人教版导与练总复习数学一轮教师用书：第三章一元函数的导数及其应用.pdf

第三章石，二 产:7先一元函数的导数及其应用(选择性必修第二册)第1节 导数的概念及其意义、导数的运算整 课程标准要求1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.2 .能根据导数定义求函数y=c (c为常数)，y=x,y=x；y=x3,y=-,y=V%X的导数.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.能求简单的复合函数(限于形如f(a x+b)的导数,会使用导数公式表.必备知识课前回顾阳残材夯实四基选知识梳理1.函数y=f(x)在x=x o处的导数(1)定义:如果当A x-O时,平均变化率?无限趋近于一个确定的值，即罪有极限,则称y=f(x)在x=x。处可导，并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x。处的导数(也称为瞬时变化率)，记 作f(x。)或y Lr，即f(x 0)=l i m =l i m xoAx ALO AX释疑(1)定义的变化形式:f(x 0)=H m /力X-XQ X-XQ函数y=f(x)的导数伊(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向其大小I f(x)|反映了变化的快慢，|伊(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.(2)几何意义：函数y=f(x)在 x=x()处的导数f (x0)就是曲线y=f(x)切线的斜率k0,即k_ lim/(xo+A x)-/(xo)=f,(x).Ax-0 Ax-释疑曲线y=f(x)在点P(x。,y0)处的切线是指P 为切点,斜率为f (x。)的切线,具有唯一性.(2)曲线y=f(x)过点P(x(),y。)的切线，点P 不一定是切点,切线可能有2.函数y=f(x)的导函数从求函数y=f(x)在 x=x()处导数的过程可以看到，当x=x 0时，f(X。)是一个唯一确定的数.这样，当x 变化时,y=f (x)就是x 的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y ,即3.基本初等函数的导数公式f(x)=y =l i m 八久+”).LO AX基本初等函数导函数f(x)=c (c 为常数)f(x)=0f(x)=xa(a FQ,且 a 70)(x)=a xu f(x)=sin xf(x)=cos Xf(x)=cos Xf (x)=sin xf(x)=exf(x)=Ef(x)=ax(a0,且 aW 1)f (x)=axln af(x)=ln xf (x)=-Xf(x)=loga x(a0,且 aWl)f(x)xlna 释 疑函数的解析式中含有根式的，在求导时要先将根式化为分数指数禀后求导数.4.导数的运算法则若 尹(x),g，(x)存在，则有(1)f(X)g(X)=f(x)g(x);(2)f(x)g(x)，=f(x)g(x)+f(x)g(x);端 J臂(翼(g(x)WO).5.复合函数的导数一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y R uu.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.,重要结论1 .奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.2 .熟记以下结论：(与 二二；(2)心)品；卷 一 排(f(x)W O)；(4)a f(x)b g(x)=a f(x)土 b g (x).，对点自测3-1 .函数f(x)=e*+x 2-2 x 的图象在点(0,f(0)处 的 切 线 方 程 为(A )A.x+y-l=OB.x+y+l=OC.2 x+y+l=0D.2 x+y-l=0解析：因为 f(x)=e*+x 2-2 x,所以 f (x)=e*+2 x-2,所以 f (0)=-1.又f (0)=1,所以所求切线方程为y-l=-(x-O),即 x+y T=0.故选A.2 .下列求导数运算正确的是(B )A.(co s-)=-si n-B.(l o g2x)=-3 3 xln2C.(3X)=3xl o g3e D.(x+-)=1+义解析：由于co s；,因此(co sj)=0,故 A 错误；(l o g 2 X)故 B正3 2 3 xlnz确；(3=3 1 n 3,故 C 错误；因为(x+3 =x +由 =1 -J,故 D 错误.X X故选B.3.设 f (x)在 x=x0处可导，且 l i m ”%。+3竽-八%。)=1,则 f，(x。)等于(C )xO 久A.1 B.3 C.-D.03解析：1 而 )二LO AX3 l i m )”o+3 A x)f d)=3 f，区)=1,0 3 A x所以f (x。)三.故选C4 .(2 0 2 0 全国H I 卷)设函数f(x)上.若 f,则x+a 4a=.解析：由于f (x)=e+器e：故 f,(1)=白厂=：解得=1.(x+a)(1+a)4答案：15 .若函数 f (x)=l n(2 x T),则 f (2)=,解析:伊(x)=4,因此f(2)=-4-=f.2xl 2x2-l 3答案:|关键能力课堂突破美 方 考 点点窠四篡嚷 考点一导数的运算1 .已知函数f(x)=f x+2 x+2 f ，贝(2)的值为(D )A.-2 B.0 C.-4 D.-6解析:法一 由题意f(l)=由 +2+2 f ，化简得f T -2,而 f(x)=2 f(l)x+2,所以(1)=2 r +2,得 f=-2,故f(l)=0,所以 f (x)=-2 x 2+2 x,所以 f (x)=-4 x+2,所以 f (2)=-6.故选口.法二 函数 f(x)=f (l)x 2+2 x+2 f(l)的导数为 f (x)=2 f,(l)x+2,即 f (l)=2 fz(1)+2,解得 f (1)=-2,因此 f (x)=-4 x+2,广(2)=-6.故选 D.2.已知f(x)瑞，则f 9等于(D )A._2_l n 2 B.-2+l n 2C.2-I n 2 D.2+l n 2解析:依题意有1 _ 1 一 工-V 2 -2 X-(2 x)2.m x2x故 广(?=詈2+l n 2.故选D.3 .(2 0 2 1 湖南长沙期中)若函数f (x),g (x)满足f (x)+x g (x)=x 2-l,且=则 f (l)+g(1)等于(c)A.1 B.2 C.3 D.4解析：因为 f (1)=1,f (l)+g(l)=O,所以 g(l)=-l.因为 f(x)+x g(x)=x l,所以 f (x)+g(x)+x g(x)=2 x,所以 f +g +g (1)=2,所以 f (l)+g(1)=2-(-1)=3.故选 C.4.求下列函数的导数:y 2 X+1%+2(2)y=1-+1+Vx l y/x1(3)y=l n V l +2%;(4)y=l+co sJx.解：(1)法一 y=(笞)=x+2(2%+l)(%+2)-(2%+l)(%+2)_ 3(X+2)2(X+2)2、什一 r pi i.2 X+1 2 (x+2)-3 G 3法一 因为 y=-=-=2-x+2 x+2 X 4 2所以y，=色舄)，=(/)，.11(1-/X)+(1+A/X)2(2)y二1+Vx l Vx(1+Vx)(1-Vx)l-x,所以 y，=(-)=(-)-2 2-1-X X-1(x-1)(3)因为 y=l n V l +2x,所以 y=jl n(l+2 x),所以 y，=-(l+2 x)=.2 l+2x l+2x(4)因为 y=l+co s2x=l+-所以 y =0 co s 2 x”l+cos2x 3,1 c-=-+-co s 2 x,2 2 2=-1 si n 2 x (2 x)=-si n 2 x.*题 后悟通1.求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数.2 .熟记求导函数的5种形式及解法连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导；分式形式:观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；对数形式:先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式:先化为分数指数塞的形式,再求导；三角函数形式:可利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导,也可直接利用复合函数求导.3 .掌握求复合函数的导数一般步骤(1)明确复合关系，适当选定中间变量,正确分解关系；分层求导,弄清每一步中是哪个变量对哪个变量求导数.愿考点二导数的几何意义及其应用口 角 度-求切线方程函数f (x)是定义在R 上的奇函数,且当x 0时,-x 0,又当x 0 时，f (x)=3 x?+4 x,且 f (1)=7.因此曲线y=f (x)在点(l,f(D)处的切线方程为y-3=7 (x-1),即7 x-y-4=0.答案：7 x-y-4=01 .求曲线在点P(x 0,y。)处的切线方程的方法(1)求出y=f (x)在 x=x()处的导数，即y=f (x)在点P(x 0,f (x。)处的切线斜率(当曲线y=f (x)在点P处的切线与y 轴平行时,在该点处导数不存在,切线方程为x=x。)；由点斜式求得切线方程y-y =f (x。)(x-x o).2 .由于本题涉及奇函数的点的切线问题，因此求解时需要利用奇函数的性质求f(l)以及*(1).口 角度二求切点坐标C S H)在平面直角坐标系x O y 中，点A 在曲线y=l n x 上，且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是解析:设 A (x0,y。)，由 y,得 k=,x x0所以曲线在点A 处的切线方程为y T n Xo-(x-x0).XQ因为切线经过点(-e,-1),所以TTn x o(-e-x o),所以 I n x0=,x0 x0解得 x o=e,y0=l,即 A (e,1).答案：(e,1)解 题 策 略 I根据导数的几何意义求切点坐标应注意两点:一是切点坐标既在曲线的图象上又在切线上;二是切线的斜率等于切点的横坐标的导数值.口角度三求参数的值(取值范围)已知直线y=kx+l 与曲线y=l n x 相切，则 k 等于()A.4 B.-C.e D.e2e2 e(2)(2 02 1 陕西宝鸡高考模拟)已知直线y=kx(k0)和曲线f (x)=x-a l n x(a WO)相切，则 a的取值范围是()A.(-8,o)u(0,e)B.(0,e)C.(0,1)U (1,e)D.(-8,0)U (1,e)解析：(1)因为y=l n x,所以y,，X设切点为(m,I n m),得切线的斜率为k=y，鼠=上m因为切点在直线y=kx+l 上，所以 I n m=,m+1,m即 I n m=2,贝 U m=e2,贝！J k=3 故选 A.e2(2)函数 f (x)=x-a l n x (a WO)的定义域为(0,+),设直线y=kx(k0)和曲线f (x)=x-a l n x(a WO)相切于点(x0,kx0)(x00),因 为 伊(x)=l q所以切线斜率k才(x 0)=l焉kx0=x0-aln x0整理得(k-l)x0=-aln x0,kl=,XO解得%o=e,a=-e(kT).因为 k0,所以 a=-e(k-1)0,所以2-l 时，f (x)=ln x.由 y=ln x 得 yX设过原点的直线y=ax 与函数y=ln x的图象相切于点A(x o,I n x0),f in x0=ax0,(x0=e,则有_ i 解得C L ,(a-,1 l e所以当直线y=ax 与函数y=ln x的图象相切时，a=-.e又当直线y=ax 经过点B(e2,2)时，有 2=a e2,解得a=4.结合图象可得当直线y=ax 与函数f (x)=|ln%的图象有3 个交点时,实数 a 的取值范围是借二).故选D.若直线y=kx+b 是曲线y=ln x+2的切线，也是曲线y=e 的切线，贝 I b=.解析:设直线y=kx+b 与曲线y=ln x+2的切点为(xb yj,与曲线y=ex的切点为(X 2,yz),y=ln x+2的导数为y yX=e*的导数为y =e*,可得k=/2=又由k 汉-竺 史 士，消去x%可得(1+ln x i)(x-l)=0,xi-2V 4i A.2 4*VI*则 X i，或 X 1=1,当直线y=kx+b 与曲线y=ln x+2的切点为(1)时，其e e与曲线y=e*的切点为(1,e);当直线y=kx+b 与曲线y=ln x+2的切点为(1,2)时,其与曲线y=e”的切点为(0,1).所以k=M=e或 k=4=l,则切1-0-1线方程为y=ex 或 y=x+l,可得b=0 或 1.答案：0 或 11 .(多选题)以下运算正确的是(BC )A.(-)=-B.(c o s x)=-s in xX X乙C.(2*)=2xln 2 D.(1 g x)xlnlO解析:对于A,由于(3=-5,所以A不正确;对于B,由于(c o s x)=-s in x,所以B正确;对于C,由于(才)=2xln 2,所以C正确；对于D,由于(迨x)=士，所以D不正确.故选BCxlnlO2.(20 21 广东肇庆高三联考)已知函数f(x)=ei+x ln x,则f等于(D )A.0 B.1 C.e D.2解析：因为 f(x)=e*r+x ln x,所以(x)=ei+l+ln x,所以 f (1)=eI H+l+ln 1=2.故选D.3.若函数f (x)的导函数的图象关于y轴对称,则f (x)的解析式可能为(C )A.f (x)=3c o s xB.f(x)=x3+x2C.f (x)=l+s in 2x D.f (x)=ex+x解析:A 项中，f (x)=-3s in x,是奇函数，图象关于原点对称,不关于y轴对称;B 项中，f (x)=3x 2+2x=3(x+yq,其图象关于直线x.对称;C项中，f (x)=2c o s 2x,是偶函数，图象关于y 轴对称;D项中，f (x)=e*+l,由指数函数的图象可知该函数的图象不关于y 轴对称.故选C.4.若直线y=-2x+b 为曲线y=x-e*的一条切线，则实数b 的值是(D )A.I n 3-3 B.31 n 3+3C.I n 3+3 D.31 n 3-3解析：设切点为(x o,x0-ex),由 y=x-e得 y =1 -e:所以 l-ex=-2,得e&=3,得 x0=ln 3.所以切点为(I n 3,I n 3-3),所以 I n 3-3=-21 n 3+b,得 b=31 n 3-3.故选 D.5.(20 21 湖南永州二模)曲线f(x)=21 n x 在 x=t处的切线1 过原点,则 1 的 方 程 是(A)A.2x-ey=0 B.2x+ey=0C.ex-2y=0 D.ex+2y=0解析：曲线f(x)=21 n x的导数为(x)*,设切点坐标为(t,21 n t),X因此切线1 的斜率k=fz(t)4又直线1 过原点,所以k=；,得t t-0 tI n t=l,t=e,所以 k=-e,故切e线 1 的方程为 y-2=-(x-e),即 2x-ey=0.故选 A.6.(多选题)(20 21 江苏淮安高三联考)若直线y=+b 是函数f (x)图象的一条切线，则函数f(x)可以是(BC D )A.f (x)=-B.f(x)=x XC.f (x)=s in x D.f (x)=ex解析:直线y=1 x+b 的斜率为k=1.由f (x)的导数为f (x)=-4,即切线的斜率小于0,故A 不正确；由f(X)=x 的导数为f (x)=4x 而 4 x,解得x g,故 B 正确；由f (x)=s in x的导数为f (x)=c o s x,而 c o s x=有解,故C正确；由f (x)=e的导数为fz(x)=e 而 由 解 得 x=Tn 2,故 D正确.故选 BC D.7.(20 21 江苏连云港高三联考)定义方程f(x)=f (x)的实数根x。叫做函数f(x)的“保值点”.如果函数g(x)=x 与函数h(x)=ln(x+l)的“保值点”分别为a,B,那么a 和B 的大小关系是(B)A.a BC.Q=B D.无法确定解析：由题可得g (x)=l,h，二工,由“保值点”的定义可知a=l,x+1l n(B+D*，2记夕(x)=ln(x+l)-；,则 夕&)=士+(七)0,故。(x)在定义域上单X+1 X+1%+1/调递增.由夕(0)=-1 0,因此 0 B B.故选B.8.(20 21 江西吉安高三联考)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且 当 x 0 时,f(x)=g则曲线y=f(x)在点(l,f )处的切线方程为exA)A.y=2ex-e B.y=-2ex-eC.y=2ex+3 D.y=-2ex+e解析：函数f (x)是定义域为R的奇函数，当x 0,则-x 0 时 f (x)=x ,ex,f (x)=(x+l),ex,又 f(l)=e,k=f (1)=2e.y=f(x)在点(1,f(l)处的切线方程为y=2ex-e.故选A.9.某堆雪在融化过程中,其体积V (单位:n?)与融化时间t(单位:h)近似满足函数关系:V(t)=H(1 0 t)3(H 为常数)，其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为力(n f 7 h),那么3 t2,t3,t.4中,瞬时融化速度等于万(m3/h)的 时 刻 是 图 中 的.解 析:声 然 詈 二 反 映 的 是 V(t)图象与两坐标轴交点连线的斜率,如图，观察可知t 3 处瞬时速度(即切线的斜率)与平均速度一致.答案：t 31 0 .我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率h的精度较高的近似值,这是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的近似计算方法,在切点附近,可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算.设f (x)=e/.则 f，(x)=,其在点(0,1)处 的 切 线 方 程 为.解析：因为f(x)=e/,故 f (x)=(x2)ex 2=2 x e%2,则 f (0)=0,故曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y=l.答案：2 x e/y=l1 1 .设函数f(x)=g(2 x T)+x；曲线y=g(x)在点(l,g(D)处的切线方程为 y=2 x+l,则f(1)=.解析:把x=l 代入y=2 x+l,解得y=3,即g (1)=3,由y=2 x+l 的斜率为2,得到 g (1)=2.因 为 伊(x)=2 g(2 x T)+2 x,所以 f (l)=2 g (l)+2=6.答案：6B级综合运用练1 2 .(2 0 2 1 江苏徐州高三期末)假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量P (单位：贝克)与时间t (单位:天)满足函数关系P (t)=P02 ,其中P。为 t=0 时该放射性同位素的含量.已知t=1 5 时,该放射性同位素的瞬时变化率为-年,则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为(D )A.2 0 天 B.3 0 天 C.4 5 天 D.6 0 天解析：由 P(t)=P()2 看得 P(t)=-总*P o ,2-3 0 In 2,因为 t=1 5 时，该放射性同位素的瞬时变化率为-喑,即P (1 5)=-警 P =-噜,解10 60 10得 Po=1 8,则 P(t)=1 8 2 3 0.当该放射性同位素含量为4.5 贝克时，即P(t)=4.5,所以1 8 -2嗫=4.5,即2-5 三,所以-5=-2,解得t=6 0.故选D.1 3.(多选题)若以函数y=f(x)的图象上任意一点P(x i,y j 为切点作切线 L,y=f(x)图象上总存在异于点P的点Q(X2,y l,使得以Q为切点的直线1 2 与 L平行,则称函数f(x)为“美函数”，下面四个函数中是“美函数”的是(B C )A.y=x3-2 x B.y=3 x+-XC.y=c o s x D.y=(x-2)2+l n x解析：由题意可知函数是“美函数”的条件是方程y=a(a 是导数值)至少有两个根.对于A,由y =3 x 2-2,当y =-2 时,x的取值只有0 是唯一的，因此不符合题意；对于B,由yz=3-4=a(x 0,且 a 0),令 2x-4+=a，则有 2x?-(4+a)x+l=O,当X X =0 时，解唯一,不符合题意.故选B C.1 4.(20 21 河北石家庄高三开学考试)函数f(x)=s i n 2x 在原点(0,0)处 的 切 线 方 程 为,请你举出与函数f(x)=s i n 2x 在原点处具有 相 同 切 线 的 一 个 函 数:.解析：由f (x)=s i n 2x 得ff(x)=2c o s 2x,所以函数f (x)在原点(0,0)处的切线斜率为1 1 对*(1,2)恒成立，X即有 a x(2x-l)=2x-x 对 x (1,2)恒成立.令 g(x)=2x 2-x,对称轴方程为x=；,所以区间(1,2)为增区间，即有4g(x)-2时，f (x)0;当x=-2时，f (x)=0;当x -2时，伊(x)0.所以当-2 x 0时，x 6)0;当乂=-2时，*广(x)=0;当 x 0.故选 C.解题策略1.涉及与极值有关的函数图象问题，首先要分清给的是f(x)的图象还是f (X)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f (X)的图象，应先找出f (X)的正负区间及由正变负还是由负变正,然后结合题目特点分析求解.2.f(x)在 x=x。处有极值时.，一定有f (x 0)=O,f(x。)可能为极大值，也可能为极小值,应检验f (x)在 x=x。两侧的符号后才可下结论;若f (Xo)=0,则 f(X)不一定在X=Xo处取得极值，只有确认Xi Xo 0.求 f (x)的单调区间和极值.解：由 f (x)=-k l n x(k 0,x 0),得 f (x)=x二 .由 f (x)=0,2x x解 得 X=V (负值舍去).当 X 变化时，f(x)与 f (x)在区间(0,+8)上的变化情况如表，X(o,Vfc)(Vfc,+)f (X)0+f(X)单调递减/c(Hnk)2单调递增所 以 f(x)的单调递减区间是(0,迎)，单调递增区间是(倔,+8),所 以 f (x)在*=逐处取得极小值为f (%)=也 普,f(x)没有极大值.解题策略I利用导数研究函数的极值,首先是利用导数研究函数的单调区间，根据函数的单调性确定函数的极值,也就是f (x)的值的符号，如果左正右负，那 么 y=f(x)在这个点处取极大值,如果左负右正，那 么 y=f(x)在这个点处取极小值.如果左右不改变符号,那么f (x)在这个点处无极值.口角度三已知极值点求参数(范围)(例1-3)已知函数(*)=1乂2-(32+1)*+32+2 6*在乂=1处取得极小值,求实数a的取值范围.解：函数 f (x)的导数为 f(x)=a x2-(a+l)x+l ex=(x-l)(a x-l)ex.法一 若 a l,则当 x (工,1)时,f (x)0.所 以f(x)在x=l处取得极小值.若 a W l,则当 x (0,1)时,a x T W x T 0.所 以1不 是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是(1,+8).法二 若a=0,当x 0,f (x)单调递增，当x l时，f(x)l,则乂 1,f (x)在(-.1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增，a a可得函数f(X)在x=l处取得极小值,符合题意；若0 a 1,f (x)在(-8,1)上单调递增,在(1,3上单调递减，a a可得函数f (x)在x=l处取得极大值,不符合题意；若a 0,则乂 1,f (x)在&1)上单调递增,在(1,+8)上单调递减，a a可得函数f(X)在X=1处取得极大值,不符合题意.综上所述,实数a的取值范围是(1,+8).解题策略I已知函数的极值点X=x。求参数的值时，首先明确f (x 0)=0,然后判断函数在x=x。左右的函数值的符号是否满足函数极值点的性质，若是涉及参数的讨论,则还要根据函数的导数的零点分类讨论,一般是将导函数的零点用参数表示出来，根据导函数的零点与极值点的关系分类讨论后求解.口 角度四已知极值点的个数，求参数的取值范围已知函数 f(x)=号-a(l n x+3(a W R).若 f(x)在(0,2)上有两X2 X个极值点,求实数a的取值范围.解 f(x)=-a p 三)=g)(e：a x),X X2 Xs要使得f (x)在(0,2)上有两个极值点,则g(x)=ex-,-a x在(0,2)上有两个变号零点.当 a W l 时,g(x)=ex-1-a x ex-1-x,令 S(x)=ex*-x,S (x)=es-1,所以当x (0,l)时,S (x)0,S(x)为增函数,所以 S(x)/S(l)=0,故 g(x)20,所 以g(x)在(0,2)上没有两个零点,不符合题意.当 a 2e 时，因为 x (0,2),ex G (-,e),eg(x)=ex l-a 0,则g(x)在(0,2)上单调递减,所 以g(x)最多只有一个零点,不符合题意.当 l a e 时,g (x)=e*T-a,当 x (0,I n a+1)时,g (x)0,g(x)单调递增,所以 g(x)Min=g(l n a+l)=-a l n a,要使 g(x)=e -a x 在(0,2)上有两个(g(0)=|0,不同的零点,只要J gQna+1)=-ana 0,解得综上所述,a的取值范围为(15).解 题 策 略 I已知函数极值点的个数求参数的取值范围.解决此类问题可转化为函数 y=f (x)在区间(a,b)内变号零点的个数问题求解.【I角度五讨论函数极值点的个数已知函数f(x)=(x-l)ex-a x2(e 是自然对数的底数,a R).讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由.解:f(x)的定义域为R,f (x)=x ex-2a x=x (ex-2a),(1)当 a 0,令 f (x)=0,得 x=0,若 x 0,则 f(x)0,则 f(x)0,f(x)在(0,+8)上单调递增，所以f(x)有 1个极值点.(2)当 a 0 时，令 f (x)=0,得 x=0 或 x=l n (2a),当 时，l n(2a)=0,f (x)NO,f (x)在 R 上单调递增，所以f(x)没有极值点.当 0 a 时，l n(2a)0,得 x 0,由 f (x)0,得 l n(2a)x 时,f (x)在(-8,0)上单调递增,在(0,I n (2a)上单调递减,在(I n(2a),+8)上单调递增,所以f (x)有2个极值点.综上所述，当a力时,f(x)没有极值点，当a W O时,f(x)有1个极值点，当a 0,且a毛 时,f (x)有2个极值点.，解题策略I讨论函数极值点的个数，就是转化为讨论函数的导数的变号零点的个数,而讨论变号零点的个数,常常利用数形结合法,将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象,利用图象讨论满足条件的参数范围.针对训练1.已知函数f(x)的导函数(x)的图象如图所示，那么()A.-1是函数f(x)的极小值点B.1是函数f(x)的极大值点C.2是函数f(x)的极大值点D.函数f(x)有两个极值点解析:根据函数f(x)的导函数f (x)的图象可知伊(-1)=0,fz(2)=0,当 x -1 时，f (x)0,当-k x 0,当 x 2 时，伊(x XO,所以T 不是极值点,2 是函数f (x)的极大值点.故选C.2.(2 02 1 河北邯郸月考)若函数f(x)=ae*-s in x 在 x=0处有极值,则a 的值为()A._1 B.0 C.1 D.e解析：f(x)=aex-c o s x,若函数f(x)=ae*-s in x 在 x=0处有极值，则f (0)=a-l=0,解得a=l,经检验a=l符合题意.故选C.3.(2 02 1贵州遵义高三期中)若函数f(x)=%3 _ax2+x-5 无极值点，则实数a 的取值范围是()A.(-1,1)B.-1,1 C.(-,-1)U (1,+8)D.(-0,-1 U 1,+8)解析：因为 f(x)-ax，+x-5,所以 f(x)=x2-2 ax+l.由函数f(x)x匚 ax?+x-5 无极值点知f(x)=0至多有1 个实数根.所以 =(-2 a)2-4 W 0,解得T W a W l,实数a 的取值范围是 T,1 .故选 B.4.函数f(x)=(x+1)e-的极大值为.解析：因为 f(x)=(x+2)(e-3),令 f (x)=0,解得 x=-2 或 x=ln 3.故当 x (-8,一 2)时,*(x)0,当 x(-2,I n 3)时，f(x)0,故当x=-2 时，函数f(x)有极大值，极大值是6.答案：65.已知函数f(x)=xln(2 x)-ax2-x(a R),讨论函数f(x)极值点的个数.解:f(x)的定义域为(0,+8),(x)=ln(2 x)+2 x,-2 ax-l=ln (2 x)-2 ax,下面讨论f(x)=ln(2 x)-2 ax的变号零点：由 f(x)=ln(2 x)-2 ax=0 W a=ln(2 x),iB t=2 x 0,g(t)=,2x t因为g (t)普，令 g (t)=0,可得t=e,所以当(0,e)时，g 所 0,当 te(e,+8)时,g，0,f(x)为增函数，emm当 x(+8)时,f(x)O,f(x)为减函数，m所以在 xG 1,e 上,f(x)max=f()=-ln m-1.m若m l,即0-l,f(x)在(工,+8)上为减函数，mm所以在 xG 1,e 上,f(x)max=f(l)=-m.若0 m e,f(x)在(0,与 上为增函数,所以当x 1,e e m m时，f(x)max=f(e)=l-me.综上所述，当 m T 时，f(x)则=f(e)=l-me;e当 工 W mW l 时,f(x)0 1 ax=f(工)=T n m-1;em当 m l 时,f(x)max=f(l)=-m.典例迁移(变结论)已知函数f(x)=ln x-mx(mW R).若 m 0,且 f(x)在悖，2 上的最大值为-1,求 m 的值.解:因为 f(x)=ln x-mx(mG R),则 f(x),-m=q，其中xX X12-2当(K m4 时,对任意的xe|,2(f (x)2 0,此时，函数f(x)在I，2 上单调递增，所以 f(x)max=f(2)=ln 2-2 m=T,解得m 3詈 斗 舍 去；若9 m2,则当 x ；,与时,f(x)0,当 x(Z,2 时，伊(x)0,g(x)单调递增,当 x(e；e 时,g (x)0,g(x)单调递减，所以 g (x)g=g (e 2)=t|=e：e z综上,存在a=e2,使 f(x)在区间(0,e 上的最小值为3.慢 考点三导数在实际问题中的应用C1D 南半球某地区冰川的体积每年随时间而变化,现用t 表示时间，以月为单位,年初为起点，根据历年的数据，冰川的体积(单位:亿立方米)关于t 的近似函数的关系为v(x f-t3+llt2-24t+100,0 t 10,；(4(t-10)(3t-41)+100,10 t 0,解得 0 t 3 或 8 t W1 0.当 1 0 t W1 2 时,由 V(t)=4(t-1 0)(3 t-41)+1 0 0 1 0 0,可得 1 0。最，则 1 0 t l 2.综上所述，衰退期为1月，2月，3月，9月，1 0月，1 1月，1 2月.当(K t WI O 时,V(t)=-t 3+l l t 2-2 4t+1 0 0,V(t)=-3 t2+2 2 t-2 4=-(3 t-4)(t-6).当t变化时,V(t)与W (t)在区间(0,1 0 上的变化情况如表.t(o,943(p 6)6(6,1 0 r(t)一0+0V(t)单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以函数在(0,$,(6,1 0 上单调递减,在(1,6)上单调递增，所以 V (t)极 大 值=V (6)=1 3 6,因为 V(0)=1 0 0,此时 V (t)皿=V(6)=1 3 6.当 1 0 0),记 L(x),P(x)分别为每天生产x 件服装的利润和平均利润(平均利润=答粤).总产量(1)当m=6 0 0 时,每天生产量x 为多少时,利润L(x)有最大值,并求出L(x)的最大值；每天生产量x 为多少时,平均利润P(x)有最大值,并求P(x)的最大值.解：根据题意,可得利润L(x)=R(x)-1 0 0 x-3 00 0 0=-|X2+40 0X-1 0 0X-3 0 0 0 0=-|X2+3 0 0X-3 0 0 0 0,x e(0,6 0 0 ,整理得 L (x)=-(x-45 0)2+3 7 500,x (0,6 00，因为 x (0,6 00,所以当x=450时,L (x)有最大值3 7 500元.1 O/人 口工年 _X2+300X_30 000 1/on OOO/r 依题息、得 P (x)-二 一 一(x+-)+3 00,x (0,m ,x3x则 p (x)=。”(0,北3x2令 P (x)=0,即r?。,解得 x=3 00 或 x=-3 00(舍去)，当 x (0,3 00)时,P (x)0,P (x)在(0,3 00)上单调递增，当 x (3 00,+8)时,p(x)0,P (x)在(3 00,+8)上单调递减,所以若0m0 得 x l 或 x-/令 f(x)0 得 号 l 时，f(x)=2 x-l-2 1n x,有 f (x)=2 二 0,此时 f(x)单调递增，X又 f(x)在各分段的界点处连续,所以当0l 时,f(x)单调递增,所以f(x)与f(1)=1.答案：1例 3 已知函数 f(x)=a l n x,a R.设 F(x)=x f(x),求 F(x)在 a,2 a 上的最大值.解：由已知 a 0,F (x)=a(l+l n x),当(K x S时,F(x)0,e e从而F(x)的单调递增区间是+8),单调递减区间是(0)，e e从而，F(x)m a x=m a x F(2 a),F(a),于是 F(2 a)-F(a)=a2 I n(4a2)-I na =a2l n(4a).当 a 时,F(2 a)F(a),4所以 F(x)raa x=F(2 a)=2 a2l n(2 a);当 0 a%,F(2 a)F(a),4所以 F(x)m a x=F(a)=a 2 1n a.(7ia I na,0 a -.4CU D设函数f(x)=l n(x+1)+a(x2-x),其中a R,试讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由.解：函数 f(x)=l n(x+l)+a(x2-x),其中 a R,x (-1,+).导数为 f (x)=-+2 ax-a=2 ax2+axa+1.令 g(x)=2 a x2+a x-a+l.当 a=0时,g(x)=l,此时f(x)0,函数f(x)在(T,+8)上单调递增，无极值点；(2)当 a 0 时,=a2-8 a(l-a)=a(9 a-8).当(K a W：时，W O,g(x)N O,f，(x)O,函数 f(x)在(T,+8)上单9调递增，无极值点；当a 3 时，0,设方程2 a x2+a x-a+l=0的两个实数根分别为X1,X2,X1A4由 g(-l)0,可得-所以当x G (-1,X i)时,g(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递增；当 x (x i,X 2)时,g(x)0,f,(x)0,f(x)0,函数 f(x)单调递增.因此函数f(x)有两个极值点.当 a 0,由 g(-l)=l o,可得 X 1-10,f(x)0,函数 f(x)单调递增；当 x G(X 2,+8)时,g(x)0,f(x)0,函数 f(x)单调递减.因此函数f(x)有一个极值点.综上所述,当a g时，函数f(x)有两个极值点.课时作业 选 题 明细表灵活强 密 教 提 猊A级基础巩固练知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练导数研究函数的极值1,2,3,7,8,912,13,16,1718导数研究函数的最值4,514,15函数的极值与最值综合问题6,10111.(2 02 1 安徽阜阳