一元二次方程经典题型汇总.docx

一 元 二 次 方 程 经 典 题 型 汇 总一、一元 二次方 程的 概念1、一 元二 次方程：含 有一个 未知数，并 且未知 数的 最高次 数是 2 的整 式方 程叫做 一元 二次方 程。2、一 元二 次方程 的一 般形式：)0(02 a c bx ax，它 的特 征是：等式 左边十一 个关 于未知 数 x 的二 次多 项式，等式 右边是 零，其 中2a x叫做 二次 项，a 叫做二 次项 系数；b x 叫做 一次 项，b 叫做 一次 项系数；c 叫做 常数 项。一填空题：1关于 x 的方程 m x2-3x=x2-m x+2 是一元二次方程,则 m _ 2 方 程 4x(x-1)=2(x+2)+8 化 成 一 般 形 式 是 _,二 次 项 系 数 是 _,一次项系数是_,常数项是_.3关于 x 的一元二次方程(m+3)x2+4x+m2-9=0 有一个解为 0,则 m=_.4、.若一元二次方程 a x 2+bx+c=0(a 0)有一个根为-1,则 a、b、c 的关系是_5、当m时，方 程 0 5 12 2 m x x m不 是 一 元 二 次 方 程，当m时，上述方程是一元二次方程。二选择题：6 在 下 列 各 式 中 x2+3=x;2 x2-3x=2x(x-1)1;3 x2-4x 5;x2=-x1+2是 一 元 二 次 方 程 的 共 有()A 0 个 B 1 个 C 2 个 D3 个7、下列方程中，一元二次方程是（）（A）221xx（B）bx ax 2（C）1 2 1 x x（D）0 5 2 32 2 y x y x8一元二次方程的一般形式是()A x2+bx+c=0 B a x2+c=0(a 0)C a x2+bx+c=0D a x2+bx+c=0(a 0)9 方 程 6 x2-5=0 的 一 次 项 系 数 是()A 6 B 5 C-5D 010、关 于x的 一 元 二 次 方 程 2 21 1 0 a x x a 的 一 个 根 是 0，则a值 为（）A、1B、1 C、1或1 D、12三、.将 下 列 方 程 化 为 一 般 形 式,并 分 别 指 出 它 们 的 二 次 项 系 数、一 次 项 系 数 和 常 数 项一 般 形 式 二 次 项 系 数 一 次 项 系 数 常 数 项x(3 x+2)=6(3 x+2)(3 t)2+t2=9二、一元 二次方 程的 解法1、直 接开 平方法:利用 平方 根的定 义直 接开平 方求一 元二 次方程 的解 的方法 叫做 直接开 平方法。直接 开平 方法适 用于 解形如b a x 2)(的一 元二 次方程。根 据平方 根的定 义可知，a x 是 b 的平 方根，当0 b时，b a x，b a x，当 b 0 时，方程 没有 实数根。练 习：用 直 接 开 平 方 法 解 下 列 一 元 二 次 方 程1、0 1 42 x2、2)3(2 x3、5 12 x4、16 2 812 x2、配 方法:配 方 法 的 理 论 根 据 是 完 全 平 方 公 式2 2 2)(2 b a b ab a，把 公 式 中 的 a 看 做 未 知数 x，并 用 x 代 替，则 有2 2 2)(2 b x b bx x。配方 法的 步骤：先把 常数项 移到方 程的 右边，再把 二次项 的系 数化为 1，再 同时加 上 1 次项 的系 数的一 半的 平方，最后配 成完 全平方 公式练习：1用适当的数填空：、x2+6x+=（x+）2；、x25x+=（x）2；、x2+x+=（x+）2；、x29x+=（x）22将二次三项式 2x2-3x-5 进行配方，其结果为_3已知 4x2-a x+1 可变为（2x-b）2的形式，则 a b=_ 4 将 一 元 二 次 方 程 x2-2x-4=0 用 配 方 法 化 成（x+a）2=b 的 形 式 为 _，所以方程的根为_5 若 x2+6x+m2是 一 个 完 全 平 方 式，则 m 的 值 是（）A 3 B-3C 3 D 以上都不对 6用配方法将二次三项式 a2-4a+5 变形，结果是（）A（a-2）2+1 B（a+2）2-1 C（a+2）2+1 D（a-2）2-17把方程 x+3=4x 配方，得（）A（x-2）2=7 B（x+2）2=21 C（x-2）2=1 D（x+2）2=28 用 配 方 法 解 方 程 x2+4x=10 的 根 为（）A 210B-2 14C-2+10D 2-109不论 x、y 为什么实数，代数式 x2+y2+2x-4y+7 的值（）A 总 不小 于 2 B 总 不小 于 7 C 可 为任 何 实 数 D 可 能为 负数1 0、用 配 方 法 解 方 程24 2 0 x x，下 列 配 方 正 确 的 是（）A 2(2)2 x B 2(2)2 x C 2(2)2 x D 2(2)6 x 1 1 用配方法解下列方程：（1）3x2-5x=2（2）x2+8x=9（3）x2+12x-15=0（4）41x2-x-4=012、用配方法求解下列问题（1）求 2x2-7x+2 的最小值；（2）求-3x2+5x+1 的最大值。3、公 式法公式 法是 用求根 公式 解一元 二次方 程的 解的方 法，它是解 一元 二次方 程的一 般方法。一元 二次 方程)0(02 a c bx ax的求 根公 式：)0 4(2422 ac baac b bx公式 法的 步骤：就把 一元二 次方程 的各 系数分 别代 入，这 里二 次项的 系数为 a，一次 项的 系数为 b，常 数项 的系数 为 c练习：用公式解法解下列方程。1、0 8 22 x x2、2231 4 y y 3、y y 3 2 1 32 4、0 1 5 22 x x5、1 8 42 x x6、0 2 3 22 x x4、因 式分 解法因式 分解 法就是 利用 因式分 解的手 段，求出方 程的 解的方 法，这种方 法简单 易行，是解 一元二 次方 程最常 用的方 法。分 解 因 式 法 的 步 骤：把 方 程 右 边 化 为 0，然 后 看 看 是 否 能 用 提 取 公 因 式，公 式 法（这里 指 的 是 分 解 因 式 中 的 公 式 法）或 十 字 相 乘，如 果 可 以，就 可 以 化 为 乘 积 的 形 式练习：用因式分解法解下列一元二次方程。1、x x 222、0)3 2()1(2 2 x x3、0 8 62 x x4、2 2)2(25)3(4 x x5、0)2 1()2 1(2 x x6、0)2 3()3 2(2 x x三、一元 二次方 程根 的判别 式根的 判别 式一元 二次 方程)0(02 a c bx ax中，ac b 42叫做 一元 二次方 程)0(02 a c bx ax的根 的判 别式，通常 用“”来表 示，即ac b 42 I 当 0 时，一元 二次方 程有 2 个不 相等 的实数 根；I I 当=0 时，一元 二次方 程有 2 个相 同的 实数根；I II 当 0 时，一元 二次方 程没 有实数 根练习：一、选 择 题1、一 元 二 次 方 程22 1 0 x x 的 根 的 情况 为（）有 两 个 相 等 的 实 数 根 有 两 个 不相 等 的 实 数 根 只有 一 个 实 数 根 没 有 实 数 根2、若 关 于 x 的 一 元 二 次方 程0 2.2 m x x没有 实 数 根，则 实 数 m 的取 值 范 围 是（）A m-1C m l D m-13、一 元 二 次 方 程 x2 x 2 0 的 根 的 情 况 是（）A 有 两 个 不 相 等 的 正 根 B 有 两 个 不 相 等 的 负 根 C 没 有 实 数 根 D 有 两 个 相等 的 实 数 根4、已 知 函 数2y ax bx c 的 图 象 如 图（7）所 示，那 么 关 于x的 方 程22 0 ax bx c 的 根 的 情 况 是（）A 无 实 数 根 B 有 两 个 相 等 实 数 根C 有 两 个 异 号 实 数 根 D 有 两 个 同 号 不 等 实 数 根5、下 列 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 中，有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 的 方 程 是（）（A）x2 4 0（B）4 x2 4 x 1 0（C）x2 x 3 0（D）x2 2 x 1 06、下 列 方 程 中 有 实 数 根 的 是（）（A）x2 2 x 3 0（B）x2 1 0（C）x2 3 x 1 0（D）11 1xx x 7、已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程22 x m x 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根，则 m 的 取 值 范 围 是()A m 1 B m 2 C m 0 D m 08、如 果 2 是 一 元 二 次 方 程 x2 c 的 一 个 根，那 么 常 数 c 是（）。图xy3 A、2 B、2 C、4 D、4二、填 空 题1、方 程 4 12 x的 解 为。2、阅 读 材 料：设 一 元 二 次 方 程20 ax bx c 的 两 根 为1x，2x，则 两 根 与 方 程 系 数 之 间有 如 下 关 系：根 据 该 材 料 填 空：已 知1x，2x是 方 程26 3 0 x x 的 两 实 数 根，则2 11 2x xx x的 值 为_ _ _ _ _ _3、关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2 b x c 0 的 两 个 实 数 根 分 别 为 1 和 2，则 b _ _ _ _ _ _；c _ _ _ _ _ _ 4、方 程22 0 x x 的 解 是5、已 知 方 程23 0 x x k 有 两 个 相 等 的 实 数 根，则k 6、方 程 x2+2 x=0 的 解 为9、已 知 x 是 一 元 二 次 方 程 x2 3 x 1 0 的 实 数 根，那 么 代 数 式23 5(2)3 6 2xxx x x 的 值 为 1 0、已 知1 x 是 关 于x的 方 程2 22 0 x ax a 的 一 个 根，则a _ _ _ _ _ _ _ 1 1、若 关 于x的 一 元 二 次 方 程22 0 x x k 没 有 实 数 根，则k的 取 值 范 围 是 1 2、写 出 一 个 两 实 数 根 符 号 相 反 的 一 元 二 次 方 程：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。1 3、已 知2 5 是 一 元 二 次 方 程24 0 x x c 的 一 个 根，则 方 程 的 另 一 个 根 是 四、一元 二次方 程根 与系数 的关系如果 方程)0(02 a c bx ax的两 个实 数根是2 1x x，那 么abx x 2 1，acx x 2 1。也 就是 说，对 于任 何一个 有实数 根的 一元二 次方 程，两 根之 和等于方程 的一 次项系 数除 以二次 项系数 所得 的商的 相反 数；两 根之 积等于 常数项 除以二 次项 系数所 得的 商。五、一元 二次方 程应 用题学 习 了 一 元 二 次 方 程 的 解 法 以 后，就 会 经 常 遇 到 解 决 与 一 元 二 次 方 程 有 关 的 生 活中 的 应 用 问 题，即 列 一 元 二 次 方 程 解 应 用 题，不 少 同 学 遇 到 这 类 问 题 总 是 左 右 为 难，难 以 下 笔，事 实 上，同 学 们 只 要 能 认 真 地 阅 读 题 目，分 析 题 意，并 能 学 会 分 解 题 目，各 个 击 破，从 而 找 到 已 知 的 条 件 和 未 知 问 题，必 要 时 可 以 通 过 画 图、列 表 等 方 法 来 帮助 我 们 理 顺 已 知 与 未 知 之 间 的 关 系，找 到 一 个 或 几 个 相 等 的 式 子，从 而 列 出 方 程 求 解，同 时 还 要 及 时 地 检 验 答 案 的 正 确 性 并 作 答.现 就 列 一 元 二 次 方 程 解 应 用 题 中 遇 到 的 常 见的 十 大 典 型 题 目，举 例 说 明.1、增 长 率 问 题恒 利 商 厦 九 月 份 的 销 售 额 为 2 0 0 万 元，十 月 份 的 销 售 额 下 降 了 2 0%，商 厦 从 十 一 月 份起 加 强 管 理，改 善 经 营，使 销 售 额 稳 步 上 升，十 二 月 份 的 销 售 额 达 到 了 1 9 3.6 万 元，求 这 两 个 月 的 平 均 增 长 率.2、商 品 定 价益 群 精 品 店 以 每 件 2 1 元 的 价 格 购 进 一 批 商 品，该 商 品 可 以 自 行 定 价，若 每 件 商 品 售 价a 元，则 可 卖 出（3 5 0 1 0 a）件，但 物 价 局 限 定 每 件 商 品 的 利 润 不 得 超 过 2 0%，商 店计 划 要 盈 利 4 0 0 元，需 要 进 货 多 少 件？每 件 商 品 应 定 价 多 少？3、储 蓄 问 题王 红 梅 同 学 将 1 0 0 0 元 压 岁 钱 第 一 次 按 一 年 定 期 含 蓄 存 入“少 儿 银 行”，到 期 后 将 本 金和 利 息 取 出，并 将 其 中 的 5 0 0 元 捐 给“希 望 工 程”，剩 余 的 又 全 部 按 一 年 定 期 存 入，这 时 存 款 的 年 利 率 已 下 调 到 第 一 次 存 款 时 年 利 率 的 9 0%，这 样 到 期 后，可 得 本 金 和 利息 共 5 3 0 元，求 第 一 次 存 款 时 的 年 利 率.（假 设 不 计 利 息 税）4、趣 味 问 题一 个 醉 汉 拿 着 一 根 竹 竿 进 城，横 着 怎 么 也 拿 不 进 去，量 竹 竿 长 比 城 门 宽 4 米，旁 边 一个 醉 汉 嘲 笑 他，你 没 看 城 门 高 吗，竖 着 拿 就 可 以 进 去 啦，结 果 竖 着 比 城 门 高 2 米，二人 没 办 法，只 好 请 教 聪 明 人，聪 明 人 教 他 们 二 人 沿 着 门 的 对 角 斜 着 拿，二 人 一 试，不多 不 少 刚 好 进 城，你 知 道 竹 竿 有 多 长 吗？5、古 诗 问 题读 诗 词 解 题：（通 过 列 方 程 式，算 出 周 瑜 去 世 时 的 年 龄）.大 江 东 去 浪 淘 尽，千 古 风 流 数 人 物；而 立 之 年 督 东 吴，早 逝 英 年 两 位 数；十 位 恰 小 个 位 三，个 位 平 方 与 寿 符；哪 位 学 子 算 得 快，多 少 年 华 属 周 瑜？6、象 棋 比 赛象 棋 比 赛 中，每 个 选 手 都 与 其 他 选 手 恰 好 比 赛 一 局，每 局 赢 者 记 2 分，输 者 记 0 分.如果 平 局，两 个 选 手 各 记 1 分，领 司 有 四 个 同 学 统 计 了 中 全 部 选 手 的 得 分 总 数，分 别 是1 9 7 9，1 9 8 0，1 9 8 4，1 9 8 5.经 核 实，有 一 位 同 学 统 计 无 误.试 计 算 这 次 比 赛 共 有 多 少 个选 手 参 加.7、情 景 对 话春 秋 旅 行 社 为 吸 引 市 民 组 团 去 天 水 湾 风 景 区 旅 游，推 出 了 如 图 1 对 话 中 收 费 标 准.某 单 位 组 织 员 工 去 天 水 湾 风 景 区 旅 游，共 支 付 给 春 秋 旅 行 社 旅 游 费 用 2 7 0 0 0 元.请 问 该单 位 这 次 共 有 多 少 员 工 去 天 水 湾 风 景 区 旅 游？8、等 积 变 形将 一 块 长 1 8 米，宽 1 5 米 的 矩 形 荒 地 修 建 成 一 个 花 园（阴 影 部 分）所 占 的 面 积 为 原 来荒 地 面 积 的 三 分 之 二.（精 确 到 0.1 m）（1）设 计 方 案 1（如 图 2）花 园 中 修 两 条 互 相 垂 直 且 宽 度 相 等 的 小 路.（2）设 计 方 案 2（如 图 3）花 园 中 每 个 角 的 扇 形 都 相 同.以 上 两 种 方 案 是 否 都 能 符 合 条 件?若 能，请 计 算 出 图 2 中 的 小 路 的 宽 和 图 3 中 扇 形的 半 径；若 不 能 符 合 条 件，请 说 明 理 由.9、动 态 几 何 问 题如 图 4 所 示，在 A B C 中，C 9 0，A C 6 c m，B C 8 c m，点 P 从 点 A 出 发 沿 边A C 向 点 C 以 1 c m/s 的 速 度 移 动，点 Q 从 C 点 出 发 沿 C B 边 向 点 B 以 2 c m/s 的 速 度 移动.（1）如 果 P、Q 同 时 出 发，几 秒 钟 后，可 使 P C Q 的 面 积 为 8 平 方 厘 米？图 1如 果 人 数 超 过 2 5 人，每 增 加1 人，人 均 旅 游 费 用 降 低 2 0元，但 人 均 旅 游 费 用 不 得 低 于7 0 0 元.如 果 人 数 不 超 过 2 5 人，人 均 旅 游 费 用 为 1 0 0 0 元.图 2Qww w.cz sx.co PCBA图 4 图 3（2）点 P、Q 在 移 动 过 程 中，是 否 存 在 某 一 时 刻，使 得 P C Q 的 面 积 等 于 A B C 的 面积 的 一 半.若 存 在，求 出 运 动 的 时 间；若 不 存 在，说 明 理 由.1 0、梯 子 问 题一 个 长 为 1 0 m 的 梯 子 斜 靠 在 墙 上，梯 子 的 底 端 距 墙 角 6 m.（1）若 梯 子 的 顶 端 下 滑 1 m，求 梯 子 的 底 端 水 平 滑 动 多 少 米？（2）若 梯 子 的 底 端 水 平 向 外 滑 动 1 m，梯 子 的 顶 端 滑 动 多 少 米？（3）如 果 梯 子 顶 端 向 下 滑 动 的 距 离 等 于 底 端 向 外 滑 动 的 距 离，那 么 滑 动 的 距 离 是 多 少米？1 1、航 海 问 题如 图 5 所 示，我 海 军 基 地 位 于 A 处，在 其 正 南 方 向 2 0 0 海 里 处 有 一 重 要 目 标 B，在 B 的 正 东 方 向 2 0 0 海 里 处 有 一 重 要 目 标 C，小 岛 D 恰 好 位 于 A C 的 中 点，岛上 有 一 补 给 码 头；小 岛 F 位 于 B C 上 且 恰 好 处 于 小 岛 D 的 正 南 方 向，一 艘 军 舰从 A 出 发，经 B 到 C 匀 速 巡 航 一 艘 补 给 船 同 时 从 D 出 发，沿 南 偏 西 方 向 匀 速直 线 航 行，欲 将 一 批 物 品 送 往 军 舰.（1）小 岛 D 和 小 岛 F 相 距 多 少 海 里？（2）已 知 军 舰 的 速 度 是 补 给 船 的 2 倍，军 舰 在 由 B 到 C 的 途 中 与 补 给 船相 遇 于 E 处，那 么 相 遇 时 补 给 船 航 行 了 多 少 海 里？（精 确 到 0.1 海 里）1 2、图 表 信 息如 图 6 所 示，正 方 形 A B C D 的 边 长 为 1 2，划 分 成 1 2 1 2 个 小 正 方 形 格，将 边 长 为 n（n 为 整 数，且 2 n 1 1）的 黑 白 两 色 正 方 形 纸 片 按 图 中 的 方 式，黑 白 相 间 地 摆 放，第 一 张 n n 的 纸 片 正 好 盖 住 正 方 形 A B C D 左 上 角 的 n n 个 小 正 方 形 格，第 二 张 纸 片盖 住 第 一 张 纸 片 的 部 分 恰 好 为(n 1)(n 1)个 小 正 方 形.如 此 摆 放 下 去，直 到 纸 片 盖住 正 方 形 A B C D 的 右 下 角 为 止.请 你 认 真 观 察 思 考 后 回 答 下 列 问 题：ww w.cz sx.co FEDCBA图 5图 6（1）由 于 正 方 形 纸 片 边 长 n 的 取 值 不 同，（2）完 成 摆 放 时 所 使 用 正 方 形 纸 片 的 张 数 也 不 同，请 填 写 下 表：纸 片 的 边 长 n 2 3 4 5 6使 用 的 纸 片 张 数（2）设 正 方 形 A B C D 被 纸 片 盖 住 的 面 积（重 合 部 分 只 计 一 次）为 S 1，未 被 盖 住 的面 积 为 S 2.当 n 2 时，求 S 1 S 2 的 值；是 否 存 在 使 得 S 1 S 2 的 n 值？若 存 在，请 求 出 来；若 不 存 在，请 说 明 理 由.1 3、探 索 存 在 性 问 题将 一 条 长 为 2 0 c m 的 铁 丝 剪 成 两 段，并 以 每 一 段 铁 丝 的 长 度 为 周 长 做 成 一 个 正 方 形.（1）要 使 这 两 个 正 方 形 的 面 积 之 和 等 于 1 7 c m2，那 么 这 段 铁 丝 剪 成 两 段 后 的 长 度 分 别是 多 少?（2）两 个 正 方 形 的 面 积 之 和 可 能 等 于 1 2 c m2吗?若 能，求 出 两 段 铁 丝 的 长 度；若 不 能，请 说 明 理 由.1 4、平 分 几 何 图 形 的 周 长 与 面 积 问 题如 图 7，在 等 腰 梯 形 A B C D 中，A B D C 5，A D 4，B C 1 0.点 E 在 下 底 边 B C 上，点 F 在 腰 A B 上.（1）若 E F 平 分 等 腰 梯 形 A B C D 的 周 长，设 B E 长 为 x，试 用 含 x 的 代 数 式 表 示 B E F的 面 积；（2）是 否 存 在 线 段 E F 将 等 腰 梯 形 A B C D 的 周 长 和 面 积 同 时 平 分？若 存 在，求 出此 时 B E 的 长；若 不 存 在，请 说 明 理 由；（3）是 否 存 在 线 段 E F 将 等 腰 梯 形 A B C D 的 周 长 和 面 积 同 时 分 成 1 2 的 两 部 分？若 存 在，求 此 时 B E 的 长；若 不 存 在，请 说 明 理 由.ww w.cz sx.co FEDCBAK G1 5、利 用 图 形 探 索 规 律如 图，每 个 正 方 形 有 边 长 为 1 的 小 正 方 形 组 成：（1）观 察 图 形，请 填 写 下 列 表 格：正 方 形 边 长 1 3 5 7 n（奇 数）黑 色 小 正 方 形 个 数 正 方 形 边 长 2 4 6 8 n（偶 数）黑 色 小 正 方 形 个 数（2）在 边 长 为 n（n 1）的 正 方 形 中，设 黑 色 小 正 方 形 的 个 数 为 P 1，白 色 小 正 方形 的 个 数 为 P 2，问 是 否 存 在 偶 数 n，使 P 2 5 P 1？若 存 在，请 写 出 n 的 值；若 不 存 在，请 说 明 理 由.应 用 题 答 案1 解 设这两个月的平均增长率是 x.，则根据题意，得 2 0 0(1 2 0%)(1+x)21 9 3.6，即(1+x)21.2 1，解这个方程，得 x 1 0.1，x 2 2.1（舍去）.答 这两个月的平均增长率是 1 0%.说明 这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式 m(1+x)2n 求解，其中 m n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式 m(1 x)2n 即可求解，其中 m n.2 解 根据题意，得(a 2 1)(3 5 0 1 0 a)4 0 0，整理，得 a25 6 a+7 7 5 0，解这个方程，得 a 1 2 5，a 23 1.因为 2 1(1+2 0%)2 5.2，所以 a 2=3 1 不合题意，舍去.所以 3 5 0 1 0 a 3 5 0 1 0 2 5 1 0 0（件）.答 需要进货 1 0 0 件，每件商品应定价 2 5 元.说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.3 解 设第一次存款时的年利率为 x.则根据题意，得 1 0 0 0(1+x)5 0 0(1+0.9 x)5 3 0.整理，得9 0 x2+1 4 5 x 3 0.解这个方程，得 x 1 0.0 2 0 4 2.0 4%，x 2 1.6 3.由于存款利率不能为负数，所以 将x 2 1.6 3 舍去.答 第一次存款的年利率约是 2.0 4%.说明 这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.4 解 设渠道的深度为 x m，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.则根据题意，得