河北省泊头市2023学年高考数学倒计时模拟卷含解析.pdf

2023年高考数学模拟试卷考生须知：1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知定义在R上的可导函数/(X)满足(1T)-_/(X)+X/(X)0,若 y =/(x +2)-/是奇函数，则不等式叱/*)-26 川 b c B.a c b C.b a c D.b c a3 .已知直线/:x +m2y =o 与直线：x+y +机=0 则，/，是，加=i”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4 .已知a,是两平面，/,in,”是三条不同的直线，则不正确命题是()A.若 m_La,nil a,则/_L B.若机a,nil a,则，”C.若 L L a,U/p,贝!|a _ L/D.若 a/，且/a,则小5 .已知 a“为等比数列，%+。8=-3,a4ag=-18 ,贝!|4 +4|=()21 21A.9 B.-9 C.D.2 46.抛物线V=2 x的焦点为尸，则经过点尸与点M(2,2)且与抛物线的准线相切的圆的个数有()A.1个 B.2个 C.0个 D.无数个7.集合A =-2,-1,1 乃=4,6,8 ,=幻 =。+人力氏5 ,则集合加的真子集的个数是A.1个 B.3 个 C.4个 D.7 个8.1 9+的 2的展开式中d 的系数是一 1 0,则实数用=()A.2 B.1 C.-1 D.-2,x 0|9.已知函数若函数g(x)=.f(x)-女(x+R在R上零点最多，则实数Z的取值范围是()-X2-2X,X0),8=yGNy=x-L xG A),则 A U 8=()x+2A.-1,0,1,2,3 B.-1,0,1,2 C.0,1,2 D.x-lr：kx y=.(1)求G与 的 极 坐 标 方 程(2)若G与G交于点A，G与 a交 于 点|。4|=川0却，求之的最大值.19.(12分)在A A B C中，设。、b、c分别为角A、B、C的对边，记A 4 B C的面积为S,且25 =通 蔗.(1)求角A的大小；4(2)若c =7,c o sB=,求。的值.20.(12分)已 知。，均为正数，且 灿=1.证明：(1)y/a2+b2 (-+2 a(2)Z+a b21.(12分)已 知 点P是抛物线。：丁 =7*2-3的顶点，A,3是。上的两个动点，且 丽.丽=-4.(1)判 断 点 是 否 在 直 线A3上？说明理由；(2)设点”是 Q钻的外接圆的圆心，点M到x轴的距离为d,点N(l,0),求|M N|一。的最大值.22.(10分)如图，已知四棱锥PA B C。的底面是等腰梯形，AD/BC,A D =2,3 C =4,N A B C =6 0。，PA D为等边三角形，且点尸在底面A B C。上的射影为A Z)的中点G,点E在线段8C上，且C E:B =1:3.(1)求证：E _ L平面 P A D.(2)求二面角A-P C 。的余弦值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】构造函数g(x)=/,根据已知条件判断出g(x)的单调性.根据y =/(x+2)-/是奇函数，求得“2)的值，由此化简不等式x-/-2产”o,所以g(x)在R上递增.由于y =/(x+2)e 3是奇函数，所以当x=0时，y f(2)-e3 Q,所以2)=e 3,所以g=岑_=2e.e由x/x)-2e，“0得g(x)=2?D 2 e=g ，所以x 2,故不等式的解集为(，,2).故选：A【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.2.C【解析】3 3 3根据函数的奇偶性得=/(_ 28 =/(25)，再比较6,2?,l og,9的大小，根据函数的单调性可得选项.【详解】3 3 3依题意得4=/(_ 23)=/(25)，：逐 次=2夜=25 3=l og2 8 l,所以y =e，在R上单调递增，又 =x在R上单调递增，所以f(x)在 0,+8)上单调递增，3/(l og2 9)F )以 后),即8 a c，故选：C.【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用、幕、指、对的大小比较，以及根据函数的单调性比较大小，属于中档题.3.B【解析】利用充分必要条件的定义可判断两个条件之间的关系.【详解】若/，则 l xl =/xl,故加=1或2 =-1,当机=1时，直线/：x+y =O,直线：x+y+l =O,此时两条直线平行；当m=一1时，直线/：x+y =O,直线：x+y-l =O,此时两条直线平行.所以当/时，推不出2 =1,故“”是“2 =1”的不充分条件，当机=1时，可以推出/，故“/九”是“6=1”的必要条件，故选：B.【点睛】本题考查两条直线的位置关系以及必要不充分条件的判断，前者应根据系数关系来考虑，后者依据两个条件之间的推出关系，本题属于中档题.4.B【解析】根据线面平行、线面垂直和空间角的知识，判断A选项的正确性.由线面平行有关知识判断B选项的正确性.根据面面垂直的判定定理，判断C选项的正确性.根据面面平行的性质判断D选项的正确性.【详解】A.若/。，则在a中存在一条直线/,使得/，m a,l u a，则m_ L/,又/，那么m_ L，故正确；B.若 m l la,n!l a,则或相交或异面，故不正确；C.若/,则存在。=4，使/a,又:.a a,则。，尸，故正确.D.若a/，且/a,则/u尸或/4,又由/二尸，.-./?,故正确.故选：B【点睛】本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性的判断，属于基础题.5.C【解析】根据等比 数 列 的 下 标 和 性 质 可 求 出 火，。8,便可得出等比数列的公比，再 根 据 等 比 数 列 的 性 质 即 可 求 出 生+。【详 解】V 4+9 =5 +8,a.=-6 as=3二=。5%=T 8,又 名+6=-3,可 解 得 或 =3 4=6设 等 比 数 列 4 的公比为夕，则当%I 时，73=-2,.-.a2+a =-+a83=-+(-6)x(-2)=-.ag=-6 a5 q-2 2故选：C.【点 睛】本题主要考查等比数列的性质应用，意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.6.B【解 析】圆心在尸例的中垂线上，经 过 点 口，M且与/相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点户的距离相等，圆心在抛物线上，直线 与 抛 物 线 交 于2个 点，得 到2个圆.【详 解】因 为 点M(2,2)在 抛物线)，2=2x上，又焦点尸(；，0),由抛物线的定义知，过 点 尸、加 且 与/相 切 的 圆 的 圆 心 即 为 线 段 的 垂 直 平 分 线 与 抛 物 线 的 交 点，这 样 的 交 点 共 有2个，故 过 点 尸、M且 与/相 切 的 圆 的 不 同 情 况 种 数 是2种.故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，本题解题的关键是求出圆心的位置，看出圆心必须在抛物线上，且在垂直平分线上.7.B【解 析】由题意，结 合 集 合A 8,求 得 集 合“，得 到 集 合“中元素的个数，即可求解，得到答案.【详 解】由题意，集合 A =-2,-l,l,8 =4,6,8 ,xwA,则 A/=x|x=a+Z7Tx e A 力 e 及 x e 3 =4,6 ,所以集合M 的真子集的个数为2?-1 =3 个，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解，其中作出集合的运算，得 到 集 合 再 由 真 子 集 个 数的公式2 -1 作出计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.8.C【解析】利用通项公式找到Y 的系数，令其等于-1（）即可.【详解】I 5 5 5 5二项式展开式的通项为&=6（/5）5-，（加/丫=令5 =5，得 r=3，贝！）7；=，或/=一 1 0/，所以加3 =1 0,解得加=1.故选：C【点睛】本题考查求二项展开式中特定项的系数，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.9.D【解析】将函数的零点个数问题转化为函数y =/U）与直线y =-x+g）的交点的个数问题，画出函数y =/（%）的图象，易知直线y =过定点（-g,0）,故与/（x）在 x 0 =xG Z|-2 x 0,即 a1 6,q=4 舍 去，故 q=9,d=-2前项和 S“=9 n+-x(-2)=-(-5)2+2 5.故5 的 最 大 值 为5=25.故选：D【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，考 查 求 前n项和的最值问题，同时还考查了余弦定理的应用.12.A【解 析】由余弦公式的二倍角可得，cos(a+)=l-2sin2 a 7t=7,再由诱导公式有2 4cos(a+)=-sin,所以 sina=2 9【详 解】V sina 7i2 43,由余弦公式的二倍角展开式有cos(a+-)=l-2sin2_7-9a 九2 4又:cos(tz+)=-sinfZ2.7sma=9故选：A【点睛】本题考查了学生对二倍角公式的应用，要求学生熟练掌握三角函数中的诱导公式，属于简单题二、填空 题：本 题 共4小 题，每 小 题5分，共20分。13.2【解 析】由题，得z=(a+2i)(l+i)=a 2+(a+2)i,然后根据纯虚数的定义，即可得到本题答案.【详 解】由题，得z=(a+2i)(l+i)=a-2 +(a+2)i,又复数二为纯虚数，所 以a-2 =0,解 得a=2.故答案为：2【点睛】本题主要考查纯虚数定义的应用，属基础题.1 4.百【解析】利用复数模的运算性质，即可得答案.【详解】由已知可得：也 1=2,。0,解得a=0.V2故答案为：币.【点睛】本题考查复数模的运算性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题.1 5.2【解析】首先求出（x +a）”的展开项中x3的系数，然后根据1系数为1 60 即可求出a的取值.【详解】由题知当 r =3 时有 7；=C 3/=6 0/n C a3=1 60,解得a =2.故答案为：2.【点睛】本题主要考查了二项式展开项的系数，属于简单题.1 6.-1【解析】由虚数单位i 的性质结合复数相等的条件列式求得。，的值，则答案可求.【详解】解：由 3 =，/=_ ,3 1,j 4=i所以4 +为=严 收=4）50 4 “3=7,得。=0,Z?=1.:.a+b=-1.故答案为：-1.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i的性质，属于基础题.三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2 2 人11 7.（1）工+二=1；证明见解析；4 3&3【解析】2 2/2（1）由题意焦距为2,设点C（l,%）,代 入 椭 圆;+2r=1（。0）,解 得 方=生，从而四边形A C B O的面积a b a6=2 5叱=2。卫=2凡 由此能求出椭圆的标准方程a2 2（2）由题意AC:y =K（x +2）,联立直线与椭圆的方程土+匕=1,得（3+4 1）/+1 6父-1 2 =0,推导出4 3 1C（一 算 U，富3），。（等I*，一 苦），由此猜想：直线/过定点P（L O），从而能证明P，C,D 三点共3+4占 3+4占 3 +4 f 3 +4右 一线，直线/过定点尸（1,。）.由题意设C（x M）,D（x,必），直线/：x =?y +l,代入椭圆标准方程：+-=14 3,得(3 m2+4)丁+6my-9=0,推 导 出 凹+必=一6 m2trr+4x%=一3 m2+4由此推导出勾=9=生凸=型鳖二（定k2%a+2）%（町|+3）即 访+3%3 2值）.【详解】（1）由题意焦距为2,可设点c（l,%）,代入椭圆f+A/=1（。0）,9得5 +=1 解得=四边形 AC B Z)的面积 6=2 sA48 c =2。2=2/?2,Z?2=3,/=4,椭圆的标准方程为工+二=1.4 3（2）由题意 A C：y =K（x +2）,2 2联立直线与椭圆的方程L+2=1 ,得(3 +必：得+16k：-1 2 =0,4 3 c 1 6V-1 2 5出=3 +4好 解 得 用=6-8婷12k3 +4左：从而x =匕（芯+1）=H-,.V-鳖舟),同 理 可 得 以 8k,612k23 +44 3 +4T）,猜想：直线/过定点。(1,0),下证之:1 2年z,3+4k.2 k2=3kl,kpc-kpD=-.-8匕一6-374V-12k23 +43 64=+22=一+.1-4婷 4&2 _ 9 1-4 A；3 6$-9 1-4 8 -63T4V-1-4乂 秋,.P,C,。三点共线，直线/过定点尸(L 0).力为定值,理由如下:由题意设C(x，y),D(/,y2),直线/：元=冲+1,2 2代入椭圆标准方程：土 +匕=1,得(3/+4)丁+67 2一9=0,4 3几 2-6/n y36m2+36（3ZH2+4）2（3加 2+4）6m9.k x,+2 y,（x2-2）y,（my2-l）myly2-yik?）1%（X +2）丫2（段 +3）股 y2+3 y 2X）29/H6m+4 3疗+49m _-w74+3y23m3，7+4 -9m _石*3%3/7 23巾。4 *4+3%3/+4 2=1 （定值）.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线过定点的证明，考查两直线的斜率的比值是否为定值的判断与求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题.18.(1)G的极坐标方程为 =2s i n 8；C2的极坐标方程为：G p c o s O +p s i n 6 =6 (2)；【解析】f x=Q CO S。(D根据.八，代入即可转化.y=(2)由G：区一=0(攵 0),可得0=a,代入G与 的 极 坐 标 方 程 求 出|04|，|0同，从而可得。=粤*+2产sincosa,再利用二倍角公式、辅助角公式，借助三角函数的性质即可求解.O B 6【详解】(1),G：x2+y2-2y=0,p1=2p s i n,.G的极坐标方程为夕=2s i n 6/C2：V x+y=6,V 3p c o s +p s i n =6,:Cz的极坐标方程为：石p c o s g +p s i n e =6 ,(2)QC3：kx-y=0(k0),则8=。(。为锐角)，.*.IGAI=2s i n a,O B=-,s i n a +，3c o s a_|O A|_ 2s i n2 a +2V 3s i n c o s c i rf 5 f i j=6=_ V 3s i n2 a-c o s 2a +1 _ 2s i n(G”1，当a =2时取等号.-W 36 6 2【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的互化、二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质，属于基础题.7 C19.(1)-；(2)a=54【解析】(1)由三角形面积公式，平面向量数量积的运算可得从s i n A=b c c o s A,结合范围Ae(0,)，可求t a n A=l,进而可 求A的值.3（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin 3 =不，利用两角和的正弦函数公式可求sin C的值，由正弦定理可求得“的值.【详 解】解：(1)由 2S=AACS 得 比sinA=6ccosA,因 为AG（O,乃）,所以 tanA =l,可 得：A=f.44（2）AABC中，cosB=-,3所 以sin 8 =,7A所以：sin C=sin（A+B）=sin Acos B+cos Asin B=,a 7a c _=_由正弦定理 =，得&7&,解 得a=5,sin A sin C-【点 睛】本题主要考查了三角形面积公式，平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.20.（1）见 解 析（2）见解析【解 析】（1）由进行变换，得 到2（/+/）2（，+）,两边开方并化简，证得不等式成立.（2）将3+丝竹b化 为（4+0 3）+2（。2+02）+（0+6）,然后利用基本不等式，证得不等式成立.【详 解】（1）a2+b2 2 a h,两边力口上/+/得2（/+/）2（。+人）2=21 I,当且仅当+1b a,即 2(/+/)2ah)。=人=1时取等号,.,.V a2+2 （-+-）.2 a b（2）皿+-/+竺+L 4 +生+L -+*+S+d+3=（/+a b a a a b b b ab a b a b 72（a +2）+（a +h）2“方 +4ah+2ab=8.当且仅当。=8=1时取等号.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式证明不等式成立，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21.（1）不在，证明见详解；（2）而+18【解析】（1）假设直线方程丫=区+。，并于抛物线方程联立，结合韦达定理，计 算 西.丽=T，可 得 人=-1，然后验证可得结果.（2）分别计算线段PA PB中垂线的方程，然后联立，根 据（1）的条件可得点M的轨迹方程y=2/,然后可得焦点F,结合抛物线定义可得|M N|-d|N +：,计算可得结果.O【详解】（1）设直线方程y=+。，A（,y,）,B（x2,y2）根据题意可知直线斜率一定存在，P（0,-3）y=kx+h则 x2-4 Ax-4（3+Z?）=0y=x-3r 4XyXy=-4（3+人）,玉 +/=4女 =（5）2+16 0+4 8丽=（%,%+3）,而=（与,必+3）则 P 4 .尸5 =%+（弘+3）（%+3）PA PB =芭+NM+3（X +%）+9X%=（依 +。）（如 +b）-k2xx2+k b（4 +x2）+b2y,+y2=kxy+h+k x2+h=kxx+x +2bPA-P B =jc+1卜/+（3Z+妨）（玉 +x2）+Z?2+6 Z+9由 PA P B =-4所以（左2+1）玉+（3Z+妨）（内 +x2+b2+6 b+9 =-4将玉W =T（3+/?）,X +x2=4 k代入上式化简可得。2+2。+1=0,所以=1则直线方程为丁=丘-1,所以直线过定点（0,1）,A=（-4 Z:）2+16/?+4 80所以可知点。（0,1）不在直线上.设 （5,加）线段外的中点为线段P 8的中点为G ,2 U）则直线%的 斜 率为七,=/v 一+3，西直线P B的斜率为kpB=吆 史可知线段P A的中垂线的方程为V-三 口 =-一三-g2 X+3 1 21 4 X 2由乂=二%2-3,所以上式化简为丁=一一rx+-l4x 84 x2即线段抬的中垂线的方程为y=-X；8同理可得：4 x2线段号的中垂线的方程为y=-1x0 8则 4 -,户 一 下”+吉 一14 x2人1 1V =X；8一 IX w =XtX2(%1 +%2)32X j +x)+X j%2 832由（1）可知：%+9=4攵，不占=-4（3+8）=-8所以yM32XM=kyM=2公,32 0X J +冗2 +%1工2 8即M（Z,2/）,所以点M轨迹方程为y=2/焦点为1+-8当b三点共线时，d有最大所以|M N|-=MN-MF+i(-1,0,0),P(0,0,V3),C(-2,6,0),A C=(-3,6,0),A P=(-1,0,5，D C =(-1,0),DP=(1,0,J3),设平面A P C的法向量为沅=(%,y,Z),f/n-AC=0|-3 王+6 y=0则 ，即 广 ,jn-AP=0 一玉+6z=0令X =G,则 弘=3,Z=l,.-.m=(V3,3,l),设平面DPC的法向量为五=(/,%，Z2),i i -D C -0 一 九2 +-3%=0则 一八，即 一 厂 一 ，元.D P =0 X2+/3Z2=0令尢2=石，则旷2=1修=-1,.n=(V3,l,-l),设平面APC与平面D PC的夹角为，则加 用1 3 +3-11 府cos 0 =丁r jTy=-.f=-同同 713x75 13 二面角A-PC。的余弦值为叵.13【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查空间向量法求二面角，考查运算能力与空间想象能力.