2017年高考数学基础突破——导数与积分：9.函数的图象与性质的综合应用.docx

2017年高考数学基础突破集合与函数9函数的图象与性质的综合应用（学生版，后附教师版）【知识梳理】1.利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线. 首先：(1)确定函数的定义域，(2)化简函数解析式，(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等). 其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 2.函数图象间的变换 (1)平移变换 对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减. (2)对称变换 (3)伸缩变换 【基础考点突破】考点1. 作函数的图像 【例1】作出下列函数的图像：(1)y； (2)y（）|x1|； (3)y|log2x1|.【总结反思】为了正确作出函数的图像，除了掌握“列表、描点、连线”的方法外，还要做到以下两点：(1)熟练掌握几种基本函数的图像，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数以及形如yx的函数；(2)掌握常用的图像变换方法，如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等变式训练1.分别作出下列函数的图像：(1)y2x2；(2)yln(1x)考点2.图象识别 【例2 】(1)若函数f(x)则函数yf(x1)的大致图像是()(2)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是()【归纳总结】识图常用的方法如下(1)定性分析法：通过对问题进行定性分析，结合函数的单调性、对称性等解决问题(2)定量计算法：通过定量(如特殊点、特殊值)的计算，来分析解决问题(3)函数模型法：由所提供的图像特征，结合实际问题的含义以及相关函数模型分析解决问题变式训练2. (1) 函数yxsin x在区间，上的大致图像是() (2)2013·四川卷 函数y的图像大致是()【归纳总结】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项. 考点3.函数图像的应用 命题点1.确定方程根的个数 【例3】已知函数yf(x)的周期为2，当x 1，1时，f(x)x2，那么函数yf(x)的图象与函数y|lg x|的图象的交点共有() A.10个 B.9个C.8个 D.7个 【归纳总结】当某些方程求解很复杂时，可以考虑利用函数的图象判断解的个数，即将方程解的个数问题转化为两个函数图象的交点问题，对应图象有几个交点，则方程有几个解. 变式训练3.已知f(x)则方程2f2(x)3f(x)10的解的个数是_命题点2.求参数的取值范围 【例4】已知a>0，且a1，f(x)x2ax，当x(1，1)时，恒有f(x)<，则实数a的取值范围是_命题点3.求不等式的解集 【例5】已知函数yf(x)的图像是圆x2y22上的两段弧，如图所示，则不等式f(x)>f(x)2x的解集是_【基础练习】1.(2016·广州一调)把函数y(x2)22的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是() A.y(x3)23 B.y(x3)21 C.y(x1)23 D.y(x1)21 2.函数y1的图象是()3.使log2(x)x1成立的x的取值范围是()A.(1，0) B.1，0) C.(2，0) D.2，0)4.函数yxsin x在，上的图象是() 5.(2015·安徽卷)函数f(x)的图象如图所示，则下列结论成立的是()A.a>0，b>0，c<0 B.a<0，b>0，c>0 C.a<0，b>0，c<0 D.a<0，b<0，c<06.点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是() 7.(2014·新课标全国卷)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则yf(x)在0，上的图象大致为() 8.设函数yf(x)的图象与y2xa的图象关于直线yx对称，且f(2)f(4)1，则a()A.1 B.1 C.2 D.49.已知函数f(x)则对任意x1，x2R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是()A.f(x1)f(x2)<0 B.f(x1)f(x2)>0 C.f(x1)f(x2)>0 D.f(x1)f(x2)<010.(2015·全国卷)如图，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点.点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx，将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则yf(x)的图象大致为() 11.设奇函数f(x)的定义域为5，5.若当x0，5时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)0的解集是_.12.在平面直角坐标系xOy中，若直线y2a与函数y|xa|1的图象只有一个交点，则a的值为_.13.设函数f(x)|xa|，g(x)x1，对于任意的xR，不等式f(x)g(x)恒成立，则实数a的取值范围是_ .14.已知函数f(x)且关于x的方程f(x)a0有两个实根，则实数a的取值范围是_.15.已知函数f(x)x|mx|(xR)，且f(4)0.(1)求实数m的值； (2)作出函数f(x)的图象；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4)若方程f(x)a只有一个实数根，求a的取值范围.16.当x(1，2)时，不等式(x1)2logax恒成立，求实数a的取值范围.17.(1)已知函数yf(x)的定义域为R，且当xR时，f(mx)f(mx)恒成立，求证yf(x)的图象关于直线xm对称；(2)若函数ylog2|ax1|的图象的对称轴是x2，求非零实数a的值.2017年高考数学基础突破集合与函数9函数的图象与性质的综合应用（教师版）【知识梳理】1.利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线. 首先：(1)确定函数的定义域，(2)化简函数解析式，(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等). 其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 2.函数图象间的变换 (1)平移变换 对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减. (2)对称变换 (3)伸缩变换 【基础考点突破】考点1.作函数的图像 【例1】作出下列函数的图像：(1)y；(2)y（）|x1|；(3)y|log2x1|.【解析】(1)易知函数的定义域为xR|x1y1，因此由y的图像向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到函数y的图像，如图所示(2)先作出y()x，x0，)的图像，然后作其关于y轴的对称图像，再将整个图像向左平移1个单位长度，即得到y()|x1|的图像，如图所示(3)先作出ylog2x的图像，再将图像向下平移1个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图像翻折到x轴上方来，即得到y|log2x1|的图像，如图所示【总结反思】为了正确作出函数的图像，除了掌握“列表、描点、连线”的方法外，还要做到以下两点：(1)熟练掌握几种基本函数的图像，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数以及形如yx的函数；(2)掌握常用的图像变换方法，如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等变式训练1.分别作出下列函数的图像：(1)y2x2；(2)yln(1x)【解析】(1)将y2x的图像向左平移2个单位长度，即得到函数y2x2的图像，如图所示(2)作出函数yln x的图像，将yln x的图像以y轴为对称轴翻折，得到函数yln(x)的图像，再将yln(x)的图像向右平移1个单位长度，得到函数yln(1x)的图像，如图所示考点2.图象识别 【例2 】(1)若函数f(x)则函数yf(x1)的大致图像是()(2)2013·湖北卷 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是()【答案】(1)B(2)C【解析】 (1)作出f(x)的图像如图所示，再把f(x)的图像向左平移一个单位长度，可得到函数yf(x1)的图像故选B.(2)由题意可知函数图像最开始为“斜率为负的线段”，接着为“与x轴平行的线段”，最后为“斜率为负值，且小于之前斜率的线段”观察选项中图像可知，C项符合【归纳总结】识图常用的方法如下(1)定性分析法：通过对问题进行定性分析，结合函数的单调性、对称性等解决问题(2)定量计算法：通过定量(如特殊点、特殊值)的计算，来分析解决问题(3)函数模型法：由所提供的图像特征，结合实际问题的含义以及相关函数模型分析解决问题变式训练2. (1) 函数yxsin x在区间，上的大致图像是() (2)2013·四川卷 函数y的图像大致是()【解析】 (1)容易判断函数yxsin x为偶函数，可排除D.当0x时，yxsin x0，当x时，y0，可排除B，C.故选A.(2)函数的定义域是xR|x0，排除选项A；当x<0时，x3<0，3x1<0，故y>0，排除选项B；当x时，y>0且y0，故为选项C中的图像【归纳总结】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项. 考点3.函数图像的应用 命题点1.确定方程根的个数 【例3】已知函数yf(x)的周期为2，当x 1，1时，f(x)x2，那么函数yf(x)的图象与函数y|lg x|的图象的交点共有() A.10个 B.9个C.8个 D.7个 【答案】A【解析】根据f(x)的性质及f(x)在1，1上的解析式可作图如下：可验证当x10时，y|lg 10|1；当x10时，|lg x|1. 因此结合图象及数据特点知yf(x)与y|lg x|的图象交点共有10个. 【归纳总结】当某些方程求解很复杂时，可以考虑利用函数的图象判断解的个数，即将方程解的个数问题转化为两个函数图象的交点问题，对应图象有几个交点，则方程有几个解. 变式训练3.已知f(x)则方程2f2(x)3f(x)10的解的个数是_【解析】方程2f2(x)3f(x)10的解为f(x)或f(x)1.作出yf(x)的图像，由图像知f(x)有2个解，f(x)1有3个解，所以原方程解的个数为5.命题点2.求参数的取值范围 【例4】已知a>0，且a1，f(x)x2ax，当x(1，1)时，恒有f(x)<，则实数a的取值范围是_【答案】 (1，2【解析】由题知，当x(1，1)时，f(x)x2ax<，即x2<ax.在同一坐标系中分别作出二次函数yx2，指数函数yax的图像(图略)当x(1，1)时，要使指数函数的图像恒在二次函数图像的上方，则所以a2且a1.故实数a的取值范围是a<1或1<a2.命题点3.求不等式的解集 【例5】已知函数yf(x)的图像是圆x2y22上的两段弧，如图所示，则不等式f(x)>f(x)2x的解集是_【答案】x|1<x<0或1<x【解析】由题设中的图像可知，f(x)是奇函数，所以f(x)>f(x)2x可转化为2f(x)>2x，即f(x)>x.在图中作出直线yx，由图可得原不等式的解集为x|1<x<0或1<x【归纳总结】对于形如f(x)>g(x)或可化为f(x)>g(x)的不等式，可以分别作出函数f(x)，g(x)的图像，找到f(x)的图像位于g(x)的图像上方部分所对应的x的取值范围，即为不等式f(x)>g(x)的解集【基础练习】1.(2016·广州一调)把函数y(x2)22的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是() A.y(x3)23 B.y(x3)21 C.y(x1)23 D.y(x1)21 答案C 解析把函数yf(x)的图象向左平移1个单位，即把其中x换成x1，于是得y(x1)222(x1)22，再向上平移1个单位，即得到y(x1)221(x1)23. 2.函数y1的图象是()解析将y的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即可得到函数y1的图象.答案B3.使log2(x)x1成立的x的取值范围是()A.(1，0) B.1，0) C.(2，0) D.2，0)解析在同一坐标系内作出ylog2(x)，yx1的图象，知满足条件的x(1，0)，故选A.答案A4.函数yxsin x在，上的图象是() 解析容易判断函数yxsin x为偶函数，可排除D.当0x时，yxsin x0，当x时，y0，可排除B，C，故选A.5.(2015·安徽卷)函数f(x)的图象如图所示，则下列结论成立的是()A.a>0，b>0，c<0 B.a<0，b>0，c>0 C.a<0，b>0，c<0 D.a<0，b<0，c<0解析函数f(x)的定义域为x|xc，由题中图象可知cxP0，即c<0.令f(x)0，可得x，则xN，又xN0，则0，所以a，b异号，排除A，D.答案C6.点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是() 答案C 7.(2014·新课标全国卷)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则yf(x)在0，上的图象大致为() 解析由题图可知：当x时，OPOA，此时f(x)0，排除A，D；当x时，OMcos x，设点M到直线OP的距离为d，则sin x，即dOMsin xsin xcos x，f(x)sin xcos xsin 2x，排除B.答案C8.(2015·全国卷)设函数yf(x)的图象与y2xa的图象关于直线yx对称，且f(2)f(4)1，则a()A.1 B.1 C.2 D.4解析设(x，y)是函数yf(x)图象上任意一点，它关于直线yx的对称点为(y，x)，由yf(x)的图象与y2xa的图象关于直线yx对称，可知(y，x)在y2xa的图象上，即x2ya，解得ylog2(x)a，所以f(2)f(4)log22alog24a1，解得a2，选C.答案C9.已知函数f(x)则对任意x1，x2R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是()A.f(x1)f(x2)<0 B.f(x1)f(x2)>0C.f(x1)f(x2)>0 D.f(x1)f(x2)<0解析函数f(x)的图象如图所示：且f(x)f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在0，)上是增函数.又0<|x1|<|x2|，f(x2)>f(x1)，即f(x1)f(x2)<0.答案D10.(2015·全国卷)如图，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点.点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx，将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则yf(x)的图象大致为() 解析法一当点P位于边BC上时，BOPx，0x，则tan x，BPtan x，AP，f(x)tan x，可见yf(x)图象的变化不可能是一条直线或线段，排除A，C.当点P位于边CD上时，BOPx，则BPAP.当点P位于边AD上时，BOPx，则tan(x)tan x，APtan x，BP，f(x)tan x，根据函数的解析式可排除D，故选B.法二当点P位于点C时，x，此时APBPACBC1，当点P位于CD的中点时，x，此时APBP21，故可排除C，D，当点P位于点D时x，此时APBPADBD1，而在变化过程中不可能以直线的形式变化，故选B.答案B11.设奇函数f(x)的定义域为5，5.若当x0，5时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)0的解集是_.答案(2，0)(2，512.在平面直角坐标系xOy中，若直线y2a与函数y|xa|1的图象只有一个交点，则a的值为_.解析函数y|xa|1的图象如图所示，因为直线y2a与函数y|xa|1的图象只有一个交点，故2a1，解得a.答案13.设函数f(x)|xa|，g(x)x1，对于任意的xR，不等式f(x)g(x)恒成立，则实数a的取值范围是_ .解析如图，要使f(x)g(x)恒成立，则a1，a1.答案1，)14.(2015·青岛模拟)已知函数f(x)且关于x的方程f(x)a0有两个实根，则实数a的取值范围是_.解析当x0时，02x1，所以由图象可知要使方程f(x)a0有两个实根，即函数yf(x)与ya的图象有两个交点，所以由图象可知0a1.答案(0，1 15.已知函数f(x)x|mx|(xR)，且f(4)0.(1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图象；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4)若方程f(x)a只有一个实数根，求a的取值范围.解(1)f(4)0，4|m4|0，即m4.(2)f(x)x|x4|f(x)的图象如图所示：(3)f(x)的减区间是2，4.(4)从f(x)的图象可知，当a>4或a<0时，f(x)的图象与直线ya只有一个交点，方程f(x)a只有一个实数根，即a的取值范围是(，0)(4，).16.当x(1，2)时，不等式(x1)2logax恒成立，求实数a的取值范围.解设f(x)(x1)2，g(x)logax，在同一直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，要使x(1，2)时，不等式(x1)2logax恒成立，只需函数f(x)的图象在g(x)的图象下方即可.当0a1时，由两函数的图象知，显然不成立；当a1时，如图，使x(1，2)时，不等式(x1)2logax恒成立，只需f(2)g(2)，即(21)2loga2，解得1a2.综上可知，1a2.17.(1)已知函数yf(x)的定义域为R，且当xR时，f(mx)f(mx)恒成立，求证yf(x)的图象关于直线xm对称；(2)若函数ylog2|ax1|的图象的对称轴是x2，求非零实数a的值.(1)证明设P(x0，y0)是yf(x)图象上任意一点，则y0f(x0).又P点关于xm的对称点为P，则P的坐标为(2mx0，y0).由已知f(xm)f(mx)，得f(2mx0)fm(mx0)fm(mx0)f(x0)y0.即P(2mx0，y0)在yf(x)的图象上.yf(x)的图象关于直线xm对称.(2)解对定义域内的任意x，有f(2x)f(2x)恒成立.|a(2x)1|a(2x)1|恒成立，即|ax(2a1)|ax(2a1)|恒成立.又a0，2a10，得a.