2021年高考数学真题分类汇编专题10：解析几何.pdf

20212021 年高考数学真题分类汇编专题年高考数学真题分类汇编专题 1010：解析几何：解析几何一、单选题一、单选题1.(2 分)（2021全国甲卷）已知 F1，F2是双曲线 C 的两个焦点，P 为 C 上一点，且 F1PF2=60，|PF1|=3|PF2|，则 C 的离心率为（）A.B.C.到双曲线 D.2.(2 分)（2021全国甲卷）点的一条渐近线的距离为()A.B.C.D.3.(2 分)（2021全国乙卷）设B 是椭圆 C：满足A.（ab0）的上顶点，若C 上的任意一点 P 都，则 C 的离心率的取值范围是（）B.C.D.4.(2 分)（2021全国乙卷）设 B 是椭圆 C：A.B.的上顶点，点 P 在 C 上，则|PB|的最大值为（）D.2|MF2|的两个焦点，点 M 在 C 上，则|MF1|C.5.(2 分)（2021新高考）已知 F1,F2是椭圆 C：的最大值为（）A.13B.12C.9D.66.(2 分)（2021新高考卷）抛物线（）A.1 B.2 C.7.(2 分)（2021北京）已知圆最小值为 2，则A.（）C.过点D.，直线 D.4，当变化时，截得圆弦长的的焦点到直线的距离为，则B.8.(2 分)（2021北京）双曲线为（）A.B.，且离心率为 2，则该双曲线的标准方程 C.D.9.(2 分)（2021天津）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点则双重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲钱的渐近线于C、D两点，若曲线的离心率为（）A.B.C.2D.3二、多选题二、多选题10.(3 分)（2021新高考）已知点P 在圆+=16 上，点 A（4,0），B（0,2），则（）A.点 P 到直线 AB 的距离小于 10 B.点 P 到直线 AB 的距离大于 2C.当 PBA 最小时，|PB|=3D.当 PBA 最大时，|PB|=3与圆，点，则下列11.(3 分)（2021新高考卷）已知直线说法正确的是（）A.若点 A 在圆 C 上，则直线 l 与圆 C 相切 B.若点 A 在圆 C 内，则直线 l 与圆 C 相离C.若点 A 在圆 C 外，则直线 l 与圆 C 相离 D.若点 A 在直线 l 上，则直线 l 与圆 C 相切三、填空题三、填空题12.(1 分)（2021全国甲卷）已知 F1，F2为椭圆 C：原点对称的两点，且的两个焦点，P，Q 为 C 上关于坐标，则四边形 PF1QF2的面积为_。的右焦点到直线 x+2y-8=0 的距离为_.（m0）的一条渐近线为+my=0，则 C 的13.(1 分)（2021全国乙卷）双曲线14.(1 分)（2021全国乙卷）已知双曲线C：焦距为_.15.(1 分)（2021新高考）已知 O 为坐标原点，抛物线 C:的焦点为 F,P 为 C 上一点，PF 与 x 轴垂直，Q 为 x 轴上一点，且 PQOP,若|FQ|=6，则 C 的准线方程为_16.(1 分)（2021新高考卷）已知双曲线的渐近线方程为_17.(1 分)（2021新高考卷）已知函数，函数的图象在点，离心率，则双曲线 C和点_的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于 M，N 两点，则取值范围是18.(2 分)（2021北京）已知抛物线则的横坐标是_；作轴于，焦点为，则，点为抛物线上的点，且，_19.(2 分)（2021浙江）已知椭圆的直线和圆，焦点，若过轴，则该直线的斜率相切，与椭圆在第一象限交于点P，且是_，椭圆的离心率是_.20.(1分)（2021天津）若斜率为_的直线与y轴交于点A，与圆相切于点B，则四、解答题四、解答题21.(10 分)（2021全国甲卷）抛物线C 的顶点为坐标原点 O,焦点在 x 轴上，直线 L：x=1 交 C 于 P，Q两点，且 OP 丄 OQ.已知点 M（2,0）,且（1）求M 的方程；M 相切，判断 A2A3与M 的位置关系，并M 与 L 相切，（2）设 A1,A2,A3,是 C 上的三个点,直线 A1 A2，A1 A3均与说明理由.22.(10 分)（2021全国乙卷）已知抛物线C：（1）求 C 的方程.（2）已知 O 为坐标原点，点 P 在 C 上，点 Q 满足(p0)的焦点 F 到准线的距离为 2.，求直线 OQ 斜率的最大值.23.(10 分)（2021全国乙卷）己知抛物线C：x2=2py（p0）的焦点为 F，且 F 与圆 M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.（1）求 p；（2）若点 P 在 M 上，PA，PB 是 C 的两条切线，A，B 是切点，求24.(10 分)（2021新高考）在平面直角坐标系xOy 中，己知点|MFt|-|MF2|=2.记 M 的轨迹为 C.（1）求 C 的方程;（2）设点T在直线|TB|=|TP|TQ|,上，过T 的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点,且|TA|PAB 的最大值.(-7,0)，(7,0),点 M 满足求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和25.(10 分)（2021新高考卷）已知椭圆C 的方程为离心率为，右焦点为，且（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 M，N 是椭圆 C 上的两点，直线的充要条件是过点，以四个顶点围成的四边与曲线相切证明：M，N，F 三点共线26.(10 分)（2021北京）已知椭圆形面积为（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）过点 P(0，-3)的直线 l 斜率为 k，交椭圆 E 于不同的两点 B，C，直线 AB，AC 交 y=-3 于点 M、N，直线 AC 交 y=-3 于点 N，若|PM|+|PN|15，求 k 的取值范围27.(10 分)（2021浙江）如图，已知 F 是抛物线交点，且，的焦点，M 是抛物线的准线与 x 轴的（1）求抛物线的方程；（2）设过点F的直线交抛物线与AB两点，斜率为2的直线l与直线Q，R，N，且28.(10 分)（2021天津）已知椭圆且，求直线 l 在 x 轴上截距的范围.的右焦点为 F,上顶点为 B,离心率为，x轴依次交于点P，（1）求椭圆的方程；（2）直线 l 与椭圆有唯一的公共点M，与 y 轴的正半轴交于点 N，过 N 与 BF 垂直的直线交 x 轴于点 P 若，求直线 l 的方程答案解析部分答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质【解析】【解答】解：由|PF1|=3|PF2|，|PF1|-|PF2|=2a 得|PF1|=3a，|PF2|=a在F1PF2中，由|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos F1PF2得(2c)2=(3a)2+a2-23aacos60解得所以故答案为：A【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理以及离心率公式直接求解即可.2.【答案】A【考点】点到直线的距离公式，双曲线的简单性质【解析】【解答】解：不妨取双曲线的一条渐近线为：，即 3x-4y=0，则所求距离为故答案为：A【分析】根据双曲线的几何性质，结合点到直线的距离公式求解即可.3.【答案】C【考点】椭圆的定义，椭圆的简单性质【解析】【解答】依题意，点B(0,b),设 P(x0,y0),则有因为移项并用十字相乘法得到：恒成立，即恒 成立，据此解得故答案为：C。，【分析】由两点间的距离公式，表示出|PB|2，再根据椭圆上任意点的纵坐标y0的取值范围，解相关不等式得到结果。4.【答案】A【考点】椭圆的简单性质【解析】【解答】由题意知 B(0,1),设 P(x,y)则|PB|2=(x-0)2+(y-1)2=x2+y2-2y+1=5(1-y2)+y2-2y+1=-4y2-2y+6=-4(y+4)2+，故答案为：A【分析】先写出 B 的坐标，然后设任意点P(x,y),再用两点间的距离公式，表示出|PB|，再用本文法计算,因为所以当时，|PB|2max=,此时，|PB|max|PB|的最大值即可。5.【答案】C【考点】基本不等式在最值问题中的应用，椭圆的定义【解析】【解答】解：由椭圆的定义可知a2=9,b2=4,|MF1|+|MF2|=2a=6，则由基本不等式可得|MF1|MF2|，当且仅当|MF1|=|MF2|=3 时，等号成立.故答案为：C【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式求解即可.6.【答案】B【考点】点到直线的距离公式，抛物线的简单性质【解析】【解答】解：抛物线的焦点坐标为，则其到直线 x-y+1=0 的距离为，得 p=2 或 p=-6(舍去)，故 p=2.故答案为：B【分析】根据抛物线的几何性质，结合点到直线的距离公式求解即可7.【答案】C【考点】点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系【解析】【解答】解：由题意可设弦长为n，圆心到直线 l 的距离为 d，则，则当 n 取最小值 2 时，d 取得最大值为，则当 k=0 时，d 取得最大值为，则解得解故答案为：C【分析】根据直线与圆的位置，以及相交弦的性质，结合点到直线的距离公式求解即可.8.【答案】A【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质【解析】【解答】解：由则可设双曲线方程为：得 c=2a，则 b2=c2-a2=3a2，将点解得 a2=1,b2=3代入上式，得故所求方程为：故答案为：A【分析】根据双曲线的离心率的定义，结合双曲线的几何性质和标准方程求解即可.9.【答案】A【考点】抛物线的简单性质，双曲线的简单性质【解析】【解答】解：设双曲线（c,0），则抛物线将 x=-c 代入的准线为 x=-c，得，所以，解得，所以，与抛物线的公共焦点为又因为双曲线的渐近线为所以所以，则所以双曲线的离心率为故答案为：A【分析】根据双曲线与抛物线的几何性质，结合离心率的定义求解即可.二、多选题10.【答案】A,C,D【考点】直线的截距式方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系【解析】【解答】解：直线 AB 为：，即 x+2y-4=0，设点 P（5+4cos，5+4sin），则点 P 到直线 AB 的距离为，则所以 A 正确 B 错误；又圆心 O 为（5,5），半径为 4，则，所以当直线 PB 与圆相切时，PBA 取得最值，此时，所以 CD 正确故答案为：ACD.【分析】根据直线的截距式，利用点到直线的距离公式，以及直线与圆的位置关系求解即可.11.【答案】A,B,D【考点】点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系【解析】【解答】解：由题意得圆心C（0,0）到直线 l：ax+by-r2=0 的距离对于 A，若点 A 在圆 C 上，则 a2+b2=r2，则对于 B，若点 A 在圆 C 内，则 a2+b2r2，则，则直线 l 与圆 C 相切，故 A 正确；，则直线 l 与圆 C 相离，故 B 正确；，则直线 l 与圆 C 相交，故 C 错误；，则直线 l 与圆 C对于 D，若点 A 在直线 l 上，则 a2+b2-r2=0，即 a2+b2=r2，则相切，故 D 正确.故答案为：ABD【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为a2+b2，r2的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.三、填空题12.【答案】8【考点】椭圆的定义，三角形中的几何计算【解析】【解答】解：由|PQ|=|F1F2|，得|OP|=|F1F2|，所以 PF1PF2，所以故答案为：8【分析】根据椭圆的定义及直角三角形的性质，结合三角形的面积公式求解即可13.【答案】【考点】直线与圆锥曲线的关系【解析】【解答】由题意得，a2=4,b2=5,所以 c2=a2+b2=9,所以 c=3(c0),所以椭圆的右焦点是(3,0)，则右焦点(3,0)到直线 x+2y-8 的距离为.【分析】先求出椭圆的右焦点坐标，然后用点到直线的距离公式求焦点到直线的距离即可。14.【答案】4【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质【解析】【解答】因为又曲线方程C：所以双曲线方程是故答案为：4【分析】由双曲线渐近线的斜率可得到m 的值，再进一步求得焦距的值。15.【答案】,一条渐近线是，【考点】直线的点斜式方程，抛物线的定义【解析】【解答】解：由题意可设因此直线 PQ 的方程为：令 y=0，得因此则 p=3因此抛物线 C 的准线方程为：，则,【分析】根据抛物线的定义及几何性质，结合直线的方程求解即可.16.【答案】【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：由故答案为：得，所以该双曲线的渐近线方程为【分析】根据双曲线的几何性质，结合渐近线方程直接求解即可.17.【答案】【考点】导数的几何意义，直线的点斜式方程，两点间距离公式的应用【解析】【解答】解：由题意得所以点 A(x1,1-ex1)，点 B(x2,ex2-1)，KAM=-ex1，KBN=ex2，则，所以-ex1ex2=-1，x1+x2=0，所以 AM：y-1+ex1=-ex1(x-x1)，所以同理，所以故答案为：（0,1）【分析】根据导数的几何意义可得x1+x2=0，结合直线方程及两点间距离公式求解即可.18.【答案】5；【考点】抛物线的简单性质，抛物线的应用【解析】【解答】解：由题意知焦点F 为（1,0），准线为 x=-1，设点 M 为（x0,y0）,则有|FM|=x0+1=6，解得 x0=5，则不妨取点 M 为则点 N 为则|FN|=5-1=4则故答案为：5，【分析】根据抛物线的几何性质，结合三角形的面积公式求解即可.19.【答案】；【考点】圆的标准方程，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系【解析】【解答】如图所示：不妨假设，设切点为，因为圆 B 方程:,所以|AB|=C,BF1=所以所以直线 PF1的斜率为 k=将 x=c 代入椭圆方程,可得 P 点的坐标:由，所以，于是，即，所以故答案为：；【分析】（1）取特殊值 c=2,根据圆的切线的性质，计算相关线段长度，在直角三角形ABF1中，可以求得的值；（2）由（1）及20.【答案】椭圆的定义，就可以计算 a 的值，进一步得到离心率。【考点】直线的斜截式方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系【解析】【解答】解：设直线 AB 的方程为 直线 AB 与圆，解得 b=-1 或 b=3相切，则点 A(0,b)所以|AC|=2又|BC|=1故答案为：【分析】根据直线的斜截式方程，结合直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式求解即可.四、解答题21.【答案】（1）依题意设抛物线，所以抛物线的方程为与所以（2）设若若则过斜率不存在，则方程为与圆方程为或，不合题意；，根据对称性不妨设相切的另一条直线方程为的方程为，相切，所以半径为，；此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在若则过方程为与圆，根据对称性不妨设相切的直线为又，此时直线所以直线若直线与圆相切；斜率均存在，关于轴对称，则所以直线整理得同理直线直线的方程为的方程为与圆整理得与圆所以相切，同理为方程，到直线的距离为：相切，方程为，的两根，所以直线综上若直线与圆相切；与圆相切，则直线与圆相切.【考点】平面向量的综合题，圆的标准方程，点的极坐标和直角坐标的互化，圆的参数方程【解析】【分析】（1）先设抛物线的方程进而由由对称性，可知，可以很容易求出抛物线的P 值，进而写出抛物线的方程；由于圆 M 的圆心已知,且与 x=1 相切，立刻知道半径，故很容易求得M 的方程；（）先设出三点的坐标，分斜率不存在及 直线斜率均存在讨论，分别写出相应的直线方程，根据相关直线与圆相切的条件，分别代入抛物线方程，利用达定理，点到直线距离公式等知识，推导结论。22.【答案】（1）抛物线由题意，该抛物线焦点到准线的距离为所以该抛物线的方程为（2）设，则，；的焦点，准线方程为，所以由在抛物线上可得，即，所以直线当当当此时当的斜率时，时，时，因为，当且仅当时，；的斜率的最大值为.，即；，时，等号成立；综上，直线【考点】抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的关系【解析】【分析】（1）根据抛物线的几何性质，可求得P 的值，就可以写出抛物线的方程；（2）先设出 Q 的坐标 M(x0,y0),在代入已知等式，用(x0,yO)表示出，再 代入抛物线方程，推导出 x0，y0的关系，再表示出 OQ 的斜率。再利用基本不等式，求出斜率最大值即可。23.【答案】（1）解：焦点（2）抛物线到的最短距离为，所以 p=2.，设 A(x1，y1），B(x2，y2)，P(x0，y0)，则，且.，都过点 P(x0，y0），则故，即.联立，得，.所以=，所以=而.故当 y0=-5 时，=达到最大，最大值为=.【考点】圆的标准方程，抛物线的标准方程，抛物线的应用【解析】【分析】（1）因为 F 点到圆上距离最小的即为F 到圆心的距离减去半径1，据此得到结果；（2）由（1）写出抛物线的标准方程，分别设出切点 A,B 的坐标，及 P（在圆 M 上）的坐标，分别写出两条切线的方程，利用 A,B 都过 P 点，建立方程求解。最后通过三角形PAB 面积表达式，研究最值。24.【答案】（1）轨迹为双曲线右半支，（2）设设：，联立，设同理，即，.【考点】双曲线的定义，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义直接求解即可；（2）利用直线与双曲线的位置关系，结合根与系数的关系，以及弦长公式求解即可.，：，25.【答案】（1）由题意，椭圆半焦距又（2）由（1）得，曲线为当直线当直线必要性：若 M，N，F 三点共线，可设直线的斜率不存在时，直线的斜率存在时，设，所以椭圆方程为且；，所以，不合题意；，即，由直线与曲线相切可得，解得，联立可得，所以，所以所以必要性成立；充分性：设直线由直线与曲线即相切可得,，所以，联立可得，所以，所以，化简得，所以，所以或，所以直线或，所以直线过点，M，N，F 三点共线，充分性成立；所以 M，N，F 三点共线的充要条件是【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质，结合椭圆的标准方程直接求解即可；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证；充分性：设直线MN：y=kx+b(kb0)，由直线与圆相切得b2=k2+1，联立直线与椭圆方程结合弦长公式即可求解.26.【答案】（1）因为椭圆过因为四个顶点围成的四边形的面积为故椭圆的标准方程为：（2）设，.，故，故，即，因为直线故直线直线故又的斜率存在，故，令，由，则可得，解得，故或，所以.，同理，.又故综上，即，或.【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质求解即可；（2）根据直线与椭圆的位置关系，利用根与系数的关系，结合弦长公式求解即可.27.【答案】（1）解：因为（2）解：设所以直线由因为可得，故，由题设可得，故且，故，故抛物线的方程为：，.，故.，又，由可得，同理，由可得，所以，整理得到，故，令，则且，故，故即，解得或或.或或故直线在轴上的截距的范围为【考点】抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义，即可求得P，进而写出方程；（2）设，并设，写 出直线，代入抛物线，由韦达定理写出关系式，再由，结合直线方程，推出关系式，进而利用基本不等式以及解相关不等式，得出直线l 在 x 轴上截距的范围。28.【答案】（1）易知点因为椭圆的离心率为因此，椭圆的方程为（2）设点先证明直线为椭圆的方程为上一点，、，故；，故，联立，消去并整理得，因此，椭圆在点处的切线方程为.在直线直线的方程中，令的斜率为，可得，由题意可知的方程为，即点，所以，直线在直线的方程中，令，可得，即点，因为，则，即，整理可得，所以，因为，故，所以，直线的方程为，即.【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）先求出 a 值，结合 a,b,c 的关系求得 b，从而求得椭圆的方程；（2）设 M(x0,y0)，可得直线 l 的方程，求出点 P 的坐标，再根据MP/BF 得 KMP=KBF得 x0,y0的值，即可得出直线 l 的方程求，试卷分析部分试卷分析部分1.1.试卷总体分布分析试卷总体分布分析总分：115 分客观题（占比）分值分布主观题（占比）26（22.6%）89（77.4%）客观题（占比）题量分布主观题（占比）13（46.4%）15（53.6%）2.2.试卷题量分布分析试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分值（占比）单选题9（32.1%）18（15.7%）多选题2（7.1%）6（5.2%）填空题9（32.1%）11（9.6%）解答题8（28.6%）80（69.6%）3.3.试卷难度结构分析试卷难度结构分析序号难易度占比1容易28.6%2普通42.9%3困难28.6%4.4.试卷知识点分析试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号1双曲线的定义13（4.3%）1,14,242双曲线的简单性质10（3.3%）1,2,8,9,14,163点到直线的距离公式13（4.3%）2,6,7,10,11,204椭圆的定义5（1.7%）3,5,125椭圆的简单性质26（8.6%）3,4,19,25,266基本不等式在最值问题中的应用2（0.7%）57抛物线的简单性质6（2.0%）6,9,188直线与圆的位置关系9（3.0%）7,10,11,209双曲线的标准方程2（0.7%）810直线的截距式方程3（1.0%）1011三角形中的几何计算1（0.3%）1212直线与圆锥曲线的关系43（14.2%）13,19,22,24,26,2813直线的点斜式方程2（0.7%）15,1714抛物线的定义1（0.3%）1515导数的几何意义1（0.3%）1716两点间距离公式的应用1（0.3%）1717抛物线的应用12（4.0%）18,2318圆的标准方程22（7.3%）19,21,2319直线的斜截式方程1（0.3%）2020平面向量的综合题10（3.3%）2121点的极坐标和直角坐标的互化10（3.3%）2122圆的参数方程10（3.3%）2123抛物线的标准方程30（9.9%）22,23,2724直线与圆锥曲线的综合问题40（13.2%）24,26,27,2825椭圆的标准方程30（9.9%）25,26,28