2012年第十七届“华罗庚金杯”奥数决赛试卷（小中组b卷）.docx
2012年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组B卷）一、填空题（每小题10分,共80分）1（10分）若将一个边长为 8 厘米的正方形盖在一个三角形上,则两个图形重叠部分的面积占三角形面积的一半,占正方形面积的四分之三那么这个三角形的面积是 平方厘米2（10分） 在如图的算式中,每个字母代表一个 1 至 9 之间的数,不同的字母代表不同的数字,则 A+B+C 3（10分）某水池有A,B两个水龙头如果 A,B同时打开需要30分钟可将水池注满现在A和B同时打开10分钟,即将A关闭,由B继续注水40分钟,也可将水池注满如果单独打开B龙头注水,需要 分钟才可将水池注满4（10分） 将六个数 1,3,5,7,9,11 分别填入右图中的圆圈内（每个圆填一个数） 使每边上三个数的和都等于 19,则三角形三个的圆圈内所填三数之和为 5（10分）四年级一班用班费购买单价分别为 3 元、2 元、1 元的甲、乙、丙三种文具已知购买乙种文具的件数比购买甲种文具的件数少 2 件,且购买甲种文具的费用不超过总费用的一半若购买的三种文具恰好共用了 66 元,那么甲种文具最多购买了 件6（10分）如图所示,一只蚂蚁从正方体的顶点A出发,沿正方棱爬到顶点B,要求行走的路线最短,那么蚂蚁有 种不同的走法7（10分）每枚正方体骰子相对面的点数和都是 7如图摆放的三枚骰子,你只能看到七个面的点数,那么你从该图中看不见的所有面的点数和是 8（10分）十个不同奇数的平方之和的最小值与这个最小值被 4 除的余数之差是 （注：相同的两个自然数的乘积叫做这个自然数的平方,如 1×112,2×222,3×333,类推）二、简答题（每题15分,共60分,要求写出简要过程）9（15分）商店进了一批钢笔,如果用零售价7元卖出20支与用零售价8元卖出15支所赚的钱数相同那么每支钢笔的进货价是多少元?10（15分）十个互不相同的非零自然数之和等于102,那么其中最大的两个数之和的最大值等于多少?其中最小的两个数之和的最小值等于多少?11（15分）如图是一个净化水装置,水流方向为从 A 先流向 B,再流到 C原来容器AB 之间有 10 个流量相同的管道,BC 之间有 10 个流量相同的管道现调换了 AB 与 BC 之间的一个管道后,流量每小时增加了 30 立方米问：通过调整管道布局,从 A 到 C 的流量最大可增加多少立方米?12（15分）称四位数 是四位数的反序数如 1325 是 5231 的反序数,2001 是1002 的反序数问：一个四位数与它的反序数的差能等于 1008 吗?如果能,请写出一例;如果不能,请简述理由2012年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组B卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分,共80分）1（10分）若将一个边长为 8 厘米的正方形盖在一个三角形上,则两个图形重叠部分的面积占三角形面积的一半,占正方形面积的四分之三那么这个三角形的面积是96平方厘米【分析】根据正方形的面积公式Sa×a求出正方形的面积,再根据“占正方形面积的三分之二,”求出两个图形重叠部分的面积,进而求出三角形面积【解答】解：8×8×÷,48×2,96（平方厘米）,答：这个三角形的面积是96平方厘米;故答案为：962（10分） 在如图的算式中,每个字母代表一个 1 至 9 之间的数,不同的字母代表不同的数字,则 A+B+C18【分析】根据减法各部分间的关系可得：DEF+HIJABC,又因为19这9个数字的和是45,假设个位与十位相加都进位,则可得：F+J10+C,E+I10+B19+B,D+HA1,则D+E+F+H+I+J10+C+9+B+A1A+B+C+18,所以A+B+C+D+E+F+H+I+J2（A+B+C）+1845,即A+B+C,不符合题意;则假设只有个位数字相加进位,则F+J10+C,E+IB1,D+HA,则D+E+F+H+I+J10+C+B1+AA+B+C+9,所以A+B+C+D+E+F+H+I+J2（A+B+C）+945,即A+B+C18,符合题意;假设只有十位数字相加进位得到的结果与假设个位数字相加进位得到的结果相同,据此即可解答【解答】解：根据题得：DEF+HIJABC,又因为1+2+3+4+5+6+7+8+945,假设个位与十位相加都进位,则可得：F+J10+C,E+I10+B19+B,D+HA1,则D+E+F+H+I+J10+C+9+B+A1A+B+C+18,所以A+B+C+D+E+F+H+I+J2（A+B+C）+1845,即A+B+C,不符合题意;则假设只有个位数字相加进位,则F+J10+C,E+IB1,D+HA,则D+E+F+H+I+J10+C+B1+AA+B+C+9,所以A+B+C+D+E+F+H+I+J2（A+B+C）+945,即A+B+C18,符合题意;答：A+B+C18故答案为：183（10分）某水池有A,B两个水龙头如果 A,B同时打开需要30分钟可将水池注满现在A和B同时打开10分钟,即将A关闭,由B继续注水40分钟,也可将水池注满如果单独打开B龙头注水,需要60分钟才可将水池注满【分析】我们把水池的容量看作单位“1”,先求出B水管的工作效率,然后用单位“1”除以B的工作效率就是单独打开B龙头注水,需要的时间【解答】解：1÷（1）÷40,1÷,60（分钟）;答：单独打开B龙头注水,需要60分钟才可将水池注满故答案为：604（10分） 将六个数 1,3,5,7,9,11 分别填入右图中的圆圈内（每个圆填一个数） 使每边上三个数的和都等于 19,则三角形三个的圆圈内所填三数之和为21【分析】由于三角形三个顶点上3个数重复加了一遍,所以各边数字之和减去所填入数字和等于重复多加的各顶点之和,即19×3（1+3+5+7+9+11）21,所以顶点上三个数的和是21【解答】解：19×3（1+3+5+7+9+11）,19×336,21;这个幻方可以是：故答案为：215（10分）四年级一班用班费购买单价分别为 3 元、2 元、1 元的甲、乙、丙三种文具已知购买乙种文具的件数比购买甲种文具的件数少 2 件,且购买甲种文具的费用不超过总费用的一半若购买的三种文具恰好共用了 66 元,那么甲种文具最多购买了11件【分析】设购买甲文具为x元,则乙为（x2）元,由于甲、乙、丙三种文具恰好用了66元钱,则买甲、乙两种文具的钱66,再根据购买甲文具的费用不超过总费用的一半,列不等式解答【解答】9解：设买甲种文具数量为x,丙种文具数量为y,则乙种文具数量为（x2）,则3x+2（x2）+y66,即y705x,又3x,解得x11,所以甲文具最多购买11件,答：甲种文具最多购买了11件故答案为：116（10分）如图所示,一只蚂蚁从正方体的顶点A出发,沿正方棱爬到顶点B,要求行走的路线最短,那么蚂蚁有6种不同的走法【分析】本题可以这样想：因为A点是相邻的三个正方形的面的交点,经过这三个面各有一条最短路线,这样有3种选择,接下来再从其中一个面到B个面又有相邻的两个面可供选择,所以根据乘法原理,可得共有：3×26种不同的走法;据此解答【解答】解：根据分析可得,共有：3×26（种）,答：蚂蚁有6种不同的走法故答案为：67（10分）每枚正方体骰子相对面的点数和都是 7如图摆放的三枚骰子,你只能看到七个面的点数,那么你从该图中看不见的所有面的点数和是41【分析】此图中共三枚正方体骰子,从上到下编为因为每枚正方体骰子相对面的点数和都是7,即每个骰子的点数和有3个7构成因此看不见的所有面的点数和为7×3（4+3+2）9;看不见的所有面的点数和为7×3（5+1）15;看不见的所有面的点数和为7×3（3+1）17所以,从该图中看不见的所有面的点数和为9+15+1741【解答】解：看不见的所有面的点数和为：7×3（4+3+2）9;看不见的所有面的点数和为：7×3（5+1）15;看不见的所有面的点数和为：7×3（3+1）17所以,从该图中看不见的所有面的点数和为9+15+1741故答案为：418（10分）十个不同奇数的平方之和的最小值与这个最小值被 4 除的余数之差是1328（注：相同的两个自然数的乘积叫做这个自然数的平方,如 1×112,2×222,3×333,类推）【分析】十个不同奇数的平方之和的最小值,即从1开始,到19结束,求出119的10个不同奇数的平方之和,然后求出这个最小值被4除的余数,然后用10个不同奇数的平方之和减去这个最小值被4除的余数即可【解答】解：12+32+52+72+92+112+132+152+172+192,1+9+25+49+81+121+169+225+289+361,1330,1330÷43322,133021328;故答案为：1328二、简答题（每题15分,共60分,要求写出简要过程）9（15分）商店进了一批钢笔,如果用零售价7元卖出20支与用零售价8元卖出15支所赚的钱数相同那么每支钢笔的进货价是多少元?【分析】我们运用方程进行解答较容易理解,设每支钢笔的进货价是x元（7x）×20与（8x）×15钱数是相等的,列方程求出进价即可【解答】解：设每支钢笔的进货价是x元（7x）×20（8x）×15, 14020x12015x, 5x20, x4;答：每支钢笔的进货价是4元10（15分）十个互不相同的非零自然数之和等于102,那么其中最大的两个数之和的最大值等于多少?其中最小的两个数之和的最小值等于多少?【分析】十个互不相同的非零自然数之和等于102,当最大的两个数和的最大值时,其余的8个数就是应是最小的不同的8个非零的自然数,即是1,2,3,4,5,6,7,8据此解答【解答】解：最大的两个数之和的最大值是：102（1+2+3+4+5+6+7+8）,10236,66,最小的两个数之和的最小值是：1+23答：最大的两个数之和的最大值等于66,其中最小的两个数之和的最小值等于311（15分）如图是一个净化水装置,水流方向为从 A 先流向 B,再流到 C原来容器AB 之间有 10 个流量相同的管道,BC 之间有 10 个流量相同的管道现调换了 AB 与 BC 之间的一个管道后,流量每小时增加了 30 立方米问：通过调整管道布局,从 A 到 C 的流量最大可增加多少立方米?【分析】由于调换了AB与BC之间的一个管道后,流量每小时增加了30立方米可得：AB和BC之间的管道不一样,应该是其中的一组管道比另一组管道流量大,且调换一个管道流量每小时就增加30立方米,因为流量较大的一组共有10个管道,那么调换5组管道应该是增加流量最大,据此依据增加流量调换管道数×一组管道增加流量即可解答【解答】解：30×（10÷2）,30×5,150（立方米）,答：通过调整管道布局,从A到C的流量最大可增加150立方米12（15分）称四位数 是四位数的反序数如 1325 是 5231 的反序数,2001 是1002 的反序数问：一个四位数与它的反序数的差能等于 1008 吗?如果能,请写出一例;如果不能,请简述理由【分析】设这个四位数是,它的反序数是,根据题意知可：1008因最高位的差是1,所以ad,又因个位的差是8,所以d+10a+8,ad+2,按照减法继续十位运算可得,cb1,即cb+1,继续百位运算可得bc0,即bc矛盾据此解答【解答】解：根据以上分析知：一个四位数与它的反序数的差不能等于1008设这个四位数是,它的反序数是,根据题意知可：1008因最高位的差是1,所以ad,又因个位的差是8,所以d+10a+8,ad+2,按照减法继续十位运算可得,cb1,即cb+1,继续百位运算可得bc0,即bc矛盾12
