苏教版一元二次方程解法讲义(共8页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上 课题一元二次方程的解法 教学目标1理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2掌握直接开平方法、配方法、求根公式法、因式分解法解方程，会应用判定方法解决有关问题；3理解解法中的降次思想，直接开方法中的分类讨论与换元思想，配方法中的转化思想，理解求根公式的推导过程，以及因式分解降次的实质.重难点透视学习重点：掌握一元二次方程的解法. 学习难点：体会解法中蕴含的数学思想.考点一元二次方程的解法知识点剖析序号 知识点预估时间 掌握情况 1直接开方法 配方法复习 30 2公式法 解一元二次方程 30 3因式分解法 解一元二次方程 30 4练习小结 30教学内容一、知识要点梳理知识点一、一元二次方程的有关概念1一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程2一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.关于一元二次方程的判定1.判定下列方程是不是一元二次方程: (1)； (2)思路点拨：判定一个方程是不是一元二次方程，要看它是否能整理为ax2+bx+c=0的形式，并且仅当a0时，它才是一元二次方程总结升华：虽然根据“只有一个未知数，且未知数的最高次数是2”可以对一些一元二次方程作出初步的判定，但却不十分严格，如(2)题，如果只从原方程看就会做出错误的判断举一反三：【变式1】判定下列方程是否关于x的一元二次方程：(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a； (2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1思路点拨：首先整理成一元二次方程的一般形式，再根据二次项的系数的取值来讨论、判定总结升华：对于含有参数的一元二次方程，要十分注意二次项系数的取值范围，在作为一元二次方程进行研究讨论时，必须确定对参数的限制条件如在第(2)题，对参数的限定条件是m±1例如，一个关于x的方程，若整理为(m-4)x2+mx-3=0的形式，仅当m-40，即m4时，才是一元二次方程(显然，当m=4时，它只是一个一元一次方程4x-3=0)又如，当我们说：“关于x的一元二次方程(a-1)x2+(2a+1)x+a2-1=0”时，实际上就给出了条件“a-10”，也就是存在一个条件“a1”由于这个条件没有直接注明，而是隐含在其他的条件之中，所以称它为“隐含条件”知识点二、一元二次方程的解法1直接开方法解一元二次方程： (1)直接开方法解一元二次方程： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据： 平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： 形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根 形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 .总之，用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.一元二次方程的一般形式、各项及各项的系数的确定一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数： (1)-3x2-4x+2=0； (2)思路点拨：利用等式的性质作变形总结升华：值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中c=-2不能写为c=2，(2)题中不能写为举一反三：【变式1】已知关于y的一元二次方程m2(y2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各项的系数，并指出参数m的取值范围思路点拨：整理为一般形式总结升华：在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题用直接开平方法解一元二次方程3.解方程3x2-24=0 总结升华：应当注意，形如=k(k0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一举一反三：【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根：(1)x2=361； (2)2y2-72=0； (3)5a2-1=0； (4)-8m2+36=0总结升华：在使用直接开平方法时，x2=k(k0)是方程化归、变形的目标形如的方程，都可以变形为(k0)的形式由，所以只需0，就可以用直接开平方法求解4.解方程(x-3)2=49 总结升华：应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标举一反三：【变式1】解下列方程：(1)(x+5)2=225； (2)(3y-2)2=27； (3)3(b+4)2=96； (4)5(4-3n)2=320思路点拨：运用换元的思想，把方程中形如ax+b的式子看作一个整体，利用直接开平方法求解总结升华：本例的解法是直接开平方法的运用，也是换元思想的运用通过这种方法，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解应当注意，这种转化的思想是解一切高于一次的一元方程的基本指导思想【变式2】解方程 (1)(3x+1)2=7； (2) 9x2-24x+16=11.思路点拨：(1)此方程显然用直接开平方法好做，(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解.2配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程 的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： 把原方程化为的形式； 将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； 方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 若方程右边是非负数，则两边直接开平方；求出方程的解；如果右边是一个负数，则判定此方程 无实数解.用配方法解一元二次方程5.用配方法解方程x2-7x-1=0 总结升华：一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行：(1)把形如ax2+bx+c=0(a0)的方程中二次项的系数化为1；(2)把常数项移到方程的右边；(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2=n(n0)的方程；(4)用直接开平方的方法解此题举一反三：【变式1】用配方法解方程.(1)x2-4x-2=0； (2)3x2-4x-2=0； (3)x2+6x+8=0； (4)x2-4x+6=0总结升华：(1)此例运用了配方法，把原方程化为(x+m)2=n(n0)的形式，用直接开平方法可以求出这个方程的根；(2)这种解法是解一元二次方程的最基本的方法，这种解法的关键步骤是配方；(3)配方的关键是在方程的两边都加“一次项系数一半的平方”；3公式法解一元二次方程： (1)一元二次方程求根公式： 对于一元二次方程进行配方：当时，这个式子叫做一元二次方程的求根公式注意：0是公式使用的前提条件，是公式的重要组成部分 公式法是解一元二次方程的一般方法；由公式法可知，一元二次方程最多有两个实数根(2)归纳一元二次方程根的情况： 对于一元二次方程，其中，称为一元二次方程根的判别式 当时，原方程有两个不等的实数根； 当时，原方程有两个相等的实数根； 当时，原方程没有实数根.(3)用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： 把一元二次方程化为一般形式； 确定a、b、c的值； 求出的值；若，则利用公式求出原方程的解； 若，则原方程无实根.一元二次方程的根及根的判别式6.不解方程，判定方程根的情况(1)16x2+8x=-3 (2)9x2+6x+1=0 (3)2x2-9x+8=0 (4)x2-7x-18=0思路点拨：不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可举一反三：【变式】若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+30的解集(用含a的式子表示)思路点拨：要求ax+30的解集，就是求ax-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0因为一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根，即(-2a)2-4(a-2)(a+1)0就可求出a的取值范围用公式法解一元二次方程7.利用公式法求解方程5(x+1)-3x2=x(x+3) 举一反三：【变式1】利用公式法解方程.(1)2x2-8x+3=0； (2)2x2-8x=-5.4因式分解法解一元二次方程： (1)因式分解法解一元二次方程： 将一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次，这种方法叫做因式分解法.(2)因式分解法算理：(A、B至少一个为0)(3)用因式分解法解一元二次方程的步骤： 将方程右边化为0； 将方程左边分解为两个一次式的积； 令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.(4)常用因式分解法： 提取公因式法，平方差公式、完全平方公式.三、规律方法指导一元二次方程有多种解法，要根据形式择优选择解法，但所有解法都是通过“降次”实现求根的：开方降次和分解降次.一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数.直接开平方法是最基本的方法.公式法和配方法是最重要的方法.公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法)，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在使用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解.配方法是推导公式的工具，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好.(三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法).课堂总结课后作业 专心-专注-专业