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第一章 集合及函数概念 1集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.2常用数集及其记法表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.3集合及元素间的关系对象及集合的关系是，或者，两者必居其一.4集合的表示法 自然语言法：用文字表达的形式来描绘集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.描绘法：|具有的性质，其中为集合的代表元素.图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.5集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集().6子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集或A中的任一元素都属于B(1)(2)(3)假设且，那么(4)假设且，那么或真子集或，且B中至少有一元素不属于A1A为非空子集(2)假设且，那么集合相等A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A(1)(2)（7） 集合有个元素，那么它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集（8） 它有非空真子集.名称记号意义性质示意图交集且123并集或123 补集1 2 第二章 不等式1含肯定值的不等式的解法不等式解集或把看成一个整体，化成，型不等式来求解2一元二次不等式的解法判别式二次函数的图象一元二次方程的根其中无实根的解集或的解集3.常用的根本不等式 第三章 函数1函数的单调性定义及断定方法函数的性 质定义图象断定方法函数的单调性假如对于属于定义域I内某个区间上的随意两个自变量的值x1、x2,当x1< x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数1利用定义2利用函数的单调性3利用函数图象在某个区间图 象上升为增4利用复合函数假如对于属于定义域I内某个区间上的随意两个自变量的值x1、x2，当x1< x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数1利用定义2利用函数的单调性3利用函数图象在某个区间图象下降为减4利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数2函数的奇偶性定义及断定方法函数的性 质定义图象断定方法函数的奇偶性假如对于函数f(x)定义域内随意一个x，都有f(x)=f(x),那么函数f(x)叫做奇函数1利用定义要先推断定义域是否关于原点对称2利用图象图象关于原点对称假如对于函数f(x)定义域内随意一个x，都有f(x)(x),那么函数f(x)叫做偶函数1利用定义要先推断定义域是否关于原点对称2利用图象图象关于y轴对称指数及对数运算一分数指数幂及根式：假如，那么称是的次方根，的次方根为0，假设，那么当为奇数时，的次方根有1个，记做；当为偶数时，负数没有次方根，正数的次方根有2个，其中正的次方根记做负的次方根记做1负数没有偶次方根；2两个关系式：；3、正数的正分数指数幂的意义：； 正数的负分数指数幂的意义：4、分数指数幂的运算性质： ； ； ； ； ，其中、均为有理数，均为正整数二对数及其运算1定义：假设，且，那么2两个对数： 常用对数：，； 自然对数：，3三条性质： 1的对数是0，即； 底数的对数是1，即； 负数和零没有对数4四条运算法那么： ； ； ； 5其他运算性质： 对数恒等式：； 换底公式：； ； 函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象0101定义域值域过定点图象过定点，即当时，奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的改变状况改变对图象的影响在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高 函数名称 指数函数定义函数且叫做指数函数图象0101定义域值域过定点图象过定点，即当时，奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的改变状况改变对图象的影响在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低3二次函数解析式的三种形式一般式：顶点式：两根式：2求二次函数解析式的方法三个点坐标时，宜用一般式抛物线的顶点坐标或及对称轴有关或及最大小值有关时，常运用顶点式假设抛物线及轴有两个交点，且横线坐标时，选用两根式求更便利4二次函数图象的性质二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，二次函数当时，图象及轴有两个交点 第四章 平面对量1.向量：既有大小，又有方向的量 数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度 零向量：长度为的向量单位向量：长度等于个单位的向量平行向量共线向量：方向一样或相反的非零向量零向量及任一向量平行相等向量：长度相等且方向一样的向量2.向量加法运算：三角形法那么的特点：首尾相连平行四边形法那么的特点：共起点三角形不等式： 运算性质：交换律：；结合律：；坐标运算：设，那么18、向量减法运算：三角形法那么的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设，那么设、两点的坐标分别为，那么3.向量数乘运算：实数及向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作；当时，的方向及的方向一样；当时，的方向及的方向相反；当时，运算律：；坐标运算：设，那么 第五章 数列一、等差数列的性质： 1.定义式: (常数)。2.通项公式：，推广型通项公式：， 变形：。3.假设成等差数列，那么称A为a，b的等差中项，且。4.等差数列中， N *,假设，那么 ，假设2，那么 。5.假设 ，均为等差数列，且公差分别为d12，那么数列也为等差数列，且公差分别为。6. 在等差数列中，等间隔 取出假设干项也构成一个等差数列，即，,为等差数列，公差为。7. 等差数列前n项和为，那么为等差数列，公差为n2d。8.假设等差数列的项数为2n，那么有。等差数列的项数为奇数n，那么，。9. 为等差数列中， 。假设 ，均为等差数列,前n项和分别为，那么。10. 等差数列通项公式是：(A0)是一次函数的形式；前n项和公式 (A0) 是不含常数项的二次函数的形式。注当0时，11. 假设a1>0，d<0，有最大值，可由不等式组来确定n。假设a1<0，d>0，有最小值，可由不等式组来确定n。二、 等比数列的性质： 1.定义式:，。2.通项公式：，推广型通项公式：。为等比数列，那么称G为的等比中项，其中0，。中， N * ,假设，那么，假设2，那么。5. 假设,均为等比数列，且公比分别为q12，那么数列,·,也为等比数列，且公比分别为11·q21|。中，等间隔 取出假设干项也构成一个等比数列，即，,为等比数列， 公比为。7. 等比数列前n项和为，那么为等比数列，公比为。(留意：当k(kN* )时，此性质不成立)8.等比数列前n项积为，那么，为等比数列，公比为。中，假设>0，那么q>1时，数列递增;0<q<1时，数列递减。 假设<0，那么q>1时，数列递减;0<q<1时，数列递增。三、 数学方法1等差数列的通项推导：叠加法; 前n项和的推导：倒序相加法2.等比数列的通项推导：叠乘法; 前n项和推导：错位相减法有关的数列问题，一般要用,二者必需同时运用。5.递推关系求通项：型：叠加法型：构造等比数列法型：倒数法型：及同型型：结合 第六章 排列、组合及二项式定理一根本原理1加法原理：做一件事有n类方法，那么完成这件事的方法数等于各类方法数相加。2乘法原理：做一件事分n步完成，那么完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。注：做一件事时，元素或位置允许重复运用，求方法数时常用根本原理求解。排列：从n个不同元素中，任取mmn个元素，根据肯定的依次排成一二、 公式1. 2. (1) (2) ；(3)三组合：从n个不同元素中任取mmn个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 。 1. 公式： ； 假设三、 二项式定理 1. 二项式定理：.绽开式具有以下特点： 项数：共有项； 系数：依次为组合数 每一项的次数是一样的，即为n次，绽开式依a的降幕排列，b的升幕排列绽开.二项绽开式的通项.绽开式中的第项为：.二项式系数的性质.在二项绽开式中及首未两项“等间隔 的两项的二项式系数相等；二项绽开式的中间项二项式系数最大.I. 当n是偶数时，中间项是第项，它的二项式系数最大；. 当n是奇数时，中间项为两项，即第项和第项，它们的二项式系数最大.系数和： 第七章 概率随机试验：将一切具有下面三个特点：1可重复性2多结果性3不确定性的试验或视察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。随机事务：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情结果称为随机事务，简称为事务。不行能事务：在试验中不行能出现的事情，记为。 必定事务：在试验中必定出现的事情，记为。 样本点：随机试验的每个根本结果称为样本点，记作. 样本空间：全部样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用表示. 一个随机事务就是样本空间的一个子集。根本事务单点集，复合事务多点集一个随机事务发生，当且仅当该事务所包含的一个样本点出现。事务的关系及运算就是集合的关系和运算 第八章 三角函数1.两角和及差的正弦、余弦和正切公式：； ； 2.二倍角的正弦、余弦和正切公式：升幂公式降幂公式， 3、 后两个不用推断符号，更加好用 4、正弦定理：在中，、分别为角、的对边，那么有(为的外接圆的半径)5、正弦定理的变形公式：，；，；6、三角形面积公式：7、余弦定理：在中，有，推论： 第九章 立体几何空间点、直线、平面之间的位置关系1 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示1平面的画法：程度放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长如图2平面通常用希腊字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面、平面等。3 三个公理：1公理1：假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为LA·ALBL => L AB公理1作用：推断直线是否在平面内C·B·A·2公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面，使A、B、C。公理2作用：确定一个平面的根据。3公理3：假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。P·L符号表示为：P =>，且PL公理3作用：断定两个平面是否相交的根据空间中直线及直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：共面直线 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线=>acabcb强调：公理4本质上是说平行具有传递性，在平面、空间这特性质都适用。公理4作用：推断空间两条直线平行的根据。3 等角定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 留意点： a'及b'所成的角的大小只由a、b的互相位置来确定，及O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角(0， )； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直及异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。空间中直线及平面、平面及平面之间的位置关系1、直线及平面有三种位置关系：1直线在平面内 有多数个公共点2直线及平面相交 有且只有一个公共点3直线在平面平行 没有公共点指出：直线及平面相交或平行的状况统称为直线在平面外，可用a 来表示a a a直线、平面平行的断定及其性质直线及平面平行的断定1、直线及平面平行的断定定理：平面外一条直线及此平面内的一条直线平行，那么该直线及此平面平行。简记为：线线平行，那么线面平行。符号表示：a b => aab平面及平面平行的断定1、两个平面平行的断定定理：一个平面内的两条交直线及另一个平面平行，那么这两个平面平行。符号表示：a b ab = P ab2、推断两平面平行的方法有三种：1用定义；2断定定理；3垂直于同一条直线的两个平面平行。直线及平面、平面及平面平行的性质1、定理：一条直线及一个平面平行，那么过这条直线的任一平面及此平面的交线及该直线平行。简记为：线面平行那么线线平行。符号表示：aa ab= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：假如两个平面同时及第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：= a ab = b作用：可以由平面及平面平行得出直线及直线平行2.3直线、平面垂直的断定及其性质直线及平面垂直的断定1、定义假如直线L及平面内的随意一条直线都垂直，我们就说直线L及平面互相垂直，记作L，直线L叫做平面的垂线，平面叫做直线L的垂面。如图，直线及平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 L p 2、断定定理：一条直线及一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线及此平面垂直。留意点： a)定理中的“两条相交直线这一条件不行无视；b)定理表达了“直线及平面垂直及“直线及直线垂直互相转化的数学思想。平面及平面垂直的断定1、二面角的概念：表示从空间始终线动身的两个半平面所组成的图形A 梭 l B 2、二面角的记法：二面角或3、两个平面互相垂直的断定定理：一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。直线及平面、平面及平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2性质定理： 两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线及另一个平面垂直。一 空间几何体的外表积1棱柱、棱锥的外表积： 各个面面积之和2 圆柱的外表积 3 圆锥的外表积4 圆台的外表积 5 球的外表积二空间几何体的体积1柱体的体积 2锥体的体积 3台体的体积 4球体的体积 第十章 解析几何 倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l及x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向及直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.特殊地,当直线l及x轴平行或重合时, 规定= 0°.2、 倾斜角的取值范围： 0°180°. 当直线l及x轴垂直时, = 90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角(90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = 当直线l及x轴平行或重合时, =0°, k = 0°=0;当直线l及x轴垂直时, = 90°, k 不存在.由此可知, 一条直线l的倾斜角肯定存在,但是斜率k不肯定存在.4、 直线的斜率公式:给定两点P1(x11)2(x22)1x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: 2121 两条直线的平行及垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，假如它们平行，那么它们的斜率相等；反之，假如它们的斜率相等，那么它们平行，即留意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立即假如k12, 那么肯定有L1L22、两条直线都有斜率，假如它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，假如它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即直线的点斜式方程1、 直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为 2、直线的斜截式方程：直线的斜率为，且及轴的交点为 直线的两点式方程1、直线的两点式方程：两点其中 12122、直线的截距式方程：直线及轴的交点为A，及轴的交点为B，其中直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于的二元一次方程A，B不同时为02、各种直线方程之间的互化。直线的交点坐标及间隔 公式两直线的交点坐标1、给出例题：两直线交点坐标L1 ：342=0 L1：2 +2=0 解：解方程组 得 2，2所以L1及L2的交点坐标为M-2，2两点间间隔 两点间的间隔 公式点到直线的间隔 公式1点到直线间隔 公式：点到直线的间隔 为：2、两平行线间的间隔 公式：两条平行线直线和的一般式方程为：，：，那么及的间隔 为 圆 1、平面内及两个定点，的间隔 之和等于常数大于的点的轨迹称为椭圆即：。这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的间隔 称为椭圆的焦距2、 椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围且且顶点、轴长短轴的长 长轴的长焦点、焦距对称性关于轴、轴、原点对称离心率3、平面内及两个定点，的间隔 之差的肯定值等于常数小于的点的轨迹称为双曲线即：。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的间隔 称为双曲线的焦距4、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围或，或，顶点、轴长虚轴的长 实轴的长焦点、焦距对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称离心率渐近线方程5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线6、平面内及一个定点和一条定直线的间隔 相等的点的轨迹称为抛物线定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线7、抛物线的几何性质：标准方程图形顶点对称轴轴轴焦点准线方程离心率范围8、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径，即9、焦半径公式：假设点在抛物线上，焦点为，那么；假设点在抛物线上，焦点为，那么；圆的方程1标准方程，圆心，半径为r；2一般方程当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为当时，表示一个点； 当时，方程不表示任何图形。3求圆方程的方法：一般都采纳待定系数法：先设后求。确定一个圆须要三个独立条件，假设利用圆的标准方程，需求出a，b，r；假设利用一般方程，须要求出D，E，F；另外要留意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。直线及圆的位置关系直线及圆的位置关系有相离，相切，相交三种状况：1设直线，圆，圆心到l的间隔 为，那么有；2过圆外一点的切线：k不存在，验证是否成立k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线间隔 =半径，求解k，得到方程【肯定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆()2+()22，圆上一点为(x0，y0)，那么过此点的切线方程为(x0)()+(y0)()= r2 圆及圆的位置关系通过两圆半径的和差，及圆心距d之间的大小比较来确定。设圆，两圆的位置关系常通过两圆半径的和差，及圆心距d之间的大小比较来确定。当时两圆外离，此时有公切线四条；当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当时，两圆内含； 当时，为同心圆。留意：圆上两点，圆心必在中垂线上；两圆相切，两圆心及切点共线 圆的协助线一般为连圆心及切线或者连圆心及弦中点