高考试题数学理(全国卷Ⅱ).pdf

2010 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷 IIII）（数学理）（数学理）3i（1）复数1i（A）34i（B）34i（C）34i（D）3 4i【答案】A【命题意图】本试题主要考查复数的运算.2(3i)(1i)3i 2【解析】(12i)34i.21i（2）.函数y 221 ln(x 1)(x 1)的反函数是2（A）y e2x11(x 0)（B）y e2x11(x 0)（C）y e2x11(xR)（D）y e2x11(xR)【答案】D【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。【解析】由原函数解得，即在反函数中，又，故选 D.；x1,（3）.若变量x,y满足约束条件yx,则z 2x y的最大值为3x2y5，（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】C【命题意图】本试题主要考查简单的线性规划问题.【解析】可行域是由A(1,1),B(1,4),C(1,1)构成的三角形，可知目标函数过 C 时最大，最大值为 3，故选 C.（4）.如果等差数列an中，a3a4a512，那么a1a2.a7（A）14（B）21（C）28（D）35【答案】C【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.【解析】a3 a4 a5 3a412,a4 4,a1 a2 a77(a1 a7)7a4 282x2 x60的解集为（5）不等式x1（A）x x2,或x3（B）x x2，或1x31，或1x3（C）x 2x1，或x3（D）x 2x【答案】C【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.【解析】解得-2x1 或 x3，故选 C利用数轴穿根法（6）将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中若每个信封放2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A）12 种（B）18 种（C）36 种（D）54 种【答案】B【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】标号 1,2 的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选 B.（7）为了得到函数y sin(2x（A）向左平移3)的图像，只需把函数y sin(2x 6)的图像个长度单位（B）向右平移个长度单位44（C）向左平移个长度单位（D）向右平移个长度单位22【答案】B【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.【解 析】y sin(2x 6)=sin 2(x)，y sin(2x)=sin 2(x)，所 以 将1236y sin(2x 6)的图像向右平移个长度单位得到y sin(2x)的图像，故选 B.43（8）ABC中，点D在AB上，CD平方ACB若CB a，CA b，a 1，b 2，则CD（A）a 132213443b（B）a b（C）a b（D）a b3335555【答案】B【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理.【解析】因为CD平分ACB，由角平分线定理得ADDB=CA2，所以 D 为 AB 的三等分CB1点，且AD B.222121AB(CB CA)，所以CD CA+AD CBCA a b，故选333333（9）已知正四棱锥S ABCD中，SA 2 3，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A）1（B）3（C）2（D）3【答案】C【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.【解 析】设 底 面 边 长 为a，则 高所 以 体 积，设，则，当 y 取最值时，解得 a=0 或 a=4时，体积最大，此时12，故选 C.1（10）若曲线y x在点a,a2处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a（A）64（B）32（C）16（D）8【答案】A【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力.3131311【解析】y x2,k a2，切线方程是ya2 a2(xa)，令x 0，222311312y a，令y 0，x 3a，三角形的面积是s 3aa218，解得a 64.故选222A.AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（11）与正方体ABCD A1BC11D1的三条棱（A）有且只有 1 个（B）有且只有 2 个（C）有且只有 3 个（D）有无数个【答案】D【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为 M，N，Q，连 PM，PN，PQ，由三垂线定理可得，PNPM；PQAB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，PM=PN=PQ，即P 到三条棱 AB、CC1、A1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.x2y23（12）已知椭圆C:221(ab0)的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k0)的ab2直线与C相交于A、B两点若AF 3FB，则k（A）1（B）2（C）3（D）2【答案】B【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.【解析】设直线 l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A，B 分别作 AA1，BB1垂直于 l，A1，B 为垂足，过 B 作 BE 垂直于 AA1与 E，由第二定义得，由，得，即 k=第卷第卷注意事项：1用 0.5 毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。2本卷共 10 小题，共 90 分。二二填空题：本大题共填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分（13）已知a是第二象限的角，tan(2a)【答案】，故选 B.4，则tan a 312【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力.442tan4 得tan 2a ，又tan 2a，解 得331 tan2311tan 或tan 2，又a是第二象限的角，所以tan.22a93（14）若(x)的展开式中x的系数是84，则a x【解 析】由tan(2a)【答案】1【命题意图】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法.3【解析】展开式中x的系数是C9(a)3 84a3 84,a 1.3（15）已知抛物线C:y2 2px(p0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为3的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B若AM MB，则p【答案】2【命题意图】本题主要考查抛物线的定义与性质.【解析】过 B 作 BE 垂直于准线l于 E，AM MB，M 为中点，BM 0率为3，BAE 30，BE 1AB，又斜21AB，BM BE，M 为抛物线的焦点，p 2.2（16）已知球O的半径为 4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB 4若OM ON 3，则两圆圆心的距离MN【答案】3【命题意图】本试题主要考查球的截面圆的性质，解三角形问题.【解析】设 E 为 AB 的中点，则 O，E，M，N 四点共面，如图，AB 4，所以 ABOE R2 2 3，ME=3，由球的截面性质，有OM ME,ON NE，22OM ON 3，所以MEO与NEO全等，所以MN 被 OE 垂直平分，在直角三角形中，由面积相等，可得，MN=2ME MO 3OE三三解答题：本大题共解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分 10 分）ABC中，D为边BC上的一点，BD 33，sin B 53，cosADC，求AD135【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.【参考答案】由 cosADC=0，知 B.由已知得 cosB=，sinADC=.从而 sinBAD=sin（ADC-B）=sinADCcosB-cosADCsinB=.由正弦定理得，所以=.【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，一般出现在 17 或 18 题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.（18）（本小题满分 12 分）已知数列an的前n项和Sn(n2n)3n（）求liman；nSn（）证明：ana1a2n322212n【命题意图】本试题主要考查数列基本公式ans1(n 1)snsn1(n 2)的运用，数列极限和数列不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力.【参考答案】【点评】2010 年高考数学全国 I I、这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.AC BC，（19）如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，AA1 AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE 3EB1（）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（）设异面直线AB1与CD的夹角为 45，求二面角A1 AC1B1的大小【命题意图】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力.【参考答案】(19)解法一：（I）连接 A1B，记 A1B 与 AB1的交点为 F.因为面 AA1BB1为正方形，故 A1BAB1，且 AF=FB1，又 AE=3EB1，所以 FE=EB1，又 D 为 BB1的中点，故 DEBF，DEAB1.3 分作 CGAB，G 为垂足，由 AC=BC 知，G 为 AB 中点.又由底面 ABC面 AA1B1B.连接 DG，则 DGAB1，故 DEDG，由三垂线定理，得 DECD.所以 DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线.（II）因为 DGAB1，故CDG 为异面直线 AB1与 CD 的夹角，CDG=45设 AB=2，则 AB1=，DG=，CG=，AC=.作 B1HA1C1，H 为垂足，因为底面 A1B1C1面 AA1CC1，故 B1H面 AA1C1C.又作 HKAC1，K 为垂足，连接 B1K，由三垂线定理，得B1KAC1，因此B1KH 为二面角 A1-AC1-B1的平面角.【点评】三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处.（20）（本小题满分 12 分）如图，由M到N的电路中有 4 个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是 0.9电流能否通过各元件相互独立已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999（）求p；（）求电流能在M与N之间通过的概率；（）表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望【命题意图】本试题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及数学期望，考查分类讨论的思想方法及考生分析问题、解决问题的能力.【参考答案】【点评】概率与统计也是每年的必考题，但对考试难度有逐年加强的趋势，已经由原来解答题的前 3 题的位置逐渐后移到第20 题的位置，对考生分析问题的能力要求有所加强，这应引起高度重视.（21）（本小题满分 12 分）x2y2己知斜率为 1 的直线l与双曲线C：221a0，b0相交于B、D两点，且BDab的中点为M1,3（）求C的离心率；（）设C的右顶点为A，右焦点为F，DF BF 17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，既考查考生的基础知识掌握情况，又可以考查综合推理的能力.【参考答案】【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目，命题者将好多考点以圆锥曲线为背景来考查，如向量问题、三角形问题、函数问题等等，试题的难度相对比较稳定.（22）（本小题满分 12 分）设函数fx1ex（）证明：当x-1时，fx（）设当x 0时，fxx；x 1x，求a的取值范围ax 1【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.【参考答案】【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.