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数学九年级上册知识点总结数学九年级上册知识点总结第一章第一章特特殊的平行四边形复习殊的平行四边形复习中考考点综述：特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是历年中考的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。知识目标掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定，通过定理的证明和应用的教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法。重难点：1.1.矩形、菱形性质及判定的应用矩形、菱形性质及判定的应用 2.相关知识的综合应用相关知识的综合应用知识点归纳知识点归纳边边性性角角质质对对角角线线矩形矩形对边平行且相等对边平行且相等四个角都是直角四个角都是直角互相平分且相等互相平分且相等 有三个角是直角有三个角是直角;是平行四边形且是平行四边形且有一个角是直角有一个角是直角;是平行四边形且是平行四边形且两条对角线相等两条对角线相等.菱形菱形对边平行，四边相等对边平行，四边相等对角相等对角相等互相垂直平分，且每条互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角对角线平分一组对角正方形正方形对边平行，四边相等对边平行，四边相等四个角都是直角四个角都是直角互相垂直平分且相等互相垂直平分且相等,每条对角线平每条对角线平分一组对角分一组对角判定判定四边相等的四边形；四边相等的四边形；是平行四边形且有一是平行四边形且有一是矩形，且有一组邻边相等；是矩形，且有一组邻边相等；组邻边相等；组邻边相等；是菱形，且有一个角是直角。是菱形，且有一个角是直角。是平行四边形且两条是平行四边形且两条对角线互相垂直。对角线互相垂直。既是轴对称图形，又是中心对称图形既是轴对称图形，又是中心对称图形对称性对称性一矩形矩形定义：矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形【强调】【强调】矩形（1）是平行四边形；（2）一一个角是直角矩形的性质矩形的性质性质性质 1 1矩形的四个角都是直角；性质性质 2 2矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。；矩形的判定矩形的判定矩形判定方法矩形判定方法 1:1:对角线相等的平行四边形是矩形注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等1(完整word版)北师大版九年级上册数学复习知识点及例题(良心出品必属精品)-第1页(完整word版)北师大版九年级上册数学复习知识点及例题(良心出品必属精品)-第1页矩形判定方法矩形判定方法 2:2:四个角都是直角的四边形是矩形矩形判断方法矩形判断方法 3 3：有一个角是直角的平行四边形是矩形。例 1：若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为60，则该矩形的面积为例 2：菱形具有而矩形不具有的性质是（）A 对角线互相平分；B.四条边都相等；C.对角相等；D.邻角互补例 3：已知：如图，ABCD 各角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形 EFGH 是矩形0二菱形菱形定义：菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形【强调】【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等菱形的性质菱形的性质性质性质 1 1菱形的四条边都相等；性质性质 2 2菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定菱形的判定菱形判定方法菱形判定方法 1:1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直菱形判定方法菱形判定方法 2:2:四边都相等的四边形是菱形例例 1 1 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，F 是 AB 上一点，DF 交 AC 于 E求证：AFD=CBE例例 2 2 已知：如图ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于 E、F2(完整word版)北师大版九年级上册数学复习知识点及例题(良心出品必属精品)-第2页(完整word版)北师大版九年级上册数学复习知识点及例题(良心出品必属精品)-第2页求证：四边形 AFCE 是菱形例例 3 3、如 图，在ABCD 中，O 是对角线 AC 的中点，过点 O 作 AC 的垂线与边 AD、BC 分别交于 E、F，求证：四边形 AFCE 是菱形.AE1DOB2FC例例 4 4、已知如图，菱形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，AE、BD 交于 M，若 AB=AE,EAD=2BAE。求证：AM=BE。ABEMCD例例 5 5（10 湖南益阳）如图，在菱形ABCD 中，A=60,AB=4,O 为对角线 BD 的中点，过 O 点作 OEAB，垂足为 EDC(1)求线段BE的长O60AEB例例 6 6、（20112011四川自贡）四川自贡）如图，四边形 ABCD 是菱形，DEAB 交 BA 的延长线于 E，DFBC，交BC 的延长线于 F。请你猜想 DE 与 DF 的大小有什么关系？并证明你的猜想3(完整word版)北师大版九年级上册数学复习知识点及例题(良心出品必属精品)-第3页(完整word版)北师大版九年级上册数学复习知识点及例题(良心出品必属精品)-第3页例例 7 7、（20112011山东烟台）山东烟台）如图，菱形 ABCD 的边长为 2，BD=2，E、F 分别是边 AD，CD 上的两个动点，且满足 AE+CF=2.（1）求证：BDEBCF；（2）判断BEF 的形状，并说明理由；（3）设BEF 的面积为 S，求 S 的取值范围.三正方形三正方形正方形是在平行四边形的前提下定义定义的，它包含两层意思：有一组邻边相等的平行四边形（菱形）有一个角是直角的平行四边形（矩形）正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形正方形定义：正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质正方形的性质总结如下：总结如下：边：边：对边平行，四边相等；角：角：四个角都是直角；对角线：对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角注意：注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质正方形的判定方法：正方形的判定方法：(1)有一个角是直角的菱形是正方形；(2)有一组邻边相等的矩形是正方形注意：注意：1、正方形概念的三个要点：（1）是平行四边形；（2）有一个角是直角；4(完整word版)北师大版九年级上册数学复习知识点及例题(良心出品必属精品)-第4页(完整word版)北师大版九年级上册数学复习知识点及例题(良心出品必属精品)-第4页（3）有一组邻边相等2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.例例 1 1 已知：如图，正方形 ABCD 中，对角线的交点为 O，E 是上的一点，DGAE 于 G，DG 交 OA 于 F求证：OE=OF例例 2 2 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，分别过点 A、C 两点作 l1l2，作 BMl1于 M，DNl1于 N，直线 MB、DN 分别交 l2于 Q、P 点求证：四边形 PQMN 是正方形例例 3 3、（20112011海南）海南）如图，P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC动点（P 与 A、C 不重合），点 E 在射线 BC 上，且 PE=PB.（1）求证：PE=PD；PEPD；（2）设 AP=x,PBE 的面积为 y.求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；当 x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值.上一OB实战演练：1.对角线互相垂直平分的四边形是（）A平行四边形、菱形B矩形、菱形C矩形、正方形D菱形、正方形2.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（）A.等腰梯形B.正方形C.平行四边形D.矩形3.如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A当 AB=BC 时，它是菱形B当 ACBD 时，它是菱形C当ABC=900时，它是矩形D当 AC=BD 时，它是正方形D DA AC CB B上，且DECA，DFBA下4.如图，在ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA列四个判断中，不正确的是（）A四边形AEDF是平行四边形B如果BAC 90，那么四边形AEDF是矩形C如果AD平分BAC，那么四边形AEDF是菱形D如果AD BC且AB AC，那么四边形AEDF是菱形5.如图，四边形ABCD为矩形纸片把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF若CD 6，则AF等于（）A4 3B3 3C4 2D85AOEDCBF(完整word版)北师大版九年级上册数学复习知识点及例题(良心出品必属精品)-第5页(完整word版)北师大版九年级上册数学复习知识点及例题(良心出品必属精品)-第5页6.如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于E，F点，连结CE，则CDE的周长为（）A5cmB8cmC9cmD10cm7.在右图的方格纸中有一个菱形ABCD（A、B、C、D 四点均为格点），若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为AADBCCDB8.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知AOD 120，AB 2.5，则AC的长为9.边长为cm 的菱形，一条对角线长是 6cm，则另一条对角线的长是.10.如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是（只填一个条件即可）DAADPOBCCB11.如图，已知ACP度数是P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则12.如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F（1）求证：BOEDOF；（2）当EF与AC满足什么关系时，以A，E，C，F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论FDAOBCE第12题图13.将两块全等的含 30角的三角尺如图 1 摆放在一起，设较短直角边为16(完整word版)北师大版九年级上册数学复习知识点及例题(良心出品必属精品)-第6页(完整word版)北师大版九年级上册数学复习知识点及例题(良心出品必属精品)-第6页ABC3030图 1ABCDD1BCABCADB1D图 3D图 4C1图 2(1)四边形 ABCD 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_(2)如图 2，将 RtBCD 沿射线 BD 方向平移到 RtB1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_(3)在 RtBCD 沿射线 BD 方向平移的过程中，当点B 的移动距离为_时，四边形ABC1D1为矩形，其理由是_；当点 B 的移动距离为_时，四边形 ABC1D1为菱形，其理由是_(图 3、图 4 用于探究)应用探究：1.如图，将矩形ABCD纸片沿对 角线BD折叠，使 点C落在C处，BC交AD于E，若DBC 22.5，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45的角（虚线也视为角的边）有（）A6 个B5 个C4 个D3 个DCABE22.5CCDABM2.如图，正方形的面积为 1，是的中点，则图中阴影部分的面积是（）ABCDMAB3124ABCD103593.已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中1与2一定不相等的是（）DAC211BA1DC DB A21CDA221CBBABCD4.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.将宽为1cm的红丝带交叉成 60角重叠在一起（如图），则重叠四边形的面积为_cm.AHD2EGBFC5.如图，将矩形纸 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH，若 EH3 厘米，EF4 厘米，则边 AD 的长是_厘米.7(完整word版)北师大版九年级上册数学复习知识点及例题(良心出品必属精品)-第7页(完整word版)北师大版九年级上册数学复习知识点及例题(良心出品必属精品)-第7页6.如图，已知AOB，OAOB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形请你只用无刻度的直尺在图中画出AOB的平分线（请保留画图痕迹）AFADOEBBEC7.如图：矩形纸片ABCD，AB=2，点 E 在 BC 上，且 AE=EC若将纸片沿 AE 折叠，点 B 恰好落在AC 上，则 AC 的长是APDBEC一、一元二次方程一、一元二次方程（一）（一）一元二次方程定义含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。（二）（二）一元二次方程的一般形式ax2 bx c 0(a 0)，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，第二章第二章一元二次方程一元二次方程等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。例例 方程(m2)xm 2(3m)x2 0是一元二次方程，则m _.二、一元二次方程的解法二、一元二次方程的解法1、直接开平方法直接开平方法适用于解形如(x a)2 b的一元二次方程。当b 0时，x a b，x a b；当 b0 时，方程没有实数根。2例例 第二象限内一点 A（x1，x22），关于 x 轴的对称点为 B，且 AB=6，则 x=_2、配方法 一般步骤：8(完整word版)北师大版九年级上册数学复习知识点及例题(良心出品必属精品)-第8页(完整word版)北师大版九年级上册数学复习知识点及例题(良心出品必属精品)-第8页（1）方程ax2 bx c 0(a 0)两边同时除以 a,将二次项系数化为 1.（2）将所得方程的常数项移到方程的右边。（3）所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方（4）配方，化成(x a)2 b（5）开方，当b 0时，x a b；当 b0 时，方程没有实数根。例例 若方程x 4 a有解，则a的取值范围是（）2Aa 0Ba 0Ca 0D无法确定3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的求根公式：b b2 4ac2x(b 4ac 0)2a例例 已知 x24x2=0，那么 3x212x2012 的值为4、因式分解法一元二次方程的一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方法。例例 已知一个三角形的两边长是方程 x2-8x+15=0 的两根，则第三边 y 的取值范围是（）Ay8B3y5c2y0y图象Ox性质y k(k 0)xk0 时，函数图象的两个分支分y 的取值范围是 y0；当 k0 时，函数图象的两个分支别在第一、三象限。在每个象限内，y分别在第二、四象限。在每个象限内，随 x 的增大而减小。y 随 x 的增大而增大。k例例 在同一坐标系中，函数y x和y kx 3的图像大致是（）A B C D3m 2，当m_时，其图象的两个分支在第一、三象限内。x1例例 反比例函数y 的对称轴有（）条x例例 反比例函数y（A）0（B）1（C）2（D）无数k2例例 对于反比例函数y(k 0)，下列说法不正确的是（）x（A）它的图象分布在第一、三象限（B）点（k，k）在它的图象上（C）它的图象是中心对称图形（D）y随x的增大而增大例例 已知反比例函数y k（k0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1 x2，x则y1 y2的值是（）（A）正数（B）负数（C）非正数（D）不能确定4 4、反比例函数解析式的确定、反比例函数解析式的确定确定反比例函数解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y k中，只有x一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。5 5、反比例函数中反比例系数的几何意义、反比例函数中反比例系数的几何意义过反比例函数y k(k 0)图像上任一点 P（x,y）作x 轴、y 轴的垂线 PM，PN，垂x足分别是 M、N，则所得的矩形 PMON 的面积 S=PMPN=y x xy。19(完整word版)北师大版九年级上册数学复习知识点及例题(良心出品必属精品)-第19页(完整word版)北师大版九年级上册数学复习知识点及例题(良心出品必属精品)-第19页k,xy k,S k。xk例 如图，A 为反比例函数y 图象上一点，AB 垂直x轴于 B 点，yxy 若 SAOB3，则k的值为（）A、6 B、3C、A32D、不能确定OBx20(完整word版)北师大版九年级上册数学复习知识点及例题(良心出品必属精品)-第20页(完整word版)北师大版九年级上册数学复习知识点及例题(良心出品必属精品)-第20页