2020-2021学年河南省实验中学高一下学期期中数学试题(解析版).pdf
2020-20212020-2021 学年河南省实验中学高一下学期期中数学试题学年河南省实验中学高一下学期期中数学试题一、单选题一、单选题1 1角角的终边经过点的终边经过点P3,4，那么，那么sin2cos（）1A A5【答案】C1B B52C C52D D5【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得sin 和cos 的值，可得sin2cos的值【详解】解：角终边上一点P(3,4)，sin则sin 2cos 2，55543249164，cos533，5916故选：C2 2已知扇形的周长为已知扇形的周长为 8 8，扇形圆心角的弧度数是，扇形圆心角的弧度数是 2 2，则扇形的面积为（，则扇形的面积为（）A A2 2【答案】B【分析】由给定条件求出扇形半径和弧长，再由扇形面积公式求出面积得解.【详解】设扇形所在圆半径为 r，则扇形弧长l 2r，而l 2r 8，1由此得r 2,l 4，所以扇形的面积S lr 4.2B B4 4C C6 6D D8 8故选：B3 3已知已知a 1,2，b 1,7，c 2ab，则，则c在在a方向上的投影为（方向上的投影为（）A A3 55B B3 210C C3 210D D3 55【答案】A【分析】由向量的坐标表示可得c (3,3)，利用数量积公式求向量夹角余弦值，进而可求c在a方向上的投影.【详解】由题意知：c 2ab (3,3)，cos a,c ac10，10|a|b|3 5，5故c在a方向上的投影：|c|cos a,c 故选：A第 1 页 共 16 页【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示，由向量线性关系求向量的坐标，利用向量数量积的坐标表示求向量的夹角，进而求向量的投影.4 4已知点已知点M是是ABC的边的边BC的中点，点的中点，点E在边在边AC上，且上，且EC 2AE，则向量，则向量EM（）A AC C11ACAB2311AC AB2611B BAC AB6212D DAC AB63【答案】B【分析】根据向量的加法运算可得EM EC CM和减法运算可得CB AB AC，结合条件,可得答案.【详解】由EC 2AE，则EC 则EM EC CM 故选：B23AC212111AC CB AC AB AC ABAC3232263 2，则，则sin的值为（的值为（）5 5当当(0,)时，时，cos3533444A AB BC CD D5555【答案】D【分析】先求得2 2的的取值范围，再由同角三角函数的平方关系可得sin33值，最后由诱导公式，得出答案.【详解】解：由0,，所以2 2,，33323 2 2 24，,，则sin由cos 0，所以5333523224sin.所以sinsin3353故选：D.6 6已知已知sincos 0，则，则2sin23cos2（）第 2 页 共 16 页7A A4【答案】B1B B2C C213D D4【分析】先由条件得出tan 1，然后利用同角三角函数将2sin23cos2化成2tan23，可得答案.tan21【详解】由sincos 0可得tan 12sin23cos22tan2321312sin3cos 2sin2cos2tan21211222故选：B7 7把函数把函数y ysin(sin(x x1)图象上各点的横坐标缩短到原来的图象上各点的横坐标缩短到原来的2(纵坐标不变纵坐标不变)，再将图象，再将图象6向右平移向右平移个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为()3A Ax x2C Cx x【答案】A8B Bx x4D Dx x41【详解】把函数 ysin(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得62y sin(2x)，再将图象向右平移个单位长度得63y sin(2(x)sin(2x)cos2x，一条对称轴方程为 x，选 A.3622点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言.函数y Asin(x)(xR)是奇函数 k(k Z)；函数y Asin(x)(xR)是偶函数 k+(kZ)；函数y Acos(x)(xR)是奇函数 k+(kZ)；22函数y Acos(x)(xR)是偶函数 k(k Z).8 8如图所示，函数如图所示，函数 y y=cos=cos x x|tan|tan x x|（0 x 3且且x）的图象是（）的图象是（）22A AB B第 3 页 共 16 页C CD D【答案】C【分析】根据绝对值的定义化简函数式，然后可判断sin x,0 x,2【详解】由已知y cosx tan x sin x,x,，对照各选项，C 是正确23sin x,x 2故选：C（也可以根据函数值在三个区间上的正负判断）29 9若若OA 1,OB 3,AOB，点，点 C C 在在AOBAOB 外，且外，且OBOC 0，设实数，设实数 m m，n n3满足满足OC mOAnOB，则，则A A2 2【答案】C【分析】由OC mOAnOB，两边平方得，OC mOAnOB，由OCnOB mOA，m结合OBOC 0两边同时平方得，OC2n2OB2m2OA2，从而可求.n2m等于（等于（）nB B2 2C C2 3D D322【详解】OC mOAnOB，OA 1,OB 3,AOB 3OC mOAnOB22 m2 2mnOAOB 3n2 m23n23mnOCnOB mOA且OBOC 0，两边同时平方得，OC2n2OB2m2OA2OC2m23n2联立得：故选：C【点睛】关键点点睛：根据已知条件构造关于m、n 的齐次方程，进而求得两参数的比值.1010已知函数已知函数fx AsinxA0,0,0 的图象如图所示，则下列说法的图象如图所示，则下列说法正确的是（正确的是（）第 4 页 共 16 页m 2 3.nA A函数函数fx的周期为的周期为C C函数函数fx在在,上单调递增上单调递增2B B函数函数y fx为奇函数为奇函数3D D函数函数fx的图象关于点的图象关于点,0上对上对4称称【答案】B【分析】由图像可知A2，再将点(0,3),(5,2)的坐标代入函数中求出，的值，4然后求解其周期、单调区间、对称中心可得答案.【详解】解：由图像可知A2，因为函数图像过点(0,3),(5,2)，42sin3所以，52sin()24由2sin3得sin因为0，所以3，23或2，35T5，即，848由图像可知图像向左平移超过了所以252)2，则2sin(3435232，得，4323由五点对应法得22所以f(x)2sin(x)，33则f(x)的周期为3，所以 A 错误；222y fx 2sin(x)2sinx为奇函数，所以 B 正确；33322由x,，得(x)0,，此时fx不是增函数，所以 C 错误；23332323)0，所以,0不是函数fx的图像的对称中心，所因为f()2sin(43434以 D 错误，故选：B第 5 页 共 16 页【点睛】此题考查三角函数的图像和性质，根据条件确定函数的解析式是解决此题的关键，综合性较强，属于中档题.1111如图，如图，AB是圆是圆O的一条直径且的一条直径且AB 2，EF是圆是圆O的一条弦，且的一条弦，且EF 1，点，点P在在线段线段EF上，则上，则PAPB的最小值是（的最小值是（）A A2【答案】B11B B41C C23D D4【分析】根据平面向量的线性运算法则，得到PAPB PO 1，再由圆的性质，得到PO的最小值，即可得出结果.2【详解】由题意可得，PAPB POOA POOB POOA POOA PO OA PO 1，222为使OP最小，只需OP EF，根据圆的性质可得，此时P为EF中点时；3 1，1 2222又EF 1，因此POmin1所以PAPB的最小值为.4故选：B.f(x)Asinx 1212 函数函数且且(A 0,0)在在,上单调，上单调，66 22A A,3f f，若若f(x)412在在0,t)上存在最大值和最小值，则实数上存在最大值和最小值，则实数t的取值范围为（的取值范围为（）2 B B,C C,633 2,D D,6 33【答案】D【分析】f(x)在,上单调，利用单调性求得的范围，利用6 2f f结合对412称性求得的值，然后结合正弦函数图象求得t的范围.第 6 页 共 16 页T1 2 0 3，又【详解】f(x)在,上单调，所以6 22632241263，所以4212，6662 k(k Z Z)，2 6k，kZ Z，所以k 0，2，当x0,t)时，2x2t 5,2t，2t 或66626632 t 或t，62633故选：D二、填空题二、填空题1313若平面向量若平面向量a与与b的夹角为的夹角为120，a 3,4，b 2，则，则a2b _._.【答案】21【分析】计算出a，利用平面向量数量积可计算得出a 2b的值.22【详解】由已知可得a 3 4 5，由平面向量数量积的定义可得ab a b cos120 5，因为a2b a2b22 a 4ab4b 254544 21.22因此，a2b 21.故答案为：21.1414函数函数y 3sin2x的单调递增区间是的单调递增区间是_3511,k,k Z【答案】k12123,k Z即得解.【分析】由题得y 3sin2x，解不等式2k 2x 2k3232【详解】由题得y 3sin2x，33,k Z，令2k 2x 2k232所以k511 x k,kZ，126由复合函数的单调性原理得511,k,k Z.函数y 3sin2x的单调递增区间是k12123511,k,k Z故答案为：k1212【点睛】方法点睛：求函数y Asin(x)的单调区间，一般利用复合函数的单调性原第 7 页 共 16 页理求解，最好先把x的系数变成正数.41515 设设0，函数函数y sinx2的图象向右平移的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，个单位长度后与原图象重合，33则则的最小值是的最小值是_3【答案】24【分析】函数y sinx2图象向右平移个单位长度后与原图象重合则可判断33出4是周期的整数倍，由此即可求出的表达式，从而求出的最小值.34【详解】解：函数y sinx2向右平移个单位长度得334y sinx342.x2 sinx3334 2nnZ.3与原函数图象相同，33 nnZ，0，min.223故答案为：.2【点睛】本题考查正弦型函数的周期性和图象平移变换，属于基础题.1616已知已知ABC的内角的内角A、B、C的对边分别为的对边分别为a,b,c，且满足且满足A为为ABC的外心，若的外心，若AO mAB nAC，则，则【答案】158m_n3，b3，c 4，O【分析】先求出AB AC，设D,E分别为AB,AC的中点，由O为ABC的外心，所以OD AB,OE AC，由向量的数量积的定义结合直角三角形先求出AO AB，AO AC，再由向量的数量积的运算性质结合条件AO mAB nAC，将AO AB，AO AC用m,n表示出来，从而建立方程得出答案.【详解】设D,E分别为AB,AC的中点，由O为ABC的外心所以OD AB,OE AC1AB AC AB AC cos A 34 62所以AO AB AB AO cosBAO AB AD 42 839AOAC AC AO cosCAO AC AE 322又AO AB AB mABnAC mAB nAB AC 16m6n 82第 8 页 共 16 页29AO AC AC mABnAC nAC mAB AC 6m9n 23由16m6n 8可得2mn 14由6m9n 94可得2nm 12352m1534所以2mn 2nm，即n m，所以43n843故答案为：158【点睛】关键点睛：本题考查向量的数量积的定义和运算性质的应用，解得本题的关键是先得出所以AO AB AB AO cosBAO 42 8，39AOAC AC AO cosCAO 3，在由AO mAB nAC，将AO AB，AO AC22用m,n表示出来，属于中档题.三、解答题三、解答题1717（1 1）已知）已知f()sin()cos()tan(3)3，求，求cos27f3的值的值1（2 2）已知）已知sincos，求，求52【答案】（1）13；（2）.72sin(3)cos(2)sin()sin的值的值2【分析】（1）利用诱导公式、同角三角函数基本关系化简f()，然后再代值计算即可.1（2）利用同角三角函数间的关系，将sincos 平方求出sincos的值，从而5求出cossin的值，再由诱导公式将所求式子化简，即可得出答案.【详解】(1)f()sin()cos()tan(3)sincostan sinsin3cos27所以f37 sin33sin 2sin332第 9 页 共 16 页2411（2）由sincos，则12sincos，所以2sincos 25255由，则sin 0,cos 02244925252设t cossin 0，则t 12cossin17由t cossin 0，所以cossin 51sin(3)cos(2)sincos15sincos77sin()sin52【点睛】关键点睛：本题考查利用诱导公式化简，利用同角三角函数关系求值，解答本241题关键是由同角三角函数的关系根据sincos，先求出2sincos，结255合角的范围求出cossin的值，属于中档题.1818已知向量已知向量a (3,2)，b (x,1)（1 1）当）当(a2b)(2ab)且且x 0时，求时，求ab；（2 2）当）当c (8,1)，a/(bc)求向量求向量a与与b的夹角的夹角【答案】（1）82；（2）.4【分析】（1）由向量的坐标运算法则先求出a2b，2ab的坐标，再由条件可得a2b2ab 0，求出x的值，再求ab的坐标，得出其模长.（2）由向量的坐标运算法则先求出bc的坐标，由a/(bc)，求出x的值，然后由向量的夹角公式可得答案.【详解】（1）向量a (3,2)，b (x,1)，则a2b 32x,0，2ab 6 x,5由(a2b)(2ab)，可得a2b 2ab 03即32x6 x05 0，解得x 6或x 2又x 0，所以x 6，则b (6,1)，则ab 9,122所以ab 9+1 82（2）由c (8,1)，b (x,1)，a (3,2)，则bc x8,2由a/(bc)，可得322x8 0，解得x 5所以a 13，b 26，ab 352113第 10 页 共 16 页cosaba b13221326又0，所以41919已知已知f(x)Asin(x),A 0,0,|函数的最小值为函数的最小值为3，且，且f(x)图象相图象相23邻的最高点与最低点的横坐标之差为邻的最高点与最低点的横坐标之差为2，又，又f(x)的图象经过点的图象经过点0,；2（1 1）求函数）求函数f(x)的解析式；的解析式；11（2 2）若方程）若方程f(x)k0在在x0,有且仅有两个不同根，求有且仅有两个不同根，求k的取值范围的取值范围3 13【答案】（1）f(x)3sinx；（2）k(3,0,3.6223【分析】(1)由题意求出周期从而可求出，结合最值可得A，再由0,在图象上即可2求出，进而可求出函数的解析式.(2)由题意知y k与fx图象只有两个交点，设t 1x，则函数为y 3sint，且26t,2，即函数y 3sint与y k在t,2且仅有两个交点，画出函数y 3sint66在t,2上的图象，即可求出k的取值范围，6T21，【详解】解：（1）由题意得：A3，2，则T 4，即2T233 1所以f(x)3sinx，又f(x)的图象经过点0,，则 3sin，222 1得，所以f(x)3sinx；626211（2）由题意得，f(x)k 0在x0,有且仅有两个解x1,x2，3由|11即函数y f(x)与y k在x0,且仅有两个交点，3111x,2由x0,得，3266 1则f(x)3sinx3,3，62设t 1x，则函数为y 3sint，且t,2，266即函数y 3sint与y k在t,2且仅有两个交点，6画出函数y 3sint在t,2上的图象6第 11 页 共 16 页3由图可知，k的取值范围为：k(3,0,3，2【点睛】关键点睛：本题考查根据三角函数的图形性质求解析式，根据三角方程根的个数求参数，解答本题的关键是将根的问题转化为直线和三角函数图象有两个交点问题，设t 1x，则函数为y 3sint，且t,2，即函数y 3sint与y k在t,22666且仅有两个交点，画出函数y 3sint在t,2上的图象，数形结合即可求出参数的6取值范围.属于中档题.2020如图，在矩形如图，在矩形 ABCDABCD 中，点中，点 E E 是是 BCBC 边上的中点，点边上的中点，点 F F 在边在边 CDCD 上上.（1 1）若点）若点 F F 是是 CDCD 上靠近上靠近 C C 的三等分点，设的三等分点，设EF AB AD，求，求的值；的值；（2 2）若）若AB 3,BC 2，求，求AF EF的取值范围的取值范围.152.【答案】（1）；（2）,46【分析】（1）利用向量的线性运算得到EF 求出,，最后求出；1111BC CD，再表示出EF ABAD，2332（2）建立直角坐标系，利用向量的坐标运算得到AF EF x23x 2，再利用二次函数求出函数的最值即可得解.【详解】（1）因为 E 是 BC 边的中点，点 F 是 CD 上靠近 C 的三等分点，所以EF EC CF 11BC CD，23第 12 页 共 16 页11在矩形 ABCD 中，BC AD，CD AB，EF ABAD，3211111即,，则 32632（2）以 AB，AD 分别为 x，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示：则A(0,0)，E3,1，设F(x,2)，0 x 3；AF (x,2)，EF(x 3,1)35AF EF x23x2 x4,0 x 3；252.AF EF的取值范围为：,42【点睛】点睛：向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）ABC外的地方种草，外的地方种草，ABC2121 如图，如图，某园林单位准备绿化一块直径为某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空，的半圆形空，的内接正方形的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若为一水池，其余的地方种花，若BC 1，ABC，0，2设设ABC的面积为的面积为S1，正方形的面积为，正方形的面积为S2.(1)(1)用用表示表示S1和和S2；(2)(2)当当变化时，求变化时，求S1的最小值及此时角的最小值及此时角的大小的大小.S2291 sincos，2【答案】（1）S1sincos，S2；（）最小值4441sincos第 13 页 共 16 页【分析】（1）在RtABC中，可用,R表示AB,AC，从而可求其面积，利用三角形相似可得PS的长度，从而可得S2.（2）令t sin2，从而可得可求S1的最小值.S2S11 44t 4,t0,1，利用s t,t0,1的单调性S24tt1【详解】（1）在RtABC中，AB cos,AC sin，所以S1sincos，0，.22而BC边上的高为sincos sincos，1设APS斜边上的为h1，ABC斜边上的高为h2，因APSPSh1sincos PSABC，所以，BCh2sincos2sincossincos2故PS，故S2 PS，0，.1sincos21sincos122sincos1sincos2sin2S122（2）S2sincos4sin 2，sincos21sincos2t1t 44.S令t sin2,t0,1，则1S24t4t4令s t,t0,1，设任意的0 t1 t21，t2则s1s2t1t2t1t24 0t1t24，故s t,t0,1为减函数，t S 9所以smin 5，故1，此时t 1即.4S2min4【点睛】直角三角形中的内接正方形的问题，可借助于解直角三角形和相似三角形得到各边与角的关系，三角函数式的最值问题，可利用三角变换化简再利用三角函数的性质、换元法等可求原三角函数式的最值.122222在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，为坐标原点，A，B，C三点满足三点满足OC OAOB.33（1 1）求）求ACCB的值；的值；2B1cosx,cos x.x0,，fx OAOC 2mAB，（2 2）已知已知A1,cosx，若若fx23最小值记为最小值记为gm，求，求gm表达式，并求表达式，并求gm的最大值的最大值.第 14 页 共 16 页1,m 02【答案】（1）2；（2）g(m)1m,0 m 1，g(m)的最大值为 122m,m 112【分析】（1）根据A,B,C三点满足OC OAOB，变形为AC 2CB求解；3322（2）易得函数fx(cosxm)1m，然后令t cosx，利用二次函数求解.12【详解】（1）由题意可得A,B,C三点满足OC OAOB，332可得OC OA(OBOA)，3所以AC 22AB(AC CB)，3312即AC CB，33即AC 2CB，则AC 2|CB|，所以|AC|2；|CB|（2）由题意可得，OA (1,cosx)，OB (1cos x,cos x)，122OC OAOB 1cosx,cos x，333AB OB OA (cos x,0)，2所以f(x)OAOC 2m|AB|，3221cos xcos2x2mcos x，33(cos xm)21m2，令t cosx，因为x0,，所以t0,1，2令h(t)(t m)21m2,t0,1，当m0时，h(t)在0,1递增，h(t)的最小值为h(0)1，即g(m)1；当0m1时，h(t)的最小值为h(m)1m2，即g(m)1m2；当m 1时，h(t)在0,1递减，h(t)的最小值为h(1)22m，即g(m)22m第 15 页 共 16 页1,m 02综上可得，g(m)1m,0 m 1，22m,m 1可得g(m)的最大值为 1第 16 页 共 16 页
