新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼.pdf

第四章 指数函数与对数函数4.1.1 根式.14.1.2 指数幂及其运算.44.2.1 指数函数及其图象性质.84.2.2 指数函数的性质及其应用.114.3.1 对数的概念.164.3.2 对数的运算.184.4.1 对数函数及其图象.224.4.2 对数函数的性质及其应用.264.4.3 不同函数增长的差异.304.5.1 函数的零点与方程的解.344.5.2 用二分法求方程的近似解.384.5.3 函数模型的应用.424.1.14.1.1 根式根式要点整理要点整理1根式的概念一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN N*.(1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号a表示(2)当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，记为a，负数没有偶次方根(3)0 的任何次方根都是 0，记作00.式子a叫做根式，其中n(n1，且nN N)叫做根指数，a叫做被开方数2根式的性质根据n次方根的意义，可以得到：(1)(a)na.a，a0，(2)当n是奇数时，aa；当n是偶数时，a|a|a，a1)次方根的个数及符号的确定(1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个(2)根式a的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定：当n为偶数时，a为非负实数；当n为奇数时，a的符号与a的符号一致题型二简单根式的化简与求值nnn新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第2页新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第2页【典例 2】化简下列各式：544(1)25；(2)104；(3)92；4(4)ab4.思路导引利用an的性质进行化简5解(1)252.44(2)10|10|10.44(3)92343.abab，(4)ab|ab|baa0，x20，原式(x1)|x2|x1x22x3.有限制条件根式的化简策略(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负4.1.24.1.2 指数幂及其运算指数幂及其运算要点整理要点整理1分数指数幂的意义温馨提示：(1)分数指数幂amn不可以理解为 个a相乘mn(2)对于正分数指数幂，规定其底数是正数2有理数指数幂的运算性质(1)arasars(a0，r，sQ Q)；(2)(ar)sars(a0，r，sQ Q)；(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ Q)3无理数指数幂新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第4页新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第4页一般地，无理数指数幂a(a0，是无理数)是一个确定的实数有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂温馨提示：(1)对于无理指数幂，只需了解两点：它是一个确定的实数；它是有理数幂无限逼近的结果1(2)abb(a0，b是正无理数)a(3)定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围题型一根式与分数指数幂的互化【典例 1】用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)：(1)31；(2)aa；(3)3332b.a2a2根式与分数指数幂互化的规律(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题题型二指数幂的运算【典例 2】计算：新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第5页新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第5页思路导引利用指数幂的运算性质化简求值利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算题型三条件求值问题新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第6页新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第6页变式(1)若本例条件不变，则a2a2_.答案(1)3 5(2)解决条件求值问题的一般方法整体代入法对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a0，b0)：33新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第7页新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第7页4.2.14.2.1 指数函数及其图象性质指数函数及其图象性质要点整理要点整理1指数函数的定义一般地，函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为 R R.温馨提示：指数函数解析式的 3 个特征：(1)底数a为大于 0 且不等于 1 的常数(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是 1.(3)ax的系数是 1.2指数函数的图象和性质温馨提示：(1)底数a与 1 的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”当a1 时，指数函数的图象是“上升”的；当0a0 且a1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)，ax只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数yax(a0 且a1)的大致图象题型一指数函数的概念【典例 1】(1)下列函数：新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第8页新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第8页y23x；y3x1；y3x；yx3.其中，指数函数的个数是()A0C2B1D3(2)函数y(a2)2ax是指数函数，则()Aa1 或a3Ca3Ba1Da0 且a1思路导引形如“yax(a0，且a1)”的函数为指数函数解析(1)形如“ya(a0，且a1)”的函数为指数函数，只有符合，选 B.x(2)由指数函数的概念可知，a0，a1，答案(1)B(2)Ca221，得a3.判断一个函数是指数函数的方法(1)看形式：只需判断其解析式是否符合yax(a0，且a1)这一结构特征(2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数题型二指数函数的图象【典例 2】(1)函数f(x)axb的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b0C0a0Ba1，b0D0a1，b0，且a1)的图象过定点_解析(1)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有 0a1；从曲线位置看，是由函数yax(0a0，即b0，且a1)的图象过定点(0,1)，所以在函数yax33 中，令x30，得x3，此时y134，即函数yax33 的图象过定点(3,4)答案(1)D(2)(3,4)处理指数函数图象问题的 3 个策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为 0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)(3)利用函数的奇偶性与单调性：奇偶性确定函数图象的对称情况，单调性决定函数图象的走势题型三指数函数的定义域与值域【典例 3】求下列函数的定义域和值域：思路导引利用整体换元的方法求解解(1)要使函数式有意义，则 13x0，即 3x130，因为函数y3x在 R 上是增函数，所以x0，故函数y 13x的定义域为(，0因为x0，所以 03x1，所以 013x1 时，当x0 时，y1；当x0 时，0y1.(2)0a0 时，0y1；当x1.2对称关系函数yax与yax的图象关于y轴对称3图象位置关系新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第11页新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第11页底数a的大小决定了图象相对位置的高低(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”作出直线x1，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序(2)在y轴左侧，图象正好相反如图所示的指数函数的底数的大小关系为0dc1b0.4，0.70.31.21.4.(3)1.90.41.901，新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第12页新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第12页092.40.92.4.比较幂的大小的 3 种类型及方法(1)对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数的图象的变化规律来判断(3)对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值(如 0 或1)来比较题型二解简单的指数不等式13x1【典例 2】(1)解不等式：2；2(2)已知ax23x10，且a1)，求x的取值范围思路导引(1)化为同底的指数不等式，再利用单调性求解；(2)分a1与 0a1 两种情况解不等式1解(1)2 1，211原不等式可以转化为 3x1 1.221y x在 R R 上是减函数，23x11，x0.故原不等式的解集是x|x0(2)分情况讨论：当 0a0，且a1)在 R R 上是减函数，x23x1x6，x24x50，解得x5；当a1 时，函数f(x)ax(a0，且a1)在 R R 上是增函数，x23x1x6，x24x50，解得1x5.综上所述，当 0a1 时，x5；当a1 时，1xay的不等式：可借助yax的单调性求解如果a的值不确定，需分 0a1 两种情况讨论(2)形如axb的不等式：注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助yax的单调性求解题型三指数型函数的单调性1x22x【典例 3】已知函数f(x).3(1)判断函数f(x)的单调性；(2)求函数f(x)的值域1思路导引由函数ux22x和函数y u的单调性判断31解(1)令ux22x，则原函数变为y u.3ux22x(x1)21 在(，1上单调递减，在1，)上单调递1u增，又y 在(，)上单调递减，31x22xy 在(，1上单调递增，在1，)上单调递减3(2)ux22x(x1)211，1uy ，u1，)，31u1100，且a1)的单调性由两点决定，一是底数a1 还是 0a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数2常用对数与自然对数通常我们将以 10 为底的对数叫做常用对数，记为 lgN.在科学技术中常使用以无理数 e2.71828为底的对数，以 e 为底的对数称为自然对数，并记为 lnN.3指数与对数的互化当a0，a1 时，axNxlogaN.4对数的性质(1)loga10；(2)logaa1；(3)零和负数没有对数题型一指数式与对数式的互化【典例 1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：11(1)32；(2)216；94(3)log1 273；(4)log 646.x3思路导引借助abNblogaN(a0，且a1)转化11解(1)32，log32.9911(2)216，log 162.44新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第16页新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第16页13(3)log1 273，27.33(4)log指数式与对数式互化的方法(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式题型二对数的计算【典例 2】求下列各式中的x的值：2(1)log64x；(2)logx86；3(3)lg100 x；(4)lne2x.思路导引把对数式化为指数式求解x 646，(x)664.求对数值的 3 个步骤(1)设出所求对数值(2)把对数式转化为指数式(3)解有关方程，求得结果题型三对数的性质新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第17页新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第17页思路导引首先利用对数的基本性质化“繁”为“简”，再求值解(1)由 log(2x21)(3x22x1)1得3x2x10，2x10且2x11，2223x22x12x21，解得x2.(2)由 log2log3(log4x)0 可得 log3(log4x)1，故 log4x3，所以x4364.对数性质的应用要点(1)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用这就要求首先要牢记对数恒等式alogaNN及其格式4.3.24.3.2 对数的运算对数的运算要点整理要点整理1对数运算性质如果 a0，且 a1，M0，N0，那么：(1)loga(MN)logaMlogaN；M(2)logalogaMlogaN；N(3)logaMnnlogaM(nR R)新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第18页新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第18页温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立例如，log2(3)(5)log2(3)log2(5)是错误的2对数换底公式若 c0，且 c1，则 logablogcb(a0，且 a1，b0)logca3由换底公式推导的重要结论(1)loganbnlogab.mm(2)loganb logab.n(3)logablogba1.(4)logablogbclogcdlogad.题型一对数运算性质的应用【典例 1】求下列各式的值：(1)log345log35；(2)log24log28；7(3)lg142lg lg7lg18；32(4)lg52 lg8lg5lg20(lg2)2.3思路导引解题关键是弄清各式与对数运算积、商、幂中的哪种形式对应解(1)log345log35log345log39log3322.5(2)log24log28log222log223236.(3)原式lg2lg72(lg7lg3)lg7(lg2lg9)lg2lg72lg72lg3lg7lg22lg30.2(4)原式2lg5 lg23lg5lg(225)(lg2)232lg52lg2lg5(2lg2lg5)(lg2)22(lg5lg2)2lg5lg2(lg5)2(lg2)22lg10(lg5)22lg5lg2(lg2)2新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第19页新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第19页2(lg5lg2)22(lg10)2213.对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行(2)两种常用的方法“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)题型二对数换底公式的应用【典例 2】(1)计算：log29log34；log52log7913log5log743(2)证明：logablogba1(a0，且 a1；b0，且 b1)；loganbnlogab(a0，且 a1，n0)思路导引利用换底公式计算、证明lg9lg4lg32lg22解(1)原式lg2lg3lg2lg32lg32lg24.lg2lg3原式log52log7913log2log49133log53log74.1lg22lg32lg 2lg93.1223lglg3 lg23lg43(2)证明：logablogbalgblga1.lgalgbnlgbnlgblgbloganbnlogab.nlganlgalga新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第20页新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第20页变式(1)若本例(2)改为“logablogbclogcdlogad”如何证明？m(2)若本例(2)改为“loganbm logab”如何证明？n证明(1)logablogbclogcdlgblgclgdlgdlogad.lgalgblgclgamlgbmmlgbm(2)loganb logab.lgannlgan应用换底公式应注意的 2 个方面(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式题型三对数的综合应用【典例 3】(1)一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的1质量约是原来的 75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的(结果保留31 位有效数字)？(lg20.3010，lg30.4771)(2)已知 log189a,18b5，用 a、b 表示 log3645.思路导引应用换底公式化简求值解(1)设最初的质量是 1，经过 x 年，剩余量是 y，则：经过 1 年，剩余量是 y0.75；经过 2 年，剩余量是 y0.752；经过 x 年，剩余量是 y0.75x；1由题意得 0.75x，3131lg3xlog0.754.33lg3lg4lg4lg新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第21页新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第21页1估计经过 4 年，该物质的剩余量是原来的.3(2)解法一：由 18b5，得 log185b，又 log189a，所以 log3645log1845log1895log18361829log189log189log185ab.log18182log1892a解法二：设 log3645x，则 36x45，即 62x59，从而有 182x59x1，对这个等式的两边都取以 18 为底的对数，得 2xlog185(x1)log189，又 18b5，所以 blog185.所以 2xb(x1)a，解得 x解对数综合应用问题的 3 条策略(1)统一化：所求为对数式，条件转为对数式(2)选底数：针对具体问题，选择恰当的底数(3)会结合：学会换底公式与对数运算法则结合使用4.4.14.4.1 对数函数及其图象对数函数及其图象要点整理要点整理1对数函数的概念函数 ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0，)温馨提示：(1)对数函数 ylogax 是由指数函数 yax反解后将 x、y 互换得到的(2)无论是指数函数还是对数函数，都有其底数 a0 且 a1.abab，即 log3645.2a2a新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第22页新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第22页2对数函数的图象及性质温馨提示：底数a 与 1 的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a1时，对数函数的图象“上升”；当 0aa1dc0.题型一对数函数的概念【典例 1】指出下列函数哪些是对数函数？(1)y3log2x；(2)ylog6x；(3)ylogx3；(4)ylog2x1.思路导引紧扣对数函数的定义判断解(1)log2x 的系数是 3，不是 1，不是对数函数(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第23页新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第23页(3)自变量在底数位置上，不是对数函数(4)对数式 log2x 后又加 1，不是对数函数依据 3 个形式特点判断对数函数判断一个函数是对数函数必须是形如 ylogax(a0 且 a1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为 1.(2)底数为大于 0 且不等于 1 的常数(3)对数的真数仅有自变量 x.题型二对数型函数的定义域【典例 2】求下列函数的定义域3(1)ylog2x；(2)y log0.54x3；(3)y log0.54x31；(4)ylog(x1)(2x)解(1)定义域为(0，)4x30，(2)由4x31，3解得 0，(3)由14x3，237解得 0，(4)由x11，2x0，解得1x0 或 0 x0，且 a1，则函数 yax与 yloga(x)的图象只能是()(2)函数 yloga(x1)2(a0，且 a1)的图象恒过点_思路导引利用对数函数的图象特征求解解析(1)解法一：若 0a1，则函数 yax的图象上升且过点(0,1)，而函数 yloga(x)的图象下降且过点(1,0)，只有 B 中图象符合解法二：首先指数函数 yax的图象只可能在上半平面，函数 yloga(x)的图象只可能在左半平面，从而排除 A、C；再看单调性，yax与 yloga(x)的单调性正好相反，排除 D.只有 B 中图象符合(2)因为函数 ylogax(a0，且 a1)的图象恒过点(1,0)，则令 x11得x0，此时yloga(x1)22，所以函数yloga(x1)2(a0，且a1)的图象恒过点(0，2)答案(1)B(2)(0，2)变式若本例(2)的函数改为“yloga是_2x1解析令1，得 x2，此时 y2，x12x12”，则图象恒过定点坐标x1新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第25页新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第25页函数 yloga2x12 过定点(2,2)x1答案(2,2)处理对数函数图象问题的 3 个注意点(1)明确图象的分布区域对数函数的图象在第一、四象限当 x 趋近于 0时，函数图象会越来越靠近 y 轴，但永远不会与 y 轴相交(2)建立分类讨论的思想在画对数函数图象之前要先判断对数的底数 a 的取值范围是 a1，还是 0a0，且 a1)的图象经过点：(1,0)，1(a,1)和，1.a4.4.24.4.2 对数函数的性质及其应用对数函数的性质及其应用要点整理要点整理1对数函数值的符号规律(1)a1 时，当 x1 时，y0；当 0 x1 时，y0.(2)0a1 时，当 0 x0；当 x1 时，y0，且 a1)和对数函数 ylogax(a0，且 a1)互为反函数题型一比较对数值的大小【典例 1】比较下列各组中两个值的大小：新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第26页新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第26页(1)ln0.3，ln2；(2)log30.2，log40.2；(3)log3，log3；(4)loga3.1，loga5.2(a0，且 a1)思路导引利用对数单调性比较大小解(1)因为函数 ylnx 是增函数，且 0.32，所以 ln0.3log0.23log0.24，所以，即 log30.2log30.2.(3)因为函数 ylog3x 是增函数，且 3，所以 log3log331.因为函数 ylogx 是增函数，且 3，所以 log3log3.(4)当 a1 时，函数 ylogax 在(0，)上是增函数，又 3.15.2，所以loga3.1loga5.2；当 0a1 时，函数 ylogax 在(0，)上是减函数，又 3.1loga5.2.比较对数值大小时常用的 4 种方法(1)同底的利用对数函数的单调性，如典例 1(1)(2)同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化，如典例 1(2)(3)底数和真数都不同，找中间量，如典例 1(3)(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论，如典例 1(4)新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第27页新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第27页题型二求解对数不等式1【典例 2】(1)已知 loga1，求 a 的取值范围；2(2)已知 log0.7(2x)1 得 logalogaa.221当 a1 时，有 a，此时无解211当 0a1 时，有 a，从而 a1.221a 的取值范围是，1.2(2)函数 ylog0.7x 在(0，)上为减函数，由 log0.72x0，得x10，2xx1，解得 x1.x 的取值范围是(1，)常见对数不等式的 2 种解法(1)形如 logaxlogab 的不等式，借助 ylogax 的单调性求解，如果 a 的取值不确定，需分 a1 与 0ab 的不等式，应将 b 化为以 a 为底数的对数式的形式，再借助 ylogax 的单调性求解.题型三形如 ylogaf(x)的函数的单调性【典例 3】求函数 ylog0.7(x23x2)的单调区间思路导引先求定义域，再根据复合函数的单调性求解解因为 x23x20，所以 x2.所以函数的定义域为(，1)(2，)，令 tx23x2，则 ylog0.7t，显然 ylog0.7t 在(0，)上新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第28页新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第28页是单调递减的，而 tx23x2 在(，1)，(2，)上分别是单调递减和单调递增的，所以函数 ylog0.7(x23x2)的单调递增区间为(，1)，单调递减区间为(2，)求对数型函数单调区间的方法(1)求形如 ylogaf(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f(x)0，先求定义域(2)求此类型函数单调区间的两种思路：利用定义求解；借助函数的性质，研究函数 tf(x)和 ylogat 在定义域上的单调性，利用“同增异减”的结论，从而判定 ylogaf(x)的单调性题型四与对数函数有关的值域问题【典例 4】求下列函数的值域：(1)ylog2(|x|4)；(2)f(x)log2(x24x12)思路导引求出真数的范围，利用对数函数的单调性求解解(1)因为|x|44，所以log2(|x|4)log242，所以函数的值域为2，)(2)因为x24x12(x2)21616，所以 01)，ylogax(a1)和 ykx(k0)都是增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个“档次”上(2)在区间(0，)上随着 x 的增大，yax(a1)增长速度越来越快，会超过并远远大于 ykx(k0)的增长速度，而 ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢(3)存在一个 x0，使得当 xx0时，有 logaxkx1，k0)新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第30页新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第30页题型一不同函数增长的差异【典例 1】(1)当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()eAy10000 x Bylog2x Cyx1000Dy x2(2)四个变量 y1，y2，y3，y4随变量 x 变化的数据如下表：关于 x 呈指数函数变化的变量是_思路导引借助指数函数、对数函数、一次函数的增长差异作出判断解析(1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当 x 越来越大时，函e数 y x增长速度最快2(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的从表格中可以看出，四个变量 y1，y2，y3，y4均是从 2 开始变化，变量 y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 y2的增长速度最快，可知变量 y2关于 x 呈指数函数变化答案(1)D(2)y2常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型 ykxb(k0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变(2)指数函数模型指数函数模型 yax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”(3)对数函数模型对数函数模型 ylogax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓(4)幂函数模型新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第31页新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第31页幂函数 yxn(n0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间题型 2 函数模型的选择问题【典例 2】芦荟是一种经济作物，可以入药，有美容、保健的功效某人准备栽培并销售芦荟，为了解行情，进行市场调研从4 月 1 日起，芦荟的种植成本 Q(单位：元/千克)与上市时间 t(单位：天)的数据情况如下表：上市时间 t种植成本 Q5015.011010.825015.0(1)根据表中数据，从下列选项中选取一个最能反映芦荟种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数式：Qatb，Qat2btc，Qabt，Qalogbt；(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市时间及最低种植成本思路导引要选择最能反映芦荟种植成本与上市时间之间的变化关系的函数式，应该分析各函数的变化情况，通过研究这些函数的变化趋势与表格提供的实际数据是否相符来判断哪个函数是最优函数模型解(1)由表中所提供的数据可知，反映芦荟种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数不可能是常数函数，故用函数 Qatb，Qabt，Qalogbt中的任意一个来反映时都应有 a0，而上面三个函数均为单调函数，这与表格提供的数据不符合，所以应选用二次函数Qat2btc 进行描述将表格所提15.02500a50bc，供的三组数据分别代入函数 Qat btc，得10.812100a110bc，15.062500a250bc，23解得b，20c85.41a，2000所以反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第32页新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第32页函数为 Q12385t t.故选.2000204138515021502000204(2)当 t150(天)时，芦荟种植成本最低，为Q10(元/千克)不同函数模型的选取标准(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律题型三指数函数、对数函数与幂函数模型的比较【典例 3】函数 f(x)2x和 g(x)x3的图象如图所示 设两函数的图象交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)，所 以1x12,9x210，所以 x16f(6)新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第33页新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第33页变式若本例条件不变，(2)中结论改为“试结合图象，判断 f(8)，g(8)，f(2019)，g(2019)的大小”，如何求解？解因为 f(1)g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)，所以1x12,9x210，所以 x18x2，从图象上可以看出，当x1xx2时，f(x)g(x)，所以 f(8)x2时，f(x)g(x)，所以 f(2019)g(2019)又因为 g(2019)g(8)，所以 f(2019)g(2019)g(8)f(8)由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数4.5.14.5.1 函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解要点整理要点整理1函数的零点对于一般函数 yf(x)，我们把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点温馨提示：同二次函数的零点一样，一般函数的零点也不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零2方程、函数、图象之间的关系方程 f(x)0 有实根函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x)有零点3函数零点的存在性定理如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数 yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在 c(a，b)，使得 f(c)0，这个 c 也就是方程 f(x)0 的解温馨提示：定理实际上是通过零点附近函数值的正负来研究函数值为零的情况，要求具备两条：新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第34页新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第34页(1)函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；(2)f(a)f(b)0.题型一求函数的零点【典例 1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出(1)f(x)x27x6；(2)f(x)1log2(x3)；(3)f(x)2x1x24x123；(4)f(x).x2思路导引判断方程 f(x)0 是否有实数解，并求出即可解(1)解方程 f(x)x27x60，得 x1 或 x6，所以函数的零点是1，6.(2)解方程 f(x)1log2(x3)0，得 x1，所以函数的零点是1.(3)解方程 f(x)2x130，得 xlog26，所以函数的零点是 log26.x24x12(4)解方程 f(x)0，得 x6，所以函数的零点为6.x2函数零点的求解要点求函数 f(x)的零点时，通常转化为解方程 f(x)0，若方程 f(x)0 有实数解，则函数 f(x)存在零点，该方程的解就是函数 f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点题型二判断函数零点所在的区间2【典例 2】函数 f(x)lnx 的零点所在的大致区间是()xA(1,2)B(2,3)C(3,4)D(e，)解析f(1)20，f(2)ln210，f(2)f(3)0的零点个数为(