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MBA数学概念公式整理稿一、 算数1. 公约数 与公倍数【a,b】(最小公倍数)=ab/(a,b) （最大公约数）2. 有连续n个自然数相乘一定可以被n!整除 3. 奇偶： 奇偶加减取决于奇数个数（奇数个奇数为奇数，偶数个奇数为偶数）4. 倒数和： 1/a+1/b+1/c5. 整除：a. 能被2整除，则数的末位（个位）为偶数（即0，2，4，6，8）b. 能被3整除，则数的各位数字之和为3的倍数c. 能被4整除，则末两位（个位和十位）数字能被4整除d. 能被5整除，则数的末位（个位）为0或5e. 能被8整除，则末三位（个位、十位和百位）数字能被8整除f. 能被9整除，则数的各位数字之和为9的倍数g. 能被11整除，则从右到左，奇数位数字之和减去偶数位数字之和能被11整除（包括0）h. 被7、11、13整除的数，这个数的末三位与末三位以前的数之差（或反过来）能被7、11、13整除6. 数的逻辑运算a. 1/n-1/(n+k)=k/(n+k)b. 1/7. 质数与合数a. 自然数中，2是最小的质数，4是最小的合数b. 自然数中，1和0即不是质数，也不是合数c. 自然数中，2是唯一既是质数又是偶数的数字二、 代数1. 竖式做除法 f(x)=q(x)g(x)+r(x)2. 多项式的系数和：f(x)=f(0)=a0 偶数项和为【f(1)+f(-1)】/2 奇数项和为 【f(1)-f(-1)】/2 3. 乘法公式与因式分解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）4. 余式定理与因式定理：a. 余式定理：多项式f(x)除以ax-b的余式为f(b/a), f(x)除以x-a 的余式为f(a)b. 因式定理：r(x)=0, 则f(x)=q(x)g(x); 若f(x)=(x-a)g(x)+r(x), 则f(a)=r(a)若x-a 是f(x)的一个因式，则f(a)=05. 余式分解：二次三项式：十字相乘可以因式分解形如=0 双十字相乘法 应用： x y 常数 =其中6. 常用数集： 非负整数集（自然数集）：N 正整数集：N* 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 7. 函数_集合： a. 元素通常用小写字母表示，集合通常用大写字母表示;e.g. aA 包含关系b. 子集 真子集 属于 补集c. Cs(CsA)=A CsS= Cs =Sd. Card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB) AB=A ó AB=BóA B Cu(AB)=(CuA) (CuB)8. 函数_一元二次函数： y=+bx+c 顶点坐标 , y=a(x-x1)(x-x2) a. 二次函数的图像是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或向下的抛物线才是二次函数.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=,当b=0，对称轴为y轴。b. 二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0,抛物线开口向上；当a<0,抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小。c. B与a 共同决定对称轴位置，若同号，则对称轴在y的左侧，否则右侧d. C决定抛物线与y轴的交点。（0,c）e. =b2-4ac ,若>0,则与x轴交于2点（-b若=0,则相交于一点（-b/2a,0）,若<0,则与x轴无公共点f. 韦达定理：9. 一元二次方程： +bx+c=0(a0)求根公式法： =。a. 判别：>0, 方程式有两个不相等的实数根a>0 ： c>0 ,两个同号，c<0,两根异号，c=0,一根为0a<0 : c<0 ,两个同号，c>0,两根异号，c=0,一根为0b. =0方程式有两个相等的实数根，c. <0,方程式没有实数根题型一 的根的分布情况（1）有两个正根 ，（2）有两个负根 （3） 一正一负根 即a和c异号即可；如果再要求|正根|>|负根|，则再加上条件a，b异号；如果再要求|正根|<|负根|，则再加上a，b同号（4）一根比k大，一个根比k小 af(k)<010. 一元三次方程： ax3+bx2+cx+d=0 ð X3+b/ax2+c/ax+d/a=(x-x1)(x-x2)(x-x3)=x3-(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x2x3+x1x3)x-x1x2x3ð X1+x2+x3=-b/a, x1x2+x1x3+x2x3=c/a,x1x2x3=-d/a解高次不等式：方法：穿针引线法(由右上开始往下穿)注：偶次方先穿时，不考虑，穿后考虑特殊点； 奇次方不考虑全看为一次。x<1且x-1，或2<x<311. 指数函数Y=ax ( a>0且a<>1)a. 图像位于x轴上方，即 ax>0b. 图像都经过点（0，1），即x=0,y=1c. 当a>1时，x>0 则ax>1/ x<0,ax<1; 当0<a<1时，x>0,则ax<1/ x<0,ax>1d. 当a>1,y=ax 为增函数；当0<a<1,y=ax是减函数12. 指数（1） （2）（3） （4）（5） （6）(n个a相乘) 13. 对数（），负数和0 没有对数，1的对数为0（1）对数恒等式 ，更常用（2）（3）（4）（5）（6）换底公式（7），14. 对数函数指数函数y=ax 的反函数为y=logax x(0,+)-叫做对数函数a. 图像都位于y轴右侧，即定义域为R*,值域为R b. 图像都过（1,0）,即x=1,y=0c. 当a>1时，若x>1,则y>0/若0<x<1,则y<0；当0<a<1,若x>0,则y<0/若0<x<1,则y>0d. 当a>1时，增函数；但0<a<1时，减函数对数方程，不等式的应用方程：不等式：a>1时 单调递增 0<a<1时 单调递减对于，若n为正偶数，则a0；若n为正奇数，则a无限制；若n为负偶数，则a>0；若n为负奇数，则a 0。若a 0,则为a的平方根，负数没有平方根。15. 超越方程a. 指数、对数方程： 运用换元法将方程转化为一元二次方程16. 数列 an Sna. 等差数列： an-an-1=d (n>=2) an=a1+(n-d)d d>0 递增,d=0 常数，d<0 递减等差中项： 若a,A,b 为等差数列，则A=(a+b)/2Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2相邻等距离的项组成数列为等差数列，如：a1,a3,a5.;a3,a8,a13m,nN*,an=am+(n-m)d, d=(an-am)/(n-m) (m<>n)若m,n,p,qN*且m+n=p+q,则am+an=ap+aq若项数为偶数，共有2n 项，则 S奇-S偶=nd, S奇/S偶=an/an+1若项数为奇数，共有2n-1项，则S奇-S偶=an=a, S奇/S偶=n/(n-1)b. 等比数列等差数列等比数列1、定义2、通项3、通项公式技巧4、前n项和公式,5、技巧6、角码规律7成等差，则叫做等差中项成等比，则（奇数项同号、偶数项同号）叫做等比差中项8,三应用题1. 比例：利润率=利润/进货价技巧（思路）思维方法：特值法如果题目中出现必需涉及的量，并且该量不可量化，则此量一定对结果无影响。可引入一个特殊值找出普遍规律下的答案。1、 用最简洁最方便的量作为特指2、 引入特指时，不可改变题目原意 3、 引入两个特值时需特别注意， 防止两者间有必然联系而改变题目原意2. 行程问题：（相遇） 车间距，同向/逆向； 进退并存知识点：a) S=vt S表示路程（不是距离或位移），v匀速，t所用时间s定，v、t成反比;v定，s、t成正比;t定，s、v成正比(中间值代入法）b) 相遇问题S为相遇时所走的路程;S相遇=s1+s2=原来的距离;V相遇=v1+v2相遇时所用时间c) 追击问题S追击=s1-s2 （走的快的人比走的慢的人多走的路程）V追击=v1-v2d) 顺水、逆水问题V顺=v船+v水 V逆=v船-v水 V顺-V逆=2 v水）3. 工程问题：（总量看成1）重要结论: 甲(m 天)，乙（n天），则甲效率1/m,乙效率1/n;甲乙合作效率：1/m+1/n,甲乙合作时间：1/（1/m+1/n）=nm/(m+n)4. 浓度问题：5. 其他类型：a. 分段计费b. 集合问题：3 个集合A+B+C=ABC+AB+BC+AC-ABC注： 留意逆向思维推导c. 不定方程： 借助整数、奇数偶数、范围等特征来确定（如动物脚，鸡兔同笼）d. 线性优化：任务安排，配料、下料、布局、库存问题，以最少资源完成最多任务（画图）e. 至多至少f. 应用最值g. 牛吃草问题：原有草量=吃的天数*(牛的头数-草的生长速度)注：若有亩数，还需要每亩（牛的头数/亩数）四 几何(一) 平面几何1. 平行线2. 三角形a. 直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半b. 射影定理：ACB=90°,CDAB ,则CD2=AD*BD, AC2=AD*AB, BC2=BD*ABc. 四心：内心，外心，重心，垂心d. 三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边3. 三角形相似 相似比4. 四边形（ 平行四边形，正方形，梯形）5. 圆与扇形 （ 垂径定理，圆周角，圆心角）附：bhabcahBAC图形面积（1）任意三角形 注： 圆周角=1/2 圆心角(2)平行四边形：注： 菱形,若对角线互为垂直，则S=对角线之积/2(3)梯形：S中位线×高（上底下底）×高rlO（4）扇形：弧长 l= a°/360°*2r （5）多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°(二) 空间几何体1. 长方体a. 表面积： S=2(ab+bc+ca)b. 体积： V=abc=Sh( 注： 此处S 为底面积)2. 圆柱体：设R底圆半径 H柱高，则a) 侧面积：b) 全面积：c) 体积：d) 圆柱的轴截面是直径x高的长方形，横截面是与底面相同的圆。3. 球设R底圆半径 d直径，则a) 全面积：b) 体积：(三) 平面解析几何a) 平面直角坐标系两点距离公式：设 ，为平面上两点，则A、B的距离为b) 直线与平面i. 直线的倾斜角（）和斜率 k=tan,<>/2两点斜率公式： k=(y2- y1)/ (x2- x1)ii. 平面直线方程1. 一般式：，斜率2. 斜截式：，(注：斜截式不能表示竖直的直线。)3. 点斜式：，通过点，(注：点斜式不能表示竖直的直线。)4. 截距式：， ，a、b为两轴上的截距(注：截距不是距离，只表示坐标轴交点的坐标，可正可负。截距式无法表示水平、竖直和过原点的直线)5. 两点式：(注：两点式不能表示水平和垂直的直线。)iii. 点到直线距离： iv. 两直线位置关系： 判断方法： : 位置关系a、b、c特点k 、b特点平行b1<>b2相交k1<>k2垂直重合两平行线的距离 ：v. 两直线夹角公式： tan=(k1-k2)/(1+k1k2)c) 对称关系i. 点对称：思路：用中点坐标求解关于原点：P(a,b) 对称(-a,-b)关于某点：P(a,b)关于M(X0,Y0),利用中点坐标 （2X0-a,2Y0-b）ii. 直线关于点对称关于原点： AX+BY+C=0, P(x,y)对称(-x,-y),代入即得ax+by-c=0关于某点：1. 某点在直线l上，则它的对称直线为过M点的任一条直线2. 当某点不在直线L1上，解法：1）直线L2 上任取一点P(x,y),则关于M点的对称点位Q(2X0-X,2Y0-Y),因为Q点在L1上，把Q点代入直线L1 即可得L22) iii. 点关于直线对称1. 点P(a,b)关于x轴、y轴，直线x=y,x=-y的对称点坐标可利用图像设为 (a,-b),(-a,b),(b,a),(-b,-a) 2. 点P(a,b)关于某直线L y=kx+b，对称点P已知A（x0，y0）,直线L 的方程为y=kx+b;设A（x1，y1）则根据A A直线L和A A中点在直线L上列方程,可解出对称点（或到直线L 的距离相等）例1、A(2,7)，求关于的对称点解：法一，设对称点为（x.y）得， ， 法二，把代入，得，把代入，得， iii. 直线关于直线对称1. 当L1与L不相交，则L1/L(L: L1：) 方法 所求直线为2. 两相交直线的对称（光的反射）方法例1、求关于的对称直线。解：法一，在直线取一点（-2，0）,关于直线的对称点为（3，-5），则可求出法二，从对称直线中得，由于其斜率相同，可得到（注：法二中用到反代法）总结 如果对称轴为，即斜率为可采用反代方式求解总结 点和直线关于点或者直线的对称方程1. 特殊对称 Ax+By+C=02. （1）关于x轴 Ax-By+C=03. （2）关于y轴 -Ax+By+C=04. （3）关于原点 Ax+By-C=05. （4）关于y=x Bx+Ay+C=06. （5）关于y=-x Bx+Ay-C=07. （6）关于y= x+m 的对称点是（b-m,a+m）8. （7）关于y=- x+m 的对称点是（-b+m,-a+m）9. （8）关于 x=m 的对称点是（2m-a,b）10. （9）关于 y=n 的对称点是（a,2n-b）11. （10）关于 （m，n） 的对称点是（2m-a,2n-b）d) 圆的相关性i. 直线与圆的关系（直线l：y=kx+b ,圆：+-）=1. 相离 d>r <02. 相切 d=r =03. 相交 d<r >0ii. 圆与圆的关系 公切线1. 圆外离 dr+R 42. 两圆外切 d=r+R 33. 两圆相交 R-rdR+r(Rr) 24. 两圆内切 d=R-r(Rr) 15. 两圆内含dR-r(Rr) 0(四) 高分秘笈几何5大模型a) 等面积模型 ： 等底等高b) 共角定理： 共角三角形的面积比等于对应角两夹边的乘积之比c) 碟形定理：如图，在梯形中，存在以下关系： 1. 相似图形，面积比等于对应边长比的平方S1：S2=a2/b22. S1:S2:S3:S4= a2:b2:ab:ab3. S3=S44. S1×S2=S3×S4(由S1/S3=S4/S2推导出)5. AO:BO=(S1+S3):(S2+S4)注： 4.5 为任意四边形比例关系d) 相似模型i. 金字塔模型ii. 沙漏模型e) 共边定理（燕尾模型）：共边三角形面积比等于对应底边比i. SAOBSAOC=BDCDii. SAOBSCOB=AECEiii. SBOCSAOC=BFAF 求阴影部分面积（必考），常用技巧f) 面积的和差g) 分块编号求解h) 等量变形法i) 割补法j) 整体思想k) 构造封闭图形l) 面距离（表面）m) 旋转 （与方程式公式联合，如: abc(a+b+c)/3³）n) 折叠、卷及加工图形o) 解析几何解体技巧p) 中心对称q) 轴对称r) 简单的线性规划(画图)五 数据分析排列组合（解决计数问题）一、两个原理Ø 加法原理（分类） 做一件事有 n类办法，每一类中的每一种均可单独完成此事件，如果第一类有种方案，第二类有种方案.第n类有种方案，则此事件共有方案数Ø 乘法原理（分步） 做一件事分n个步骤，如果第一步有种方案，第二个步骤有种方案.第n步有种方案，则做此事件的方案数模型：从甲到乙有2种方法；从甲到丙有4种方法；从乙到丁有3种方法；从丙到丁有2种方法；问从甲到丁有几种方法？ 解：2*3+4*2=14二、两个概念排列1、 排列定义：从n个不同元素中，任意取出m（）个元素，按照一定顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列2、 排列数定义：从n个不同元素中取出m（）个元素的所有排列的种数，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数3、 排列 全排列 即n个不同元素对应n个不同位置的方案总数记为n！（一一对应） 常用的阶乘数：0！=1，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120组合 1、 组合的定义：从n个不同元素中，任意取出m（）个元素并为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，所有可能的组合的个数称为组合数即 常用的组合数： 2、 组合的性质：a) 只要存在选择，使用C 存在选择 存在对应 n！b) 只要涉及到顺序，就阶乘（不同元素对应不同位置）c) （化简用）即与首末等距的两相系数相等。d)e)f) 即奇数项系数和等于偶数项系数和4、 二项展开式：5、 展开式特征：a)b)c) 指数：i.d) 展开式的最大系数：i.注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合。所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一个阶段（排序）可转化为排列问题各种题型总结： 均分组问题：注意要修正，看所分的组间是否有区别，无区别为平均分组， 要再除以阶乘 对元素或位置限定：思想是先特殊后一般 相邻：捆绑法，解决元素相邻问题。步骤是先把相邻元素作为一个元素进行大排列，然后可能存在小排列Eg. 甲乙等10名同学排成一列，要求甲乙相邻，求排列方法多少种 分两步：1. 甲乙看成一个 A99种 2. 甲乙小排列A22 即，方法A22A99种 不相邻：插空法，解决元素不相邻问题。先不管不相邻元素，把剩下的大元素进行大排列，然后选取间隔插空，可能存在小排列Eg. 甲乙等10名同学排成一列，要求甲乙不相邻，求排列方法多少种 分两步：1. 先不考虑甲乙，其他8个人 A88种 2. 8个人形成9个空格，将甲乙插入A92 即，方法A92A88种 隔板法：n个相同的元素分给m（）个人，每人至少一个名额 使用隔板法要满足以下三个条件a) 所要分的物品规格必须完全相同b) 所要分的物品必须分完，绝不允许有剩余c) 参与分物品的每个成员至少分到一个，绝不允许出现分不到物品的成员Eg. 把10瓶相同饮料分给3个人，每人至少一瓶，求多少种不同分法 将10瓶相同饮料一字摆开，形成9个间隔，C92种 每人至多一个代表无任何约束的隔板问题（相同元素分配问题）例：从1，2，.，20这20个自然数中任取3个不同的数字组成等差数列，问有（）多少个。解：等差数列，可知奇偶性相同。这20个数中有10个奇数，每选的两个奇数选出后可构成2个等差数列，则10个奇数可构成等差数列的个数为，同理偶数也可以构成，总共2个(6)不同元素分配问题（每个对象至少有一个）-打包寄送法：打包法专门解决元素是不同的分组问题，将不同元素分组时，先将元素个数分解并利用排列组合计算每一种分解所对应的不同分组情况，然后汇总相加，这种分解就叫做打包法，打包法得到的每一组至少要有一个元素。其基本解题步骤为：1.确定每组组内元素（即元素个数组分解）2.针对每种分组情况按排列公式分步分组后汇总3.有几个组内元素个数相同就除以几的阶乘寄送法：实际上就是将n个元素分到n个不同的位置，每个位置恰好有一个元素，不同的寄送方法为全排列Ann打包寄送法就是将打包法和寄送法结合在一起Eg. 6名老师分配到三个边疆地区支教，每个地区至少去一名教师，有多少种不同的分组方法？ 分两步：第一步，打包分组：首先三种分组法：1 1 4，1 2 3，2 2 2其次每种分解对应分组方法：1 1 4-> C61C51C44 /A22 1 2 3-> C61C52C332 2 2-> C62C42C22 /A33 汇总相加90种 第二步，寄送法 A33 最终计算得540(7) “各不归位”问题用错排法Eg. 4名老师监考他们四个班级，要求教师不能监考到自己的班级，那么有多少种不同的监考方案？ 利用错排公式Dn= n!/e+0.5(其中e=2.71828),可知D4= 4!/e+0.5=9(8) “超几何”问题用抽检法：例如，一箱产品共有100个，其中次品5个，验货时从箱子中随机抽取3件进行检验，规定抽检的产品至多有一件次品时才可以收货，那么验货方收货的概率为多少？利用概率的定义可知m= C50C953+ C51C952，n= C1003 p=( C50C953+ C51C952)/ C1003(9) “抓阄”问题用抓阄原理法 (抽签原理：签无差别，取出不放回，则每人中奖概率相同)例如：已知n个阄只有一个目标阄，n个人逐一从中无放回抓一个阄。如果有人抓到目标阄测试结束，那么第k个人抓到目标阄的概率是多少？P(A1)=1/n, P(A2)=(n-1)/n *1/(n-1)=1/n P(An)=1/n (10) 环排问题：一般地，n个不同元素作为圆形排列，共有(n-1)!种排法，如果从n个元素中选取m个元素作圆形排列共有n个中选取m个排列后除以m即可即Amn/m(11)不同元素分配问题 一般n封不同的信，向m个不同的信箱投放有mn种方法(12)染色问题 :一般要求相邻不同色环形染色问题公式An=(m-1) n +(-1) n(m-1),其中n表示区域数，m表示颜色数(13)穷举法与列举法（穷举或树状图）(14)对立取反法对于没有、全部、至少、至多型的概率问题常常采用对立取反的方法，即先考虑对立事件概率，然后用1减去这个概率对于某几个元素顺序一定（无差异）的排列问题，可以先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数第 16 页 共 16 页