百师联盟(山东省新高考卷)2021-2022学年高三下学期开年摸底联考数学试题(含答案解析).pdf

百师联盟（山东省新高考卷）百师联盟（山东省新高考卷）2021-20222021-2022 学年高三下学期开学年高三下学期开年摸底联考数学试题年摸底联考数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题一、单选题x21已知集合A y y 2,xR，B x x 4，则AB（）2A2,B2,0C0,2D0,22已知复数 z满足z1i 2i（i 为虚数单位），则z（）A22B2C1D23若0 a 1，则“logax logay”是“ax ay”的（）A充分不必要条件C充要条件B必要不充分条件D既不充分也不必要条件x 1 34设函数fx x2，若a fln3，b flog52，c f（e 为自然e 2对数的底数），则（）Aa b cBc b a2Cc a b2Da c b5已知直线 l：x y 1 0与圆 C：xaya11交于 A，B两点，O 为坐标原点，则OAOB的最小值为（）1A2B22C2D126如图，正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面的射影为底面正方形的中心）PABCD中，AB 4，点 E为 PB中点，若 CE与 PD所成的角余弦值为P ABCD的体积为（）3，则四棱锥3AC32 23B16 2D3231637如图为一个直角三角形工业部件的示意图，现在AB 边内侧钻 5 个孔，在 BC边内侧钻 4 个孔，AB 边内侧的 5 个孔和 BC 边内侧的 4 个孔可连成 20 条线段，在这些线段试卷第 1 页，共 5 页的交点处各钻一个孔，则这个部件上最多可以钻的孔数为（）A190B199C69D6028已知抛物线 C：y 2pxp 0，直线 l：y 2 2x 2p与 C 交于 A，B 两点，点A，B 在准线上的射影分别为点A1，B1，若四边形A1ABB1的面积为3 2，则p（）A2二、多选题二、多选题4B3C4 55D4log2x1,x 2,9设函数fxx则以下结论正确的为（）2 3,x 2,Afx为 R R 上的增函数Bfx有唯一零点x0，且1 x0 2C若fm5，则m 33Dfx的值域为 R R10小明用某款手机性能测试APP 对 10 部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所得的分数按从小到大的顺序（相等数据相邻排列）排列为：81，84，84，87，x，y，93，96，96，99，已知总体的中位数为 90，则（）Ax y 180B该组数据的均值一定为90C该组数据的众数一定为84 和 96D若要使该总体的标准差最小，则x y 9011将函数gx12xAsinxA 0,0,0 的图象向左平移个单位后得到函数y fx的图象，若对xR，f1 x fx1，且f1 f30，则的可能取值为（）A2BC32D212在数列an中，a2 a4 a6 285，nann1an1101nN N，则以下结论正确的为（）试卷第 2 页，共 5 页A数列an为等差数列Ba1 99C当Sn取最大值时，n的值为 51D当数列anan1an2nN N的前 n 项和取得最大值时，n的值为 49 或 51三、填空题三、填空题3213已知0,，cos，则cos_52414建在水资源不十分充足的地区的火电厂为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统（冷却塔），以使水可循环使用下图是世界最高的电厂冷却塔中国国家能源集团胜利电厂冷却塔，该冷却塔高225 米，创造了“最高冷却塔”的吉尼斯世界纪录该冷却塔的外形可看作双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图：已知直线l1，l2为该双曲线的两条渐近线，l1，l2向上的方向所成的角的正切值为离心率为_5，则该双曲线的1215如图，在三棱锥P ABC中，PA平面ABC，AB BC，PA AB 2，若三棱锥的外接球体积为4 3，则异面直线PB与AC所成角为_.f x216已知函数fxsin x2cos x的图象上存在点x0,fx0使得e0a fx0(e为自然对数的底数)，则实数a的取值范围为_.四、解答题四、解答题*17已知数列an的前 n 项和为Sn，a11，且Sn 2Sn1nn 2,nN试卷第 3 页，共 5 页(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2n1an1，求数列bn的前 n项和Tn18在三角形 ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a 2b，且2csin B acosC.6(1)求角 C；(2)E 为三角形 ABC所在平面内的一点，AE AB AC，且AE 2，求线段 CE的长.19在东京奥运会中，甲，乙、丙三名跳水远动员参加小组赛，已知甲晋级的概率为p0 p 1，乙、丙晋级的概率均为q0 q 1，且三人是否晋级相互对立.(1)若甲晋级的概率与乙、丙两人均没有晋级的概率相等，与乙、丙两人有且仅有一人晋级的概率也相等，求p，q；(2)若p 1，记三个人中晋级的人数为，若 0时的概率和 3时的概率相等，求2E.20如图，四棱柱ABCD A1B1C1D1中，四边形A1ADD1为矩形，且平面A1ADD1平面1ABCD，ABCD，AB AD A1ACD，DAB，M，E分别为AD1，B1C22的中点.(1)证明：ME平面DCC1D1；(2)求AE与平面B1BCC1所成的角的正弦值.x2y2321已知椭圆C：221a b 0的离心率为，且过左焦点和上顶点的直线lab2与圆x32 y2 3相切.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线m：y kxnk 0,n 0与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，且直线OA，OB，AB的斜率之和为 0.求三角形OAB面积的最大值.试卷第 4 页，共 5 页1ax22已知函数fx aeaa 0，gx 2xln x.x(1)若fx在点0,f0处的切线与gx在点(1,g(1)处的切线互相平行，求实数a的值；(2)若对x 0，fx gx恒成立，求实数a的取值范围.试卷第 5 页，共 5 页参考答案：参考答案：1D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合B，再根据指数函数的性质求出集合A，最后根据交集的定义计算可得；【详解】2解：由x2 4，即x2x20，解得2 x 2，所以B x x 4 x|2 x 2，x又A y y 2,xR 0,，所以AB 0,2.故选：D2B【解析】【分析】根据复数模的性质运算即可.【详解】z1i 2i,z 2i,1i2i1i 1i 2 z 故选：B3A【解析】【分析】根据一直关系判断x,y的大小关系进行等价转化即可得解.【详解】由0 a 1，logax logay y x 0，ax ay y x，故为充分不必要条件.故选：A4D答案第 1 页，共 16 页【解析】【分析】利用函数fx的奇偶性与单调性判断大小.【详解】由题意可知，函数fx为偶函数，且在0,上单调递增，又ln3 1，11 1 1，所以fln3 f，1 flog52，故a c be22e 0 log52 log55 故选：D5A【解析】【分析】由题意直线 l 过圆心C，则OAOB OC CA OC CB OC1，当 OC 垂直直线 l时，OC取得最小值得出答案.【详解】圆C的圆心Ca,1a，满足a1a1 0，所以直线 l 过圆心C，所以OAOB OC CA OC CB OCCA OCCA OC 1，当 OC垂直直线 l 时，OC取得最小值，所以OC的最小值为211所以OC的得最小值为2，故OAOB的最小值为222221121222故选：A6A【解析】【分析】连接 AC，BD，设交点为 O，连接 PO，OE，则OEPD，所以CEO或其补角即为 CE3与 PD所成的角，设PD 2x x 2，在CEO中，根据cosCEO 求出x的值，进3而可得四棱锥 P ABCD 的高 PO，最后由棱锥的体积公式即可求解.【详解】答案第 2 页，共 16 页解：如图，连接 AC，BD，设交点为 O，连接 PO，OE，则OE/PD，所以CEO或其补角即为 CE与 PD所成的角，设PD 2x x 2，则OE x，由题意，PO平面ABCD，所以PO OC，又OC BD，BD所以OC 平面PBD，所以OE OC，cosCEO PO O，3，CE2OE2OC2 x28，即CE x28，3，解得x 2，所以cosCEO 33xx 82所以PO PD2OD2 2 2，132 2所以VPABCD442 2 33故选：A.7C【解析】【分析】由四边形对角线相交，则转化为求由这些点可以组成多少个对角线不重合的四边形，从而得到答案.【详解】在 AB边内侧的 5 个孔和 BC边内侧的 4 个孔中各取两个可构成四边形，当这些四边形对角线的交点不重合时，钻孔最多，所以最多可以钻的孔数为C5C49 69个故选：C8B【解析】【分析】答案第 3 页，共 16 页22先判断出直线 l过抛物线的焦点，把直线和抛物线联立，表示出梯形的上底、下底和高，根据面积公式求出 p.【详解】pp2抛物线 C：y 2pxp 0的焦点F,0，准线x 2.2p 直线 l：y 2 2x 2p可化为：y 2 2x，所以直线 l 过抛物线的焦点.2设Ax1,y1，Bx2,y2，把直线 l代入抛物线 C 消去 y可得：4x25px p2 0，所以x1 x2p，x1x25412p.4p9p，x2，所以AB x1 x2 p p，四边形A1ABB1242又 A，B 到准线的距离分别为x1为直角梯形，其高为h p 43127 222 23 2p 3 2，解得：AB p，所以S AB h 21632故选：B9BC【解析】【分析】作出fx的图象如图所示,对四个选项一一验证：对于 A：取特殊值f21，f31，即可判断；对于 B：利用图象判断零点；对于 C：直接解方程即可；对于 D：根据图象直接求出值域，即可判断.【详解】作出fx的图象如图所示：答案第 4 页，共 16 页对于 A:取特殊值：f21，f31，故 A 错误；对于 B:由图象已知，fx有唯一零点x0，fx在,2上单调递增，且f1 0，f20，B 正确；对于 C：当x 2时，2x31，故log2m15，解得m 33，C 正确对于 D：fx的值域为0,3,13,，D 错误；故选：BC10ABD【解析】【分析】依题意可得x y 180，即可求出平均数，即可判断A、B，再利用特殊值判断 C，利用基本不等式判断 D；【详解】解：因为总体的中位数为90，所以x y 180，所以该组数据的均值为181848487 x y93969699 90，故 A 正确，B 正确，当x y 90时，众10数为 84，90，96，当x87，y 93时，众数为 84，87，93，96，故 C 错误；要使该总体的标准差最小，即方差最小，即x90y90最小，又22x90y90立，故 D 正确故选：ABD11AC【解析】【分析】22x y18022 0，当且仅当x90 y 90时，即x y 90时等号成1Asinx，分析xR，f1 x fx1，可得fx为x2偶函数，结合范围可得，代入f1 f30，分析即得解2由图像平移可得fx【详解】答案第 5 页，共 16 页将函数gx12xAsinxA 0,0,0 的图象向左平移1Asinxx2个单位后得到函数y fx的图象，故函数fx对xR，f1 x fx1，即tR，ft ft故fx为偶函数，所以 k又0，所以故fxf1f32，kZ，21Acosxx21Acos 0 k，所以，kZ，2213 kAcos3 0，所以，kZ，28可得和3均为故选：AC12ACD【解析】【分析】3的奇数倍，故的可能取值为，222由已知结合等差中项的定义证明等差数列可判断A；令n 1，求得a1101判断 B；由等差数列的性质及等差数列的通项公式求得an1032n，利用数列an的正负可求得Sn取最大值时 n的值判断 C；数列an的正负，知b49 0，b50 3 0，b51 3 0，又b50b51 0，可知数列bn前 n 项和取得最大值时，n的值判断 D.【详解】对于 A，由nann1an1101，得n1an1 nan2101，两式作差得n1an1nan nan2n1an1，即2an1 anan2，所以数列an为等差数列，故 A 正确；对于 B，令n 1，知a1101，故 B 错误；对于 C，由等差数列的性质知a2a4a6 3a4 285，即a4 95，又a1101，可得公差d a4a1 2，所以an1032n，知数列an的前 51 项为正，从第 52 项开始3答案第 6 页，共 16 页为负，当Sn取最大值时，n的值为 51，故 C 正确；对于 D，由数列an的前 51 项为正，从第 52 项开始为负，又bn anan1an2，知b49 a49a50a51 0，b50 a50a51a52 3 0，b51 a50a51a52a53 3 0，所以数列bn前 49项和最大，又b50b51 0，所以数列bn前 51 项和最大，当n52时，bn 0，*所以当n 49或 51 时，anan1an2nN的前 n项和取得最大值，D 正确故选：ACD131#0.110【解析】【分析】根据同角的三角函数关系式，结合降幂公式、诱导公式进行求解即可.【详解】394，解：由0,，cos，得sin1cos21525541cos121sin所以251 cos2221024故答案为：1426【解析】【分析】设一条渐近线向上的方向与虚轴向上的方向所成的角为，则tan2b而可求得，从而可求的离心率.a5，求得tan，从12110【详解】解：设一条渐近线向上的方向与虚轴向上的方向所成的角为，则tan2ab1512tan5tan，解得或tan 5（舍），51tan212即，故b5，a答案第 7 页，共 16 页b2所以e 1226a故答案为：26.15#603【解析】【分析】将三棱锥补成三棱柱，取AC中点O1，PF中点O2，判断出外接球球心即为O1O2的中点O，设外接球半径为R，利用球的体积求出R，利用勾股定理求出BC 2，判断出BPF或其补角即为异面直线所成的角，根据PBF为等边三角形，求出异面直线PB 与 AC所成角.【详解】如图，将三棱锥补成三棱柱，取AC中点O1，PF中点O2，外接球球心即为O1O2的中点O，设外接球半径为R，则4 BC21224R3 4 3，得R 3，所以3 3，得BC 2，由ACPF，所以BPF或其补角即为所求异面直线所成的角，易得PB BF PF 2 2，所以异面直线 PB与 AC所成角为故答案为：.332161,e 2【解析】【分析】利用三角函数和二次函数的性质求出f(x)值域，令 f(x)t，则问题转化为：存在答案第 8 页，共 16 页t2,2，使得即a ett成立，然后利用导数求出gt ett值域即可.【详解】fxsin2x2cos x cos2x2cos x1 cosx12，22112,1122,2，1cosx1，fx2令 f(x)t，则问题转化为：存在t2,2，使得eta t成立，即a ett成立.tt设gt e t，则gt e 1，则当2t 0时，gt0，gt单调递减；当0t 2时，gt0，gt单调递增，gtmin g01，22又g2 2e，g2e 2，e22 2e2，故1 g(t)e22，1 a e22，21,e 2实数a的取值范围为.【点睛】本题关键点是求出 f(x)值域，利用换元法将问题转化为一个常数函数与一个可求出值域的函数有交点的问题.n17(1)an 2 1n1(2)Tn2n326【解析】【分析】（1）由an与Sn的关系得an1 2an1，进而得数列an1为以2为公比和首项的等比数n列，进而得an 2 1；n（2）结合（1）得bn2n12，再根据错位相减法求解即可.(1)*解：由Sn 2Sn1nn 2,nN得：答案第 9 页，共 16 页Sn1 2Sn n1，作差得即an1 2an1，即an11 2an1n 2,nN*，又a11，由S2 a1a2 2a12，得a2 3，所以a21 4 2a11所以数列an1为以2为公比和首项的等比数列，所以an1 42n2 2n，所以an 2n1n故数列an的通项公式为an 2 1(2)n解：由（1）知bn2n12，23n所以Tn1232 52 2n122Tn1223235242n12n1，23nn1作差得Tn1222 22 22 2n12 22412n1122n12n132n2n16n1所以Tn2n32618(1)(2)3；3【解析】【分析】（1）由正弦定理边角互化计算得tanC 3，所以可得C c2 3b2，可得a2b2c2，所以A 3；（2）由余弦定理计算得2，再由AE AB AC，得CE/AB且CE AB，所以四边形ABEC是矩形，求解得b 1，从而得CE AB c 3b 3.(1)因为a 2b，由2csin B acosC 得，csin B bcosC，66由正弦定理得sinCsin B sin BcosC，6答案第 10 页，共 16 页因为0 B，所以sinB0，31cosCsinC，故sinC cosC62213得sinC cosC，即tanC 3，22又0C，所以C.3(2)由余弦定理得c2 a2b22abcosC 4b2b22b2 3b2，所以a2b2c2，即A 2，又因为AE AB AC，即AE AC AB CE AB，因为A,B,C不共线，所以CE/AB且CE AB，所以四边形ABEC是矩形，所以BC AE a 2b 2，即b 1，所以CE AB c 3b 3.19(1)p 3(2)241，q 93【解析】【分析】（1）求出乙、丙两人均没有晋级的概率和两人有且仅有一人晋级的概率可求出结果.（2）由题分析知服从二项分布，即可求出结果.(1)乙、丙两人均没有晋级的概率为1q，乙、丙两人有且仅有一人晋级的概率为C2q1q，124p 1q1p q 故解得，19p C q 1q,322(2)的所有可能取值为 0，1，2，3.P 01121q，P 3q2，22由题知11121qq2，解得q，222答案第 11 页，共 16 页1所以 B3,，213所以E 3.2220(1)证明见解析(2)2211【解析】【分析】(1)分别取 AD和 BC 的中点 H，P 连接 MH，HP，PE，根据中位线的性质证得四边形MHPE为平行四边形，进而利用线面平行的判定定理即可证明；(2)建立如图空间直角坐标系，利用向量法求出AE和平面B1BCC1的法向量，结合向量的数量积计算即可得出结果.(1)如图，分别取 AD 和 BC的中点 H，P连接 MH，HP，PE，则MH DD1，MH 11DD1，PECC1，PE CC1，22所以MHPE，MH PE，所以四边形MHPE为平行四边形，所以MEPH，又PHCD，所以MECD，因为CD平面DCC1D1，ME平面DCC1D1，所以ME平面DCC1D1.(2)因为四边形A1ADD1为矩形，所以DD1 AD，答案第 12 页，共 16 页因为平面A1ADD1平面ABCD，且平面A1ADD1所以D1D 平面ABCD，故D1D CD，因为ABCD，DAB 平面ABCD AD，2，所以CD AD，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，1 3 1 设AB 1，则A1,0,0，B1,1,0，C0,2,0，B11,1,1，E,，2 2 21 3 1所以BB10,0,1，BC 1,1,0，AE,2 2 2设平面B1BCC1的法向量为n x,y,z，nBB1 0z 0则，x y 0nBC 0令x 1，则y 1，所以n 1,1,0，所以cos AE,n 121122211，22.11所以AE与平面B1BCC1所成的角的正弦值为x221(1)y21；4(2)1.【解析】【分析】（1）根据离心率，结合直线与圆相切及椭圆几何性质求得a2,b2，写出椭圆方程.（2）联立直线与椭圆方程，得到韦达定理，根据条件斜率和为0，化简得到 n 的值；利用弦长公式求得 AB，并求得 AB边上的高，表示出三角形面积，由基本不等关系求得最大值即可.(1)设椭圆的半焦距为c，则bxb，则cc3.a2直线l：y 3bbcb c223，即3bbca3答案第 13 页，共 16 页又a2b2c2由解得a2 4，b21，x2所以求椭圆C的方程为 y21.4(2)设Ax1,y1，Bx2,y2，y kxn,22214kx 8knx4n 4 0，联立x2整理得2 y 1,4n21所以 64k n 414k4n 4 0，得k 48kn4n24x1 x2，x1x2，1 4k214k222222设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则k1 k k2 0，2nx1 x2kn 3y1y2kx1nkx2n即k k 3k 0，x1x2x1x2x1x2n21所以n2 3，又n 0，所以n 3，n211所以k 422AB 1k x2 x11k 22x1 x2324x1x241k24k2214k2原点O到直线l的距离d|n|1k21k2，所以SOAB12 3 4k222 3AB d 214k24k22 34k2234k222 34k2234k221，2当且仅当4k 2 2时，即k 5时等号成立，4所以三角形OAB面积的最大值为 1.22(1)22(2),)e【解析】答案第 14 页，共 16 页【分析】1 22ax（1）分别求得f x a e和gx 212ln x22，根据f 0 g1，列出方xx程，即可求解；1 axaxax22（2）由fx gx得ae1 2xln x，转化为e1 lne x 1 ln x，设x11hxx1lnx，求得hx ln x1，令mx ln x1，利用导数求得函数mxxx单调性和最值，进而求得hx在0,上单调递增，得到eax x2对x 0恒成立，即可求解.(1)2ax2ax解：由题意，函数fx aea，可得f x a e，所以f 0 a，11 2又由函数gx 2xln x，可得gx 212ln x22，所以g1 4，xxx因为fx在点0,f0处的切线与gx在点1,g1处的切线互相平行，可得a2 4，又因为a 0，所以a 2.(2)1 axax22解：由fx gx得ae1 2xln x，即ax e1 x 1 lnx，x axax22即e1 lne x 1 ln x，axaxax222设hxx1lnx，则h e e1 lne，hxx 1lnx，由hx ln xx1111，设mx ln x1，可得mx2，xxx所以0 x 1时，mx0，mx单调递减；当x 1时，mx0，mx单调递增，所以mxmin hxminh1 20，所以hx在0,上单调递增，所以eax x2对x 0恒成立，即a 2ln x对x 0恒成立，x设nx21ln x2ln x，则nx，xx2当0 xe时，nx 0，nx单调递增；答案第 15 页，共 16 页当xe时，nx0，nx单调递减，所以nxmax ne22，故a，ee2所以实数a的取值范围为,).e【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用同构结合函数的单调性转化不等式fx gx为eax x2.答案第 16 页，共 16 页