2017年北京市高考数学试卷(文科).docx

2017年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题1已知全集U=R，集合A=x|x2或x2，则UA=（）A（2，2）B（，2）（2，+）C2，2D（，22，+）2若复数（1i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A（，1）B（，1）C（1，+）D（1，+）【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A2BCD4若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A1B3C5D95已知函数f（x）=3x（）x，则f（x）（）A是偶函数，且在R上是增函数B是奇函数，且在R上是增函数C是偶函数，且在R上是减函数D是奇函数，且在R上是减函数6某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A60B30C20D10【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，该三棱锥的体积=10故选：D【点评】本题考查了三棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7设，为非零向量，则“存在负数，使得=”是0”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：，为非零向量，存在负数，使得=，则向量，共线且方向相反，可得0反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足0，而=不成立，为非零向量，则“存在负数，使得=”是0”的充分不必要条件故选：A8根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（lg30.48）A1033B1053C1073D1093【分析】根据对数的性质：T=，可得：3=10lg3100.48，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果【解答】解：由题意：M3361，N1080，根据对数性质有：3=10lg3100.48，M3361（100.48）36110173，=1093，故本题选：D【点评】本题解题关键是将一个给定正数T写成指数形式：T=，考查指数形式与对数形式的互化，属于简单题二、填空题9在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sin=，则sin=推导出+=+2k，kZ，从而sin=sin（+2k）=sin，由此能求出结果【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，+=+2k，kZ，sin=，sin=sin（+2k）=sin=故答案为：【点评】本题考查角的正弦值的求法，考查对称角、诱导公式，正弦函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是基础题10若双曲线x2=1的离心率为，则实数m=2【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可【解答】解：双曲线x2=1（m0）的离心率为，可得：，解得m=2故答案为：2【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力11已知x0，y0，且x+y=1，则x2+y2的取值范围是，1解：x0，y0，且x+y=1，则x2+y2=x2+（1x）2=2x22x+1，x0，1，则令f（x）=2x22x+1，x0，1，函数的对称轴为：x=，开口向上，所以函数的最小值为：f（）=最大值为：f（1）=22+1=1则x2+y2的取值范围是：，1故答案为：，112已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（2，0），O为原点，则的最大值为6【解答】解：设P（cos，sin）.=（2，0），=（cos+2，sin）则=2（cos+2）6，当且仅当cos=1时取等号故答案为：613能够说明“设a，b，c是任意实数若abc，则a+bc”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为1，2，3【解答】解：设a，b，c是任意实数若abc，则a+bc”是假命题，则若abc，则a+bc”是真命题，可设a，b，c的值依次1，2，3，（不唯一），故答案为：1，2，314某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（i）男学生人数多于女学生人数；（ii）女学生人数多于教师人数；（iii）教师人数的两倍多于男学生人数若教师人数为4，则女学生人数的最大值为6该小组人数的最小值为12【解答】解：设男学生女学生分别为x，y人，若教师人数为4，则，即4yx8，即x的最大值为7，y的最大值为6，即女学生人数的最大值为6设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z，则，即zyx2z即z最小为3才能满足条件，此时x最小为5，y最小为4，即该小组人数的最小值为12，故答案为：6，12三、解答题15已知等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5（）求an的通项公式；（）求和：b1+b3+b5+b2n1【分析】（）利用已知条件求出等差数列的公差，然后求an的通项公式；（）利用已知条件求出公比，然后求解数列的和即可【解答】解：（）等差数列an，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，所以an的通项公式：an=1+（n1）×2=2n1（）由（）可得a5=a1+4d=9，等比数列bn满足b1=1，b2b4=9可得b3=3，或3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）q2=3，b2n1是等比数列，公比为3，首项为1b1+b3+b5+b2n1=16已知函数f（x）=cos（2x）2sinxcosx（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x，时，f（x）【解答】解：（）f（x）=cos（2x）2sinxcosx，=（co2x+sin2x）sin2x，=cos2x+sin2x，=sin（2x+），T=，f（x）的最小正周期为，（）x，2x+，sin（2x+）1，f（x）【点评】本题考查了三角函数的化简以及周期的定义和正弦函数的图象和性质，属于基础题17某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：20，30），30，40），80，90，并整理得到如下频率分布直方图：（）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间40，50）内的人数；（）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等试估计总体中男生和女生人数的比例【分析】（）根据频率=组距×高，可得分数小于70的概率为：1（0.04+0.02）×10；（）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间40，50）内的频率，可估计总体中分数在区间40，50）内的人数；（）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等进而得到答案解：（）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1（0.04+0.02）×10=0.4故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；（）已知样本中分数小于40的学生有5人，故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间40，50）内的频率为：1（0.04+0.02+0.02+0.01）×100.05=0.05，估计总体中分数在区间40，50）内的人数为400×0.05=20人，（）样本中分数不小于70的频率为：0.6，由于样本中分数不小于70的男女生人数相等故分数不小于70的男生的频率为：0.3，由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，即女生的频率为：0.4，即总体中男生和女生人数的比例约为：3：2【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，难度不大，属于基础题18如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点（1）求证：PABD；（2）求证：平面BDE平面PAC；（3）当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积【分析】（1）运用线面垂直的判定定理可得PA平面ABC，再由性质定理即可得证；（2）要证平面BDE平面PAC，可证BD平面PAC，由（1）运用面面垂直的判定定理可得平面PAC平面ABC，再由等腰三角形的性质可得BDAC，运用面面垂直的性质定理，即可得证；（3）由线面平行的性质定理可得PADE，运用中位线定理，可得DE的长，以及DE平面ABC，求得三角形BCD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值【解答】解：（1）证明：由PAAB，PABC，AB平面ABC，BC平面ABC，且ABBC=B，可得PA平面ABC，由BD平面ABC，可得PABD；（2）证明：由AB=BC，D为线段AC的中点，可得BDAC，由PA平面ABC，PA平面PAC，可得平面PAC平面ABC，又平面ABC平面ABC=AC，BD平面ABC，且BDAC，即有BD平面PAC，BD平面BDE，可得平面BDE平面PAC；（3）PA平面BDE，PA平面PAC，且平面PAC平面BDE=DE，可得PADE，又D为AC的中点，可得E为PC的中点，且DE=PA=1，由PA平面ABC，可得DE平面ABC，可得SBDC=SABC=××2×2=1，则三棱锥EBCD的体积为DESBDC=×1×1=【点评】本题考查空间的线线、线面和面面的位置关系的判断，主要是平行和垂直的关系，注意运用线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理，面面垂直的判定定理和性质定理，同时考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题19已知椭圆C的两个顶点分别为A（2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为（）求椭圆C的方程；（）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E求证：BDE与BDN的面积之比为4：5【分析】（）由题意设椭圆方程，由a=2，根据椭圆的离心率公式，即可求得c，则b2=a2c2=1，即可求得椭圆的方程；（）由题意分别求得DE和BN的斜率及方程，联立即可求得E点坐标，根据三角形的相似关系，即可求得=，因此可得BDE与BDN的面积之比为4：5【解答】解：（）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程：（ab0），则a=2，e=，则c=，b2=a2c2=1，椭圆C的方程；（）证明：设D（x0，0），（2x02），M（x0，y0），N（x0，y0），y00，由M，N在椭圆上，则，则x02=44y02，则直线AM的斜率kAM=，直线DE的斜率kDE=，直线DE的方程：y=（xx0），直线BN的斜率kBN=，直线BN的方程y=（x2），解得：，过E做EHx轴，BHEBDN，则丨EH丨=，则=，：BDE与BDN的面积之比为4：5【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，相似三角形的应用，考查数形结合思想，属于中档题20已知函数f（x）=excosxx（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间0，上的最大值和最小值【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；（2）求出f（x）的导数，再令g（x）=f（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间0，的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值【解答】解：（1）函数f（x）=excosxx的导数为f（x）=ex（cosxsinx）1，可得曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线斜率为k=e0（cos0sin0）1=0，切点为（0，e0cos00），即为（0，1），曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y=1；（2）函数f（x）=excosxx的导数为f（x）=ex（cosxsinx）1，令g（x）=ex（cosxsinx）1，则g（x）的导数为g（x）=ex（cosxsinxsinxcosx）=2exsinx，当x0，可得g（x）=2exsinx0，即有g（x）在0，递减，可得g（x）g（0）=0，则f（x）在0，递减，即有函数f（x）在区间0，上的最大值为f（0）=e0cos00=1；最小值为f（）=ecos=【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导和运用二次求导是解题的关键，属于中档题第11页（共11页）