高二数学理科综合测试题.pdf

高二数学选修高二数学选修 2-22-2、2-32-3 测试题测试题本试卷分第卷本试卷分第卷（选择题）（选择题）和第卷和第卷（非选择（非选择题）题）两部分，两部分，满分满分 150150 分分 考试用时考试用时 120120 分钟分钟第卷第卷（选择题，共（选择题，共 5050 分）分）一一.选择题（本大题共选择题（本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，分，共共 5050 分）分）1 1过函数过函数y sin x图象上点图象上点 O O（0 0，0 0），作切线，作切线，则切线方程为则切线方程为（）A Ay xB By 0C Cy x 1D Dy x 12 2设设1 x x x a a x a x a x,则则a()A A 256256B B0 0C C1D D1 12342120121203 3定义运算定义运算bacd ad bc，则，则1i(i是虚数单位是虚数单位)为为2i2()A A 3 3B B 3C C i 1D Di 24 4 任何进制数均可转换为十进制数任何进制数均可转换为十进制数,如八进制如八进制507413转转换换成成十十进进制制数数，是是这这样样转转换换的的：507413 58 08 78 48 183 167691,十六进制数十六进制数(2,3,4,5,6)216 316 416 5166 144470,那那么么将将二二进进285432843216制数制数1101转换成十进制数，这个十进制数是转换成十进制数，这个十进制数是（）A A1212B B1313C C1414D D15155 5 用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的“两两相交且不共点的2n条直线把平面分为条直线把平面分为f(n)部分，则部分，则f(n)1n(n21)。”在在证证明明第第二二步步归归纳纳递递推推的的过过程程中中，用用到到f(k 1)f(k)+。()A Ak 1B BkC Ck 1D Dk(k21)(2)6.6.记函数记函数y f(x)表示对函数表示对函数y f(x)连续两次求连续两次求导导,即先对即先对y f(x)求导得求导得y f(x),再对再对y f(x)求导求导得得y f(x),下列函数中满足下列函数中满足f(x)f(x)的是（的是（）A.A.f(x)xB.B.f(x)sin xC.C.f(x)eD.D.f(x)ln xa(b)是是t b7 7 甲、甲、乙速度乙速度v与时间与时间t的关系如下图，的关系如下图，时的加速度，时的加速度，S(b)是从是从t 0到到t b的路程，的路程，则则a(b)与与a(b)，S(b)与与S(b)的大小关系是的大小关系是()A Aa(b)a(b)，S(b)S(b)B Ba(b)a(b)，S(b)S(b)(2)(2)x甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙S甲C Ca(b)S(b)乙甲(b)a乙(b)，S甲(b)S乙(b)D Da甲(b)a乙(b)，8 8 如图，如图，蚂蚁从蚂蚁从A A沿着长方体的棱以沿着长方体的棱以的的方向行走至方向行走至 B B，不同的行走路线有，不同的行走路线有()B Bv v甲甲第第 8 8 题图题图乙乙t tA A第第 7 7 题题b bA A6 6 条条B B7 7 条条C C8 8 条条D D9 9 条条9 9如下图，左边的是导数如下图，左边的是导数y f(x)的图象，则函的图象，则函数数y f(x)的图象是的图象是（）y=f(x)-11 y=f(x)1-1Ay=f(x)-1B-1y=f(x)-1y=f(x)11D110.10.设设M 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，由由M到到M上的一一映射中，上的一一映射中，有有 7 7 个数字和自身对应的映射个数是个数字和自身对应的映射个数是()A A.120.120B B.240.240C C.10D D.360.360C7第卷第卷（非选择题（非选择题共共 100100 分）分）二二.填空题（本大题填空题（本大题 4 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，分，共共 2020 分）分）1111 公式公式揭示了揭示了微积分学中导数和定积分之间的内在联系微积分学中导数和定积分之间的内在联系;提提供了求定积分的一种有效方法。供了求定积分的一种有效方法。1212若有一组数据的总偏差平方和为若有一组数据的总偏差平方和为 100100，相，相关指数关指数R=0.75=0.75，则其残差平方和为，则其残差平方和为。1313已知数列已知数列a为等差数列，则有为等差数列，则有a 2a a 0，a 3a 3a a 0a 46 aaa 4 a 02n123123412345类类 似似 上上 三三 行行,第第 四四 行行 的的 结结 论论 为为_。1414已知长轴长为已知长轴长为2a，短轴长为，短轴长为2b椭圆的面积椭圆的面积为为ab，则，则x232 19dx3=。三三.解答题（本大题解答题（本大题 6 6 个小题，共个小题，共 8080 分）分）1515（1010 分）分）如图，如图，阴影部分区域是由函数阴影部分区域是由函数y cos xy y图象，直线图象，直线y 1,x 围成，求这阴影部分区域面围成，求这阴影部分区域面y=1y=1积。积。1616(12(12 分分)据研究据研究,甲磁盘受到病毒感染，感甲磁盘受到病毒感染，感染的量染的量 y(y(单位单位:比特数比特数)与时间与时间 x(x(单位单位:秒秒)的函数关系是的函数关系是y e,乙磁盘受到病毒感染，乙磁盘受到病毒感染，感染感染的量的量 y(y(单位单位:比特数比特数)与时间与时间 x(x(单位单位:秒秒)的的函数关系是函数关系是y x,显然当显然当x 1时，时，甲磁盘受到病毒甲磁盘受到病毒感染增长率比乙磁盘受到病毒感染增长率大感染增长率比乙磁盘受到病毒感染增长率大.试根据上述事实提炼一个不等式试根据上述事实提炼一个不等式,并证明之并证明之.1717(13(13 分分)(1)(1)抛掷一颗骰子两次抛掷一颗骰子两次,定义随机变定义随机变量量x2数不等于第二次向上一面的点数)0,(当第一次向上一面的点数等于第二次向上一面的点数)1,(当第一次向上一面的点试写出随机变量试写出随机变量 的分布列的分布列(用表格格式用表格格式););(2)(2)抛掷一颗骰子两次抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下点数是偶数的条件下,求第二次掷得向上一面求第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率点数也是偶数的概率1818（1515 分）已知函数分）已知函数f(x)2x 3x 12x（1 1）求）求f(x)2x 3x 12x的极值；的极值；（2 2）请填好下表）请填好下表(在答卷在答卷),),并画出并画出f(x)2x 3x 12x的图象的图象(不必写出作图步骤不必写出作图步骤)；（3 3）设函数设函数g(x)2x 3x 12x a的图象与的图象与x轴有两个轴有两个交点，求交点，求a的值。的值。32323232x-0 0 1 1 2 2 3 3 2 2 1 1f(x)1919（1515 分）分）编辑一个运算程序：编辑一个运算程序：mn q，11 2，m(n 1)q 2（1 1）设）设a 1n，求，求a,a,a；（2 2）由（）由（1 1）猜想）猜想a的通项公式；的通项公式；（3 3）用数学归纳法证明你的猜想。）用数学归纳法证明你的猜想。n234n2020（1515 分）分）为研究为研究“在“在 n n 次独立重复试验中次独立重复试验中,事件事件 A A 恰好发生恰好发生 k k 次的概率的和”这个课题，次的概率的和”这个课题，我们可以分三步进行研究：我们可以分三步进行研究：（I I）取特殊事件进取特殊事件进行研究行研究;(;()观察分析上述结果得到研究结观察分析上述结果得到研究结论；论；（）试证明你得到的结论。现在，请你（）试证明你得到的结论。现在，请你完成完成:(1)(1)抛掷硬币抛掷硬币 4 4 次次,设设P,P,P,P,P分别表示正面向分别表示正面向上次数为上次数为 0 0 次次,1,1 次次,2,2 次次,3,3 次次,4,4 次的概率次的概率,求求P,P,P,P,P(用分数表示用分数表示),),并求并求P P P P P;(2)(2)抛掷一颗骰子三次抛掷一颗骰子三次,设设P,P,P,P分别表示向上分别表示向上一面点数是一面点数是 3 3恰好出现恰好出现 0 0次次,1,1次次,2,2次次,3,3次的概次的概率率,求求P,P,P,P(用分数表示用分数表示),),并求并求P P P P;(3)(3)由由(1)(1)、(2)(2)写出结论写出结论,并对得到的结论给予解并对得到的结论给予解释或给予证明释或给予证明.012340123401234012301230123答案答案一一.选择题选择题题题1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010号号答答A AD DB BB BC CC CC CA AD DB B案案二二.填空题（本大题填空题（本大题 4 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，分，共共 2020 分，只填结果，不要过程，把答案填写分，只填结果，不要过程，把答案填写在在答题卡答题卡上）上）1111f(x)dx F(b)F(a),(F(x)f(x)121225251313a 5a 10a 10a 5a a 014143三三.解答题解答题（本大题（本大题 6 6 个小题，个小题，共共 8080 分，分，必需必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤，写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤，把答案填写在把答案填写在答题卡答题卡上）上）ba1234561515（1010 分）如图，分）如图，y y阴影部分区域是由阴影部分区域是由y=1y=1函数函数y cos x图象，直图象，直线线y 1,x 围成，求这围成，求这fx=cosx阴影部分区域面积。阴影部分区域面积。解法一：解法一：所求图形面所求图形面积为积为(1cosx)dx-（5 5 分）分）0 x=x=x x(x sin x)0-（9 9 分）分）-（1010 分）分）解法二：所求面积是以长为解法二：所求面积是以长为，宽为了，宽为了 2 2 的矩的矩形的面积的一半，所以所求的面积为形的面积的一半，所以所求的面积为。-（1010 分）分）1616(12(12 分分)据研究据研究,甲磁盘受到病毒感染，感甲磁盘受到病毒感染，感染的量染的量 y(y(单位单位:比特数比特数)与时间与时间 x(x(单位单位:秒秒)的函数关系是的函数关系是y e,乙磁盘受到病毒感染，乙磁盘受到病毒感染，感染感染的量的量 y(y(单位单位:比特数比特数)与时间与时间 x(x(单位单位:秒秒)的的函数关系是函数关系是y x,显然当显然当x 1时时,甲磁盘受到病毒甲磁盘受到病毒感染增长率比乙磁盘受到病毒感染增长率大感染增长率比乙磁盘受到病毒感染增长率大.试根据上述事实提炼一个不等式试根据上述事实提炼一个不等式,并证明之并证明之.x2解解:因为甲磁盘受到感染的感染增长率是因为甲磁盘受到感染的感染增长率是y e的导数的导数y e,乙磁盘受到病毒感染增长率为乙磁盘受到病毒感染增长率为y x的导数的导数y 2x又因为当又因为当x 1时时,甲磁盘受到病毒感染增长率比甲磁盘受到病毒感染增长率比乙磁盘受到病毒感染增长率大乙磁盘受到病毒感染增长率大e 2x(x 1)-(8-(8 分分)下面证明下面证明:e 2x设f(x)e 2x,x 1,f(x)e 2 e2 0,所以所以 f(x)e 2x,在在1,上是增函数上是增函数,f(x)f(1)0即即e 2x(x 1).-(12.-(12 分分)1717(13(13 分分)(1)(1)抛掷一颗骰子两次抛掷一颗骰子两次,定义随机变定义随机变xx2xxxxxx0,(当第一次向上一面的点数不等于第二次向上一面的点数)量量1,(当第一次向上一面的点数等于第二次向上一面的点数)试写出随机变量试写出随机变量的分布列的分布列(用表格格式用表格格式););(2)(2)抛掷一颗骰子两次抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下点数是偶数的条件下,求第二次掷得向上一面求第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率点数也是偶数的概率解解(1)(1)解法解法 1:1:当第一次向上的面的点数等于当第一次向上的面的点数等于第二次向上的面点数时第二次向上的面点数时,有有 6 6 种情况种情况,所以所以P(0)61366,由由 互互 斥斥 事事 件件 概概 率率 公公 式式 得得,56P(1)1 P(0)-(5-(5 分分)所以所求分布列是所以所求分布列是0 01 115P P66-(8-(8 分分)解法解法 2:2:2A6305P(1)36366(2)(2)设第一次掷得向上一面点数是偶数的事件设第一次掷得向上一面点数是偶数的事件为为 A,A,第二次掷得向上一面点数是偶数的事件第二次掷得向上一面点数是偶数的事件为为 B,B,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下件下,第二次掷得向上一面点数也是偶数的概第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为率为P(B A)P(AB)n(AB)91P(A)n(A)182或或9P(AB)361P(B A)182P(A)36-(13-(13 分分)321818（1515 分）已知函数分）已知函数f(x)2x 3x 12x（1 1）求）求f(x)2x 3x 12x的极值；的极值；（2 2）请填好下表）请填好下表,并画出并画出f(x)2x 3x 12x的图象的图象3232(不必写出作图步骤不必写出作图步骤)；（3 3）设函数设函数g(x)2x 3x 12x a的图象与的图象与x轴有两个轴有两个交点，求交点，求a的值。的值。解：解：（1 1）f(x)6x 6x 12 6(x 1)(x 2)，令令f(x)0得得x 1,x 2-（2 2 分）分）x1,2,12,-1-12 2f(x)+0 0-0 0+f(x)增函增函7 7减函减函-20-20增函增函数数+数数-数数+-（4 4 分）分）由表知由表知,当当x 1时时f(x)有极大值有极大值 7,7,当当x 2时时f(x)有有极小值极小值-20-20。-（5 5 分）分）（2 2）x-2-2-1-10 01 12 23 3f(x)-4-47 70 0-1-1-2-2-9-9 3 30 0-（7 7 分）分）画画对对图图32212-（1010 分）分）5-20-101020-5-10-15-20（3 3）由由（1 1）知当知当x 1时时g(x)有极大值有极大值a 7,时时g(x)有极小值有极小值a 20，x 2当当-（1212 分）分）再由再由（2 2）知，知，当当g(x)的极大值或极小值为的极大值或极小值为 0 0 时，时，函数函数g(x)2x 3x 12x a的图象与的图象与x轴有两个交点，轴有两个交点，即即a 7或20。-（1515 分）分）mn q，11 2，1919（1515 分）分）编辑一个运算程序：编辑一个运算程序：m(n 1)q 2（1 1）设）设a 1n，求，求a,a,a；（2 2）由（）由（1 1）猜想）猜想a的通项公式；的通项公式；（3 3）用数学归纳法证明你的猜想。）用数学归纳法证明你的猜想。解解：（：（1 1）a 11 2，令令m 1,n 1，则则q 2-（1 1 分）分）mn qm(n 1)q 2由由，得得a 12 2 2 4-（2 2 分）分）再再令令m 1,n 2，则则q 4，得得a 13 4 2 6-（4 4分）分）再令再令m 1,n 3，则，则q 6，得，得a 14 6 2 8a 4,a 6,a 8-32n234n1234234-（5 5 分）分）（2 2）由由（1 1）猜猜想想：a 2n,(n N)-（8 8 分）分）（3 3）证明：当）证明：当n 1时，时，a 11 2，另一方面，另一方面，a 21 2，所所 以以 当当n 1时时 等等 式式 成成 立立。-（1010 分）分）假设当假设当n k时，等式成立，即时，等式成立，即a 1k 2k，此时，此时q 2k，-（1212 分）分）那么，当那么，当n k 1时时a1(k 1)2k 2 2(k 1)*n11kk1所所 以以 当当n k 1时时 等等 式式 也也 成成 立立。-（1414 分）分）由由 知知，等等 式式 对对n N都都 成成 立立。-（1515 分）分）2020（1515 分）分）为研究为研究“在“在 n n 次独立重复试验中次独立重复试验中,事件事件 A A 恰好发生恰好发生k(k 0,1,2,3,n)次的概率的和”这次的概率的和”这个课题，个课题，我们可以分三步进行研究：我们可以分三步进行研究：（I I）取特取特*殊事件进行研究殊事件进行研究;(;()观察分析上述结果得到观察分析上述结果得到研究结论；研究结论；（）（）试证明你得到的结论。试证明你得到的结论。现在，现在，请你完成请你完成:(1)(1)抛掷硬币抛掷硬币 4 4 次次,设设P,P,P,P,P分别表示正面向分别表示正面向上次数为上次数为 0 0 次次,1,1 次次,2,2 次次,3,3 次次,4,4 次的概率次的概率,求求P,P,P,P,P,并求并求P P P P P;(2)(2)抛掷一颗骰子三次抛掷一颗骰子三次,设设P,P,P,P分别表示向上分别表示向上一面点数是一面点数是 3 3恰好出现恰好出现 0 0次次,1,1次次,2,2次次,3,3次的概次的概率率,求求P,P,P,P,并求并求P P P P;(3)(3)由由(1)(1)、(2)(2)写出结论写出结论,并对得到的结论给予解并对得到的结论给予解释或给予证明释或给予证明.解解(1)(1)用用A(i 1,2,3,4)表示第表示第i次抛掷硬币掷得正面次抛掷硬币掷得正面向上的事件向上的事件,则则A发生的次数发生的次数X服服从从二二项项分分布布,即即X012340123401234012301230123ii1B4,2-i4i4-(1-(1 分分)所以所以i1Pi C4212i1 C4(i 0,1,2,3,4)2所以所以P011311,P1,P2,P3,P41648416-(6-(6 分分)P0 P1 P2 P3 P41(2)(2)用用A(i 1,2,3)表示第表示第i次抛掷骰子掷得向上一面次抛掷骰子掷得向上一面点数是点数是 3 3 的事件的事件,则则A发生的次数发生的次数X服从二项分服从二项分ii布布,即即X所以所以P01B3,6,所以所以1Pi C 6i3i5(i 0,1,2,3)63i1252551,P1,P2,P32167272216-(10-(10 分分)(3)(3)在在 n n 次独立重复试验中次独立重复试验中,事件事件 A A 恰好发生恰好发生k(k 0,1,2,3,n)次的概率的和为次的概率的和为 1 1-(12-(12 分分)证明证明:在在n n次独立重复试验中次独立重复试验中,事件事件A A每一次发每一次发生的概率为生的概率为p,X则则P0 P1 P2 P31Bn,pPi C p1 pini,ni,P C p1 pnniinii0i0ni1 p p1n-(15-(15 分分)或这样解释或这样解释:A A A A是必然事件是必然事件,所以所以在在 n n 次独立重复试验中次独立重复试验中,事件事件 A A 恰好发生恰好发生k(k 0,1,2,3,n)次次的的概概率率的的和和为为1.-(151.-(15 分分)12in