2016年四川省泸州市中考数学试卷含答案解析.docx

2016 年四川省泸州市中考数学试卷年四川省泸州市中考数学试卷一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分分1（3 分）6 的相反数为（）A6 B6CD2（3 分）计算 3a2a2的结果是（）A4a2B3a2C2a2D33（3 分）下列图形中不是轴对称图形的是（）ABCD4（3 分）将 5570000 用科学记数法表示正确的是（）A5.57105B5.57106C5.57107D5.571085（3 分）下列立体图形中，主视图是三角形的是（）ABCD6（3 分）数据 4，8，4，6，3 的众数和平均数分别是（）A5，4B8，5C6，5D4，57（3 分）在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区分，其中白球 2 只，红球 6 只，黑球 4 只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出 1 只球，则取出黑球的概率是（）ABCD8（3 分）如图，ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AC+BD=16，CD=6，则ABO 的周长是（）A10B14C20D229（3 分）若关于 x 的一元二次方程 x2+2（k1）x+k21=0 有实数根，则 k 的取值范围是（）Ak1Bk1Ck1Dk110（3 分）以半径为 1 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）ABCD11（3 分）如图，矩形 ABCD 的边长 AD=3，AB=2，E 为 AB 的中点，F 在边 BC上，且 BF=2FC，AF 分别与 DE、DB 相交于点 M，N，则 MN 的长为（）ABCD12（3 分）已知二次函数 y=ax2bx2（a0）的图象的顶点在第四象限，且过点（1，0），当 ab 为整数时，ab 的值为（）A或 1B或 1C或D或二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 12 分分13（3 分）分式方程=0 的根是14（3 分）分解因式：2a2+4a+2=15（3 分）若二次函数 y=2x24x1 的图象与 x 轴交于 A（x1，0）、B（x2，0）两点，则+的值为16（3 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（1，0），B（1a，0），C（1+a，0）（a0），点 P 在以 D（4，4）为圆心，1 为半径的圆上运动，且始终满意BPC=90，则 a 的最大值是三、本大题共三、本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分17（6 分）计算：（1）0sin60+（2）218（6 分）如图，C 是线段 AB 的中点，CD=BE，CDBE求证：D=E19（6 分）化简：（a+1）四本大题共四本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 7 分，共分，共 14 分分20（7 分）为理解某地区七年级学生对新闻、体育、动画、消遣、戏曲五类电视节目的宠爱状况，从该地区随机抽取局部七年级学生作为样本，采纳问卷调查的方法搜集数据（参加问卷调查的每名同学只能选择其中一类节目），并调查得到的数据用下面的表和扇形图来表示（表、图都没制作完成）节目类型新闻体育动画消遣戏曲人数3690ab27依据表、图供应的信息，解决以下问题：（1）计算出表中 a、b 的值；（2）求扇形统计图中表示“动画”局部所对应的扇形的圆心角度数；（3）若该地区七年级学生共有 47500 人，试估计该地区七年级学生中宠爱“新闻”类电视节目的学生有多少人？21（7 分）某商店购置 60 件 A 商品和 30 件 B 商品共用了 1080 元，购置 50 件A 商品和 20 件 B 商品共用了 880 元（1）A、B 两种商品的单价分别是多少元？（2）已知该商店购置 B 商品的件数比购置 A 商品的件数的 2 倍少 4 件，假如须要购置 A、B 两种商品的总件数不少于 32 件，且该商店购置的 A、B 两种商品的总费用不超过 296 元，那么该商店有哪几种购置方案？五本大题共五本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 16 分分22（8 分）如图，为了测量出楼房 AC 的高度，从间隔 楼底 C 处 60米的点 D（点 D 与楼底 C 在同一程度面上）动身，沿斜面坡度为 i=1：的斜坡 DB 前进30 米到达点 B，在点 B 处测得楼顶 A 的仰角为 53，求楼房 AC 的高度（参考数据：sin530.8，cos530.6，tan53，计算结果用根号表示，不取近似值）23（8 分）如图，一次函数 y=kx+b（k0）与反比例函数 y=的图象相交于 A、B 两点，一次函数的图象与 y 轴相交于点 C，已知点 A（4，1）（1）求反比例函数的解析式；（2）连接 OB（O 是坐标原点），若BOC 的面积为 3，求该一次函数的解析式六本大题共六本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 12 分，共分，共 24 分分24（12 分）如图，ABC 内接于O，BD 为O 的直径，BD 与 AC 相交于点 H，AC 的延长线与过点 B 的直线相交于点 E，且A=EBC（1）求证：BE 是O 的切线；（2）已知 CGEB，且 CG 与 BD、BA 分别相交于点 F、G，若 BGBA=48，FG=，DF=2BF，求 AH 的值25（12 分）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，直线 l 与抛物线y=mx2+nx 相交于 A（1，3），B（4，0）两点（1）求出抛物线的解析式；（2）在坐标轴上是否存在点 D，使得ABD 是以线段 AB 为斜边的直角三角形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）点 P 是线段 AB 上一动点，（点 P 不与点 A、B 重合），过点 P 作 PMOA，交第一象限内的抛物线于点 M，过点 M 作 MCx 轴于点 C，交 AB 于点 N，若BCN、PMN 的面积 SBCN、SPMN满意 SBCN=2SPMN，求出的值，并求出此时点 M 的坐标2016 年四川省泸州市中考数学试卷年四川省泸州市中考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分分1（3 分）6 的相反数为（）A6 B6CD【分析】干脆利用相反数的定义分析得出答案【解答】解：6 的相反数为：6故选：A【点评】此题主要考察了相反数的定义，正确把握相反数的定义是解题关键2（3 分）计算 3a2a2的结果是（）A4a2B3a2C2a2D3【分析】干脆利用合并同类项的学问求解即可求得答案【解答】解：3a2a2=2a2故选 C【点评】此题考察了合并同类项的法则留意合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变3（3 分）下列图形中不是轴对称图形的是（）ABCD【分析】依据轴对称图形的概念求解【解答】解：依据轴对称图形的概念可知：A，B，D 是轴对称图形，C 不是轴对称图形，故选：C【点评】本题考察了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是找寻对称轴，图形两局部沿对称轴折叠后可重合4（3 分）将 5570000 用科学记数法表示正确的是（）A5.57105B5.57106C5.57107D5.57108【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数 确定 n 的值是易错点，由于 5570000 有 7 位，所以可以确定 n=71=6【解答】解：5570000=5.57106故选：B【点评】此题考察科学记数法表示较大的数的方法，精确确定 a 与 n 值是关键5（3 分）下列立体图形中，主视图是三角形的是（）ABCD【分析】依据从正面看得到的图形是主视图，可得图形的主视图【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，符合题意；B、球的主视图是圆，不符合题意；C、圆柱的主视图是矩形，不符合题意；D、正方体的主视图是正方形，不符合题意故选：A【点评】本题考察了几何体的三种视图，驾驭定义是关键留意全部的看到的棱都应表如今三视图中6（3 分）数据 4，8，4，6，3 的众数和平均数分别是（）A5，4B8，5C6，5D4，5【分析】依据众数的定义找出出现次数最多的数，再依据平均数的计算公式求出平均数即可【解答】解：4 出现了 2 次，出现的次数最多，众数是 4；这组数据的平均数是：（4+8+4+6+3）5=5；故选：D【点评】此题考察了众数和平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数，留意众数不止一个7（3 分）在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区分，其中白球 2 只，红球 6 只，黑球 4 只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出 1 只球，则取出黑球的概率是（）ABCD【分析】依据随机事务概率大小的求法，找准两点：符合条件的状况数目；全部状况的总数二者的比值就是其发生的概率的大小【解答】解：依据题意可得：口袋里共有 12 只球，其中白球 2 只，红球 6 只，黑球 4 只，故从袋中取出一个球是黑球的概率：P（黑球）=，故选：C【点评】本题考察概率的求法与运用一般方法为：假如一个事务有 n 种可能，而且这些事务的可能性一样，其中事务 A 出现 m 种结果，那么事务 A 的概率 P（A）=8（3 分）如图，ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AC+BD=16，CD=6，则ABO 的周长是（）A10B14C20D22【分析】干脆利用平行四边形的性质得出 AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再利用已知求出 AO+BO 的长，进而得出答案【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，AC+BD=16，AO+BO=8，ABO 的周长是：14故选：B【点评】此题主要考察了平行四边形的性质，正确得出 AO+BO 的值是解题关键9（3 分）若关于 x 的一元二次方程 x2+2（k1）x+k21=0 有实数根，则 k 的取值范围是（）Ak1Bk1Ck1Dk1【分析】干脆利用根的判别式进而分析得出 k 的取值范围【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2+2（k1）x+k21=0 有实数根，=b24ac=4（k1）24（k21）=8k+80，解得：k1故选：D【点评】此题主要考察了根的判别式，正确得出关于 k 的等式是解题关键10（3 分）以半径为 1 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）ABCD【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积【解答】解：如图 1，OC=1，OD=1sin30=；如图 2，OB=1，OE=1sin45=；如图 3，OA=1，OD=1cos30=，则该三角形的三边分别为：、，（）2+（）2=（）2，该三角形是以、为直角边，为斜边的直角三角形，该三角形的面积是=，故选：D【点评】本题主要考察多边形与圆，解答此题要明确：多边形的半径、边心距、中心角等概念，依据解直角三角形的学问解答是解题的关键11（3 分）如图，矩形 ABCD 的边长 AD=3，AB=2，E 为 AB 的中点，F 在边 BC上，且 BF=2FC，AF 分别与 DE、DB 相交于点 M，N，则 MN 的长为（）ABCD【分析】过 F 作 FHAD 于 H，交 ED 于 O，于是得到 FH=AB=2，依据勾股定理得到 AF=2，依据平行线分线段成比例定理得到 OH=AE=，由相像三角形的性质得到=，求得 AM=AF=，依据相像三角形的性质得到=，求得 AN=AF=，即可得到结论【解答】解：过 F 作 FHAD 于 H，交 ED 于 O，则 FH=AB=2BF=2FC，BC=AD=3，BF=AH=2，FC=HD=1，AF=2，OHAE，=，OH=AE=，OF=FHOH=2=，AEFO，AMEFMO，=，AM=AF=，ADBF，ANDFNB，=，AN=AF=，MN=ANAM=，故选 B【点评】本题考察了相像三角形的断定与性质，矩形的性质，勾股定理，比例的性质，精确作出协助线，求出 AN 与 AM 的长是解题的关键12（3 分）已知二次函数 y=ax2bx2（a0）的图象的顶点在第四象限，且过点（1，0），当 ab 为整数时，ab 的值为（）A或 1B或 1C或D或【分析】首先依据题意确定 a、b 的符号，然后进一步确定 a 的取值范围，依据ab 为整数确定 a、b 的值，从而确定答案【解答】解：依题意知 a0，0，a+b2=0，故 b0，且 b=2a，ab=a（2a）=2a2，于是 0a2，22a22，又ab 为整数，2a2=1，0，1，故 a=，1，b=，1，ab=或 1故选 A【点评】本题考察了二次函数的性质，解题的关键是可以依据图象经过的点确定a+b+c 的值和 a、b 的符号，难度中等二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 12 分分13（3 分）分式方程=0 的根是x=1【分析】把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再代入 x（x3）进展检验即可【解答】解：方程两边都乘以最简公分母 x（x3）得：4x（x3）=0，解得：x=1，经检验：x=1 是原分式方程的解，故答案为：x=1【点评】此题考察理解分式方程，解分式方程的根本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程肯定留意要验根14（3 分）分解因式：2a2+4a+2=2（a+1）2【分析】原式提取 2，再利用完全平方公式分解即可【解答】解：原式=2（a2+2a+1）=2（a+1）2，故答案为：2（a+1）2【点评】此题考察了提公因式法与公式法的综合运用，娴熟驾驭因式分解的方法是解本题的关键15（3 分）若二次函数 y=2x24x1 的图象与 x 轴交于 A（x1，0）、B（x2，0）两点，则+的值为4【分析】设 y=0，则对应一元二次方程的解分别是点 A 和点 B 的横坐标，利用根与系数的关系即可求出+的值【解答】解：设 y=0，则 2x24x1=0，一元二次方程的解分别是点 A 和点 B 的横坐标，即 x1，x2，x1+x2=2，x1，x2=，+=4，故答案为：4【点评】本题考察了二次函数与一元二次方程的关系，驾驭二次函数与 x 轴的交点的横坐标就是对应的一元二次方程的根是解题关键16（3 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（1，0），B（1a，0），C（1+a，0）（a0），点 P 在以 D（4，4）为圆心，1 为半径的圆上运动，且始终满意BPC=90，则 a 的最大值是6【分析】首先证明 AB=AC=a，依据条件可知 PA=AB=AC=a，求出D 上到点 A 的最大间隔 即可解决问题【解答】解：A（1，0），B（1a，0），C（1+a，0）（a0），AB=1（1a）=a，CA=a+11=a，AB=AC，BPC=90，PA=AB=AC=a，如图延长 AD 交D 于 P，此时 AP最大，A（1，0），D（4，4），AD=5，AP=5+1=6，a 的最大值为 6故答案为 6【点评】本题考察圆、最值问题、直角三角形性质等学问，解题的关键是发觉PA=AB=AC=a，求出点 P 到点 A 的最大间隔 即可解决问题，属于中考常考题型三、本大题共三、本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分17（6 分）计算：（1）0sin60+（2）2【分析】干脆利用特殊角的三角函数值以及结合零指数幂的性质以及二次根式的性质分别化简进而求出答案【解答】解：（1）0sin60+（2）2=12+4=13+4=2【点评】此题主要考察了实数运算，正确利用相关性质化简各数是解题关键18（6 分）如图，C 是线段 AB 的中点，CD=BE，CDBE求证：D=E【分析】由 CDBE，可证得ACD=B，然后由 C 是线段 AB 的中点，CD=BE，利用 SAS 即可证得ACDCBE，继而证得结论【解答】证明：C 是线段 AB 的中点，AC=CB，CDBE，ACD=B，在ACD 和CBE 中，ACDCBE（SAS），D=E【点评】此题考察了全等三角形的断定与性质以及平行线的性质留意证得ACDCBE 是关键19（6 分）化简：（a+1）【分析】先对括号内的式子进展化简，再依据分式的乘法进展化简即可解答本题【解答】解：（a+1）=2a4【点评】本题考察分式的混合运算，解题的关键是明确分式的混合运算的计算方法四本大题共四本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 7 分，共分，共 14 分分20（7 分）为理解某地区七年级学生对新闻、体育、动画、消遣、戏曲五类电视节目的宠爱状况，从该地区随机抽取局部七年级学生作为样本，采纳问卷调查的方法搜集数据（参加问卷调查的每名同学只能选择其中一类节目），并调查得到的数据用下面的表和扇形图来表示（表、图都没制作完成）节目类型新闻体育动画消遣戏曲人数3690ab27依据表、图供应的信息，解决以下问题：（1）计算出表中 a、b 的值；（2）求扇形统计图中表示“动画”局部所对应的扇形的圆心角度数；（3）若该地区七年级学生共有 47500 人，试估计该地区七年级学生中宠爱“新闻”类电视节目的学生有多少人？【分析】（1）先求出抽取的总人数，再求出 b 的值，进而可得出 a 的值；（2）求出 a 的值与总人数的比可得出结论；（3）求出宠爱新闻类人数的百分比，进而可得出结论【解答】解：（1）宠爱体育的人数是 90 人，占总人数的 20%，总人数=450（人）消遣人数占 36%，b=45036%=162（人），a=450162369027=135（人）；（2）宠爱动画的人数是 135 人，360=108；（3）宠爱新闻类人数的百分比=100%=8%，475008%=3800（人）答：该地区七年级学生中宠爱“新闻”类电视节目的学生有 3800 人【点评】本题考察的是扇形统计图，熟知通过扇形统计图可以很清晰地表示出各局部数量同总数之间的关系用整个圆的面积表示总数（单位 1），用圆的扇形面积表示各局部占总数的百分数是解答此题的关键21（7 分）某商店购置 60 件 A 商品和 30 件 B 商品共用了 1080 元，购置 50 件A 商品和 20 件 B 商品共用了 880 元（1）A、B 两种商品的单价分别是多少元？（2）已知该商店购置 B 商品的件数比购置 A 商品的件数的 2 倍少 4 件，假如须要购置 A、B 两种商品的总件数不少于 32 件，且该商店购置的 A、B 两种商品的总费用不超过 296 元，那么该商店有哪几种购置方案？【分析】（1）设 A 种商品的单价为 x 元、B 种商品的单价为 y 元，依据等量关系：购置 60 件 A 商品的钱数+30 件 B 商品的钱数=1080 元，购置 50 件 A 商品的钱数+20 件 B 商品的钱数=880 元分别列出方程，联立求解即可（2）设购置 A 商品的件数为 m 件，则购置 B 商品的件数为（2m4）件，依据不等关系：购置 A、B 两种商品的总件数不少于 32 件，购置的 A、B 两种商品的总费用不超过 296 元可分别列出不等式，联立求解可得出 m 的取值范围，进而探讨各方案即可【解答】解：（1）设 A 种商品的单价为 x 元、B 种商品的单价为 y 元，由题意得：，解得答：A 种商品的单价为 16 元、B 种商品的单价为 4 元（2）设购置 A 商品的件数为 m 件，则购置 B 商品的件数为（2m4）件，由题意得：，解得：12m13，m 是整数，m=12 或 13，故有如下两种方案：方案（1）：m=12，2m4=20 即购置 A 商品的件数为 12 件，则购置 B 商品的件数为 20 件；方案（2）：m=13，2m4=22 即购置 A 商品的件数为 13 件，则购置 B 商品的件数为 22 件【点评】此题考察了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解答此类应用类题目的关键是细致审题，得出等量关系，从而转化为方程或不等式解题，难度一般，第二问须要分类探讨，留意不要遗漏五本大题共五本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 16 分分22（8 分）如图，为了测量出楼房 AC 的高度，从间隔 楼底 C 处 60米的点 D（点 D 与楼底 C 在同一程度面上）动身，沿斜面坡度为 i=1：的斜坡 DB 前进30 米到达点 B，在点 B 处测得楼顶 A 的仰角为 53，求楼房 AC 的高度（参考数据：sin530.8，cos530.6，tan53，计算结果用根号表示，不取近似值）【分析】如图作 BNCD 于 N，BMAC 于 M，先在 RTBDN 中求出线段 BN，在 RTABM 中求出 AM，再证明四边形 CMBN 是矩形，得 CM=BN 即可解决问题【解答】解：如图作 BNCD 于 N，BMAC 于 M在 RTBDN 中，BD=30，BN：ND=1：，BN=15，DN=15，C=CMB=CNB=90，四边形 CMBN 是矩形，CM=BN=15，BM=CN=6015=45，在 RTABM 中，tanABM=，AM=60，AC=AM+CM=15+60【点评】本题考察解直角三角形、仰角、坡度等概念，解题的关键是添加协助线构造直角三角形，记住坡度的定义，属于中考常考题型23（8 分）如图，一次函数 y=kx+b（k0）与反比例函数 y=的图象相交于 A、B 两点，一次函数的图象与 y 轴相交于点 C，已知点 A（4，1）（1）求反比例函数的解析式；（2）连接 OB（O 是坐标原点），若BOC 的面积为 3，求该一次函数的解析式【分析】（1）由点 A 的坐标结合反比例函数系数 k 的几何意义，即可求出 m 的值；（2）设点 B 的坐标为（n，），将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，利用根与系数的关系可找出 n、k 的关系，由三角形的面积公式可表示出来 b、n的关系，再由点 A 在一次函数图象上，可找出 k、b 的关系，联立 3 个等式为方程组，解方程组即可得出结论【解答】解：（1）点 A（4，1）在反比例函数 y=的图象上，m=41=4，反比例函数的解析式为 y=（2）点 B 在反比例函数 y=的图象上，设点 B 的坐标为（n，）将 y=kx+b 代入 y=中，得：kx+b=，整理得：kx2+bx4=0，4n=，即 nk=1令 y=kx+b 中 x=0，则 y=b，即点 C 的坐标为（0，b），SBOC=bn=3，bn=6点 A（4，1）在一次函数 y=kx+b 的图象上，1=4k+b联立成方程组，即，解得：，该一次函数的解析式为 y=x+3【点评】本题考察了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数系数 k 的几何意义、三角形的面积公式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）利用反比例函数系数 k 的几何意义求出 m 的值；（2）依据各关系量找出关于 k、b、n 的三元一次方程组本题属于中档题，难度不大，但考到的学问点较多，解决该题型题目时，综合根与系数的关系、三角形的面积公式以及一次函数上点的坐标特征得出方程组是关键六本大题共六本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 12 分，共分，共 24 分分24（12 分）如图，ABC 内接于O，BD 为O 的直径，BD 与 AC 相交于点 H，AC 的延长线与过点 B 的直线相交于点 E，且A=EBC（1）求证：BE 是O 的切线；（2）已知 CGEB，且 CG 与 BD、BA 分别相交于点 F、G，若 BGBA=48，FG=，DF=2BF，求 AH 的值【分析】（1）欲证明 BE 是O 的切线，只要证明EBD=90（2）由ABCCBG，得=求出 BC，再由BFCBCD，得 BC2=BFBD求出 BF，CF，CG，GB，再通过计算发觉 CG=AG，进而可以证明 CH=CB，求出 AC即可解决问题【解答】（1）证明：连接 CD，BD 是直径，BCD=90，即D+CBD=90，A=D，A=EBC，CBD+EBC=90，BEBD，BE 是O 切线（2）解：CGEB，BCG=EBC，A=BCG，CBG=ABCABCCBG，=，即 BC2=BGBA=48，BC=4，CGEB，CFBD，BFCBCD，BC2=BFBD，DF=2BF，BF=4，在 RTBCF 中，CF=4，CG=CF+FG=5，在 RTBFG 中，BG=3，BGBA=48，即 AG=5，CG=AG，A=ACG=BCG，CFH=CFB=90，CHF=CBF，CH=CB=4，ABCCBG，=，AC=，AH=ACCH=【点评】本题考察切线的断定、圆的有关学问、相像三角形的断定和性质、勾股定理 等腰三角形的断定和性质等学问，解题的关键是奇妙利用相像三角形的性质解决问题，属于中考压轴题25（12 分）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，直线 l 与抛物线y=mx2+nx 相交于 A（1，3），B（4，0）两点（1）求出抛物线的解析式；（2）在坐标轴上是否存在点 D，使得ABD 是以线段 AB 为斜边的直角三角形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）点 P 是线段 AB 上一动点，（点 P 不与点 A、B 重合），过点 P 作 PMOA，交第一象限内的抛物线于点 M，过点 M 作 MCx 轴于点 C，交 AB 于点 N，若BCN、PMN 的面积 SBCN、SPMN满意 SBCN=2SPMN，求出的值，并求出此时点 M 的坐标【分析】（1）由 A、B 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）分 D 在 x 轴上和 y 轴上，当 D 在 x 轴上时，过 A 作 ADx 轴，垂足 D 即为所求；当 D 点在 y 轴上时，设出 D 点坐标为（0，d），可分别表示出 AD、BD，再利用勾股定理可得到关于 d 的方程，可求得 d 的值，从而可求得满意条件的 D点坐标；（3）过 P 作 PFCM 于点 F，利用 RtADORtMFP 以及三角函数，可用 PF分别表示出 MF 和 NF，从而可表示出 MN，设 BC=a，则可用 a 表示出 CN，再利用 SBCN=2SPMN，可用 PF 表示出 a 的值，从而可用 PF 表示出 CN，可求得的值；借助 a 可表示出 M 点的坐标，代入抛物线解析式可求得 a 的值，从而可求出 M 点的坐标【解答】解：（1）A（1，3），B（4，0）在抛物线 y=mx2+nx 的图象上，解得，抛物线解析式为 y=x2+4x；（2）存在三个点满意题意，理由如下：当点 D 在 x 轴上时，如图 1，过点 A 作 ADx 轴于点 D，A（1，3），D 坐标为（1，0）；当点 D 在 y 轴上时，设 D（0，d），则 AD2=1+（3d）2，BD2=42+d2，且 AB2=（41）2+（3）2=36，ABD 是以 AB 为斜边的直角三角形，AD2+BD2=AB2，即 1+（3d）2+42+d2=36，解得 d=，D 点坐标为（0，）或（0，）；综上可知存在满意条件的 D 点，其坐标为（1，0）或（0，）或（0，）；（补充方法：可用 A，B 点为直径作一个圆，圆与坐标轴的交点即为答案）（3）如图 2，过 P 作 PFCM 于点 F，PMOA，RtADORtMFP，=3，MF=3PF，在 RtABD 中，BD=3，AD=3，tanABD=，ABD=60，设 BC=a，则 CN=a，在 RtPFN 中，PNF=BNC=30，tanPNF=，FN=PF，MN=MF+FN=4PF，SBCN=2SPMN，a2=24PF2，a=2PF，NC=a=2PF，=，MN=NC=a=a，MC=MN+NC=（+）a，M 点坐标为（4a，（+）a），又 M 点在抛物线上，代入可得（4a）2+4（4a）=（+）a，解得 a=3或 a=0（舍去），OC=4a=+1，MC=2+，点 M 的坐标为（+1，2+）【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及学问点有待定系数法、勾股定理、相像三角形的断定和性质、点与函数图象的关系及分类探讨等在（2）中留意分点 D 在 x 轴和 y 轴上两种状况，在（3）中分别利用 PF 表示出 MF 和 NC 是解题的关键，留意构造三角形相像 本题涉及学问点较多，计算量较大，综合性较强，特殊是第（3）问，难度很大