《机械工程控制基础》课后答案2.pdf

目录第一章 自动控制系统的基本原理第一节 控制系统的工作原理和基本要求第二节控制系统的基本类型第三节 典型控制信号第四节 控制理论的内容和方法第二章 控制系统的数学模型第一节机械系统的数学模型第二节 液压系统的数学模型第三节 电气系统的数学模型第四节线性控制系统的卷积关系式第三章 拉氏变换第一节 傅氏变换第二节 拉普拉斯变换第三节 拉普拉斯变换的基本定理第四节 拉普拉斯逆变换第四章传递函数第一节传递函数的概念与性质第二节 线性控制系统的典型环节第三节系统框图及其运算第四节 多变量系统的传递函数第五章时间响应分析第一节 概述第二节 单位脉冲输入的时间响应第三节 单位阶跃输入的时间响应第四节 高阶系统时间响应第六章 频率响应分析第一节 谐和输入系统的定态响应第二节 频率特性极坐标图第三节 频率特性的对数坐标图第四节 由频率特性的实验曲线求系统传递函数第七章 控制系统的稳定性第一节稳定性概念第 二 节 劳 斯 判 据第三节 乃奎斯特判据第四节 对数/标图的稳定性判据第八章 控制系统的偏差第一节 控制系统的偏差概念第二节 输入引起的定态偏差第三节 输入引起的动态偏差第九章控制系统的设计和校正第一节综述第二节 希望对数幅频特性曲线的绘制第三节 校正方法与校正环节第 四 节 控 制 系 统 的 增 益 调 整第 五 节 控 制 系 统 的 串 联 校 正第六节 控制系统的局部反馈校正第 七 节 控 制 系 统 的 顺 馈 校 正第一章 自动控制系统的基本原理定义：在没有人的直接参与下，利用控制器使控制对象的某一物理量准确地按照预期的规律运行。第一节 控制系统的工作原理和基本要求一、控制系统举例与结构方框图例1.一个人工控制的恒温箱，希望的炉水温度为iooc，利用表示函数功能的方块、信号线，画出结构方块图。图1人通过眼睛观察温度计来获得炉内实际温度，通过大脑分析、比较，利用手和锹上煤炭助燃。比较图2例2.图示为液面高度控制系统原理图。试画出控制系统方块图和相应的人工操纵的液面控制系统方块图。解：浮子作为液面高度的反馈物，自动控制器通过比较实际的液面高度与希望的液面高度，调解气动阀门的开合度，对误差进行修正，可保持液面高度稳定。O控制器实际的液位高度头脑图5结构方块图说明：1.信号线：带有箭头的直线(可标时间或象函数)U(t),U(s)；2.引用线：表示信号引出或测量的位置；3.比 较 点：对两个以上的同性质信号的加减运算环节；4 .方 框：代表系统中的元件或环节。方块图中要注明元件或环节的名称，函数框图要写明函数表达式。二.控制系统的组成1.给定环节：给出输入信号，确定被控制量的目标值。2.比 较 环 节：将控制信号与反馈信号进行比较，得出偏差值。3 .放大环节：将偏差信号放大并进行必要的能量转换。4 .执行环节：各种各类。5 .被控对象：机器、设备、过程。6.测 量 环 节：测量被控信号并产生反馈信号。7.校正环节：改善性能的特定环节。三.控制系统特点与要求1.目的：使被控对象的某一或某些物理量按预期的规律变化。2 .过程：即“测量对比补偿工或“检测偏差纠正偏差”。3 .基本要求：稳定性系统必须 是 稳 定 的，不能震荡；快速性接近目标的快慢程度，过渡过程要小;准确性第二节 控制系统的基本类型1.开环变量控制系统(仅有前向通道)X i(t)-控 制 元 件 被 控 对 象 -一 X o (t)图62 .闭环变量控制系统X开环系统：优点：结构简单、稳定性能好；缺点：不能纠偏，精度低。闭环系统：与上相反。第三节典型控制信号输入信号是多种多样的，为了对各种控制系统的性能进行统一的评价，通常选定几种外作用形式作为典型外作用信号，并提出统一的性能指标，作为评价标准。1.阶跃信号 x(t)=0 t 0X(t)=A t 0 x.(t)图7当A=1时，称为单位阶跃信号，写 为1(t)o阶跃信号是一种对系统工作最不利的外作用形式。例如，电源突然跳动，负载突然增加等。因此，在研究过渡过程性能时通常都选择阶跃函数为典型外作用,相应的过渡过程称为阶跃响应。2.脉冲函数数学表达式x(t)=A/T O W t W TX(t)=O 其它图8脉冲函数的强度为A,即图形面积。单位脉冲函数(6 函数)定义为6 (t)=-l(t)dt性质有：5 (t)=0 t 7 08 (t)=0 t =0且=lA x(t)A 8 (t)图9强度为A的脉冲函数x(t)也可写为x(t)=A 8 (t)必须指出，脉冲函数6 (t)在现实中是不存在的，它只有数学上的意义，但它又是很重要的很有效的数学工具。3 .斜坡函数(恒速信号)x(t)=A t t 2 0在研究飞机系统时，常用恒速信号作为外作用来评价过渡过程。4 .恒加速信号x (t)=A t2/2 t 2 0 x(t)=O t )t 20 x(t)=O t 06.延时函数(信号)f (t)=X(t-T )t 2 Tf(t)=O t ,+/(2)4/3 A一工作面积，k,一漏损系数，V液体体积压缩率，一弹性模量。在不考虑液体的的可压缩性，又不考虑泄漏，(2)式可简化为9 (t)=A x0(t)(3)3、液压缸负载平衡方程式A /?,=m x (t)+c x (t)+k x (t)+F (t)(4)若自由状态，即F(t)=0,则A/?,=m x,(t)+c x =i j=i当 n=8 时，j，n 6 t=n j.6 t=T,6 t=d Tx0(t)=-r)d r 卷积关系式上式说明“任意输入x,(t)所引起的输出x0(t)等于系统的权函数h(t)和输入x1(t)的卷积”。三、卷积的概念与性质定义：若已知函数f (t)和g (t),其积分存在,则称此积分为f (t)和g (t)的卷积，记作f(t)*g(f)。性质：1、交换律/(f)*g(f)=g(f)*/(f)证明：令 t-T=3 d T=-d ti (I =t-ti)=：-。)力 (左=右，变量可代换)证毕。2、分配律力(0 *+力(川=力Q)*%)+力*f 3s3、若 tN O 时，f (t)=g (t)=0,则f *g )=/(7)g。一 T)d ff (t)输入；g (t)一系统；x0(t)输出X o (t)=/Q)*g(r)四.卷积积分的图解计算积分上下限的确定：下限 取 f (T)和 g (t-T)值中最大一个;上 限 取 f (T )和 g (t-T )值中最小一个。Tg(-T )第三章拉普拉斯变换第一节傅氏变换(傅立叶变换)一、傅氏级数的复指数形式(对周期函数而言，略讲)二、非周期函数的傅氏积分非周期函数f (t)可以看作是Tn oo周期函数R (t),即f (t)若 f (t)在(一8,8)上满足：T-oo1、在任一有限区间上满足狄氏条件(1 连续或只有有限个第一类间断点；2 只有有限个极值点)；2、在(-8,8)上绝对可积(口/,收敛)。f (t)加 非 周 期 函 数 的 积 分 式三、傅氏变换1、傅氏变换概念在傅氏积分式中，令F 3)=(/(/)，”力 t 是积分变量，积分后是切的函数。称 F(3)=F f(t)傅氏变换f (t)=F F(3)傅氏逆变换2、傅氏变换的缺点说明1 条件较强，要求f (t)绝对收敛。做不到。例如，1 (t)、A s i na t,它们的积分1 J/,均发散，即 F f (t)不存在，无法进行傅氏变换。2 要求f (t)在(-o o,o o)有意义，而在实际中，t V O 常不定义。解决的办法：1 将 f (t)乘以收敛因子e l使 积 分 口/(肥-%收 敛(。0)；2 将 f (t)乘以1 (t),使当t V O 时，函数值为零。可将积分区间由(-8,0 0)换成(0,8)o于是傅氏变换变形为拉氏变换L f (t)：其 中 S=b+_/&复变量。成立的条件是R e (s)=o 0经过处理，能解决大部分工程上的问题。这就是L aplac e 变换(F.L.Z.H.W.X).第三节 拉普拉斯变换(L aplac e)一.定义：1 .若 1 2 0 时,x(t)单值;t 0则 称 X(s)=力为x(t)的拉氏变换式，记作X(s)=L x(t)X(t)=L X(s)拉氏逆变换二.举例1 .脉冲函数6的拉氏变换 L 6 (t)=l2 .单位阶跃函数x(t)=l (t)=l 的拉氏变换X(s)=L l(t)=L R e(s)0 即。03.x (t)=/，a一常数X(s)=L 1 =1 3 e%=1R e(s)0 即。a4、x (t)=s i n y t,c o一常数X(5)=L s i n(y t =-j 叫 7 .le dtC 2 22 J S-J O)5+J CO S+G5.X(t)=t 累函数的拉氏变换R e(s)0利用伽玛函数方法求积分。X(5)=L (t )=t .d t(”)=tn-e-.d tr(“+l)=r 函数标准形式令 s t=u,t=tn=s l：u d t=d u,则X(s)=f sy=*e”,=击(+1)若 n 为自然数，X(s)=L (t )R e(s)0s比如：X(t)=t,X(5)=4-s2x (t)=t ,X(s、)=-sx (t)=t3,X(s)=-第三节拉氏变换的基本定理与傅氏变换的定理差不多，但有的定理不相同，同时比傅氏变换定理多也许一些。1、线性定理(比例和叠加定理)若 L x i (t)=Xi (s),L X2(t)=X2(s)L k,Xi (t)+k2x2(t)=k1 Xi (s)+k2X2(s)例题 x (t)=a t2+bt+cX(s)=L a t2+bt+c =a L (t 2)+bL (t)+cL (1)2a b-1-3 2s scR e(s)02、微分定理若 L x (t)=X(s),则 L (t)=s2X(s)-x (0)x (0)是x (t)的初始值，利用分部积分法可以证明。推论：L x(Z)=s2X(5)-5x(0)-x(0)L x(n)(t)=s X(s)-sn lx (0)-、x (0)(n l)注意大小写，小写为时间函数。若初始条件全为零，则L x,n (t)=s X(s)3、积分定理若 L x (t)=X(s),则 L b(r)d r =，X(s)推论：L .卜 d/)=Jx(s)4、衰减定理(复数域内位移性质)若 L x (t)=X(5),W d L .x(t)=X(.V +Z)表明原函数乘以指数函数的拉氏变换，等于象函数做位移a 0例题 X(t)=C O S p t因 L co s f =TT，则X(5)=L /co s (3t =s+a(s +a)2 +p-5、延时定理(时间域内位移性质)若 L x (t)=X(s),t 0 s-xc它建立了 x (t)在坐标原点的值与象函数s X(s)在无限远点的值之间的对应关系。表明，函数x (t)在 0点的函数值可以通过象函数X(s)乘以s,然后取极限值而获得。7、终值定理若 L x (t)=X(s),且 l i m x(f)存在，则 l i m x(f)=l i m s X(s)/-QO/-0OS-08、卷积定理若 L x (t)=X(s),L y (t)=Y(s),则L x(f)*y(f)=X(s).y(s)第四节拉氏逆变换已知象函数X(s)求原函数x (t)的运算称为拉氏逆变换，记作x (t)=L l X(s)推导过程略。这是复变函数的积分公式，按定义计算比较困难。其一是查表法(略)；其二是变形法；第三是配换法；第四是分项分式法。这里简单介绍第二项，着重讲第四项。一、变形法(要利用好各个性质)例 1 已知 X(s)=-,求 x (t)s+a解：s 变量中有位移量a,原函数中必有衰减因子屋，原本是 1 (t)f L 现在是 e.l (t)=e-als-r(5+)例2 X(s)=(e 9-,求 x (t)(S +Q)+解：s 变量中有位移a,x (t)中必有衰减因子e*X(s)中有衰减；X(t)中的时间t必有位移T。对 于2 0 2的逆变换是s i n c o ts +c o 第一步变形原函数s i n a乘以衰减因子e,得x (t)1=e a，s i n f t t f第二步 变 形t位移r,即(t-?),得X(t)2=x (t)=e-f s i n旗f-r)二、分项分式法若X(s)为有理分式，即乂 0也/产+:+比 ，(n m)Q“(s)gs+%s%分母多项式Q.(s)具有。个重根S o和4个单根S 1 S 2,显然1 1=+/1,则分母多项式Q n (s)=(s s。)(s 邑)(s 2)S i是实数也可能是虚数，是Q.(s)的零点，又是X(s)的极点。可化成:XV(/s)、=k oi +-kQ+2-kQ-v-:+k +k2.+k，S SQ(S 50)-(5 50)S Sf S S2 S S/在分项分式中，口、k,均为常数，称为X(s)的各极点处的留数。对于各个单项，则r =3,厂 -=一伊，附L s Sp(s%尸(q 1)!K如何求得？留数的求解1、比较系数法例：X(s)=s+-+2 s=o,-3,-4 为三个单极点。s(s +3)(s +4)X(s)_+b +c _(a+O +c)/+(7a+4/?+3 c)s +1 2a 通分s s +3 5 +4 s(s +3)(s +4)联立方程：l=a+b+c4=7a+4 b+3 c2=1 2a解得 a=,/?=,c =6 3 22、极限法(留数规则)1 单极点处的留数(相对比较系数法简单一些)若S P是X(s)的分母多项式Q、(s)的一个单根，称s=p为X(s)的一个单极点。此时可设：x ($)=乙 =-+卬。“。)s-SpW(s)是余项，其中不再含有S-S。的因子。可写成：X(s)(S-S p )=K p+W(5)(S-S p )令 s n S。，对等式两边取极限，可得K p T i m G f)x(s)例/曰题的 ：X一（s）、=-l-+-4-s-+-2-=k,+k?k&s（s+3）（s+4）s 5+3 s+4i,s +4s+2 1k产%li r n产$-5-(-5-+-3-)-(-5-+-4-)=一6.,c、s+4s+2 1kz=廿1 i mF G +3，)-s-(-s-+-3-)-(s-+-4-)-二一3i r /s+4s+2 1 比k 3=h m($+4)-=一 毕史7 5(5+3)(5+4)22、重极点处的留数若 So是X(s)的分母多项式Q i(s)的一个 重根，则称S二 So是一个V重极点。X(s)在v重极点处有1/个留数k(n、心、心，此时可设k k kX（S）=+-7 +.+-+W（5）,W （s）中不含（S-So）oS （S S。）（5 5（）XG）（S-So）=G（S-%）I +L（s s0厂2 +.+L +w（s）G “）v令S f S o,两边取极限，得ko”=lim X(sX s_s。)S T S。为求即0(2=1.2.3 M-l),可对X(s)(s-%)求 阶 导 数，再令s-”,两边取极限，得16k0o=-_rX(s)(s-5o)例题：已 知 X(s)=3 s+2,求其留数。53(5-l)2(5-2)解(S f 0)是三重极点，(S f 1)是两重极点，(s-2)是单极点。v/1 02“3 瓦X（s）=,+4+/+一S S S S%+-1 G T）?+-5-2 3 5 3 s+2 _%=11 m5-；-=一5-0 S3（5-1）2（5-2）1 -d 3 s s+22 5 不 劈 户 I、$3（5-1）2（5一 2）1 -d 3 I S+2Q =-lirn-7s-（3-1）产出S3（5-1）2（S-2）4=l i m（s T）2x（s）=-25-1=l i mK sT）2x（s）=2（2 1）!asc=lim（s 2）x（s）=iS T2=-2=-3第四节 常系数线性微分方程的拉氏变换解微分方程=L变 换=象函数的代数方程原函数的微分方程 ul?逆变换 u象函数例题：求了+2-3 y =e T的解，并满足初始条件；t-0,y(0)=0；r =0,y(0)=0解:L 变换 S2K(5)-sy(0)-y(0)+2(sY(s)-2y(0)-3 y(s)S 5 +1代入初始条件，求解代数方程。y山(s、)-5 -+-2-3 -1 -1 1 ._-1 -1-(5-1)(5+1)(5+3)-8 5-1 4+1 8 +3L逆变换 y(t)-e-e-e-3 毕8 4 8第 四 章 传递函数第一节传递函数的概念与性质对于单输入、单M出的线性定常系统，传递函数定义为“当输入量和输出量的一切初始值均为零时，输出量的拉氏变换和输入量的拉氏变换之比”。原函数描述的系统：输入 Xi (t)=系统 h(t)=输出 x()(t)以象函数描述的系统：输入X (s)=系统G(s)n 输出X。(s)传递函数为：G(s)=演X,(s)传递函数是描述系统动态性能的数学模型的一种形式，是系统的复数域数学模型二、传递函数的一般形式线性定常系统的运动微分方程式的一般形式为：a()x 俨+q 邸I)+.+*_&+anx0=boxm)+blxmiy+.+bm_lxi+bmxi其 中a o.a,a,b(,b-b”,均为实常数。对上式做拉氏变换即可求得该系统的传递函数。传递函数具有以下三种常用形式：“八 _ XG)_ 如+如2 +”+/T 刑Xj($)劭/+.+*_$+%C Ox(s)g s aX s-s JX s-s%)型X,(s)a o(s-s“,)G-s“2).(s-s“)n P Gy 3 T H 口(2 +1)口(稔 2+2金4+1)G(s)=g J_-UI 型x，nn(3+i)n(*+D/=1 /=1 /=l其中，II型中，Sbl、s1,2 SM是 G(s)的零根，Sal、SQ Sa“是 G(S)的极点,也是分母多项式的根。这些根可以是单根、重根、实根或复根。若有复根，则必共辗复根同时出现。III型中，kl称为环节增益；.%.%是环节的时间常数；藐.品是环节的阻尼比。以上均为实常数，0 ,(X)=W-,(F)=G|2(S)Y6(S)、G22(S)J L=G(F)G 是传递矩阵，夕=华 毕,必 用 是伴随矩阵。第 五 章 时 间 响 应 分 析（时域分析法）第 一 节 概 述一、时间响应概念这是设备性能测试的一种方法，即在典型信号作用下，对系统的输出随时间变化情况进行分析和研究。二、时间响应的组成（瞬态、稳态）1 、瞬态响应：从 OW fW fJ,是系统进入理想状态的时间。此过程称为过渡过程。由于系统内总会有储能元件，输出量不可能立即跟踪上输入量,在系统稳定之前，总是表现出各种各样的瞬态过程。2 、稳态响应：ts t 4 8 阶段的响应。三、时间响应分析的目的1 、了解系统的动态性能和质量指标；2 、作为设计，校正及使用系统的依据。四、方法利用传递函数来求算微分方程的解第二节单位脉冲输入的时间响应输入信号：X i=3(f),则Xj(s)=l；输出信号：xo(/),则 X0(s)=Xj(s)H(s)=H(s)=G(s)一、-阶惯性环节的单位脉冲响应一阶惯性环节传递函数标准形式：G(s)=4 共=工 一TS+1输出：X(s)=G(s)X,(s)=G(s)=舟吟x-1TJ T(提示：Le=一，注意符号)L J 5+a时间响应(时域)Xo(f)=LTX0(s)=KeT是一个指数函数可根据单位脉冲响应，获知被测系统的传递函数（锤击）。由图可知，用两点坐标值可定出K和 T。第五节 振荡环节的单位脉冲响应系统传递函数标准形式G（s）=-T2 s 2 +2 1 +1s -+s+G)按阻尼比7的大小分析四种情况。1、无阻尼状态，即：=0X0(s)=G(s)X,(s)=G(s)=Y+S；时间响应:尤o（，）=K（O s in a t 或者x（）（f）=1 s in学2、欠0 -L0一为有阻尼自由振动的角频率。3、临界阻尼状态，即；=1X（s）府，（5 +0）2时间响应：X。=K.e 是两个相同的一阶惯性环节的串联。当t 0,xo(t)0,没有振动现象，称为蠕动。4,过阻尼状态，1X。（s）=-酶 r=-髻 匚-AS 2+2 血 S +比（S +7 0“）2-（二一1）叱_ K a）n *_ 2 _ 助 _ _ _ _ _ _朽=（S +血）2-（次 二 曲）2时间响应：X。=厂1 X。=-=产,.M 2 一出/7?1 Tl是两个不同的一阶惯性环节的串联，图形同上相似，蠕动。第三节单位阶跃输入的时间响应输入信号：x,.(O=l (t),则 Xj(s)=1s输出信号：x0(f)=l(f)*，X0(s)=Xj(s)G(s)=%S一、一阶惯性环节的传递函数：G(s)=-T s +1X0(s)=K=K(L _L _)(由 分 解 因 式 心+，-)而来)s(Ts+1)s +1 s T s +1 Ti时间响应：X。(f)=Z/X。(s)=K(1 -)归一化处理(因输入是单位阶跃函数)=y =_ 1-,其中 T=LK T通常认为：O W t W 4 T 为瞬态响应，t 4 T 为稳态响应。Ui(t)Uo(t)二、振荡环节的单位阶跃响应振荡环节的传递函数：G(5)=-旦s+2 处/+。X。(s)=-2 K-=(-2 S +2血)s(s +23n s+a；、)s s+23“s +(y,y有无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼四种状态，着重分析欠阻尼。欠阻尼状态：o v 7v i由上式的分母多项式，即+2 “+0)；=?+23“+42；+忧-0%：=(S +3“)2 +飙 _:2)2X。(:s +2血)52+2 s“S +；=刈 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ S +血 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ x 正.S G +血)2+3。Y)2 J1Y (5 +血)2+3。2)2时间响应：/=K(1 一e-v.cosa),t .e(oo s 0.?-*0 SyS+CDn）4、最大超调量吨M ,=W二3）.x l O O%=e G X 1 0 0%X o（8）5、调整时间4人们定义，波动量误差在0.0 2 0.0 5之间，系统进入稳态区域，在此之前的时段称为过渡过程，其时间称为调整时间或过渡过程时间4 o公式为：包 .=（.s in（71-2 y ts+夕）/（）41-？2一 4一 3 3 1 1若系数 J Wv,则上式更能满足要求。则4=-ln 二-若 =0.0 2,若 v=0.0 5,讨论？、与各性能指标间的关系1 若不变，0 t n Mp不变，I ,f,I。此时有利于提高系统的灵敏度。即系统的快速性能好。2 若%不 变，Mp I ,ts（4V 0.70 7 时）In Mp I ,ts（0.70 7 时）fn 若 0.4 V：V O.8,Mp=0.2 42.5%0.8时，f，f t、反应迟钝。3 当4=0.70 7时，均小，M=0.4%o称，=0.70 7为最佳阻尼比。例题、图为机械系统及其时间响应曲线（是由试验记录所得），输入x （f）=8.9 N,求弹簧刚度系数k、质量m和阻尼系数c。/解：输入是力，即为=8.9 N。L一变换后，X,（5）=s由左图，写出运动方程式。mxQ+cx0+kx0=xi L一变换X 0(s)=X G)ms2+cs+k(89。；K:S(S2+23“s +)5(52+2 3 S +；)k c I式中=一,23“=,8.9 =K=x0(o o)m m k由稳态响应 K=O、0 3=x 0(s)=l im x o)=l im s-x 0(s)=彳/-00 5 0 K解 得k=297%由超调量%=x 3，)-X)X 1 0 0%=00029 X 1 0 0%=9.6%=P xo(o o)0.0 3=e x l O O%则4=0.61711.9 6由5=2 =-.=“=-,=J _j2 t p J _42由 w i=&=m-77.3(，)由c=2 3,=2 x 0.6x 77.3 x 1.9 6=1 81.64(%z)第四节高阶系统的时间响应若n阶系统传递函数的一般形式为:G(s)=P,“G)Q“(s)如,+仇 产+.+%$+久aos+ats +.+.an_s+an其中 a。w 0,%w 0给系统以单位阶跃输入，贝1J X(s)=X,(s)G(s)=4以s 0.(s)考虑s Q,(s)无重根的情况，此时X o(s)可化为分项分式v ,、1(A*e Ihs+Ck-X 0 (s)=K 一 +*+5-七-三s k=、s+k=l s+2k=k=,分析：1、X 0(s)或X。是一些简单的函数组成，即由一些一阶和二阶环节的时间响应组成。其中一阶环节数为，夕为。“(S)的实根数；二阶环节数为。，b 为。,(s)的共辄复根的对数。2、若系统能正常工作，当，-8,与应为零或为有界值，为此必须：1、mVn,否则分项分式中存在整数项或s 项，其原函数不存在。举例说明：Xo(s)=$1s+%+7,其中 m=3。n=2,m nS2+3S+2。1 A则 Xo(s)=s +2 +-=x(r)=J(r)+2 J(0 +2 e-,-e 25+1 5+2 dt(补充说明数学定义：()=t,L=i(o,1(/)=j(f)dt 2 dt dt dt/f)在数学上有意义，实际中不存在，演。的导数及高阶导数不存在。物理意义：系统必然有质量、惯性，且能量又是有限的，不可能出现mn超能量系统。2 以0，&,*0即在中，s要具有负实根。S+Pk在S2+2 4 M s+哽=0中，*2 =-jg*戊-蓝一对共飘复根。即 凌 要 具 有 负 实 部 的 根。否则，当f -8 B寸，X。）不存在。举例:X(s)=5 0.7 5 0.7-1-n-=-1-Z-彳5+3 52+4.V +4.49 5+3 ($+2)2+0.72本 例 中P&=3,邑=-3具有负实根。2例注=40,具有负实部。X(?)=5e3+e2 s in 0.7，当f-o o,X(f)=0能恢复到零位。举例：乂2缶)=工+匕 一-2 5-3 ($-2)2+0.72x2(r)=5e3/+e2 s in Q.lt 当 t c o,x2(r)=o o 不存在。3、在。,(s)中实部绝对值较大根所在Q项，对系统影响很小，可忽略不计。工程上常用此法使系统降低阶数。兴 加 山、1 ,1 ,1 ,0.2 0.3“例：X(5)=-1-1-1-:-r -3-5+1 5+1 0 54-1 0 0 (5+1)2+0.22(5+1 0)2+0.32则 x(t)=e +e 0 +e 0 +e s in o.2t+e 0 s in 03t当 f =1,x(r)=0.3 68 +0.0 0 0 0 45+3.7 x 1 0*+()36 8s i n 0.2 r +0.0 0 0 0 45s in 0 3忽略绝对值较大根所在的项，得x(t)=er+el s in 0.2/第六章频率响应分析（频率特性分析）微分方程一是时间域中的数学模型传递函数f是复数域中的数学模型频率特性一是频率域中的数学模型第一节谐和输入时系统的定态响应一、谐和定态响应公式系统以谐和函数输入:（f）=同 sin初设系统的传递函数为G（s）,以S=/o代替，即G。初谐和传递函数输 出:x0（f）=|x（.|G（ja-sin（G（/y）传递函数n Xo）谐和稳态输出|G（jco）|一频率特性；G（jco）一相频特性G（j3）=RE 3）+jlm =顺 加）|/皿3）；（一实频特性；。（一虚频特性。G（j）（3）2+/,“2 .甲=ZG（J）=arctg里 空G,若G(j S)=凡 2（0）+儿2（。）(P-arctg3i3R鼠 3 62(。)为什么要对系统输入谐和函数？系统是由具体的结构元件组成，而结构元件有其自身的各阶固有频率，在力的作用下（任意力都可以展成富氏级数，是各谐和函数作用之和），若某个元件有故障，就有可能引起系统工作的不正常。故要在频率域内对系统进行研究。第 二 节 频率特性极坐标图频率特性的极坐标图，又称乃斯特图（N y q u i s t）,是研究G。3）在复平面上,当。从 0 变到o o 时，矢量G（0y）的端点所描述的轨迹图。由此图可以直观地了解系统的动态特性。一、典型环节的极坐标图0(KJo)*G(j)1、比例环节 传递函数G（s）=K（频率特性）谐和传递函数G（j o）=K其中/,“（0）=0,&（M=K对于输入 X j（f）=s i n&，输出 与 =K|x/s i n w2、积分环节 传递函数G（S）=K =L（令 工=1）Ts s TLQ)频率特性：G(j。)=(ty)=-,Re(co)-0jO)C D C D幅 频 特 性:|G(J(P)|-C D相频特性：(p=NG(/=需=-(滞 后 90)x.定态响应：Xo(O=-C O S69ZC O3、微分环节 传递函数G(s)=KTs=s(令KT=1)ReQ频率特性：Gjco)-jco;|G(J69)|-C D;/?(.(t w)=0；Im(y)=0；(p =tg-*=%(超前 9 0)定态响应；x0(r)=y|x,.|c o s )=0|G(j 7 y)|-,(p =tg -J t(滞后 18 0。)a r定态响应；x()(f)=Nsin&C t)5、二阶微分环节传递函数G(s)=K T j 2 =$28G(jw)Q=0R e (G(jco)=-a)2,/?,()=-y /,()=0,G(jco)=a)2,(p=7t(超前 18 0)定态响应；x()Q)=-2 k l s i n m6、导前环节 传递函数G(s)=K(T s +l)=T s +lj ImQ)0 3 论 ReQ)G(j(y)=l+j y T ,R(=1,/m(y)=y T,|G(J)|=+3T)2 ,3 =f g T W,0 4 0 4%7、一阶惯性环节 传递函数G(s)=1 (T0)Ts+1j ImQ)G（，力 耳 而1 .c o T1 +3 T)2 -，l +(t y 7)2R,（0）=11+(7)2O JT1 +(2 0s(Ts+1)G.）、以1+法）jQ 河）川+刖T_ _ _ _ _ 1+C D2T2 J C O(+C D2T2)-T R,（M0,/,“NO,曲线在第3象限内。寻找渐近线。即当0 f0,R,（0）=-T （直线），（）-o o9、振荡环节G(s)=K-K或r2i2+2+（欤）2 （1-、）2+（欤）2*0%必 然 以分析：&（）随。变化，由正一O f负，且/,“（m 0,曲线在第四、第三象限内。起点：6。&）|由0=1+川-,。=0过虚轴点：G。所=0-/白,。=%4终点：G(%)|g8=0-+川-|G(加)|=/2 1”(1-)2+(2)2V 8“必10、延时环节 G(s)=e-,rOG(ja)=ej0,r=co s)=l,(p=ZG(j T y)=-COT(单位圆)1 1.振荡环节二、极坐标曲线的一般形式1、频率特性的一般形式线性系统频率特性（谐和传递函数）一般形式为:G(j g-%r S g T 毕驾|丸 +g-%7；+次f gT 普拿一 行 ,=1 得一。-2 年,=1 CDn i-CD其 中1/+2 =机,几+P+2。=指分子、分母的阶数。当2=0.123、时，称 系 统 为I、I I、I I I型系统。2、极坐标曲线的起始状况当。nO时,有l i m|G（加）|=二,同时l i m夕（=一 工 几0f（N 1/5）21 0型系统（2=0）1叫G（J O）|=K,1吧夕3）=0,起始于正实轴的（K,j O）点上。2、非0型系统（4W 0）l i m|G(/|=o o,l i m 6 7(6 9)=2刃 一。|1 -o 2起始于无穷远处，且由实轴顺时针方向转过几个象限。3、极坐标曲线的终止状况A -rr当 6 9 f 8 时，有 l i m|G(7 6 9)|=,l i m(p(c o)=-(n-m)(W-X X J1 CDn m T8 21 当 n m 时，l i m|G(JG)|=0,l i m(p c o)=-(n -m)-co 6?-00 2沿着某坐标轴趋向于原点，该坐标轴与正实轴的夹角为（-?）5。2、当n=m时，l i m|G（y）|=A,l i m（0 时,。(=0G(=KL(y)=2 0 1 g|G(|=2 0 1 gA：K V O 时,L(y)=2 0 1 g|G(j y)|=2 0 1 g/0 时，G(j 6)=；|G(期=一 =2 0回6(加)|=-2 0怆。当 口 二1 时，L(c 6)=010 100-20db/decn 6（3）当 二10 时,L（=一200（。）=-tg喝=90,全频带滞后903.二阶积分环节（与=1）T2L（）=201g，=-401g coo）6（3）-180。（=-1 8 0 ,全频带滞后1804.一阶微分环节（KT=1）G（jy）=jwL（co）=201g。（=90,A 6（3）905.二阶微分环节（KT?=1）r-G（j）=（jw）2=-co2,L（o）=401g-。（=1806.一阶贯性环节（K=l）G（/0）=1，|G（J0）|=/I1 +/W Nl+c o T 初=_2 0怆 j l+gV%肢(3)=tg C DT=tg 1 2-,coT小（3）3 T0-45-9 00-分析:当当当gVVO 时，L(co)=0,0 3)=0 0 时，L(y)=-201 g,。()=0coT 二 时，L()=-1 01 g(l +)=-1 01 g 2=-3db;7 .一阶导前环节(K =l)G(加)=1 +.=1 +/，|G(j 6)|=l-叫 41+口T2L(y)=201 g|G(j y)|=201 g 1 +C D1%。(助=tg a)T8.振荡环节(K =l)G(J M =-1*Z1co.2 3(1-r)+然 以 =-201 g|G(J M|=-201 g (1 )2 +(当)2V%以3G)n-0-9 0 0 -I M)-1 L（3）20lgM,/分析:当y 0 时，L（）=-201g,。（0）=0C DT,2（3）当 啰 二 口 7 时，L（c o）=-101g（l+）=-101g2=-3d b;（4）误差分析略（5）谐振频率心与谐振峰值令:|G（加）|=0,得二（%（转角频率）M=G(jc o)-/1 lmax 247彳，=20怆2司 Y当：=0 时，a）r=c o,；当？=0.707时，a）r=0,无谐振现象。三、典型环节的对数坐标图的一般特点（总结）0,(K0)一 180,(K VO)1.比例环节的幅频特性为201gK的水平线。0 3）=干 1 80四.一般系统的对数坐标图一般系统的谐和传递函数可表示为一些包括上述十种基本环节的连成积。P即 G（，o）=K n G j（_/3,/=1P则 L(w)=201 g|G(/w)|=201 g +201 g|G,(j w)|;=1P（0）=z0（。）i=可以逐一环节叠加。例：G (s)1 00G +2)+1)(5+5)(52+1 0.V +1 00)W W 2-WJ W（1 +（1 +j+j2x 0.5 X -）W y v-W、（l+j J）叱 叫共 有 6 个环节，即比例环节k=0.4；积分环节；一阶惯性环节（为=1）；一阶导前环 节（%=2）；一 阶 惯 性（的=5）和振荡环节叫=1 0,按转角频率顺序，从小到大排列。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _L =201 g 0.4 一 201 g 啰 一 J l +苏+201 g /1 +（卜产-201 g J+（.J八 、2/2XO.5XG、2Q 启 +（）*（口）=-902*5*坐2 5 1 0 C D排序：比例-积 分-一 阶 系 统（多从小到大）一二阶系统比例环节：201 g k=201 g 0.4=-8d b f 相当于把横坐标平移8d b,不影响其他图形。，作频率响应的对数坐标图。解：G 2-g端 公“而,按各环节化成标准型。0.4（1 +;）第四节由频率特性的实验曲线求系统的传递函数用实验方法确定系统的频率特性，又叫做系统识别。方法：由频率特性坐标图，估算系统谐和传递函数。一、做幅频特性的近似折线(渐近线)1 .近似折线由若干个首尾衔接的直线段构成，衔接点称为折点。2.各线段必须是20d b/d