考研--高数讲义.pdf

第一讲 极限与连续一、重要的概念1.极限定义(1)数列极限定义一(N)lima,-A：若对任意的 0,总存在N 2 0,当N时，有Al 0 0称A为数列an的极限，记lima“=A。H-Q 0(2)自变量趋于无穷时函数极限的定义一(一 S)lim/(x)=4：若对任意的 0,总存在3 0,当0lx alSx ia时，有l/(x)Al a时的极限，记lim/(x)=A。x T a(3)自变量趋于有限值时函数极限的定义一(X)lim/(x)=A：若对任意的 0,总存在X 0,当lxlXX T8时，有l/(x)Al 8时的极限，记lim/(x)=A。xfoo(4)左右极限的定义一/(a 0)：若对任意的 0,总存在3 0,当0a x 3时，有I/(x)A 1 0，总存在b 0,当寸，有I /(x)-4 1a(2)若/(x)在区间(a,6)内点点连续，且f(a)=f(a +0),/S)=f(b-O),称f(x)在区间 a,切上连续,记为/(x)e C a,b。4 .间断点的分类设f(x)在x=a处间断，则(1)若/(a 0)J(a+0)都存在，则称x=a为函数/(x)的第一类间断点，更进一步，1)若/(a 0)=/(a +0),称x=a为/(x)的可去间断点；2)若/(a 0)H/(a+0),称x=a为/(x)的跳跃间断点。(2)若/(a-0),/(a+0)至少有一个不存在，称x=a为函数/(x)的第二类间断点。二、重要定理(-)极限定理1 .极限存在必唯一性定理一极限存在必唯一(需掌握证明)。2.数列极限的有界性定理一若l i m%=A,则存在M0,对一切的，有(需掌握证明)。A T 83 .夹逼定理一设/(x)0,使得l/(x)K K,无e a,b。3 .零点定理一设/(x)e C a,句，且f(a)f(b)0,则存在使得/4)=()。4 .介值定理(1)设/(x)e C a,b ,对任意 w (其中为/(x)在 a,句上的最 小 值 和 最 大 值),存 在 使得/=7 7。(2)设句,且/(a)H/(b)(不妨设/(a)0 xx-0四、常用的马克劳林公式I?x(1)=1 +x+-+。(尤”)。2 n(2)si n x=x-+-+(-1)x2,+1+o(x2n+)3!(2n +l)!(3)c osx=_L+(Lx?+ox2n)。2!(2n)!10(4)=1 +x+厂+,+x”+)o1 -X1(5)=1 x+%20+(l)x +o(x)。1 +xx2(-l)I(6)l n(l +x)=x-F ,l-x+o(x”)o2 n八 、“，-1)2 a(a 1)(a +1),八(7)(1 +x)=1 +a x+-x2+-x+o(x)。2!！五、常见题型(-)求极限注解：求极限的方法方法一：重要极限方法二：极限存在准则方法三：等价无穷小方法四：马克劳林公式方法五：罗必达法则方法六：中值定理方法七：定积分1.l i m(-广。a rc ta n x arctan x x-arcian x解 答.H m()xTn(l+x)_ 4-X _ _ C ta n )-a r c-X jlx-ln(l+A-)arctanxa rc ta n x a rc ta n x-r-arctan xlim-xT().t-ln(l+.t)1 arctan x2.i 八 x x x-a rc ta n x x-a rc ta n xMx-l n(l +x)-，所以=h m-=21 i m-2 1。x-l n(l +x)a rc ta n x*一。r=21 i m=于是 l i m(-严=。XTO 3X2 3 1 0 1 +/3 a rc ta n x(i+-r2.l i m oX f+8 p3.设/(x)二阶连续可导，/(0)=4,l i m/S =0,求 liml+Z G)F。.-0%X TO%4.设/(x)在 x=0 的邻域内可导，且/(0)=4,求 limx)7 rlmd5.设为 =1当 2 1时,解 答:令/(-)二因 为 八 X)1 I1+X 1-I _ x _2 V x(1+x)2 0(x 0),所以%单调。又因为为=1,0 4 a,川 4 1,所以数列%有界，从而数列%收敛，令 lim%=A,则有A 一 A l 士1 +A 26.lim-1 In x sin 依X _ rAxx-1-1解答：lim-=-lim x-I In x sin 向lnl+(x-1)sinTZXlim.r-l(x-l)lnx _ i-lim7T I1U-1)2711 e+27.！吧一 1。解答：lim/+2)r-l =limx-03-1x2exln(l+limX TO=limX TO(x-l)ln l+(x-l)1(x-l)s in (x-l)33)_ 132Xx38.lim,-/71+sin x-J l+tan x解答：limx-0V1+sinx-V1+tanxlim 产X TO(Tan*)M +sEx +714-tanx)sin x-tan x2 lim U=21im x-t a n xsin x-tan x sin x-tanx2 limx-0 x-tan xx3x3sin x-tan x因为limx-0 x-tan xx3limS O1-sec2 x 13x23limx3limXx220 sin x-tanx sin x cos x-1cosx=-,所以lim2lan x1V1+sinx-7 1 +tan x 3,1TEEcos2 XX2)o10.limX TO1xln(l+x)ex -1 解A”心答：h mr-1 -；x 、=h m e*；-1-x-l-n-(-l-+-x)-=li m-6-?-1 -x-ln-(-l-+-x)-,i o ln(l+x)ex-1 io(/_ i)n(l+x)x32j r4r2由e=1+/+一+。(/)及 n(l+x)=x +o(x2),得2!2e*-1 =x H-I*o(x4),xln(l+x)=x-+o(x)，2 2从而ex-l-xln(l+x)=+o(x3),于是li m-?-J =。2-o lnQ +x)/-1 211.li m/+=T-1-+4+16 7 n2+4n212.li m(l+-)(1+-)-(!+-)om s n n nt u/,k z r a i.2x+n x +2 n13.求常数 使得 h m-=5。(m -2,/z =8)I 1 x+(m+2)x-1 A14.设f(X)=li m(如 口 s i g,求/(X)的间断点并指出其类型。f s i nx./x.sin x x x解答：首先/(X)=li m(QNin)ts i n，f i nx Qin t -Sin X-=H m(1+)sin,-sin.t sin x=sinxf s i nx f s i nx其次/(x)的间断点为x=0,l,)，因为li m/(x)=e，所以x=0为函数/(x)的第一类间断点中的可去问断点，x=*7(A =l,)为 函 数 的 第 二 类 间 断 点。15 .设/(X)在 a,瓦|上连续,任取者且兄/?(i =),任取匕0(i =l,2,-,n),证明:存在句,使得 klf(xi)+k2f(x2)+-+knf(xn)=(kl+k2+-+kn)f )。第 二 讲 一元函数微分学一、重要的概念1.导数一设y =/(x)的定义域为。，xoeD,记A y =/(/+&0-/(而)，若li m包 存在，称y =/(x)在点与 处A x可导，其极限称为函数y =/(x)在点X。处的导数，记为尸(后)或 包 。d x 2.左、右导数一若li m/(X o+)-/(/)存在,称=/(x)在无 处右可导，记为人(/)；A x-+0 A%若li m/(&+八*)二)(如)存 在,称 =/(X)在 与 处左可导，记 为/(%),函数y =/(x)在 与 处可导的充分必要A x-0 A X条件是其左右导数都存在且相等。注解：导数的其他定义(1)r(x(,)=li m x。+)/5)；TO M(2)=li m+；/0 h(3);(x0)=li m/(x)_，(x。)。XT%X-Xo2.可微一设y =/(x)在/的邻域内有定义，若 )，=4 6+。(A t),称y =/(x)在X。处可微，其中A A c称为函数y -/(x)在x0处的微分，记为d y I V=J(=A A r ,习惯上记为d y I t=A=Ad x 二、重要的定理1.若函数可导，则函数一定连续。2.可导与可微等价。3.四个中值定理(1)罗尔中值定理一(2)拉格郎H中值定理(3)柯西中值定理(4)泰勒中值定理三、重要公式(一)基本求导公式(二)四则求导法则(三)复合函数链式求导法则四、元函数微分学的应用(一)单调性与极值(二)最值(三)凹凸性(四)弧微分、曲率与曲率圆1.弧微分(1)(1)若 L:y =/(x),则 d s-Jl+f xd x；若L:7一 次),贝Id s=J +*d t；y =(3)若 L 7=，则d s=y lr 0)+r2(0)d 0。I vw I12.曲线的的曲率 K=)二；3.曲线的曲率半径为/?=；(1+为5 K4.曲率圆(1)定义一设函数/(x)在Xo处有二阶导数，且1r(X。)力0,记尸(与，打)为曲线y =/(x)上对应于X。的点，若圆L在点尸(公,打)满足：与曲线y =/(x)相切；与曲线y =/(x)有相同的凹凸方向；与曲线y =/(x)在点尸(飞,打)处有相同的曲率半径，称圆L为曲线y =/(x)在点尸(Xo，y。)处的曲率圆。(2)曲率圆的中心曲率圆中心(a,Z?)必在曲线=/(x)在尸(x0,为)处的法线上，所以有。一/=一/(%)(6 0)。r、2 r(l+/，2(x0)2 2/(Xo)U+/2(Xo)又-/(X。3 -)+(b -0)=、1 则。=X。-，b =y(Xo)l/(%)例子I f2x.41.求曲线y =2-f招T 力在点(0,2)处的曲率圆。2 J)解答：+2)2=1 6。(五)渐近线五、常见的题型,ac1.设/(%)在 x =-j.B+.f(a+3h)f(a 2h)Q 处可导，求l i m-oA-0 h2.设/(x)连续，且 对 任 意 的 有/(x +y)=/(x)+/(y)+2盯,/(0)=1,求/(x)。3.y=esi n x,求d yJ(si n2 x)4 .设/(x)二阶可导，且I i m/=1J(O)=2,求。x-0 x x-0%，pX +Z 7 Y X 06.=/（争4）,广。）=侬1+/）,求 知 日2x +1 d x7.x=a n ta n-2,求y =a si n t(=-co s2rsi nr)d x d x al n(l +x)-X ()8.设/(x)=*，求/(x)并讨论/。)在x =0处的连续性。l,x =O9 .设/(x)连续，9(x)=f/()力，且l i m/=A,求“(x),并讨论(x)在x =0处的连续性。J)x-0 X10 .F(x)=f dy 言,求 尸(x)。11.设/(x)连续，且g(x)=f/(x-f)力，求g (x)。12.设e -x+y 2=0确定函数y =/(x),求/(0)。13.设户 =Jx?+J ,求 生。d x14 .X=夕。)是丁=/(幻的反函数，/(无)可 导,且 尸(x)=e*+x+i,/(0)=3,求夕(3)。15.选择题(1)设/0()=/(而)=0,/(/)0,则下列正确的是()(A);(/)是f M的极大值；(8)/(x0)是/(x)的极大值;/(%)是/(x)的极小值；(。)(与(%)是=/(口 的 拐 点。(2)设/(x)在x =0处二阶可导，且+=2,/(0)=0,则()10 X(A)/(0)是/*)的极大值.(B)/(0)是/(x)的极小值.(C)(0,/(0)是曲线y =/(x)的 拐 点.(D)/(0)不是/(x)的极值点，(0,/(0)也不是曲线y =/(x)的拐点.(3)设/(x)二阶连续可导，且l i m/0 =l,则()XT0 X(A)/(0)是/(x)的极小值；(B)/(0)是/(x)的极大值；(C)(0 J(0)是曲线y =/(x)的拐点；(。)=0是/。)的驻点但不是极值点。16.设/(X)在 a,加上连 续,f(a)=f(b),又 H(a)(b)0,证明：存在族 e(a,b),使得/)=/(a)。解答：因为4(a)S)0,所以(a),(。)同号，不妨假设H(a)0,S)0,由/：(a)0,存在花1(4,6),使得/(项)/(a);由 二(b)0,存在e S,。)，使得/(x 0,(p(x2)=f(x2)f(a)=f(x2)-/(b)0,证明：存 在 欠(。/)，使得/(0)b 2/(a)=(a 研|/4)(&)。19.设/(x)在 0,1上 连 续,在(0,1)内可导，K/(0)=l,/(l)=0,证 明:存 在Je(0,l),使得2/+仔 钻)=0。20 .设/(X)在 a,句 上 连 续,在 他力)内可导，且/(a)/3)0 J(a)/(审)0)上有四阶连续的导数，且l i m/年 存在。X TO(1)写出/(X)的带拉格朗日余项的马克劳林公式；(2)证明：存在可看2 e -a,a,使得7(4)()=6 0f/(x)Jx。4厂)=120/6)26 .设/(x)在a,b 上满足l/(x)K2,且/(x)在(a/)内取到最小值，证明：l +S)K 2(b a)。27 .f(x)e CO,1,/(O)=/(I)=0,mi n f(x)=-1,证明：存在 Je(O,l),使得了 )2 8。0 xl28.设/(x)在0,1上二阶可导，(x)K l(x e 0,1),/(O)=/，证明对对任意的 x e 0,1,有29 .设/(x)在0,1上二阶可导,且l/(x)Ka,l/(x)Kb,其中a力都是非负常数，c为(0,1)内任意一点。(1)写出/(x)在犬=c处带La g r a n g e型余项的一阶泰勒公式;b(2)证明：l/X c)2a+.(19 9 6 年真题)30.设函数/（X）在。，加 上二阶可 导,且/=4 3）=0。证明：存在J e力），使得4（b-a Y解答：由泰勒公式，得/（丁 一）=/（）+-（；一。）2,卷3-丁）,2 2!2 2/（等）=/3）+/答（6）24 2 s（甘力），两式相减，得f（b）-/（）=也 （幻-f&）=s）-/（）K 匕*【I 1m）+&）|当）凶 尸6）OO4时,3,则有7(4当小）时，取一，则有31.设/(x)在0,1上二阶可导，/(0)=/(l)jai fx)1 0,证明：对任意的。0力 0,有f(a+()/(a)+f S).33.设/(x)二阶可导，lim =1 且/(x)0,证明：当X KO时，/(x)x,x-0 X、口 ,八、十1 。2(h-a)34.设。0,证明：In-0a a+b证明：ln-2Q)-a)。(In/?-Ina)(a+b)23 a)0。a a+b令/(x)=(Inx-ln d)(a+x)-2(x-a),f(a)=0。fx)=1 +lnx-lntz-2=-1+lnx-lnax x/Q)=0,上”/、1 a(x-a)八“、f U)=-r=；O(bxa)tX X X由甘)=。f (x)0(x a)=f(x)0(x a)3)=0再由=/(x)0(x a),而b a 0,所以7 3)0,/(x)O(xa)即(lnZ?-ln a)(a+b)-2(b-a)0,从而 ln-迎 二 色。a a+h35.设0 Q b,证明:2a nh-na 1?-(a+b b a y cib证明：首先证明nb-nab-a1m因m 为l-n-O-l-n-a-.1 (ZI1 n h7 I,n d)x b；-a 0八 ,所二 匚 以e 令人 夕(/x)、=I1n x I1n C L x；-a,b-a N ab ab y/xa0(a)=0 (p(x)=一 ；(=+&)=_ (五 一 a),x y/a 2v x 2x x 2x ax由(p(i)0 In/?In 4 Z 1=(x)a),而b。，所以e S)0,即-；=o“(x)a)b-a 瓢再证2aa2+b2 n b-n ab-a方法一：因为-J J-0,所以a+/?-b-a令 fM=(x2+2)(ln x-ln a)-2a(x-a f(a)=0,f x)=2x(n x-n a)+x+-2a=2x(ln x-ln r z)+的-0(x a)。x x由,/(。)=n/下(,x、)z0(x a、),r因a为d 7 a,u所u t、以i r/3i )/(/.a/)=0M ，即Hn 一 2a-y 0(x a)a+b b-a方法二：令/(x)=ln x,则存在g e(a,b),使 得 独 二 小=!，其中0 aJ /所以b-a 4 g b a+/?2。n b-ln aa2+b-a 1 )36 .证明不等式x a r c t a n x Nln(l+x)。237 .设 f(x)在 0,+s)内可导且 f(0)=l/a)/a)(x0),证明：/(x)0)o证 明:令0(劝=6一了(%),则0(x)在 0,+8)内可导,又夕(0)=1,(p x)=e-x f x)-/(x)0),所以当 x 0 时，(p(x)(0)=1,所以有/(%)0)。x y x+y38.证明：对任意的x,y e R,且xWy,有；6 2。39 .设/(x)在 a,+8)上可导，当了 。时-，f(x)k 0,/(a)c c41.设/(x)在 0,1上二阶可导，且/(0)=r(0)=_/1)=/(1)=0,证明：方 程/&)一/。)=0在(0,1)内有根。证明：令9(x)=er(x)+/(x)。42.设人为常数，方程依一工+1 =0在(0,+o o)内恰有一根，求k的取值范围。X解：令/(X)=h-+l，/(x)=攵+!，X (0,+8)。X X(1)若左 0,由li m/(%)=-8,li m/(%)=+8 ,又/(%)=女+30,所以原方程在(0,+8)恰有一个实根；Xf0+(2)若左=0,li m/(x)=-o o,li m f(x)=1 0,又/。)=二 0,所以原方程也恰有一个实根；A-0+Xf+X(3)若Z 0,li m/(x)=-c o,li m/(x)=-o o ,令尸(x)=攵+4=0 =/=,XT0+2内 x y l-k又/)=W 0。43.证明方程In x =土 /J1 c o s 2xd x在(0,+o o)内有且仅有两个不同的实根。第 三 讲 一元函数积分学一、重要的概念1.原函数一设尸(X)与 龙)为两个函数,若尸(x)=/(x),则 称/(X)为/(X)的一个原函数。注解：(1)连续函数一定存在原函数；(2)有第一类间断的函数一定不存在原函数，有第二类间断点的函数可能存在原函数；(3)任意两个原函数之间相差常数。2.不定积分一设/(x)存在原函数，则其所有的原函数称为/(x)的不定积分，记 为J/(x)dx,即J/(xM x=F(x)+C o注解：(1)i f xd x-f x)；(2)f /(x)J x=f(x)+C od x JJ d x3.定积分二、重要的定理1 .积分基本定理的引理设/(x)w C a,b,令(x)=f/(f)力，贝ij (x)=/(x)；2.积分基本定理设/(x)eC a,。,且尸(x)为/(x)的一个原函数，贝ij /(x)dx=F(b)E(a)。三、重要的积分性质()定积分基本性质L f(x)g(x)d x=f(x)d x f g(x)dx；2.kf xd x=女 j f xd xk=con s ta n t)；3.f/(x)dx=/(x)dx+f/(x)dx；4.jdx=/?-；5.设/(工)20(。工1 g(x)(。x g(x)d x；推论2 若b a ,贝 1 1/(x)I d x；6.设/(x)在 a,加上可积，S.m f(x)0；(3)若/(x)C T“向，/(x)Ng(x),且 x)与g(x)不恒等，则 f/(x)dx f g(x)dx；9 .设/(x),g(x)eC a向，贝i j(f/(x)g(x)dx)f(x)d xg(x)d x o(二)定积分的特殊性质兀n1 .设/(x)为连续函数，则E/(si n x)dx=f/(c o sx)dx,特别地，a n n 1 7 1Jr)si n A Z/X=Jr)c o sxd x-In,且/=-/-_2，A)=2=1 ；2.si n xd x=2 Psi n xd x=21 n；3.0；岫=2?晨 处,为 偶 数,;|o,为奇数；n4.1/(si n x)dx=T1/(si n x)dx=万/(si n x)J x；5.设/(x)是以T为周期的连续函数，则对任意的实数a有(1)f(x)d x=/f (x)d x；6.设/(x)w C a,a,则(2)Tf(x)d x=f(x)d x-.(1)；/(x)dx=(x)+f t-xd x；(2)若/(-X)=/(x),则 J(x)dx=2 1 /(x)dx；(3)若/(x)=(x),则/(x)J x=0oJ-a四、积分法1 .换元积分法；2.分部积分法：|w i/v =M V -JV/H,五、定积分的应用1.平面区域的面积u d v=u v I*-J vd u。(1)设。=(x,y)la 4x b,夕(x)4y 4夕2(苫)，则 A =，9 2(X)-9I(X)WX；(2)设。=(仇广)1a0 4,0 夕(。),则a =g/p i e)d e；(3)D =(0,r)a0/3,p r 0(x e a,b),则L绕x轴一周所得旋转曲面的表面积为A =24 f x)J l+:3公；2.旋转体的体积L：y=/(x)(a x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为匕=万/妙，Vy=2万 j xI/(x)I dx(O a b)；3.截口面积已知的几何体的体积设几何体。位于x=a与尤=8之间(a与，对任意的xw a,W，其截口面积为A(x),则该儿何体的体积为V =A(x)d x。4.曲线段的长度(1)设 L:y=/(x)(tz W b),则 ds=J 1 +f(x)d x,/=j ds=J 1+f x)d x；(2)设L:x=)(a 4f ),则 ds=J i f)+“jf)力,/=f ds=4%)+%)力;y=帕)上(3)设 L:r=厂(夕)(二 W 6/?),则 d s=J r(/)+r，)d，,I -r(0)+r0d O o六、常见题型1 .计算下列不定积分/、5-x,r d x(1)f t=d x；(2)-；J/+x+1 (2-X)7 1-X(3)-d x；，.2 Xl +c o sx+si n -2,、rsi n x+c o s2 x,(4)-d x；J 1 +si n xr 1(5)_ 2 _HYJ si n 2xc o sx(7)r a rc ta n x,Jx2i (l+xr2)C UC ,“、r v 1 +si n x,(6)e-d x；J 1 +C OS X(8)jx2 a rc ta nxd x o2.设函数/(%)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是()/廿。)-/(-6力;(C)/()力；0)+/(7)力;(D)尸 力。乃 3 2,、t 狂”,si n x si n 尤、,3.(1)计 算 日 r+-)d x；%1+x 1+e(2)g zsi n7 x-：-)d x；1 +c o sx(3)卜4-J l-x2d x；(5)-COd x(X-1)4A/X2-2X4.设 y=a rc ta n(x-l)2,y(0)=0,求，y(x)dx。i5.设/(x)在 0,1 上可微，且/=2 8”/。)公。证明：存在0)为周期的连续函数，且/(x)N 0,证明：i m-f%+o o x 山 T b8.设/(x)在 上 连 续 且单调增加，证明：巴/j/(x)d x。9.设/(x)在0,2上连续，在(0,2)内可导，/(0)=/=0,且|/(x)K 2,证明：I f/(x)d x K 2。10.设/(x)e C a 力,/(a)=0,证明：f x)d x (/?-Q)f(x)d x11.设/(x)e C a,切,/(x)在口,功上可积，/(a)=/(/?)=0,证明：(x)K g，/(x)Mx。12.设广(x)e C 0,a J(0)=0,证明：|/(x)d x 4 竺/,其中 M=m a x|/(x)|。|J)2 o x 13 .设f(x)在。，句上有定义,对任意x,y e a,切，有(x)-/(y)K l x-y I,证明：(1)/(x)w C a,b；(2)I f/(x)d x S a)/(a)K，6 a)2。14 .设a0J(x)w C 0,a,证明：(0)匕，(彳)|办+(x)l d x。15 .设曲线了 =。+一/,其 中。0时，该曲线在x轴下方与y轴，x轴所围成图形的面积和在x轴上方与x轴所围成图形的面积相等，求a。解：设曲线y =a +x /与x轴正半轴的交点横坐标为a,6(a 夕(4 a +2 Q 3)=0,因为夕 0,所以4 a+2尸一尸3 =0。由因为(尸,0)为曲线y =a +x-/与x轴的交点，所以有=0,从而有(3=-3a=a -3 a +27/=0=a =16.过曲线y =F 匕点A作切线，使该切线与曲线及x轴围成的平面图形。绕x轴旋转一周所成旋转体体积为18万。(1)求A点的横坐标；(2)求平面图形。的面积。17 .(1)抛物线y =l-2与x轴所围面积被抛物线y =a x 2三等分，求a；(2)当。取该值时，求两条抛物线所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得立体的体积。18.设一抛物线y =a，+x+c过点(0,0)与(1,2),且。0,确定a,b,c,使得抛物线与x轴所围图形的面积最小。解：因为曲线过原点，所以c=0,又曲线过点(1,2),所以a +b =2,b =2 因为a 0,抛物线与x轴的两个交点为0,-2,所以S(a)=0(狈2+次)公=占=生 半。令S (a)=O,得a =4,从而8=6,所以当。=Y 力=6,c=0时，抛物线与x轴所围成的面积最小。19.设 函 数/(x)(x N 0)可微，且/*)0。将曲线y =/(x)、x =l、x =a(a 1)及x轴所围成平面图形绕x轴旋转 一 周 得 旋 转 体 体 积 为?九 一/。若/=:求：“X)；(2)/(X)的极值。解：(1)由题设知，f x d x -a2f a-f(y),两边对a求导，得J 33/2 =2)+a2f(a)=r(a)=2广 ，,aA-f-(-。-)=u f t(/a)=+a d u a d u =3o 2 -3ou 1i 1 =cci 2,Bn|1n fr(za)=-,a d a d a u 1-ca1x由/=2,得c=_ l,所以=因为/(x)=:_ 2：J”(x)=6：。3 ：2),令广(x)=0,得了=上，(1+x3)2(1+x )V 2又因为/(击)f x)-/(x)=-1=f(x)=x+cx2 ox设平面图形。绕X轴旋转周所得旋转体的体积为V ,则V(c)=7V+ex2)2d x-乃(；+-)，V c)=7 r(g +c)=0=c=一,因为V (c)=2 2 0,所以c=*为V(c)的最小点，且曲线方程为/(x)=x 2/。5 4 4(2)/(x)=l *x,r(0)=1,曲线/(x)=x 9/在原点处的切线方程为=%，2 4则4 =f x -(x -x2)d x-oJ 4 1221.设平面区域A由/+y 2 0,y(0)=1。过y =y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及过该点作x轴的垂线，上述两条直线与X轴所围成的三角形的面积记为,，在0,x 上以y =y(x)为曲边的曲边梯形的面积记为S 2,设2S I -2 =1,求y =y(x)的表达式。23.设/(x),g(x)e C l a/,且 g(x)为单调函数，j /(x)d x =f/(x)g(x)d x =0,证明：函数/(x)在(。/)内至少有两个零点。第四讲空间解析几何一、向量的运算(-)几何刻画1.向量加减法2.向量乘法(1)数与向量之积；(2)向量的数量积：=1 a I I B I c o s(a,B)；(3)向量的矢量积：axh(二)代数刻画设=外,，6 ,1 =的 也，则(1)ah =a a2,h b2,c1 c2；(2)a-b =aa2+bh2+cc2；b2 c2 c2 a2 a2 h2注解：(1)=aa2+bh2+c1c2=0；-*n h c(2)a 匕 o a x b=0 u =-；a2 b2 c2(3)I a x 1=2 sA 二、向量的应用I.平面方程(1)点法式方程；(2)截距式方程;(3)一般式方程。2.直线方程(1)一般式方程(2)点向式方程(对称式方程)；(3)参数式方程。三、距离问题1.两点之间的距离2.点到平面的距离3.两平行平面之间的距离4.点到直线的距离5.两异面直线之间的距离。四、常见的题型1.求过点(2,0,-3)且与直线x 2 y +4z 7=0。二c ,八垂直的平面方程。3 x +5 y-2 z+1 =02 .求过原点及点(6-3,2)且与平面4 x-y +2z =8垂直的平面方程。3 .设4：=与2 =三 二/,&：等=彳，求过4平行于心 的平面方程。x =2 1 +3r 1 v+2 7 -24.求过点A(3,2,l)且平行于右：=-=-及L,平行的平面方程。1 -2 1z=1 05.点M(3-4,4)到直线=二=的距离为。2 -2 1,x +3 y +2 z+5 =06 .设直线及 平 面%：4x-2 y +z-6 =0,则直线L ()2 x-y-1 0z-1 2 =0(A)平 行 于 平 面).(B)在 平 面 乃 匕(C)垂直于平面).(D)与平面乃斜交.7 .设点4(1,一1,1),8(-3,2,-1),。(5,3,-2),判断三点是否共线，若不共线求过三点的平面的方程。8 .求经过平面可：x +y +l =0与乃2 ：x +2 y +2 z=0的交线，且与平面1 3 ：2 一y-z=0垂直的平面方程。解答：设经过两直线的平面方程为万：x+y +l +/l(x +2 y +2 z)=0,即乃：(l+/l)x +(l+2/l)y +2/lz+l =0,因为平面不与平面巧：2 x y z=0垂直，所以有 1 +41 +2 4,2/1 2,1,1 =0,即 2 +2 2 1 2 2 2/1 =0,1 3解得几=一，所 求 平 面 为 乃：2 x +2 y +z+l =0。2 29 .求过A(l,2,3)垂直于L ：2=工=三且与平面乃：7 x +8 y +9 z+1 0=0平行的直线方程。4 5 6%1 v 7 31 0.求直线乙：上=上=土，在平面乃：x 3 y +2 z 5 =0上的投影直线。2 -1 1解答：直线L:三)-1z-3x-1 _ y可改写为2 Ty z-3.丁一r或者x+2 y-1=0y+z 3=0过直线L的平面束为万：x +2)，-l +/l(y +z 3)=0,或乃：x +(2 +/l)y +/lz l 3/i =0,由 1,2 +4 1,3,2 =0得九=一5 ,所以过L垂直于乃的平面方程为k:x -3 y -5 z+1 4=0,投影直线为x-3 y-5 z+1 4=0 x 3 y +2 z 5 0i i .求 两 异 面 直 线：T=工土2 =三与：二=2 Z =3之间的距离。1 4-31-2 9 21 2 .设点M(l,1,-2),“2(1，。，3),%(2，1，2)，求点“3到向量 附2 的距离。1 3.设曲面2:+2 +彳=1及平面乃：2%+2/+2 +5 =0。(1)求曲面E上与万平行的切平面方程；(2)求曲面Z与平面%的最短和最长距离。/72解答：(1)设切点为加。(%。,汽,%。)，令/+y 2+:一1,则切平面的法向量为7 =%,2)，0，年 ,因为切平面与平面万平行，所 以 包=也=生，令 包=2九=&=.，2 2 2 2 2 2得X o=2 f,y o=f,Z o=2 f,将其代入曲面方程，得，=土;，所 以 切 点 为 及(1,g,1),平行于平面万的切平面为乃:2(x-l)+2(y -g)+(z 1)=0,即 匹：2 x +2 y +z-4=0,7 2:2(x +1)+2(y +g)+(z+1)=0，即 可：2 x +2 y +z+4=0。I 2 x l+2 x-+l +5 l 1 2 x(l)+2 x()+lx(1)+5 1 .(2)dx=-j 2=-=3 ,=-2=-=,V 22+22+l-7 22+22+l 3则曲面2与平面冗的最短和最长距离分别为1与3。31 4.设 直 线L：T=22=Z。(1)求直线L绕z轴旋转所得的旋转曲面；(2)求该旋转曲面介于z=0与z=l之2 1 1间的几何体的体积。解答：(1)记直线L绕z轴旋转所得的旋转曲面为Z,设M(x,y,z)为曲面Z上的一点，过点M作与z轴垂直的平面,交直线L及z轴于点Mo(x0，%,z)及T(0,0,z)，由 I M 0T 1=1 M 7 I 得炉+尸=x；+y；,%=2z,将.j o=2+z注意到则包二l=二2即%0 =1c +2 z代入上式得U o=2+ZZ:x2+y2=(1 +2Z)2+(2 +Z)2,即2:/+丁=5 z2+8 z+5o(2)方法一对任意的zw 0,1,截口面积为4仁)=1，+)/)=万(5 2 2+8 2 +5),则V =A(z)d z=万，(5/+8 z+5)d z=。方法二x =1 +2 rX 1 V 2 7令=2一=-=t,则4y =2 +f,当z=0时，r=0；当f=l时，f=l。2 1 1设朋(1 +2，,2 +甲)为 曲 面2上任意一点，则截口面积为S(f)=加=加(1 +2.)2+(2 +。2=万(4产+8 +5),则体积为v=s(，)d t =万。第 五 讲 多元函数微分学一、重要概念1 .偏导数一2 .多元函数的极限一3 .连续一4.可全微一5 .方向导数一6 .梯度一二、连续、可偏导、可微及一阶连续可偏导之间的关系1 .关系图2 .结论的证明3 .反例(1)/(x,y)=旧+y 2在点(0,0)处连续,但不可偏导。(2)U，(x,y)H(0,0)f(x,y)=i x2 +3y2 在点(0,0)处可偏导，但不连续。(2)Z =/(/+y2)+g(xy,2),其中/二阶连续可导，g二阶连续可偏导，求存。x d xd y(3)=f (x,y,z)有连续的偏导数，且 =z(x,y)由方程泥 -确定，求d z。(4)设z =/(一+从 职尤)，其中,(,匕卬)二阶连续可偏导，求d xd y0,(x,y)=(0,0)(x2+y2)si n-r-,(x,y)H (0,0)(3)f(x,y)=i x2+y2 在点(0,0)处可微，但一阶偏导数不连续。0,(x,y)=(0,0)三、求偏导数的类型1.显函数求偏导2 .复合函数求偏导3 .隐函数及隐函数组求偏导。四、多元函数微分学的应用(一)儿何应用1.空间曲面的切平面与法线2 .空间曲线的切线与法平面(二)代数应用1.无条件极值2 .条件极值五、常见题型1.求下列偏导数：(1)设z =(%2+y2)e x,求d xd y2 .设函数/(x,y)可微，/(1,1)=1,/；(1,1)=2,(1,1)=3,令g(x)=/(xj(xj(x,x),求g,g 。3 .设“(X)由方程，=/(,)*“,乂7)=0,(乂2)=0确定，且.娄X0,求 包。d z d y d x4.设y=/(x,f),，由夕(x,y,f)=0确定，其中八夕为可微函数，求 也。5 .设=/(z)，其中z是由z =y+x(z)确 定 的 的 函 数，其中/(z)与(z)，证明：=(p(z)od x d yxM 分26 .设 =盯#=,以#为自变量，变换方程一 甘2若=0。、，a”/A.1d z&d u d z d v 及 1 d z解：=-1-=y-1-d x d u d x d v d x d u y d vd y d u d y d v d y d u y