(完整版)平行四边形有关的常用辅助线.pdf
平行四边形中的常用辅助线第 1 页 共 6 页PART A 知识讲解六类与平行四边形有关的常见辅助线，供借鉴：第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例 1 如左下图 1，在平行四边形ABCD中，点FE,在对角线AC上，且CFAE,请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）连结BFDEBF证明：连结DFDB,设ACDB,交于点 O四边形ABCD为平行四边形OBDOOCAO,FCAEFCOCAEAO即OFOE四边形EBFD为平行四边形DEBF图2图1OOECCABDABDEF第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例 2 如右图 2， 在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O， 如果12AC，10BD，mAB，那么m的取值范围是（）A111mB222mC1210mD65m解：将线段DB沿DC方向平移，使得CEDB,BEDC,则有四边形CDBE为平行四边形 ,在ACE中, 12AC,10BDCE,mABAE22101221012m，即2222m解得111m故选 A 第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例 3 已知：如左下图3，四边形ABCD为平行四边形求证：222222DACDBCABBDAC证明：过DA,分别作BCAE于点E，BCDF的延长线于点F BCBEBCABBEBCBEABCEAEAC2)(22222222CFBCBCCDCFBCCFCDBFDFBD2)()(22222222则BEBCCFBCDACDBCABBDAC22222222四边形ABCD为平行四边形ABCD且CDAB,BCAD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 平行四边形中的常用辅助线第 2 页 共 6 页DCFABC090DFCAEBDCFABECFBE222222DACDBCABBDAC321图4图3KPFEDCFEDABCBA第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例 4：已知：如右上图4，在正方形ABCD中，FE,分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点，求证：ABAP证明：延长CF交BA的延长线于点K四边形ABCD为正方形ABCD且CDAB,ADCD,090DBCDBADK1又090DAKD,AFDFCDFKAFABCDAKADDFCDCE21,21DFCE090DBCDBCECDF210903109032090CPB, 则090KPBABAP第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。例 5 如左下图5，在平行四边形ABCD中，点E为边CD上任一点，请你在该图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。解：延长AE与BC的延长线相交于F，则有AEDFEC,FABFEC,AEDFAB图6图5FONDDBACBACEFE精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 平行四边形中的常用辅助线第 3 页 共 6 页第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线例 6 已知：如右上图6，在平行四边形ABCD中，BNAN,BCBE31,NE交BD于F，求BDBF :解：连结AC交BD于点O,连结ON四边形ABCD为平行四边形2,BDODOBOCOABNANONBC21且BCON21FOBFONBEBCBE313:2: ONBE32FOBF52BOBF5:1: BDBF综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。PART B 综合演练一、一般多边行1、如图，四边形ABCD 中，E、F、G、H 是四边形各边的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形。2、某风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产形状如图所示的风筝，点E、F、G、H 分别是四边形ABCD 的中点，其阴影部分用的甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料），若生产这批风筝需要甲布料30 匹，那么需要乙布料多少匹？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 平行四边形中的常用辅助线第 4 页 共 6 页3、提出问题：如图所示，在四边形ABCD 中，P 是 AD 边上任意一点，PBC 与 ABC和 DBC 的面积之间有什么关系？探究问题：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的，特殊的情形入手：（1）当 AP=21AD 时（如图） ：AP=21AD ， ABP 和ABD 的高相等，ABDABPSS21。PD=AD AP=21AD ， CDP 和 CDA 的高相等，CDACDPSS21。CDPABPABCDPBCSSSS四边形CDAABDABCDSSS2121四边形ABCABCDDBCABCDABCDSSSSS四边形四边形四边形2121ABCDBCSS2121（2）当 AP=31AD 时，探求DBCABCPBCSSS与与之间的关系，写出求解过程；（3）当 AP=61AD 时，DBCABCPBCSSS和与之间的关系式为_；（4）一般地， 当 AP=n1AD（n表示正整数） 时，探求DBCABCPBCSSS和与之间的关系，写出求解过程；问 题 解 决 ： 当AP=nmAD10nm时 ，DBCABCPBCSSS和与之 间 的 关 系 为_。二、多边形1、如图，如果直线m是多边形 ABCDE 的对称轴，其中A=130 ，B=110，那么 BCD 的度数等于（）A、40B、50C、60D、70精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 平行四边形中的常用辅助线第 5 页 共 6 页2、一个零件的形状如图所示，按规定A 应等于90， B、 C 应分别为21和32，检验工人量得 BDC=148，就断定这个零件不合格，这是为什么呢？3、王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm的正方形板子，另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形板子（如图），王师傅想将这两块板子裁剪成两块全等的矩形板材，他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCFE 围成的区域 （如图），由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B 为一个顶点。（1）求 BC 的长。（2）利用图求出矩形顶点B 所对的顶点到BC 边的距离x（cm）为多少时，矩形的面积y（2cm）最大？最大面积是多少？（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长。三、平行四边形（矩形、菱形、正方形与其相同）1、如图，已知 ABC 是等边三角形，D、E 分别在 BC、AC 上，且 CD=CE ，连结 DE 并延长至点 F，使 EF=AE ，连结 AF、BE 和 CF。（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“”表示，并加以证明；（2）判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由；（3）若 AB=6 ，BD=2DC ，求四边形ABEF 的面积。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 平行四边形中的常用辅助线第 6 页 共 6 页2、 如图，在矩形 ABCD 中，E、 F 分别是 AD 、 BC 的中点，点 G、 H 在 DC 边上，且 GH=21DC。若 AB=10 ，BC=12，则图中阴影部分的面积为_。3、如图， E、F 分别是平行四边形ABCD 对角线 BD 所在直线上两点，DE=BF ，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等。 （只需研究一组线段相等即可）。（1）连结 _； （2）猜想： _； （3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）。4、如图，在ABCD 中， E、F 分别为 AB 、CD 的中点，连结DE、BF、BD 。（1）求证： ADE CBF。（2）若 ADBD ，则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -
