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函数单调性与最值教案函数的单调性及最值一、函数单调性的定义增函数减函数定义设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2当x1<x2时，都有_，那么就说函数f（x）在区间D上是增函数当x1x2时，都有_,那么就说函数f（x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是_自左向右看图象是_二、证明函数单调性的一般方法1定义法2导数法 设f（x)在某个区间(a，b)内有导数，若f（x）在区间（a，b)内，总有f（x)0f(x)0，则f(x）在区间（a，b）上为增函数（减函数)；反之，若f(x）在区间(a，b）内为增函数（减函数)，则f（x)0f（x）0请注意两者的区别所在1下列函数在其定义域上是增函数的是（）Aytan xBy3x Cy3xDyln |x解析:ytan x只在其周期内单调递增，y3x在R上单调递减,y3x在R上单调递增，yln x在（，0)上单调递减，在（0,)上单调递增答案：C2（2013·海淀区一模)已知a0，下列函数中，在区间（0，a)上一定是减函数的是(）Af（x)axb Bf(x）x22ax1 Cf(x）ax Df（x）logax解析：a0时，函数f(x)axb，为增函数；对于函数f(x）ax，当0a1时，在R上为减函数，当a1时，在R上为增函数；对于f（x)logax，0a1时，在（0，)上为减函数；当a1时在（0，)上为增函数；对于函数f(x)x22ax1，图象是开口向上的抛物线，对称轴为xa，所以该函数在区间（0，a)上一定是减函数，所以选项B对. 故选B.答案：B3若函数f（x）x22xm在3,)上的最小值为1，则实数m的值为_解析：f（x)(x1）2m1在3，）上为单调增函数，且f（x)在3，）上的最小值为1,f(3)1，即22m11，m2.答案:24一个矩形的周长为l，面积为S，给出：（4，1），(8,6），(10，8），。其中可作为（l，S)取得的实数对的序号是_解析:设矩形一边长为x，则Sx2x2，检验知,满足答案：5y (6a3）的最大值为（）A9B。C3 D。解析：因为y ，所以当a时，y的值最大,最大值为.答案：B6若函数f（x）x2ax在是增函数，则a的取值范围是（)A1，0 B1，) C0，3 D3，)解析: f(x）2xa0在上恒成立,即a2x在上恒成立,由于y2x在上单调递减，所以y3，故只要a3。答案：D7已知函数f（x）x24x在区间m,n上的值域是5，4，则mn的取值范围是（）A1，7 B 1，6 C1,1 D0,6解析:f（x）x24x（x2)24，f（2)4.又由f（x)5,得x1或5.由f(x）的图象知：1m2，2n5。因此1mn7。答案:A8已知f（x）是定义在实数集R上的增函数，且f(1)0，函数g(x)在(，1上为增函数,在1，）上为减函数，且g（4)g(0)0，则集合xf(x）g(x）0（）Axx0或1x4 Bx|0x4 Cxx4 Dx|0x1或x4 解析:由题,结合函数性质可得x1时，f(x）0；x0时，f(x）0;x0或x4时，g（x)0；0x4时，g(x)0，故f(x)g（x）0的解集为xx0或1x4故选A. 答案:A函数的奇偶性及周期性一、函数的奇偶性1函数奇偶性的定义及简单性质。2。若f（x）为偶函数,则f(x）f（x）f(|x)，反之，也成立3若奇函数f(x)的定义域包含0,则f（0）0。4判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式在定义域关于原点对称的情况下，（1)若f (x）f（x)0或1f（x）0,则f(x)为偶函数；（2）若f （x)f(x)0或1f(x)0，则f(x）为奇函数5设f（x），g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，偶偶偶,偶×偶偶，奇×奇偶,奇×偶奇二、函数的周期性1周期函数定义：若T为非零常数，对于定义域内的任意x，使得f（xT)f(x)恒成立,则f（x）叫做_，T叫做这个函数的_2周期函数的性质：（1）若T是函数f（x)的一个周期，则kT(kZ，k0)也是它的一个周期；（2)f（xT) f(x）常写作ff；（3）若f（x)的周期中,存在一个最小的正数,则称它为f(x)的最小正周期;1（2013·肇庆二模）下列函数为奇函数的是（）Ay|sin x|ByxCyx3x1Dyln 解析:由|sin（x）sin x，得y|sin x|为偶函数，排除A；由|x|x，得y|x为偶函数，排除B；yx3x1的定义域为R，但其图象不过原点，故yx3x1不为奇函数，排除C；由0得1x1,所以函数yln的定义域为（1,1),关于原点对称,且ln ln1ln ，故yln 为奇函数，故选D。答案：D2函数f（x）x的图象关于(）Ay轴对称B直线yx对称C坐标原点对称D直线yx对称解析：可判断f（x)x为奇函数，所以图象关于原点对称故选C.答案：C3设f（x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）2x3，则f（2）（）A1B1CD。答案：B4若偶函数f(x）是以4为周期的函数，f（x)在区间6，4上是减函数，则f(x)在0,2上的单调性是_解析：T4,且在6,4上单调递减，函数在2,0上也单调递减又f(x）为偶函数，故f(x）的图象关于y轴对称，由对称性知f(x）在0，2上单调递增答案：单调递增1设函数f(x）和g(x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()Af(x）|g（x)是偶函数Bf（x)|g（x）是奇函数Cf（x）g(x)是偶函数Df(x）| g(x）是奇函数解析：因为g（x）是R上的奇函数,所以g(x）是R上的偶函数，从而f(x）g(x)是偶函数故选A。答案：A2（2013·山东卷）已知函数f（x)为奇函数，且当x0时，f（x)x2，则f（1)(）A2 B0 C1 D2解析：因为f（x)为奇函数,所以f(1)f(1）(11)2。故选A。答案：A 3（2013·江苏卷)已知f（x）是定义在R上的奇函数当x0时,f（x)x24x,则不等式f（x）x的解集用区间表示为_解析:因为f(x）是定义在R上的奇函数，所以易知x0时,f(x）x24x解不等式得到f（x)x的解集用区间表示为（5,0）（5，）答案: (5,0）（5，)1（2013·增城下学期调研）已知函数f(x)x2，则（)Af（x)为偶函数且在（0，)上单调递增Bf（x）为奇函数且在(0，)上单调递增Cf（x）为偶函数且在(0，)上单调递减Df(x)为奇函数且在(0，）上单调递增解析：f(x）,f(x)f(x)是偶函数，在（0,)单调递减答案：C2（2013·温州高三第一次质检）已知f（x)是定义在R上是奇函数，且当x0时，f(x)exa，若f（x)在R上是单调函数，则实数a的最小值是_解析：依题意得f(0)0.当x0时，f（x)e0aa1.若函数f（x) 在R上是单调函数，则有a10,a1，因此实数a的最小值是1.答案:1第四节一次函数和二次函数1熟练掌握二次函数的图象，并能求给出了某些条件的二次函数的解析式2掌握二次函数的单调性,会求二次函数的单调区间3会求二次函数的最值4结合二次函数的图象，了解函数的零点及方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数知识梳理一、一次函数及其性质函数yaxb(a0)叫做一次函数当_时，该函数在R上是增函数；当_时，该函数在R上是减函数由于一次函数是单调函数，故其在闭区间上的最大值、最小值一定在端点处取得若函数f（x）axb在xp，q时恒为正（负）,则在p，q处的函数值满足_若函数f(x）axb在xp，q上及x轴有交点，则在p，q处的函数值满足_二、二次函数定义及其性质1二次函数的定义：_。2二次函数的三种表示形式(1)一般式：_；（2)顶点式：_;(3）零点式：_。3二次函数f（x）ax2bxc（a0）的性质(1)定义域为R。当a0时，值域为_；当a0时，值域为_（2)图象是抛物线，其对称轴方程为_,顶点坐标是_（3)当a>0时，开口向_；当a<0时，开口向_(4）当a0时，在区间_上是增函数，在区间_上是减函数；当a0时,在区间_上是增函数，在区间_上是减函数(5)当_时,该函数是偶函数；当_时，该函数是非奇非偶函数4二次函数f（x)ax2bxc在闭区间p,q(p<q)上的最值问题（以a0的情形为例) (1）若q，则该函数的最大值为_，最小值为_(2）若<q，则该函数的最大值为_，最小值为_(3）若p<，则该函数的最大值为_，最小值为_(4）若p，则该函数的最大值为_，最小值为_三、一元二次方程根的分布问题 研究一元二次方程的根的分布，一般情况下需要从以下三个方面考虑:（1）一元二次方程根的判别式；(2）相应二次函数区间端点函数值的符号；（3)相应二次函数图象抛物线的对称轴x及端点的位置关系设x1，x2是实系数二次方程ax2bxc0（a>0)的两实根，则x1，x2分布范围及二次方程系数之间的关系如下表：根的分布x1x2<kk<x1<x2x1k<x2x1，x2（k1,k2）k1<x1k2x2<k3在（k1,k2)内有且仅有一个根图象等价条件f（k）0二、1。形如 yax2bxc(a，b,c为常数且a0）的函数叫做二次函数2（1)yax2bxc（a0）(2）ya（xh）2k（a0）(3）ya(xx1）（xx2）(a0）3（1)(2)x(3)上下（4)(5)b0b04（1)f（p)f（q）（2）f(p）f(3）f(q)f(4）f(q)f(p）, 基础自测1（2012·柳州模拟)已知函数yx24ax(1x3)是单调递增函数，则实数a的取值范围是（)A.B（，1C. D。解析：对称轴为x2a，依题意，对称轴应在区间1，3的左侧（包括左端点）所以2a1，得a。故选A.答案：A2. “a0"是“方程ax210有一个负数根"的()A必要不充分条件B充要条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件解析：若a0，则由ax210得x2,即x± ，所以方程有一个负根；反之,若方程有一个负根,设为x0，则a0。所以“a0”是“方程ax210有一个负数根”的充要条件故选B。答案：B3(2013·揭阳一中段考)若函数f(x)(a22a3)x2（a3）x1的定义域和值域都为R，则a的取值范围是()Aaa1或a3 B1Caa3或a1 Da1a3解析:依题意知函数f（x)为一次函数,所以a22a30,解得a1或a3.当a3时，f(x）1,值域不为R，故舍去故选B。答案:B4已知二次函数yx22ax1在区间（2,3）内是单调函数，则实数a的取值范围是_解析：函数图象的对称轴为xa，当a2或a3时，函数在（2，3)内是单调函数答案:（,23,）1设abc0，二次函数f（x)ax2bxc的图象可能是()解析：当a0时，由abc>0知b，c同号，对应的图象应为C或D,在C，D两图中有c0,故b<0，因此得0，选项D符合,同理可判断当a0时，选项A，B都不符合题意故选D.答案： D2（2013·重庆卷）若a<bc,则函数f(x）（xa）(xb)(xb)(xc）（xc）(xa）的两个零点分别位于区间(）A(a，b)和(b，c)内 B（，a)和(a，b）内C(b，c）和(c,）内 D（,a)和（c，）内解析：由于ab<c，所以f(a)0（ab）（ac)0>0，f(b）（bc）（ba）<0，f（c）（ca）（cb)0。因此有f(a)·f(b）<0，f(b）·f(c）0，又因f(x）是关于x的二次函数,函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f(x）的两零点分别位于区间（a，b）和(b，c)内，故选A。答案：A1已知函数yx2bxc,且f(1x）f(x）,则下列命题成立的是（)Af（x)在区间(，1上是减函数Bf（x）在区间上是减函数Cf（x）在区间(，1上是增函数Df(x）在区间上是增函数解析：因为f（1x）f（x）,所以对称轴是x。所以f(x）在区间上是减函数故选B。答案：B2函数f(x）ax2ax1在R上恒满足f（x）0，则a的取值范围是(）A（,0 B（，4)C(4，0） D（4,0解析：当a0时，f（x)1在R上恒有f（x）0；当a0时，因为f（x)在R上恒有f（x)0,所以得4a0。综上可知：4a0.答案：D12 / 12