工程数学(概率)综合练习题43942.pdf

概率论部分 一、设A、B、C为三事件，用A、B、C运算关系表示下列事件：1A发生，B与C不发生：_ 2A、B、C中至少有一个发生：_ 3A、B、C中至少有两个发生：_ 4A、B、C中不多于一个发生。_ 二、填空 1设A、B为两个事件，且5.0)()(,7.0)(BPAPBAP，则（1）)(BAP_，（2）)(BAP_;2若事件A发生必导致事件B发生，且)(,4.0)(ABPAP则_,)(ABP_;3若A、B为任意两随机事件，若)(),(),(ABPBPAP已知，则)(BAP _，)(AP_;4设有三事件A1、A2、A3相互独立，发生的概率分别为1p、2p、3p，则这三事件中至少有一个发生的概率为_,这三事件中至少有一个不发生的概率为_;5若随机变量XB（5，）,则PX=3=_,PX4=_;6设随机变量XB),(pn，且EX=,DX=,则X的分布列为 kXP_,3XP_;7 已知随机变量X的概率密度函数为 ),(221)(8)1(2xexf 则EX=_，DX=_，X的分布函数)(xF_;8设XN（,4）,则P X3_;(已知)9878.)25.2(,7734.0)75.0(9若XN（)(,22222YEeYex则），且，_;10设随机变量X的概率密度为kxxkexfx则常数0,00,)(3_。11设随机变量XU1，3，则XE1_。12设随机变量X则且,2)(),(2XE_。13设舰艇横向摇摆的随机振幅X服从瑞利分布，其概率分布密度为 其他,00,)(2222xexxfx 0，则E（X）=_。14已知（X，Y）的分布律为 Y X 1 2 3 1 2 1819161 31 且知X与Y相互独立，则和分别为_,_。15已知（X，Y）的分布律为 Y X 1 0 1 1 2 3 0 0 则：（1）E（X）=_ （2）E（Y）=_ 三、单项选择题 1一批产品共 100 件，其中有 5 件不合格，从中任取 5 件进行检查，如果发现有不合格产品就拒绝接受这批产品，则该批产品被拒绝接受的概率为 （）A5100595CC B1005 C51005951CC D4115100951005C 2设A、B为两事件，)(,4.0)()()(BPAPBAPBAP则且 （）A B C D1 3设离散型随机变量X的分布律为 X 0 1 2 P 若XxF为)(的分布函数，则F（）=()A B C0 D1 4设随机变量X的概率分布密度为 aaxxxf则其他,00,3)(2 ()A41 B 21 C 1 D2 5设随机变量X与Y独立，其方差分别为6 和 3，则D（2XY）=（）A9 B 15 C 21 D 27 6设随机变量X与Y独立，X的概率密度为 其他的概率密度为其他,010,2)(,02,8)(3yyyfYxxxfYX 则E（XY）=（）A34 B35 C37 D38 四、某产品每批中都有三分之二合格品，检验时规定：先从中任取一件，若是合格品，放回，再从中任取一件，如果仍为合格则接受这批产品，否则拒收，求一批这种产品被拒收的概率，以及三批产品中至少有一批被接收的概率。五、袋中有 5 个白球，3 个黑球，分别按下列两种取法在袋中取球：（1）从袋中有放回地取三次球，每次取一球，（2）从袋中无放回地取三次球，每次取一球（或称从袋中一次取三个球），在以上两种取法中均求A=恰好取得 2 个白球的概率。六、将n个球放入N个盒子中去，试求恰有n个盒子各有一球的概率（nN）。七、为了防止意外，在矿内安装两个报警系统a和b，每个报警系统单独使用时，系统a有效的概率为，系统b有效的概率为，而在系统a失灵情况下，系统b有效的概率为，试求：（1）当发生意外时，两个报警系统至少有一个有效的概率；（2）在系统b失灵情况下，系统a有效的概率。八、设有一箱产品是由三家工厂（甲、乙、丙）生产的，已知其中21产品是由甲厂生产的，乙、丙两厂的产品各占41，已知甲、乙两厂产品的 2%是次品，丙厂产品的 4%是次品。试求：（1）任取一件是次品又是甲厂生产的概率；（2）任取一件是次品的概率；（3）任取一件已知是次品，问它是甲厂生产的概率。九、设某工厂实际上有 96%的产品为正品，使用某种简易方法验收，以 98%的概率把本来为正品的产品判为正品，而以 5%的概率把本来是次品的产品判为正品。试求经简易验收法被认为是正品的确是正品的概率。十、对以往数据进行分析表明，当机器开动调整良好时，产品的合格率为 90%，而当机器不良好时，其产品的合格率为 30%；机器开动时，机器调整良好的概率为 75%。试求某日首件产品是合格品时，机器调整良好的概率。十一、两批产品一样多，一批全部合格，另一批混有41的次品，从任一批中取一产品检测后知为合格品，又将其放回，求仍在这一批产品中任取一件为次品的概率。十二、由统计资料可知，甲、乙两城市，一年中雨天的比例分别为 20%和 18%，且已知甲下雨时，乙也下雨的概率为 60%。试求甲、乙至少有一地出现雨天的概率。十三、一批零件共 100 个，次品率为 10%，每次从中任取一个零件，取出零件不再放回去，求第三次才取得正品的概率。十四、三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为51、31、41。问能将此密码译出的概率是多少 十五、已知某工厂生产某种产品的次品率为，如果该厂以每 10 个产品为一包出售，并承诺若发现包内多于一个次品便可退货，问卖出的产品被退回的概率若以 20 个产品为一包出售，并承诺多于 2 个次品便可退货，问卖出的产品被退回的概率。十六、设有 20 台同类设备由一人负责维修，并假定各台设备发生故障的概率为，且各台设备是否发生故障彼此相互独立，试求设备发生故障而不能及时维修的概率，若由 3 人共同维修 80 台设备情况又如何 十七、用近似计算公式nkekppknkknk,2,1,0!)1(计算上面第十六题。十八、某保险公司发现索赔要求中有 15%是因被盗而提出的，现在知道 1998 年中该公司共收到 20 个索赔要求，试求其中包含 5 个或 5 个以上被盗索赔的概率。十九、设随机变量X的密度函数为 其他,022,cos)(xxAxf 求（1）系数A；（2）40XP；（3）求X的分布函数。二十、一种电子管的使用寿命为X小时，其密度函数为 100,0100,100)(2xxxxf 设其仪器内装有三个上述电子管（每个电子管损坏与否相互独立的），试求（1）使用 150 小时内没有一个电子管损坏的概率；（2）使用 150 小时内只有一个电子管损坏的概率。二十一、设随机变量X的密度函数为 kxxexkxfkx(0,00,2)(230）求X的概率分布函数)(xF。二十二、设连续型随机变量X的分布函数 0,00,)(22xxbeaxFx 求：（1）常数;,ba （2）P1X1；（3）X的分布密度)(xf 二十三、设k在0，5上服从均匀分布，求方程 02442kxkx 有实根的概率。二十四、设X服从参数015.0的指数分布（1）求PX100；（2）如果要使 PXx，问x应在哪个范围 二十五、设测量某地到某一目标的距离时带有随机误差X，已知XN（20，600），（1）求测量误差的绝对值不超过 30 的概率；（2）如果接连三次测量，各次测量相互独立，求至少有一次误差绝对值不超过 30 的概率。二十六、设随机变量X的分布列为 X 252101 P 10310310110151 求（1）Y=2X的分布列；（2）Y=X2的分布列。二十七、若随机变量XN（0，1），求Y=X2的分布密度。二十八、若随机变量X的密度为,21)(xexf（，+），求Y=X的概率密度。二十九、设二维随机变量（X，Y）的分布列为 Y X 0 1 2 3 321 121481121161121481121161612416181（1）求关于X和关于Y的边缘分布列；（2）判断X与Y是否独立；（3）求PX+Y3；（4）求E(XY）。三十、设随机变量X的分布列为 X 2101 P 61616121 且Y=X21 求（1）Y的分布列；（2）（X，Y）的联合分布列；（3）判断X与Y是否独立。三十一、设随机变量X与Y独立，且X在0，上服从均匀分布，Y的分布密度为 0,00,5)(5yyeyfyY 求（X，Y）的分布密度及PYX。三十二、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 其他,010,10,),(yxyxyxf（1）求PX+Y1；（2）问X与Y是否相互独立（3）求E（X+Y）和D（X+Y）。三十三、设二维连续随机变量（X，Y）的密度函数为 其他,010,20,),(2yxAxyyxf 求（1）常数A；（2）关于X的边缘分布密度);(xfX （3）关于Y的边缘分布密度);(yfY（4）EX。三十四、设X的分布列为 X 2 0 2 P 求：EX，EX2，DX，D（3X2+5）。三十五、设（X，Y）的分布密度为 其他,020,20),(81),(yxyxyxf 求),(YX。北京邮电大学网络教育学院 工程数学综合练习解答 通信工程专业（本科）概率论部分 一、ABCBCACBACABCBACBA.3;.2;.1 CBACBACBACBA.4 二、填空：1（1）,(2)52 ;21 3P（A）+P（B）P（AB），1P（A）；43213211,)1)(1)(1(1pppppp；5)002.0028.0()3.0()7.0()3.0(,)135.0()7.0()3.0(55514452335或或CCC；63125864)6.0()4.0(,6,2,1,0,)6.0()4.0(333666或CkCkkk；71，4，xdtetx,2218)1(2 ；8 ;91；103；113ln21；121 ；132；1491,92；15 2，0。三、单项选择题 1C 2B 3B 4C 5D 6D 四、解：设A1、A2表示第一、二次取出的为合格品 72960495119532321)()(1)(1132121三批全拒收收三批中至少有一批被接接收接收拒收PPAPAPAAPPPP 五、解：（1）22535523,51288883ANN 44.0512225)(NNAPA （2）1802334523,336678131538AANANA 54.05630381325)(54.0336180)(APNNAPA或 六、解：令个盒子各有一球恰有nA nAnnNnnNAPnnNNNNNNN!)(!因此 七、解：令有效系统有效系统bBaA 829.093.01862.092.0)(1)()()(1)()()()()2(988.0862.093.092.0)(862.085.0)92.01(93.0)()()()()()()()()()()()1(85.0)(93.0)(92.0)(BPABPAPBPABAPBPBAPBAPBAPABPAPBPABPBPABBPABPABPBPAPBAPABPBPAP所以其中 八、解：设A1、A2、A3分别为甲、乙、丙的产品，B表示产品是次品，显然%121%2)()()()1(%4)(%2)()(41)()(,21)(111321321APABPBAPABPABPABPAPAPAP由乘法公式 025.041%441%221%2)()()()2(31iiiAPABPBP由全概率公式 （3）由 Bayes 公式 4.0025.021%2)()()()()(31111iiiAPABPAPABPBAP 九、解：设A表示原为正品 )(AP=96%)(AP=4%设B表示简易验收法认为是正品 )(ABP=98%)(ABP=5%所求概率为 998.004.005.096.098.098.096.0)()()()()()()()()(APABPAPABPABPAPBPABPBAP 十、解：设A=机器调整良好 B=合格品 )(AP=75%)(AP=25%)(ABP=90%)(ABP=30%因此 )(BAP=)()()()()()()()(ABPAPABPAPABPAPBPABP%90%30%25%90%75%90%75 十一、解：设A1、A2分别表示第一次取到有次品产品的事件和无次品产品的事件，B为第一次取出的合格品，显然有 1)(,43)(,21)()(2121ABPABPAPAP 由 Bayes 公式 7312143214321)()()()()()()(2211111ABPAPABPAPABPAPBAP 设C表示第二次取出次品的事件 2834173)(CP 十二、解：设A=甲出现雨天，B=乙出现雨天 由题意可知 )(AP=,)(BP=,)(ABP=所求概率为 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+(B)P(A)P(BA)=+=十三、解：令,3,2,1iiAi次取出为正品第 所求概率为 0084.0989099910010)()()()()()(21312121321321AAAPAAPAPAAAPAAPAAAP 十四、解：设3,2,1iiAi人能译出第 A=密码被译出 6.04332541)()()(1)(1)()(321321321321APAPAPAAAPAAAPAPAAAA则 十五、解：设X表示卖出的一包产品中的次品数（1）XB（10，）于是 P卖出的一包被退回=PX1=1PX1=1PX=0PX=1=004.0)99.0()01.0(99.0()01.0(191110100010CC）（2）XB（20，）P 卖出的一包被退回=PX2=1PX2=1PX=0PX=1PX=2=001.0)99.0()01.0()99.0()01.0(99.0()01.0(1182220191120200020CCC）十六、解：先研究一人负责维修 20 台设备的情况。在某一时刻设备发生故障的情况可视为在此时刻对 20 台设备逐个进行检查，每次检查只有两个可能结果；设备发生故障或设备正常工作，因此可视为一个)20(nn重贝努利试验。若令X表示某时刻设备发生故障的台数，则 XB（20，）.由题意知，当发生故障的台数超过维修工作人数，即超过 1 时，将发生不能及时维修的现象，因此，所求事件概率为 PX1=1PX1=1PX=0PX=1=11920)99.0(01.0120)99.0(=对于 3 人共同维修 80 台设备的情况，可类似于上面的讨论，此时XB（80，），并且发生故障不能及时维修的概率为 PX3=301kkXP =kkkk8030)99.0()01.0(801 =十七、解：一人维修 20 台的情况：2.0,001.0,20nppn PX202.0!2.0kkek 查附表 2 得 PX2 3 人维修 80 台的情况：8.0,01.0,80nppn PX408.0!8.0kkek =十八、解：令X表示 20 个索赔中被盗索赔的个数 XB（20，15%）所求概率为 PX5=1PX5=140kkXP)315.020(!31403kkek(查表)=1+=1=十九、解：（1）1=)(xfd22cosxAxd20cos2xAxdx =2A20sinx=2A,A=21 故 其他,022,cos21)(xxxf （2）4010cos42PXxdx=424sin21sin2140 x （3）当x0)(,2xF时 当2x2时，xufxF)()(duuxcos212d）1(sin21sin212xuux 当x2时，1)(xF 总之 2,122,)1(sin212,0)(xxxxxF 二十、解：令p表示一个电子管使用寿命不超过 150 小时（即 150 小时内损坏）的概率，于是 p=PX150=1501002100 xd311501001100150100 xx 若Y表示 150 小时内损坏电子管的数目，则YB 31,3 于是（1）PY=0=;27832313003C （2）PY=1=94271232312113C 二十一、解：当x0 时 xufxF)()(d0u 当x0 时 xufxF)()(dxkxexku0232dx kxkxkxkxekxxkkkekxeekxk222122222233223 因此 0,00,2221)(22xxekxxkxFkx 二十二、解：（1）由 1=1),(limaxFx得 0001)(,1,10)0()0(,0)(22xxexFbaFbaFxxFx于是得以及处连续在由（2）P 1X1=F（1）F（1）=1-3935.021e（3）000)()(22xxxexFxfx 二十三、解：有实根是 当0)2(44)4(0422kkacb即 即 02032161622kkkk即 其它或即或,050,51)(1201020102xxfkkkkkkk 于是 1212kPkPkkPP或有实根 5251d10 xd53x 二十四、解：依题意 X的密度函数为 0,00,015.0)(015.0 xxexfx（1）P X0100)(xfd100015.0015.0 xexdx 223.05.1100015.0eex（2）如果要使PXx 即 xxf)(dxuex015.0015.0d1.0015.0015.0 xxueeu 即 x 即 x015.01.0ln 二十五、解：（1）P X30=P 30 x30=402030402030 4931.018744.05987.0)25.1()25.0(（2）令 Y 表示三次测量绝对值误差不超过 30 的次数 则YB（3，）因此PY1=1PY1=1PY=0=1（）3 二十六、解：（1）由于 X 252101 Y=2X 54202 P 10310310110151 因此 Y=2X的分布列为 Y=2X 20245 P 51101101103103（2）由于 X 252101 Y=X2 4254101 P 10310310110151 因此 Y=X2的分布列为 Y=X2 425410 P 103103103101 二十七、解：由于 ),(,21)(22xexf 当0)()(02PyXPyYPyFy时 当yXyPyXPyYPyFy2)(0时 2221xyyedx20221xyedx 所以 0,00,22)()(022yyeyFyfyx 所以 0,00,21)(2yyeyyfx 二十八、解：Y=X的取值为xy 0 因此 当0)(0yYPyFy时 当yXyPyxPyYPyFy)(0时 xyye21dxxye021dx+xye021dx=1ye 所以 0,0,0)()(,0,10,0)(yeyyFyfyeyyFyy则 二十九、解：（1）关于X、Y的边缘分布列分别为 X 0 1 2 Y 0 1 2 3 P 414121 P 311213141 （2）经验证：对一切jiijpppji有,因此X与Y相互独立。（3）241316112116124161813YXP （4）23)(,43)(YEXE 又X与Y相互独立 892343)()()(YEXEXYE 三十、解：（1）Y的分布列为 Y 1 0 3 P 613261 （2）ijijixXyYPxXPyYxXP,的分布列为),(613,203,000,200,001,2611,003,103,1610,1210,101,101,1YXYXPYXPYXPYXPYXPYXPYXPYXPYXPYXPYXPYXP Y X 301 -1 0 1 2 0210 0061 0610 6100 （3）由于1,1YXP=0 而211 XP，611 YP 可知1,1YXP1XP1YP因此X与Y不独立。三十一、解：其他,02.00,52.01)(xxfX 因此 0,00,5,02.00,5),(5yxexyxfy其他 其他,00,2.00,255yxey xyyxDDYXPXYP),(),(其中 Dyxf),(dxdy=2.00dxyxe552dy 2.0055xedx11e 三十二、解：（1）1YXP10dxxyx0)(dy=21 （2）10)()(yxxfXd)10(,21xxy 其他,010,21)(xxxfX 10)()(yxYfYd)10(,21yyx 其他,010,21)(yyyfY 可见 )()(),(yfxfyxfYX，因此X与Y不独立。（3）1010)()(yxyxYXE dxdy10dx102)(yxdy67 101022)()()(yxyxYXE dxdy10dx103)(yxdy23 3656723)()()(222YXEYXEYXD 三十三、解：（1）由密度函数的性质有 ),(yxfdxdy=1，因此20dx210Axydy=23,132AA （2）),()(yxfxfXdy=其他,020,23102xdyxy 其他,020,21xx（3）),()(yxfYfYdx=2203,0120,xy dxy其他 其他,020,32yy（4）)(xxfEXXdx=22021xdx=34 三十四、解：EX=(2)+0+2=EX2=(2)2+02+22=DX=EX2-(EX)2=(2=D(3X2+5)=9DX2=9EX4（EX2）2=9EX4=9(2)4+04+24=9=三十五、解：DYDXEXEYEXYDYDXYXCovYX),(),(2020)(81yxxEXdxdy20)1(41xxdx67 同理 EY 67 202022)(81yxxEXdydx202)1(41xxdx35 同理 EY2 35 2020)(81yxxyEXYdxdy203141xxdx34 所以 111361136167356735676734),(22YX