2020年高考数学试题(全国1卷解析版+试卷版).pdf
20202020 全国全国 1 1 卷高考数学试题（试卷版+解析版）卷高考数学试题（试卷版+解析版）1若z 1i，则|z 2z|(A02设集合A4B12)C2D2A x|x240，B x|2xa 0且AB x|2 x 1,则a (B2C2D4)3埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A5142B512C514D512)4已知A为抛物线C:y 2px(p 0)上一点，点A到C的焦点的距离为 12，到y轴的距离为 9，则p (A2B3C6D95某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：C)的关系，在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i 1，2，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10 C至40 C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()Ay a bx43By abx2Cy abexDy a blnx6函数f(x)x 2x的图象在点(1，f（1）)处的切线方程为(Ay 2x 1By 2x 1Cy 2x 3)Dy 2x 17设函数f(x)cos(x)在，的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为(6)A109B76)C43D32y2)(xy)5的展开式中x3y3的系数为(8(xxA5B10C15D209已知(0,)，且3cos 28cos 5，则sin()59A53B23C13D10已知A，B，C为球O的球面上的三个点，O1为ABC的外接圆若O1的面积为4，AB BC AC OO1，则球O的表面积为()A6422B48C36D3211已知M:x y 2x2y 2 0，直线l:2x y 2 0，P为l上的动点过点P作M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|AB|最小时，直线AB的方程为(A2x y 1 0ab)D2x y 1 0B2x y 1 0C2x y 1 012若2 log2a 4 2log4b，则(Aa 2bBa 2b)Ca b2Da b2二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。2xy2013若x，y满足约束条件xy10,则z x 7y的最大值为y1014设a，b为单位向量，且|a b|1，则|a b|x2y215 已知F为双曲线C:221(a0,b0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴 若ABab的斜率为 3，则C的离心率为16如图，在三棱锥P ABC的平面展开图中，AC 1，AB AD 则cosFCB 3，AB AC，AB AD，CAE 30，三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17211721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。题为必考题，每个试题考生都必须作答。第第 22、2322、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分。分。17（12 分）设an是公比不为 1 的等比数列，a1为a2，a3的等差中项（1）求an的公比；（2）若a11，求数列nan的前n项和18（12 分）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE ADABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO 6DO6（1）证明：PA 平面PBC；（2）求二面角B PC E的余弦值19（12 分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空设每场比赛双方获胜的概率都为12（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率 x2220（12 分）已知A，B分别为椭圆E:2y1(a1)的左、右顶点，G为E的上顶点，AGGB 8P为直线x 6a上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点21（12 分）已知函数f(x)e ax xx2（1）当a 1时，讨论f(x)的单调性；（2）当x 0时，f(x)13x 1，求a的取值范围2（二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分。请考生在第分。请考生在第 22、2322、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系4-4：坐标系与参数方程（10与参数方程（10 分）分）xcoskt,22（10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴(t为参数）kysin t建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cos16sin3 0（1）当k 1时，C1是什么曲线？（2）当k 4时，求C1与C2的公共点的直角坐标选修选修 4-5：不等式选讲（104-5：不等式选讲（10 分）分）23已知函数f(x)|3x 1|2|x 1|（1）画出y f(x)的图象；（2）求不等式f(x)f(x 1)的解集1若z 1i，则|z 2z|(A0B12)C22D2【思路分析】由复数的乘方和加减运算，化简z 2z，再由复数的模的定义，计算可得所求值【解析】：若z 1i，则z 2z (1i)2(1i)2i 22i 2，则|z 2z|2|2，故选：D【总结与归纳】本题考查复数的运算，考查复数的模的求法，主要考查化简运算能力，是一道基础题2设集合Ax|x 4 0，B2222x|2xa 0，且A B x|2 x 1，则a (C2D4)A4B2【思路分析】由二次不等式和一次不等式的解法，化简集合A，B，再由交集的定义，可得a的方程，解方程可得a【解析】：集合aA x|x240 x|2 x 2，B x|2xa 0 x|x ，212由A B x|2 x 1，可得a 1，则a 2故选：B【总结与归纳】本题考查集合的交集运算，同时考查不等式的解法，考查方程思想和运算能力，是一道基础题3埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A514B512C514D512【思路分析】先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论【解析】：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为h，21haha21h2hh5122则依题意有：，因此有h()ah4()2()10（负值舍去）；故选：Ca22aaa4h2h2()22【总结与归纳】本题主要考查棱锥的几何性质，属于中档题4已知A为抛物线C:y 2px(p 0)上一点，点A到C的焦点的距离为 12，到y轴的距离为 9，则p (A2B3C6D92)【思路分析】直接利用抛物线的性质解题即可【解析】：A为抛物线C:y 2px(p 0)上一点，点A到C的焦点的距离为 12，到y轴的距离为 9，因为抛物线上的点2到焦点的距离和到准线的距离相等，故有：9p12 p 6；故选：C2【总结与归纳】本题主要考查抛物线性质的应用，属于基础题5某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：C)的关系，在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i 1，2，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10 C至40 C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()Ay a bxBy abx2Cy abexDy a blnx【思路分析】直接由散点图结合给出的选项得答案【解析】：由散点图可知，在10 C至40 C之间，发芽率y和温度x所对应的点(x,y)在一段对数函数的曲线附近，结合选项可知，y a blnx可作为发芽率y和温度x的回归方程类型故选：D【总结与归纳】本题考查回归方程，考查学生的读图视图能力，是基础题6函数f(x)x 2x的图象在点(1，f（1）)处的切线方程为(Ay 2x 1By 2x 1Cy 2x 343)Dy 2x 1【思路分析】求出原函数的导函数，得到函数在x 1处的导数，再求得f（1），然后利用直线方程的点斜式求解【解析】：由f(x)x 2x，得f(x)4x 6x，433 f（1）46 2，又f（1）1 2 1，函数f(x)x42x3的图象在点(1,f(1)处的切线方程为y(1)2(x 1)，即y 2x 1故选：B【总结与归纳】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础的计算题7设函数f(x)cos(x)在，的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为(6)A109B76C43D32【思路分析】由图象观察可得最小正周期小于13104，大于，排除A，D；再由f()0，求得，对照选项B，999C，代入计算，即可得到结论【解析】：由图象可得最小正周期小于(413410，大于2(，排除A，D；)9999由图象可得f(444)cos()0，即为k，k Z，(*)996962若选B，即有212412，由k，可得k不为整数，排除B；77976262343，由k，可得k 1，成立故选：C4292623若选C，即有【总结与归纳】本题考查三角函数的图象和性质，主要是函数的周期的求法，运用排除法是迅速解题的关键，属于中档题y2)(xy)5的展开式中x3y3的系数为(8(xxA5B10225)C1543D20【思路分析】先把条件整理转化为求(x y)(x y)展开式中x y的系数，再结合二项式的展开式的特点即可求解y2(x2y2)(xy)55)(xy)【解析】：因为(x；xx要求展开式中x y的系数即为求(x y)(x y)展开式中x y的系数；展开式含x y的项为：x C5x y y C5x y 15x y；432223244433322543y2)(xy)5的展开式中x3y3的系数为 15；故选：C故(xx【总结与归纳】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题9已知(0,)，且3cos 28cos 5，则sin()59A53B23C13D【思路分析】利用二倍角的余弦把已知等式变形，化为关于cos的一元二次方程，求解后再由同角三角函数基本关系式求得sin的值【解析】：由3cos 28cos 5，得3(2cos21)8cos5 0，即3cos22，或cos 4cos4 0，解得cos 2（舍去）325故选：A(0,)，(，)，则sin1cos21()2332【总结与归纳】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式与二倍角公式的应用，是基础题10已知A，B，C为球O的球面上的三个点，O1为ABC的外接圆若O1的面积为4，AB BC AC OO1，则球O的表面积为(A64)B48C36D32【思路分析】画出图形，利用已知条件求出OO1，然后求解球的半径，即可求解球的表面积【解析】：由题意可知图形如图：O1的面积为4，可得O1A 2，则333AO1 ABsin60，AO1AB，AB BC AC OO1 2 3，222外接球的半径为：R AO12OO12 4，球O的表面积：442 64故选：A【总结与归纳】本题考查球的内接体问题，球的表面积的求法，求解球的半径是解题的关键11已知M:x y 2x2y 2 0，直线l:2x y 2 0，P为l上的动点过点P作M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|AB|最小时，直线AB的方程为(A2x y 1 0B2x y 1 022)D2x y 1 02C2x y 1 0【思路分析】由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得|PM|AB|2|PM|4，说明要使|PM|AB|最小，则需|PM|最小，此时PM与直线l垂直写出PM所在直线方程，与直线l的方程联立，求得P点坐标，然后写出以PM为直径的圆的方程，再与圆M的方程联立可得AB所在直线方程【解析】：化圆M为(x1)(y 1)4，22圆心M(1,1)，半径r 2 S四边形PAMB1PMAB2SPAMPAAM2 PA2|PM|242要使|PM|AB|最小，则需|PM|最小，此时PM与直线l垂直直线PM的方程为y 1111(x 1)，即y x，22211125yx2联立22，解得P(1,0)则以PM为直径的圆的方程为x (y)242xy20 x2y22x2y20联立2，可得直线AB的方程为2x y 1 0故选：D2xyy10【总结与归纳】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查圆的切线方程，考查过圆两切点的直线方程的求法，是中档题12若2 log2a 4 2log4b，则(ab)Ca ba2Aa 2bBa 2bDa b2b2【思路分析】先根据指数函数以及对数函数的性质得到2 log2a 2【解析】：因为2 log2a 4 2log4b 2ab2blog22b；再借助于函数的单调性即可求解结论log2b；因为22blog2b 22blog22b 22blog2b1即2alog2a 22blog22b；x令f(x)2 log2x，由指对数函数的单调性可得f(x)在(0,)内单调递增；且f（a）f(2b)a 2b；故选：B【总结与归纳】本题主要考查指数函数以及对数函数性质的应用，属于基础题二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。2xy2013若x，y满足约束条件xy10,则z x 7y的最大值为y101【思路分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可2xy20【解析】：x，y满足约束条件xy10，y10不等式组表示的平面区域如图所示，由2xy2011，可得A(1,0)时，目标函数z x 7y，可得y x z，77xy1011x z过点A时，在y轴上截距最大，此时z取得最大值：1 70 1故答案为：177当直线y 【总结与归纳】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题14设a，b为单位向量，且|a b|1，则|a b|3【思路分析】直接利用向量的模的平方，结合已知条件转化求解即可2【解析】：a，b为单位向量，且|a b|1，|a b|1，可得a 2ab b 1，1 2ab 11，所以2ab 1，则|a b|22a22ab b23故答案为：3【总结与归纳】本题考查向量的模的求法，数量积的应用，考查计算能力x2y215 已知F为双曲线C:221(a0,b0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴 若ABab的斜率为 3，则C的离心率为2【思路分析】利用已知条件求出A，B的坐标，通过AB的斜率为 3，转化求解双曲线的离心率即可x2y2【解析】：F为双曲线C:221(a0,b0)的右焦点(c,0)，A为C的右顶点(a,0)，abb2B为C上的点，且BF垂直于x轴所以B(c,)，ab20a若AB的斜率为 3，可得：3，cab2 c2 a2，代入上式化简可得c2 3ac 2a2，e2c，a可得e 3e 2 0，e 1，解得e 2故答案为：2【总结与归纳】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查转化思想以及计算能力16如图，在三棱锥P ABC的平面展开图中，AC 1，AB AD 3，AB AC，AB AD，CAE 30，则cosFCB 14【思路分析】根据条件可知D、E、F三点重合，分别求得BC、CF、BF即可【解析】：由已知得BD 2AB 6，BC 2，3，BF BD 2AB 6，因为D、E、F三点重合，所以AE AD 则在ACE中，由余弦定理可得CE2 AC2 AE2 2ACAEcosCAE 1 3 2 3所以CE CF 1，31，2BC2CF2BF21461则在BCD中，由余弦定理得cosFCB，2BCCF2124故答案为：14【总结与归纳】本题考查三棱锥展开图，涉及余弦定理的应用，数形结合思想，属于中档题三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17211721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。题为必考题，每个试题考生都必须作答。第第 22、2322、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分。分。17（12 分）设an是公比不为 1 的等比数列，a1为a2，a3的等差中项（1）求an的公比；（2）若a11，求数列nan的前n项和【思路分析】（1）设an是公比q不为 1 的等比数列，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q；（2）求得an，nan，运用数列的数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简整理，可得所求和【解析】：（1）设an是公比q不为 1 的等比数列，a1为a2，a3的等差中项，可得2a1 a2 a3，即2a1 a1q a1q2，即为q q 2 0，解得q 2(1舍去），所以an的公比为2；（2）若a11，则an(2)n12，nann(2)n1，2n1则数列nan的前n项和为Sn112(2)3(2)n(2)，2Sn1(2)2(2)23(2)3 n(2)n，两式相减可得3Sn1(2)(2)(2)(2)23n11(2)nn(2)n(2)n，1(2)n1(13n)(2)n化简可得Sn，91(13n)(2)n所以数列nan的前n项和为9【总结与归纳】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及等差数列的中项性质，考查数列的错位相减法求和，主要考查方程思想和化简运算能力，属于中档题18（12 分）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE ADABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO 6DO6（1）证明：PA 平面PBC；（2）求二面角B PC E的余弦值【思路分析】（1）设圆O的半径为 1，求出各线段的长度，利用勾股定理即可得到PA PC，PA PB，进而得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PBC及平面PCE的法向量，利用向量的夹角公式即可得解【解 析】：（1）不 妨 设 圆O的 半 径 为 1，OA OB OC 1，AE AD 2，AB BC AC 3，DO DA2OA23,PO 62，DO 626，2PA PB PC PO2 AO2222在PAC中，PA PC AC，故PA PC，同理可得PA PB，又PBPC P，故PA 平面PBC；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则有B(3 13 12,0),C(,0),P(0,0,),E(0,1,0)，22222故BC (3,0,0),CE (3 1312,0),CP (,)，22222mBC 3x0设平面PBC的法向量为m (x,y,z)，则，可取m (0,2,1)，312xyz0mCP222同理可求得平面PCE的法向量为n (2,6,2 3)，|mn|2 52 5故cos，即二面角B PC E的余弦值为|m|n|55【总结与归纳】本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角，考查推理能力及计算能力，属于基础题19（12 分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空设每场比赛双方获胜的概率都为12（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率【思路分析】（1）甲连胜四场只能是前四场全胜，由此能求出甲连胜四场的概率（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，比赛四场结束，共有三种情况，甲连胜四场比赛，乙连日胜四场比赛，丙上场后连胜三场，由此能求出需要进行五场比赛的概率（3）丙最终获胜，有两种情况，比赛四场结束且丙最终获胜，比赛五场结束丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，由此能求出丙最终获胜的概率【解答】（1）甲连胜四场只能是前四场全胜，P ()124116（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，比赛四场结束，共有三种情况，甲连胜四场的概率为11，乙连胜四场比赛的概率为，16161，8丙上场后连胜三场的概率为需要进行五场比赛的概率为：P 11113161684（3）丙最终获胜，有两种情况，比赛四场结束且丙最终获胜的概率为1，8比赛五场结束丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为1 1 1,，16 8 8丙最终获胜的概率P 111178168816【总结与归纳】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 x2220（12 分）已知A，B分别为椭圆E:2y1(a1)的左、右顶点，G为E的上顶点，AGGB 8P为直线x 6a上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点【思路分析】（1）求出AGGB a 18，解出a，求出E的方程即可；（2）联立直线和椭圆的方程求出C，D的坐标，求出直线CD的方程，判断即可【解析】：如图示：2（1）由题意A(a,0)，B(a,0)，G(0,1)，AG (a,1)，GB (a,1)，AGGB a218，解得：a 3，x2故椭圆E的方程是 y21；9（2）由（1）知A(3,0)，B(3,0)，设P(6,m)，则直线PA的方程是y m(x 3)，9x2y21 9(9m2)x26m2x9m2810，联立ym(x3)99m2813m227xc由韦达定理3xc，9m29m23m227m6m6m代入直线PA的方程为y(x 3)得：yc，即C(，)，229m99m9 m2直线PB的方程是y m(x 3)，3x2y21 9(1m2)x26m2x9m290，联立方程ym(x3)39m293m23xD由韦达定理3xD，1m21m23m23m2m2mD(代入直线PB的方程为y(x 3)得yD，即，)，1m231m21m2直线CD的斜率KCDyCyD4m，xCxD3(3m2)4m32m4m3m23，整理得：y(x)，直线CD的方程是y(x)3(3m2)21m23(3m2)1m2故直线CD过定点(3，0)2【总结与归纳】本题考查了求椭圆的方程问题，考查直线和椭圆的关系以及直线方程问题，是一道综合题21（12 分）已知函数f(x)e ax xx2（1）当a 1时，讨论f(x)的单调性；（2）当x 0时，f(x)13x 1，求a的取值范围2【思路分析】（1）求得a 1时，f(x)的解析式，两次对x求得导数，结合指数函数的值域判断导数的符号，即可得到所求单调性；（2）讨论x 0，不等式恒成立；x 0时，运用参数分离和构造函数，求得导数，判断单调性和最值，进而得到所求范围【解析】：（1）当a 1时，f(x)e x x，x2f(x)ex 2x1，设g(x)f(x)，因为g(x)e 2 0，可得g(x)在R上递增，即f(x)在R上递增，因为f(0)0，所以当x 0时，f(x)0；当x 0时，f(x)0，所以f(x)的增区间为(0,)，减区间为(,0)；（2）解法一：（分离参数法）x当x 0时，f(x)13x 1恒成立，2当x 0时，不等式恒成立，可得aR；13xx1ex2当x 0时，可得ax2恒成立，131xx1ex(2x)(exx2x1)2设h(x)2，则h(x)，23xx可设m(x)e x12x x 1，可得m(x)ex x1，m(x)ex1，2由x 0，可得m(x)0恒成立，可得m(x)在(0,)递增，所以m(x)min m(0)0，即m(x)0恒成立，即m(x)在(0,)递增，所以m(x)min m(0)0，再令h(x)0，可得x 2，当0 x 2时，h(x)0，h(x)在(0,2)递增；x 2时，h(x)0，h(x)在(2,)递减，所以h(x)max7e2，h（2）47e2所以a47e2，综上可得a的取值范围是，)4解法二：（河南鹤壁戴支俊补解）（切线法）根据exax2x 131x 1得exax2x3 x 122设g(x)e ax x213x,h(x)x 1，则知临界状态时h(x)为g(x)的切线2g(x)ex 2ax 32x，设切点为(x0,y0)，则232x0e2axx010122x0，消去为得2(x 2)e(1 x x0)0a0012ex0ax2x3x10002所以x0 2或x0 0，g(0)h(0)7e2根据ag(2)h(2)47e2所以a的取值范围是，)4解法三：（湖南湘潭沈成友补解）（不分离参数讨论法）exax2 x 131x 1,即exax2 x-x3-1 022令g13x2x e ax x-x-1 23gxex 2ax 1-x2，gxex 2a-3x，gxex-3=0，2x=ln3，gx在-，ln3单调递减，在ln3,单调递增，gx在x ln3取得最小值gln333ln 32a故当a 3ln 3-3时，gx 0恒成立，所以gx g0=0，2于是gx g0 0成立。3ln 3-31时，g0=1+2a,a 时，存在x1 0 ln3 x2,时，使得gx1=gx2=0，gx在22当a 0，x2单调递减，x2,单调递增，x0，x2时gx g0=0，gx g0=0不成立；当13ln 3-3 a 时，存在0 x1 ln3 x2,使得22gx1=gx2=0，gx在0,x1单调递增，x1，x2单调递减，x2,单调递增，若g若g则gx 0恒成立，于是gx g0 0成立；x2 0，则存在0 x1 x3 ln3 x2 x4,x2 0，使得gx0,x3单调递增，x3，x4单调递减，x4,单调递增，3ex41-x4232x2故只需满足gx4e42ax41-x4=0，ax4=-2232x4e1-x4113x4x2gx4eax42x4-x43-1=e4-x4-x4-x4-12222x4x412=e-xx-144022易证ex41-x42x4-10，所以ln3 x4 2，232xex1x23x2e2x22，令hx=-,hx=,2x4x23ex41-x422a=-2x4x3x22ex2x2,x 2xex3 0,所以x0 0,所以hx0,a h2，27e7e23ln 33即，综上，a的 取值范围为，a424【总结与归纳】本题考查导数的运用：求单调性和最值，考查构造函数法，主要考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力，属于难题（二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分。请考生在第分。请考生在第 22、2322、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程（104-4：坐标系与参数方程（10 分）分）xcoskt,22（10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴(t为参数）kysin t建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cos16sin3 0（1）当k 1时，C1是什么曲线？（2）当k 4时，求C1与C2的公共点的直角坐标【思路分析】（1）当k 1时，曲线C1的参数方程为xcost22，(t为参数），利用平方关系消去参数t，可得x y 1，ysint故C1是以原点为圆心，以 1 为半径的圆；xcos4t（2）当k 4时，曲 线C1的 参 数 方 程 为，(t为 参 数），消 去 参 数t，可 得4ysin t(x y)22(x y)10(0 x 1,0 y 1)由4cos16sin3 0，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得4x 16y 3 0联立方程组即可求得C1与C2的公共点的直角坐标为(,)1 14 4【解析】：（1）当k 1时，曲线C1的参数方程为xcost，(t为参数），ysint消去参数t，可得x y 1，故C1是以原点为圆心，以 1 为半径的圆；22xcos4t（2）当k 4时，曲线C1的参数方程为，(t为参数），4ysin t两式作差可得x y cos t sin t cos t sin t 2cos t 1，44222cos2txy1xy124，得xcos t()，22整理得：(x y)22(x y)10(0 x 1,0 y 1)由4cos16sin3 0，又x cos，y sin，4x 16y 3 01169xx(xy)2(xy)10436联立，解得（舍)，或1494x16y30yy43621 1C1与C2的公共点的直角坐标为(,)4 4【总结与归纳】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，是中档题选修选修 4-5：不等式选讲（104-5：不等式选讲（10 分）分）23已知函数f(x)|3x 1|2|x 1|（1）画出y f(x)的图象；（2）求不等式f(x)f(x 1)的解集【思路分析】（1）将函数零点分段，即可作出图象；（2）由于f(x 1)是函数f(x)向左平移了一个 1 单位，作出图象可得答案；【解析】：函数x3(x1)1f(x)|3x1|2|x1|5x1(x1)，31x3(x)3图象如图所示（2）由于f(x 1)的图象是函数f(x)的图象向左平移了一个 1 单位所得，（如图所示）直线y 5x 1向左平移一个单位后表示为y 5(x 1)1 5x 4，联立y x37，解得横坐标为x ，6y5x47不等式f(x)f(x 1)的解集为x|x 6
