ZDE/为 二 面 角。一 A3 D的平面角，即/。砂=60，设AD=a,求解A E G”,即可得出结论.【详解】（1）证明:取AC中点色连接ED,E8,由 ZM=OC,则 QFLAC,vA B 1 B C,则 弘=用=/。，冗板&D F 哙&DFB,4 D F B =N D F A =一,2.D F 上 AC,D F 上 FB,A C c F B =F，万，平面A B C,又。E u平面ACO,故平面ABC_L平面ACO（2）解法一:设G,H分别为边CD,B。的中点，则 EG/AT）,G/8 C,Z F G H（或补角）是异面直线A。与8C所成的角.设E为边AB的中点，则E/M/BC,由 AB_L8C,知.L A B.又 由（1）有。尸，平面ABC,，QE_LA8,E F D F =F,A B 平面 D E F,D E AB.,所以NOEF为二面角C AB。的平面角，.NOEF=6（y，设 rA=OC=rB=a,则。/=A0NC4O=q2在 心）所 中，E F a2 3 6从而 G H=LBC=EF=U2 61-2在&V8DF 中，F H又2 2从而在 E G 中，因=.cosZFGHFG 6因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为6解法二:过点尸作尸M _L AC交A 3于点M,由(1)易知尸C,FD,F M两两垂直，以尸为原点，射线短分别为x轴，)轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系尸一冲z.不妨设AD=2,由C=AD,NC4O=30。，易知点儿。,。的坐标分别为4 0,-万,0),。(0,6,0),0(0,0)则 汨=(0,73,1)显然向量1=(0,0,1)是平面ABC的法向量已知二面角C AB。为60,设 8(加,0),则加2+，/=3,AB=(m,n+V3,0)设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),AD-n=0 y/3y+z=Q则 一 =/AB-n=0 a +(+J 3)y=0令y=l,贝!13=一 叶 乌1,一百m7由r-I k-ncos =.|.|=I I胭2由上式整理得91+2-21=0,解之得n V3（舍）或n Z?叵9,p f+4/6 7 G（）,而.D 士-,-,U.Co9 97士半，“|cc5 1=ADCBADCB22考6因此，异面直线AO与BC所成角的余弦值为也6【点睛】本题考查空间点、线、面位置关系，证明平面与平面垂直，考查空间角，涉及到二面角、异面直线所成的角，做出空间角对应的平面角是解题的关键，或用空间向量法求角，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.