2021年上海高考数学冲刺直通车06数列（专练）教师版.pdf

考点0 6数列点蒙)一、单选题1.(20 20 上海浦东新区华师大二附中高三月考)已知数列 4 为有穷数列，共 95项，且满足4 =Q )o(浜)2 0 一(-尸)，则数列 q 中的整数项的个数为()A.13B.14C.15D.16【答案】C【分析】根据题意有 出 二 4,幽注均为整数，转化为6|5 +4),不难发现当3 6n =6k+2(k=0,1,2,3,13)时 迎 二 2*均为非负整数，验证当”=86、=9 2 时/6 和为2是否3 6为整数.1 2 0()-n 200-M 4(X)-5M【详解】解：由4 =&0 c(探尸(正)”得0 G.3 k-2 K，要使。“(14 495)为整数，必 有 a,40：51均为整数,所以61(+4),3 6当=6 4+2(%=0,1,2,3,13)时 也N,4 00-5-均为非负整数，3 6所以4 为整数，共 有 14个，当 =8 6 时，0 =-33&-2-5,在。寨=瞪 磊 中 20 0!因数2 的个数为同理计算可得86!因数2 的个数为82,144!因数2 的个数为110,故C 览 中因数2 的个数为197 82-110 =5,从而a&6 是整数，当=9 2 时，a9 2=C -33 6-2-1 0,同 理 嗡 中因数2 的个数小于10,从而为2不是整数，因此，整数项的个数为1 4+1 =15,故选：C.【点睛】利用二项式定理解决整除问题的思路：（I）要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开：（2）用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意：余数的范围，a=cr+b,其中余数力0J）/是 除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负.%a为偶数2.（2020上海市奉贤区曙光中学高三期中）己知数列 q 满足q e N*,q=2 ,若 4 为奇数为周期数列，则q的可能取到的数值有（）A.4个 B.5个 C.6个 D.无数个【答案】B【分析】讨论出当分别取1、2、3、4、6时，数列 ,为周期数列，然后说明当4 N 9时，分为正奇数和正偶数两种情况分析出数列 ,不是周期数列，即可得解.组a为偶数【详解】已知数列 4 满足4 eN*,=2 q+3,a”为奇数若4=1,则4 =4,%=2，%=1,%=4,以此类推，可知对任意的eN*，q+3=。.，此时，4 为周期数列；若4=2,则a2=1,q=4,4=2，/=1，以此类推，可知对任意的“eN*，。+3 =%，此时，4 为周期数列；若=3,则4=6,%=3,%=6，以此类推，可知对任意的 eN*，+2=an 此时，。“为周期数列；若q=4,则%=2,%=1,a4=4,%=2，,以此类推，可知对任意的eN*，限 =%,此时，4 为周期数列；若q=5,则。2=8,q=4,a4=2,a5=1,a6=4,以此类推，可知对任意的“2 2且 eN*，a“此时，/为周期数列；若q=7,则4 =10，%=5,4 =8，=4，以此类推，可知对任意的2 2且 wN*，4 4，此时，q 不是周期数列；若4=8,则4=4,%=2,“4=1，火=4，以此类推，可知对任意的“2 2且eN*，q 4,此时，“不是周期数列.下面说明，当4 2 9且4 eN*时，数列 对 不是周期数列.(1)当 w(23,21且q eN*时，由列举法可知，数列 4 不是周期数列；(2)假设当“2人,2 (a 3,%eN*)且4 eN*时，数列 4 不是周期数列，那么当4 2i,2+2(ZN3/eN*)时.若q为正偶数，则 生=等(2,2,则数列 为 从第二项开始不是周期数列，从而可知，数列&不是周期数列；若q为正奇数，则/=卬+3 e(2川+3,+3 2川,2川 且生为偶数，由上可知，数列 q,从第二项开始不是周期数列，进而可知数列 4 不是周期数列.综上所述，当“2 9且“eN*时，数列 ,不是周期数列.因此，若 4 为周期数列，则4的取值集合为 1,2,3,4,6.故选：B.【点睛】本题解题的关键是抓住“数列a,为周期数列”进行推导，对于q的取值采取列举法以及数学归纳法进行论证，对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据数列的基本性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决.二、填空题3.(2020上海高三专题练 习)已知数列 q 满足4m=3%+4,4=1,则为=.【答案】3-2【分析】利用递推关系式推出数列%+2 为等比数列，再由等比数列的通项公式即可求解.+2【详解】Q +1=3 a +4,/.an+l+2 =3 a +6 =3（+2）,即 4 r =3a“十z又 q =1,a+2 =3.4+2是首项为3,公比为3的等比数列，.a,+2 =3 x 3 T=3 ,故a“=3”2故答案为：3 -2【点睛】方法点睛：本题考查等比数列的定义和等比数列的通项公式，求数列通项公式常用的方法：（1）由 为 与5”的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）构造新数列法.考查了学生的转化与数学算能力，属于基础题.34.（2 0 2 0上海虹口区高三一模）已知数列 4满足4=2,且S“=：%+（其 中 为数列 qj前项和），A x）是定义在R上的奇函数，且满足/（2 -x）=/（x）,贝.【答案】0【分析】首先求出函数的周期性，再利用构造法求出数列。.的通项公式，即可得到。2 0 2 1=1 3 2 2 1,再根据二项式定理判断3 2 被4除的余数，即可计算可得；【详解】解：因为/（幻 是定义在R上的奇函数，且满足7（2-x）=/（x）所以/（一X）=/（X+2）=/（x）,/（X+4）=-（x+2）=/（x）所以“X）的最小正周期为4又因为数列 4满足弓=-2,且5“=不4+”：当“）2时，S _,+n-l;3 3减得 an=/一 耳 an-+1，所以 4,=3 q _|-2 ,-1 =3（%1-1）所以 6,一1 以 3为首项，3为公比的等比数列，所以氏一1 =3 ,即q=1一3”,所以4 2 i=l-3 2 X 32 0 2=（4-1）2 0 2,=42 0 2 1+C 0 2 1.（-l）-42 0 2 0-l,所以3 2 ”被4 除余3所以/4闫）=/（1-32 0 2 1）=-/（32 0 2,-1）=/（2）=/（0）=0 ,故答案为：0【点睛】本题考查函数的周期性的应用，若存在非零常数T，若对定义域内任意的都有/（x+T）=/（%），则7为函数的周期;三、解答题,.la 15.（2020上海高三专题练习）数列 4 中，4=-2,a,+i=L,求 的 通 项 公 式.【答案】=鼻 一11-J2 a-l 1 3 L 1【分析】通过对递推关系式区川=彳=，变形可知-7=7+一；，令仇，二17,即2-。“4用+1 。“+1%+1 一3=3（-；），可知数列1 2一；为等比数列，再由等比数列的通项公式即可求解，从而得到为.【详解】Q*2atl T .a =2a“T =2/+12 4 2-a 一 2-a 2-an1 2 a (a+1)+3 3两边取倒数得：-=_ L _ =_ i+%+1 4+1 4+1%+1,1 1 n ,i ii3令=了二T，则2+1=_1+32,可得d+1_彳乙=3 d_彳乙），又不乙 二二V 是首项为-1，公比为3的等比数列1-33*3，1二1 -32 2 2 2*，解得q=$一121 3【点睛】方法点睛：本题考查等比数列的定义和等比数列的通项公式，求数列通项公式常用的方法：（1）由 可 与S”的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）构造新数列法.考查了学生的转化与数学运算能力，属于较难题.+hx+C6.（2020上海高三专题练习）设函数/（幻=-（aw0,ew0）有两个不同的不动点和电，且由ex+f,用=/(“)确定着数列 ,那么当且仅当匕=0，e =2 a时,、U f ,HU-+C z/v-4-C【分析】先证充分性：当6 =0,e =2 a时，可知“M=L作特征方程尤=竺二整理得:2。/+/2ax+fa x +f i c-c ,分类讨论：若方程有两个相同的根，显然成立；若方程有两个不同的根，两根设为司，2aun+c 2 -X 1则满足1-=，代入计算“向一”=2%+/可证得结论：再证必要性:的 +人 C =0 “+1-工2 a Un +C.2数列 “满足条件：对于V e N*，都有“+产叫-+”+c,可作特征方程尤=土 变 上,得e u+f e x+f(a-e)x2+(h-f)x+c =O,令此方程的两个根为七,马，则满足，吹：+3-加*=,代入计(a 0)冗2 +(0/)工2+0=0算,au 4-b un+c-n玉 (弋“向一 =-,再 利 用“+%=殳二五，则可证得结论.“+1 一%2 +n +C _ +一 入2 (一 工2 ,/一2【详解】充分性：当匕=0,e =2 a时，可推出%+1石%+1 一(、2当8 =0,e =2 a时，数列%满足条件：对于V e N*，都有au+。n r 4-c4+1 =77口-7，可作特征方程x =-，整理得：cue+f i c-c=O2aun+f 2ax+f(1)若方程有两个相同的根，即A =/2+4 ac =0,两根为，=三 ,2a_ /_ 2贝IJ-=殳二五=1,满足；M+l _ X2 -X2(2)若方程有两个不同的根，即 =/2+4 ac 0,两根设为X 1,X 2,则满足g:+R”0,即.ax+f i c2-c=0叫：=c M则ax2=c-f x2叫2 +C-Y,用一百=2叫 +/I =叫2+d|(2叫+/)=叫2 +C_&_2叫丁un+x-x2 au：+c au：+c-x2(2aun+/)au+c-fic-2aunx7X22 2 2 2 /、_ aun+-2aunx _ un+x-2unxy _ un-xQ2+书2 _ 2aunx“J +x22-(utJ-x?)/、2即二五=生 土 满足；必要性：当上凶二A+1 -X22时，可推出 =0,6 =2。数歹|J 满足条件：对于 V n e N*，都有“+1 =%+%；+m。0,e。0),eu+fnjr+bx+C可作特征方程x =-,(a-e)x2+(b-f)x+c=0,令此方程的两个根为百，ex+f则满足 (a-e)x,2+(h-7f)1x,+c =0 ，即(a,-e)、x,22+b,x.1=fx.-c(a-e)x2+(/-f)x2+c=0(a-e)x2+bx2=fic2-c又以+i一 9au：+hun+ce%,+fau+bun+ce%+于-%2au：+hun+c (eun+f)x _ au+hun+c-fx-eunxau+burl+c _(eutl+f)x2 cut：+bun+c-fx2-eunx2au+b ut l _(a-e)x：-b x-eunx _ aun2-eunxx+(e-a)x+/?(x jau：+b un _(q_e)x,2-h x2-eunx2 aun2-eunx2+e-a)x22+人-x2)x：+“一5)(e )(e-2 a)-2 (“V “一2a 2)-4.a+bUn-X2)要使等式成立，则可得8=0,e =2 a显然，当两根相等时，也满足8=0,e =2 a；综上可知，结论成立【点睛】方法点睛：本题考查利用不动点法求通项公式，对于形如 用=四*(r。0)的关系式，有如下ra+s的通项求法：该关系式对应于分式方程 =丝 土9(rH O),化简为一元二次方程f+p r+q =O,若该方程有两个根4，则数列 4的通项可表示为：八 a-a pci,+q an+y-a a,+1-a.a-a(1)若a n 4，则 为等比数列，将见+i,”/代 入,忖1 ”即可化简为“二 4-问 S,+S an+-P%+/an-P的形式，其中人即为数列,二=的公比。!1+a 1 1 1 ,(2)若a =尸，则-为等差数列，将4向=代入-即可化简为-=-+d an-a ran+s an+-a an+x-a an-a的形式，其中d即为数列I一|的公差。由 耳 杀 等 差数列及其前n项和一、单选题1.(2 02 0上海青浦区复旦附中青浦分校高三开学考试)设等差数列为,%，an(n 3,e N*)的公差为d,满 足 阎+同H-=|q -1+电-T=|q +斗+|%+2|4-an+2|=m,则下列说法正确的是()A.|J|3 B.的值可能为奇数C.存在i e N*，满足2 q l D.加 的可能取值为11【答案】A【分析】根据题意，设出绝对值函数/(X)=M+|X+M+|X+2M+|x+(-l)3,根据绝对值函数的性质判断即可.详 解 因为|q|+E|-i-1|=|2 +2|+(+2|H-an+2|=m所以|2|+|2+t/|+|q +(/?l)t/|=一 1|+|7|l+t/|+k 1+(n l)d|1 7 +2|+|i z)+2+4/|H +|q +2+(-l)i/|m令/(x)=|x|+|x+J|+|x+2 7|+|x+(/t 1)3则/（q）=/（q-i）=/（4+2）=m（*）当=0时，/（x）=n|x|,不 满 足（*）,舍去.当d0时，由（*）得/（X）为平底型，故为偶数（4）.f M的大致图像为：n则d CL 1。a,+2 ()d2 2所以一（。一 l）d+3 d =同23,故A正确.2 2 1 1由.q -1n+2-(-l WH n2 2H H/7当，=1,2,时 卬=4+(-1)14 2 (/l)d +(i l)d =(i )d 2n n n n当i =+l,/+2,n 时q =4+(-1)4 2 1-2 6/+。-1)4=1+-2-1)4 2 1故不存在i e N*，满足一2 4 1,C错m=f(a)=al+a2+an+a+an +12 22(4+4+%)-(&+&+2 2 2=(3 4)=74n2由于“N 4,d N 3所以机2 2-4 2 12,4故D错当d0由于/a）的图像与/（一 x）的图像关于y 轴对称，故只需研究/（一幻故令 g(x)f(x)|-N+1 x+1 x+2i/|+1 x+(nl)c/|,A Z 3=|xj+|x+d1 +|x+|+x+(n-X)d,n3因为/(4)=/(4-1)=/(4+2)=加所以 g(q)=g(q-1)=g(q +2)=m由知g(x)为平底型，故为偶数5 2 4),故 B 错令 a：=q -1,a =a；+(i-V)d=q -1所以 g(a；)=g(a；-1)=g(a；+2)=机=d=-d 2 3,故 A 正确由知，不存在 ie N*，满足一 2 q l 0 -2 q 1 1 =2 q d 2,故 D 错综上所述，A 正确.BCD错误，故选A.【点睛】本题结合等差数列综合考查绝对值函数的性质，属于难题.二、填空题2.（201 8上海市奉贤区奉城高级中学高三期中）设数列”“满足4 2=4-,n 2,n w N*，前，项和为 S”，则 lim =_.f 8 aM 用【答案】v4【分析】首先由条件得到数列 4 是公差为2 的等差数列，并表示一 一 =；-；，最后a,（2-2+a J（2 +aJ利用公式求n-8 时的极限.【详解】4 a,i=2,.数列%是等差数列，公差是2,首项q,a =q+(-l)x 2 =2-2+q,a+=2+q,S =4+矶;)x2=/+(%)、,SH n2 4-(-l)/z M2+(一1)力4。+(2-2+q)(2+aJ 4n2+(4q+f W,向l im，f=Cn2+(q -l)n4/+(4-4)+Q；4故答案为：i三、解答题3.(2 0 2 0.上海浦东新区.华师大二附中高三月考)已知数列 4,也 与函数y =/(x),也,是首项/=15、公差4*0的等差数列，数列也 满足：2=/(见).若d =2,/(x)=|x-2 1|,求 也 的前项和S“；若d =1,f(x)=ex,T“=b 也 心 也,问取何值时，7“的值最大？2+7 1 H 5【分析】依题意,4=1 5+2(-1)=2 +1 3.么=|2一8|,对分类讨论,利用等差数列的求和公式即可得出；(2)依题意,a.=1 5-(n-l)=16-n.=/6一”,利用指数运算性质、等差数列的求和公式及其二次函数的单调性即可得出.【详解】依题意,%=1 5 +2(-1)=2 +1 3,2 =|2/i-8|,bn=|2-8|=8 -2n,7 1 4s”=闻+22 I+1勾+hi7H-H2,1 n 4=5(2)依题意,4,=1 5 _(_ 1)=1 6 .=e1 6-n,(“-31”)T“=R 83.b“=e 2、/，当 =1 5或1 6时，最大.【点睛】本题考查了求等差数列的公差和等差数列前.项和公式.掌握指数运算性质、等差数列的求和公式及其二次函数的单调性是解题关键，考查了分析能力和计算能力,属于中等题.青年等比数列及其前项和一、单选题1.(2 0 2 0 上海浦东新区华师大二附中高三期中)已知无穷等比数列 4 的各项的和为3,且 q =2,则%=()12 2 3A.-B.C.-D.一3 5 3 2【答案】C【分析】设等比数列的公比为4 ,进而根据题意得l im S=l im 2(J q L，且|司e(0,l),从而解得-+oo q1 2q =1,故%=g【详解】解：设 等 比 数 列 的 公 比 为 显 然 4工1,由于等比数列 4 中，q=2所以等比数列 4 的前项和为：5“I：(I T),因为无穷等比数列%的各项的和为3,i-q -q所 以 陋 S,=,%二 仝 一=3,且 冰(0,1)，所以a=3,解得“62所以%=4 4 =故选：C.【点睛】本题解题的关键在于根据题意将问题转化为l im Sn=l im L，=3，且|同e(O,l),进而根/j +o c n-y x)|一 q据极限得4 =；，考查运算求解能力，是中档题.二、填空题2.(2 0 2。上海市三林中学高三期中)数列 4(N*)中，数列前项和为S,，若q=l,2an=a,1+l,则 S 0 =-【答案】1 0 2 3【分析】由等比数列的定义可得数列 4 是首项为1,公比为2的等比数列，再由等比数列的前项和公式即可得解.【详解】因为4=1,2an=an+,所以数列%(N )是 首 项 为 公 比 为 2的等比数列,所以 与（；）=1 0 2 3 故答案为:1 0 2 3.三、解答题3.（2 0 2 0上海崇明区高三一模）对于数列 4,若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称 4为P数列.（1）若数列1,2,X,8是尸数列，求实数X的取值范围；（2）设数列%,%,a3,，4。是首项为-1、公差为d的等差数列，若该数列是数列，求d的取值范围；（3）设无穷数列 q是首项为。、公比为9的等比数列，有穷数列 4、%是从 qj中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别记为？；、T2,求证：当。0且工=看时:数列 4不是尸数列.（8、【答案】（1）3 x 5；（2）0,；（3）证明见解析.I 2 7；【分析】（1）由P数列的性质建立不等式组即可求解.（2）先求数列的前项和，再由5,1 +2【详解】解：（1）由 题 意 得,c ，所以3 X 5；实数X的取值范围是3 x l+2+x（2）由题意得，该数列的前项和为5“=一”+的=一1+d ,由数列4,4，。3，4 o是 尸数列，得。2 5|=4，故公差d 0,S,5-11+|d）+1 对满足 =1,2,3 ,9 的所有 n 都成立,2 （8、则3 7.少一9 +d+1 0,解得，所以d的取值范围是。，不；2 2 J 2 7 V 2 7；（3）若 4是尸数列，则。=60,所以q l,又由4M S,对所有都成立，得的一恒成立，q-i门 丫 门丫 门丫即2 q0,lim-=（）,故2 q K 0,所以#2,若 2 中的每一项都在 q j中，则由这两数列是不同数列可知工 笃，若 2 中至少有一项不在%中，且%中至少有一项不在 0 中，设 ，：是将也 ,匕 中的公共项去掉之后剩余项依次构成的数列，它们的所有项之和分别为邛,写，不妨 设 场,4 中的最大项在 耳 中，设 为（此2）,则（=%+%+a,ia,“W7；,故总有4工刀 与 =7；矛盾，故假设错误，原命题正确.【点睛】关键点点睛：（1）（2）小题都由尸数列的性质建立不等式组确定待求实数的取值范围，只 是（2）题中需转化为关于的二次不等式恒成立，进一步需转化为关于的二次函数的最大值小于0求解；（3）题根据“正难则反”的原则，考虑使用反证法，分情况讨论即可得出结论.度可曾数列求和及数列的综合应用一、单选题1.（2020上海高三专题练习）设 ,是以2为首项，1为公差的等差数列，%是1为首项，2为公比的等比数列，记/=纵+纵+%，贝M M 中不超过2009的项的个数为（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】C【分析】求出数列。,、2 的通项公式，可得出数列 时,的通项公式，利 用 分 组 求 和 法 可 求 得 找出 使 得 不 等 式W2009成立的最大正整数的值，进而可得出结论.【详解】由题意可得a”=2+(-l)x l=+l,=1X2 T=2 T,所以，ab=bn+l =2-+1,则 =4+%+=(2+21+2T)+=-F =2+1,”1 2所 以，数 列 /“单调递增，因 为M io=2 i+9 =1()3 3,=2 +10 =2 0 5 8,则 2 0 0 9 ，则使得不等式M,%恒 成 立，则f%+1 （w N*）,分析/4+1和f /+1可排除错误选项.【详 解】由%单调递增，可 得4 M =a；+tan%,由 4=a0,可 得a“0,所 以l a“+l （w N*）.=1时,可 得f a +l.=2时，可 得r a?+t a +l，即（a l）f （a +l）（a 1）.若 =,式不成立，不合题意：若式等价 为/a +l,与式矛盾，不合题意.排 除B,C,D,故 选A.【点 睛】本题考查数列的性质，结合不等式的性质求解.二、填空题3.（2 02 0上海高三专题练 习）已知等差数列,中q =d =l,=t a n -t a n+I（HG M）,则 数 列 包的前项和S“=【答 案】t a n(+1)t a nl-n-(n&N*c tan a -tan B,【分析】利用两角差的正切公式可得到tan。tan4=二西方-1,从而可得到数列%的通项公式八W*f再代入求和化简即可得到结果。【详解】Q tan(a/)=tan a -tan f314-tan 6r-tan(3，tan a -tan/?=tan er-tan/?1tan(cr-y)tana,-tan a+1tan%+|-tana”1tan(a+-a)又等差数歹U4中 4=1,，a+i-a=l,a“+=+l.b Jan fln+l-tana,tanl_ tan a2-tan ax tan a3-tan a2 tan an+x-tan an.3“=1 H +L+1tan 1 tan 1 tan 1-t-a-n-a-2-t-a-n-q-+-t-a-n-a3:-t-a-n-+-L-+-ta-n-a-n-+-i-t-a-n-a-n-ntanl_tana“+1-tanq tan+l-tanl tan(+l)-1-rt 1,1-ri-ri-itan 1 tan 1 tan 1 tan(n+l),/故答案为：-”l(eN )tanl )【点睛】关键点睛：本题考查数列求和，解题的关键是会逆利用两角差的正切公式，得到数列 4 的通项公式，在求和的过程中巧用相消法得到数列的和，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于中档题.4.(2019上海华师大二附中高三期中)如图，一个粒子从原点出发，在第一象限和两坐标轴正半轴上运动,在第一秒时它从原点运动到点(0,1),接着它按图所示在轴、轴的垂直方向上来回运动，且每秒移动一个单位长度，那么，在2018秒时，这 个 粒 子 所 处 的 位 置 在 点.【答案】(6,44)【分析】分析粒子在第一象限的运动规律得到数列 小 通项的递推关系式“7=2”，利用累加法求出%=(+1),由4 4 x4 5=19 8 0知，运动了 19 8 0秒时粒子到点A“(4 4 ,4 4),对运动规律的探索知:4,A2.A”中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动，由此可求得结果.【详解】如图，设粒子运动到A”A2,4 时所用的间分别为勾，幻，斯，贝 I 4 1=2,0 2-6,的=12,4 4=2 0,.an-a.-2n,将 4 2-01=2 x2,“3-4 2=2 x3,4 4-03=2 x4,相力口得:an-a =2(2+3+4+.+ti)-n+n-2,贝!a”=(+1),由4 4 x4 5=19 8 0,故运动了 19 8 0秒时它到点4 4(4 4,4 4),又由运动规律知：A i，A 2，4 中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动，故粒子到达4式 4 4 ,4 4)时向左运动38 秒即运动了 2 018 秒到达点(6,4 4),则所求点应为(6,4 4).故答案为(6,4 4).【点睛】本题考查数列的应用，解题时要认真审题，仔细观察，细心总结规律，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动是解题的关键，属难题.三、解答题5.(2 0 2 0上 海 高 三 专 题 练 习)设 为 数 列%的前项和，其中S“=加+是常数.(1)求证：数列 4 为等差数列；(2)若，=1 且对于任意的me N*,。,“,生,，4,“成等比数列，求 上的值；(3)设 左=1,=0,7；=4+4/+1+(-1)4,若对一切正数，不等式9,。田+(-1 严 4 21恒成立，求实数九的取值范围【答案】(1)证明见解析；(2)k=l；(3)2).【分析】(1)由a“=S”-Si(2 2),4=$,求得可,计算a”a,1为常数即证.(2)利用特殊值q,4，%成等比数列可求得攵值;(3)分类讨论，为偶数时，分组(并项)求和求得7；,不等式可化为2竺，令/()=4,用作差nn法求得了()的最小值(注意/(+2)-/().得2 2向，得2 -4,由此可得结论.【详解】(1)当九=1 时，/=S、=k+p,当 之2时，an=SnSt l_=2kn+p-k ,又4=k+，适合，所以。=2kz+一左，所以an+l-an=2 k为定值，所以数列 q 为等差数列；(2)因为p=l,所以a“=2初+1攵，且对于任意的a,外,”,。.成等比数列，所以如4，%成等比数列，即上+1,3%+1,7%+1成等比数列，所以(3k+1)2=(k+1)(7左+1),解得4=1；(3)因为左=l,p=O,所以a“=2-l,当为偶数时，Tn=q+凡 一%+L+(l)“a“=-1+3 5+7 L+2n 1=(3-l)+(7-5)+L+2-l-(2-3)=2x；=，+(-1严%2T=(%).2T=2,因为不等式47；2”(3一2 2 八所以40,n n n +2 n(+2)n(n +2)所以/()向=/(2)=2,所以4 2当为奇数时，Tn=-ay+a2-ai+L+(-l)q,=1 +3 5+L-(2n-l)=(3-l)+(7-5)+L+2n-2-(2n-4)-(2n-l)=2 x g (一 1)一 (2n-1)=-n ,a,用+(一1)+%21=2川,因为不等式几 。田+(1)+%2 1 恒成立，所以 2 2 ，所以%一 4,所以实数2的取值范围是(T,2).【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的证明，数列不等式恒成立问题，考查分组(并项)求和法.在通项公式中出现(-1)时，可按的奇偶分类讨论，求得和，把不等式进行转化，转化为求新数列的最值,求数列的最值可利用函数的单调性，可利用作差法(或作商法)求解.一、单选题1.(2 0 2 0 上海市七宝中学高三期中)单调递增的数列 4,中共有N 项，且对任意i,j,k(i j k N),a aj,为+4和 +a,.中至少有一个是 q 中的项，则N 的最大值为()A.9 B.8 C.7 D.6【答案】C【分析】假设0 a b c d 是%中大于0的最大的4项，由题意得匕+c 力+d 和c +d 中至少有一个是 a“中的项，得到c=d,进而得到a +d 和c +d 都不是应 中的项，再 由 题 意 得+d 和c +d中至少有一个是%中的项，得到以a +c =d,得出%中大于0的最多有3 项，进而得出存在数列%满足题意，得到答案.【详解】假设0 a 。c d,c+d d,所以。+1和c +d 都不是 a,J 中的项，乂由题意得6 +c,b +d 和c +d 中至少有一个是 aj中的项，所以+c是 4 中的项，B.b +c c,所以6 +c =d,对于a,c,4来说，因为a +d d,c +d d,所以a +4和c +d 都不是 a“中的项，又由题意得匕+c,A+d 和c +d 中至少有一个是 4 中的项，所以a+c是 a“中的项，且 a+cc,所以a +c =d,所以a =d,矛盾，所以 为 中大于。的最多有3项，同理，4中小于0的最多有3项，加上0,故N的最大值为7,此时存在数列 ：-3,-2,-1,0,1,2,3满足题意.故选C.【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”,逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.2.(2 0 2 0.上海浦东新区.华师大二附中高三月考)己知数列 ,满足4用=片 3%+4,%=3,则下列选项错误的是()A.数列 4单调递增B.不存在正数M,使得|凡|2 ,则4 q =(q 2)一 0 ,即口2 4 2,4一4=(4一2 0 ,则%42，以此类推可得知，对任意的 w N*，+i .所以，数列 4是单调递增数列，A选项正确；对于B选项，由A选项可知，数列%单调递增,且对任意的“cN*，。“2 4=3,可知当”-8,一小幻,所以，不存在正数M,使得|%|同 恒成立，B选项正确;对于 C 选项，“J =d _ 3 4+4,.4+=3%+2=（4-1）（4 -2）,1 1 11 111则1-=3-C 7-C =-,/.-=-%一2（-!）（-2）a“-2 an-1 a-1 an-2 all+l-21所以，lim-+-1C选项正确;对于 D 选项，数列”“满足a*=q；-3a“+4,4=3,则%=a；-3 4+4=4,生一3%+4=8,a4-3a3+4=4 4,6=。：一3。4+4=44*（44-3）+4101,由于数列 4 单调递增，则D选项错误.故选：D.【点睛】本题考查数列递推公式的应用，考查数列的单调性、极限的求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3.（2020上海市复兴高级中学高三期中）已知数列 4 满足：q=0,=ln（e+1）-前项和为S.（参考数据：In20.693,ln3 1.099,则下列选项错误的是（）.A.4,i 是单调递增数列，4“是单调递减数列B.a+an+l ln3C.S2020 670D a2n-l-a2 n【答案】c【分析设*=bn,则有bn+l=，bn+2=答:,bHbll+i=4+1,构建g（x）=生?，求导分析n 十 1 Xr l可知导函数恒大于零，即数歹|伪,1 ,%,都是单调数列，分别判定a 么，%，即得单调性，数列%与他的单调性一致，可判定A选项正确；B、C选项利用分析法证明，可知B正确，C错误；D选项利用数学归纳法证分两边证伪 t 与1 0,=e=铝=胃,则以+2=,e+l+1令g(x)=2x+,l,则 g，(x)=_1 o,，g(x)单调递增，b -b将 电 一2也)，S“也+2)看作是函数y=g&)图象上两点，则；“o,。一，一 2二数列%“_ J，2.都是单调数列，3 54=e =l,同 理&=2,4=,b&=,即4 b4,2 3.口“_1单调递增，力2 单调递减，而数列 4与 勿 的单调性一致,是单调递增数列,4.是单调递减数列,A正确；.b 4-1由 e =%得 an=I n bn,bn+l=要证4+4+产 如2+如 心=如(2)1113,即证即4+1 W 3,即证b“V 2,也即要证北W 2,等价于2T 1,.b ,+1显然=2时-，济=1,23时，2-i=*-1，故,1 1成立，2一2/.不等式+an+i W I n 3成 立.B正确：欲证an+an+l+an+2 l n 3,只需证I nbn+I nbn+i+lnb+2 ln 3,即 ln（Z?也+也会）2 I n 3.b+1 2/7+1.f即 22+6,+2 N 3 Q a =22+1 2 3 0 d z 1,显然成立，1998故a“+a“+i +an+2 ln 3 l,所以S2020 S199g -j-x l =666,故C选项错误；欲证 02n，因 单 调 性 一 致 则 只 需 证 h2n，只需证多1 与。瓦“I(.2ZJ,+1 1 1 y/5+1因 为 人1亨，若 空，则=二百=2-/?-6 +1又因为4=2浮L若 处 铝，则 邑+2_2_不2_吞匚一丁，2由数学归纳法有多i 与1 念，则%”4.成立故D选项正确。故选：C【点睛】本题考查二阶线性数列的综合问题，涉及单调数列的证明，还考查了分析法证明与数学归纳法的证明.旨在考查学生分析问题解决问题的能力，考查转化与化归能力，逻辑推理能力，抽象与概括能力.属于难题.二、填空题4.(2019上海杨浦区高三二模)定义域为集合 1,2,3,12上的函数/(x)满足：/(1)=1；(x+1)-f(x)|=l(x=l,2,11)；/、/(6)、7(12)成等比数列;这样的不同函数/(x)的个数为_ _ _ _ _ _ _ _【答案】155【分析】分析出/(x)的所有可能的取值，得到使F(x)中/(I)、/(6)、/(1 2)成等比数列时对应的项,再运用计数原理求出这样的不同函数f (x)的个数即可.【详解】解：经分析，f(x)的取值的最大值为x,最小值为2-1并且成以2为公差的等差数列，故/(6)的取值为 6,4,2,0,-2,-4./(1 2)的取值为 12,10,8,6,4,2,0,-2,-4,-6,-8,-10,所以能使f(X)中的f (1)、”6)、/(1 2)成等比数列时，/、f、/(1 2)的取值只有两种情况：G y (1)=1、，(6)=2./(12)=4；副(1)=1、f (6)=-2,/(12)=4.f(x+1)-f(x)|=1 (x=1,2,11),/(JC+1)f(x)+1,或者 f(x+1)f(x)-1,即得到后项时，把前项加1 或者把前项减1.(1)当f(l)=k/(6)=2、/(1 2)=4时；将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从/(I)变化到/(6),第二步：从(6)变化的/(I 2).从/(1)变化到/(6)时有5次变化，函数值从1 变化到2,故应从5次中选择3步 加 1,剩余的两次减1.对应的方法数为C；=1 0 利 L从f(6)变化到/(1 2)时有6 次变化，函数值从2变化到4,故应从6 次变化中选择4次增加1,剩余两次减少1,对应的方法数为=1 5 种.根据分步乘法原理，共 有 1 0 x 1 5=1 5 0 种方法.(2)当/(I)=1、/(6)=-2、/(1 2)=4时，将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从/(1)变化到/(6),第二步:从/(6)变化的f (1 2).从f(1)变化到了(6)时有5次变化，函数值从I 变化到-2,故应从5次中选择1 步 加 1,剩余的4次减1.对应的方法数为G=5种.从/(6)变 化 到 1 2)时有6 次变化，函数值从-2 变化到4,故应从6 次变化中选择6 次增加1,对应的方法数为C：=l 种.根据分步乘法原理，共有5 x 1 =5种方法.综上，满足条件的/(x)