2021年-考研数学二真题与解析.pdf

*欧阳光明*创编 2021.03.072014年考研数学二真题与解析欧阳光明（2021.03.07）一、选择题 18小题每小题 4分，共 32分1 当x x 0时，若lnln(1 2x x)，(1 coscosx x)均是比x x高阶的无穷小，则 的可能取值范围是（）11(,1)(0,)（A）(2,)（B）(1,2)（C）2（D）21(1 coscosx x)lnln(1 2x x)2 x x【详解详解】112x x 2，是 阶无穷小，2 是 阶 1 2 1 无穷小，由题意可知 所以 的可能取值范围是(1,2)，应该选（B）2下列曲线有渐近线的是（A）y y x x sinsin x x（B）y y x x sinsin x x（C）y y x x2 sinsin1x xy y x x sinsin1y y1limlim 1limlim(y y x x)limlimsinsin 0 x x x xx x，可知x x x x且x x，所2y y x x sinsin1x x（D）【详解详解】对于以有斜渐近线y y x x应该选（C）*欧阳光明*创编 2021.03.07*欧阳光明*创编 2021.03.073 3设函数设函数f f(x x)具有二阶导数，具有二阶导数，g g(x x)f f(0)()(1 x x)f f(1)x x，则在，则在 0,1 上上（）（A A）当当f f (x x)0时时，f f(x x)g g(x x)（B B）当当f f (x x)0时时，f f(x x)g g(x x)（C C）当当f f (x x)0时时，f f(x x)g g(x x)（D D）当当f f (x x)0时时，f f(x x)g g(x x)【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法【详解详解 1 1】如果对曲线在区间 a a,b b 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断 显然g g(x x)f f(0)()(1 x x)f f(1)x x就是联接就是联接(0,f f(0),),(1,f f(1)两点的直线方程两点的直线方程故当f f (x x)0时，时，曲线是凹的，也就是f f(x x)g g(x x)，应该选（D）【详解详解 2 2】如果对曲线在区间 a a,b b 上凹凸的定义不熟悉的话，可令F F(x x)f f(x x)g g(x x)f f(x x)f f(0)()(1 x x)f f(1)x x，则F F(0)F F(1)0，且F F(x x)f f(x x)，故当f f (x x)0时，时，曲线是凹的，从而F F(x x)F F(0)F F(1)0，即F F(x x)f f(x x)g g(x x)0，也就是f f(x x)g g(x x)，应该选（D）x x t t2 7,y y t t2 4t t 1 4曲线上对应于上对应于t t 1的点处的曲率半径是（的点处的曲率半径是（）（）105010（）100(）10 10（）5 10K K y y(1 y y 2)3【详解详解】曲线在点(x x,f f(x x)处的曲率公式R R 1K K，曲率半径*欧阳光明*创编 2021.03.07*欧阳光明*创编 2021.03.0722dxdxdydydydy2t t 42d d2y y1t t 2t t,2t t 4 1 dt dt2t tt t，dxdx22t tt t3本题中dt dt，所以dxdx K K y y(1 y y 2)3 110 10，对应于对应于t t 1的点处的点处y y 3,y y 1，所以，所以径R R 1 10 10K K，曲率半应该选（C）5设函数limlim f f(x x)arctanarctan x x，若f f(x x)xfxf ()，则x x0 x x2（）2（）121（）3（）2f f(x x)1（）3【详详解解】注意（1）1x x 0时时,arctanarctanx x x x x x3 o o(x x3)311 x x2，（2）由 于f f(x x)xfxf ()所 以 可 知 2 x x arctanarctan x x(arctan(arctan x x)2，2f f ()1f f(x x)arctanarctan x x x xx x1 2，limlimx x0 x x2 limlimx x0 x x arxarxtantan x x limlimx x(arctan(arctanx x)2x x0 x x (x x 13x x)o o(x x3)13 3x x36设u u(x x,y y)在平面有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有二阶连 2u u 2u u 2u u 0 2 02续偏导数，且满足 x x y y及 x x y y，则（）（A A）u u(x x,y y)的最大值点和最小值点必定都在区域 D的边界上；（B B）u u(x x,y y)的最大值点和最小值点必定都在区域 D的内部；（C C）u u(x x,y y)的最大值点在区域 D 的内部，最小值点在区域 D 的边*欧阳光明*创编 2021.03.07*欧阳光明*创编 2021.03.07界上；（D D）u u(x x,y y)的最小值点在区域 D 的内部，最大值点在区域 D 的边界上【详解详解】u u(x x,y y)在平面有界闭区域 D 上连续，所以u u(x x,y y)在 D 内必然有最大值和最小值并且如果在内部存在驻点(x x0,y y0)，也就是 2u u 2u u 2u u 2u u u u u uA A 2,C C 2,B B 0 x x y y y y x x x x y y x x y y，在这个点处，由条件，显2然ACAC B B 0，显然u u(x x,y y)不是极值点，当然也不是最值点，所以u u(x x,y y)的最大值点和最小值点必定都在区域 D的边界上所以应该选（A）0a aa a0b b00b b7行列式0c cd d0c c00d d等于22222（B）(adad bcbc)（C）a a d d b b c c（D）（A）a a2d d2 b b2c c2(adad bcbc)2【详解详解】应该选（B）8设 1,2,3是三维向量，则对任意的常数k k,l l，向量 1 k k 3，2 l l 3线性无关是向量 1,2,3线性无关的（A）必要而非充分条件（B）充分而非必要条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件【详解详解】若向量 1,2,3线性无关，则 10 (1,2,3)01 (1,2,3)K K k kl l 1 k k 3 l l 32 （，），对任意的常数*欧阳光明*创编 2021.03.07*欧阳光明*创编 2021.03.07k k,l l，矩阵K K的秩都等于 2，所以向量 1 k k 3，2 l l 3一定线性无关 1 0 0 1 0,2 1,3 0 0 0 0 而当时，对任意的常数k k,l l，向量 1 k k 3，2 l l 3线性无关，但 1,2,3线性相关；故选择（A）二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上）9 9【1 1dxdx x x2 2x x 5详详解解】1 11dxdx1x x 111 3 dxdx arctanarctan|()(x x 1)2 4222 42 8x x2 2x x 510设f f(x x)为周期为 4 的可导奇函数，且f f(x x)2(x x 1),),x x 0,2，则f f(7)【详解详解】当x x 0,2 时，f f(x x)2(x x 1)dxdx x x2 2x x C C，由f f(0)0可知2C C 0，即f f(x x)x x 2x x；f f(x x)为 周 期 为4奇 函 数，故f f(7)f f(1)f f(1)111设z z z z(x x,y y)是由方程【详详解解2yzyze e2yzyz x x y y2 z z 7dzdz|1 1 ,4确定的函数，则 2 2 74】设2yzyzF F(x x,y y,z z)e e2yzyz x x y y2 z z 12，F Fx x 1,F Fy y 2zeze 2y y,F Fz z 2yeye 1，当x x y y 时，z z 0，F F z z1 x x x xF Fz z2F Fy y z z1dzdz|1 1 1dxdx 1dydy ,y yF F222z z，所以 2 2*欧阳光明*创编 2021.03.07*欧阳光明*创编 2021.03.07 (r r,),2 2 处的切线方12曲线L L的极坐标方程为r r ，则L L在点程为 x x r r()coscos coscos 【详解详解】先把曲线方程化为参数方程 y y r r()sinsin sinsin，于是在 2处，x x 0,y y 2，dydysinsin coscos 2|dxdx2coscos sinsin 2，则L L在 点 22(r r,),y y (x x 0)y y x x .2 2 处的切线方程为2 2，即13一根长为 1 的细棒位于x x轴的区间 0,1 上，若其线密度(x x)x x2 2x x 1，则该细棒的质心坐标x x 11(x x 2x x x x)dxdx 11 00 x x 1 1 12 2520(x x)dxdx(x x 2x x 1)dxdx 0 03【详解详解】质心坐标1x x(x x)dxdx13214设二次型2f f(x x1,x x2,x x3)x x12 x x2 2axax1x x3 4x x2x x3的负惯性指数是 1，则a a的取值范围是【详解详解】由配方法可知2由于负惯性指数为1，故必须要求4 a a 0，所以a a的取值范围是 2,2 三、解答题15（本题满分 10分）x x limlimx x1(t t(e e 1)t t)dt dtx x2ln(ln(1 1)x x21t t求极限【分析】先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求*欧阳光明*创编 2021.03.07*欧阳光明*创编 2021.03.07未定型极限【详解详解】16（本题满分 10分）22x x y y y y 1 y y，且y y(2)0，求y y(x x)的y y y y(x x)已知函数满足微分方程极大值和极小值【详解详解】解：把方程化为标准形式得到(1 y y2)dydy 1 x x2dxdx，这是一个可分离变量 的 一 阶 微 分 方 程，两 边 分 别 积 分 可 得 方 程 通 解 为：1312y y y y x x x x3 C CC C 333，由y y(2)0得1312y y y y x x x x3 33即3dydy1 x x2d d2y y 2x x(1 y y2)2 2y y(1 x x2)2 0 2223dxdx1 y ydxdx(1 y y)x x 1令，得，且可知；当x x 1时，可解得y y 1，y y 1 0，函数取得极大值y y 1；当x x 1时，可解得y y 0，y y 2 0，函数取得极小值y y 017（本题满分 10分）设平面区域D D (x x,y y)|1 x x2 y y2 4,x x 0.y y 0 计算 D Dx xsin(sin(x x2 y y2)dxdydxdyx x y y【详解详解】由对称性可得18（本题满分 10分）设 函 数f f(u u)具 有 二 阶 连 续 导 数，z z f f(e ex xcoscos y y)满 足 2z z 2z zx x2x x (4z z e e coscos y y)e e x x2 y y2若f f(0)0,f f (0)0，求f f(u u)的表达式*欧阳光明*创编 2021.03.07*欧阳光明*创编 2021.03.07【详解详解】设u ue ex xcoscosy y，则z zf f(u u)f f(e ex xcoscosy y)，z zf f(u u)e ex xcoscosy y2z zx x,x x2f f(u u)e e2x xcoscos2y yf f(u u)e ex xcoscosy y;z zf f(u u)e ex xsinsiny y,2z zy yf f(u u)e e2x xsinsin2y yf f(u u)e ex xy y2coscosy y；2z z2z z(4z ze ex xcoscosy y)2x x由条件x x2y y2e e，可知这是一个二阶常用系数线性非齐次方程对应齐次方程的通解为：f f(u u)C C1e e2u uC C2e e2u u其中C C1,C C2为任意常数对应非齐次方程特解可求得为y y*14u u故非齐次方程通解为f f(u u)C C e e2u uC C112e e2u u4u u将初始条件f f(0)0,f f(0)0代入，可得C C1116,C C1216u u12u u1所以f f(u u)的表达式为f f(u u)1216e e16e e4u u19（本题满分 10分）设函数f f(x x),),g g(x x)在区间a a.b b上连续，且f f(x x)单调增加，证明：x x（1）0a ag g(t t)dtdtx xa a,x xa a,b b；b ba ag g(t t)dtdt（2）a aa af f(x x)dxdxb ba af f(x x)g g(x x)dxdx【详解详解】*欧阳光明*创编 2021.03.070g g(x x)1，*欧阳光明*创编 2021.03.07（1）证明：因为0 g g(x x)1，所以 a a即0 g g(t t)dt dt x x a a,x x a a,b b a ax xx x0dxdx g g(t t)dt dt 1dt dt x x a a,b b a aa ax xx xa a（2）令F F(x x)f f(u u)g g(u u)dudu a ax x a ag g(t t)dt dtx xa af f(u u)dudu，x x F F(x x)f f(x x)g g(x x)g g(x x)f f a a g g(t t)dt dt a aF F(a a)0 ，则可知，且因为所以0 g g(t t)dt dt x x a a,a ax x且f f(x x)单调增加，x x f f a a g g(t t)dt dt f f(a a x x a a)f f(x x)a a 从而x xF F(x x)f f(x x)g g(x x)g g(x x)f f a a g g(t t)dt dt f f(x x)g g(x x)g g(x x)f f(x x)0 a a ，x x a a,b b 也是F F(x x)在 a a,b b 单调增加，则F F(b b)F F(a a)0，即得到 a a a ag g(t t)dt dtb ba af f(x x)dxdx f f(x x)g g(x x)dxdxa ab b20（本题满分 11分）设函数f f(x x)x x,x x 0,1 1 x x，定义函数列f f1(x x)f f(x x)，f f2(x x)f f(f f1(x x)，,f fn n(x x)f f(f fn n 1(x x),),设S Sn n是曲线y y f fn n(x x)，直线x x 1,y y 0所围 图形的面积求极限limlimnSnSn nn n【详解详解】x xf f1(x x)x xx xf f1(x x),f f2(x x)1 x x x xx x1 x x1 f f1(x x)1 2x xf f3(x x),1 1 3x x1 x x，利用数学归纳法可得f fn n(x x)x x.1 nxnx*欧阳光明*创编 2021.03.07*欧阳光明*创编 2021.03.07S Sn n f fn n(x x)dxdx 01x x1111ln(ln(1 n n)dxdx (1)dxdx (1)01 nxnx0n n1 nxnxn nn n，1 ln(ln(1 n n)limlimnSnSn n limlim 1 1n n n n n n 21（本题满分 11分）已知函数 f f 2(y y 1)2f f(y y,y y)(y y 1)(2 y y)lnln y y，求曲f f(x x,y y)满足 y y，且线f f(x x,y y)0所成的图形绕直线y y 1旋转所成的旋转体的体积【详解详解】由于函数f f(x x,y y)满足 f f 2(y y 1)2f f(x x,y y)y y 2y y C C(x x)y y，所以，其中C C(x x)为待定的连续函数又因为得到令f f(y y,y y)(y y 1)2(2 y y)lnln y y，从而可知C C(y y)1(2 y y)lnln y y，f f(x x,y y)y y2 2y y C C(x x)y y2 2y y 1(2 x x)lnln x xf f(x x,y y)0，可得(y y 1)2 (2 x x)lnln x x且当y y 1时，x x1 1,x x2 2曲线f f(x x,y y)0所成的图形绕直线y y 1旋转所成的旋转体的体积为22（本题满分 11分）1 23 4 A A 01 11 1203 ，E为三阶单位矩阵设（1）求方程组AXAX 0的一个基础解系；求满足ABAB E E的所有矩阵（2）【详解详解】（1）对系数矩阵 A进行初等行变换如下：*欧阳光明*创编 2021.03.07*欧阳光明*创编 2021.03.07 1 23 4 1 23 4 1 23 4 1001 A A 01 11 01 11 01 11 010 2 12 03 1 3 04 31 00 001 3，得到方程组AXAX 0同解方程组 1 2 1 3 1 得到AXAX 0的一个基础解系 x x1 x x2B B x x 3 x x 4y y1y y2y y3y y4z z1 z z2 z z3 z z4 （2）显然 B矩阵是一个4 3矩阵，设对矩阵(AEAE)进行进行初等行变换如下：由方程组可得矩阵 B 对应的三列分别为 x x1 2 1 x x 1 2 2 c c x x 1 1 3 3 1 x x 0 4 y y1 6 1 y y 3 2 2 c c y y 4 2 3 3 1 y y 0 4 z z1 1 1 z z1 2 2 c c z z 1 3 3 3 1 z z 0 4 ，即满足ABAB E E的所有矩阵为其中c c1,c c2,c c3为任意常数23（本题满分 11分）1 1 1 1 1 1 1 1 1 001 002 00n n 相似与 1 1 001 1 1 002 1 1 00n n ，B B 证明n n阶矩阵 1 1 1【详解详解】证明：设A A 分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：*欧阳光明*创编 2021.03.07*欧阳光明*创编 2021.03.07 1 E E A A 1 1 1 1 1 1 1 1 (n n)n n 1，所以 A的n n个特征值为 1 n n,2 3 n n 0；A A A是实对称矩阵，所以一定可以对角化且 0 0 ；而且所以 B的n n个特征值也为 1 n n,2 3 n n 0；对于n n 1重特征值 0，由于矩阵(0E E B B)B B的秩显然为 1，所以矩阵 B 对应n n 1重特征值 0的特征向量应该有n n 1个线性无关，进一步矩阵 B 存在n n个线性无关的特征向量，即矩阵 B 一定可以对 B B 角化，且 0 0 1 1 001 1 1 002 1 1 00n n 相似与 1 1 1n n从而可知 阶矩阵*欧阳光明*创编 2021.03.07