2021年普通高等学校招生全国统一考试真题(新高考全国Ⅰ卷)数学试题(解析版).docx.pdf

绝密启用前考试时间：考试时间：20212021 年年 6 6 月月 7 7 日日 15:00-17:0015:00-17:002021 年普通高等学校招生全国统一考试真题（新高考全国 I 卷）（适用地区：山东湖北江苏河北广东湖南福建）数学试题（解析版）本试卷共本试卷共 4 4 页，页，2222 小题，满分小题，满分 150150 分。考试用时分。考试用时 120120 分钟。分钟。注意事项：注意事项：1.1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用用2B2B铅笔将试卷类型（铅笔将试卷类型（A A）填涂在答题卡相应位置上）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上将条形码横贴在答题卡右上角“条形角“条形 码粘贴处码粘贴处2.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信案信 息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试答案不能答在试卷上卷上.3.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定定 区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用使用 铅笔和涂改液铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效不按以上要求作答无效.4.4.考生必须保持答题卡的整洁考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 8 小题小题,每小题每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分.在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中，只有只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.1.设集合 A=x|2x4,B=2,3,4,5，则 AB=（）A.2【答案】【答案】BB.2,3C.3,4D.2,3,4【解析】【解析】【分【分析】利用交集的定义可求 AQ5.【详解】由题设有即=2,3,故选：B.2.已知 z=2i,则 z（5+i）=（）A.6-2i【答案】C【解析】【分析】利用复数的乘法和共轴复数的定义可求得结果.【详解】因为 z=2 z，故：=2+z,，故 z（；+，）=（2 z）（2+2z）=4+4z27 2尸=6+2,故选：C.3.已知圆锥的底面半径为扼，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2【答案】B【解析】【分析】设圆锥的母线长为/,根据圆锥底面圆的周长等于扇形的孤长可求得/的值,即为所求.【详解】设圆锥的母线长为/,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的孤长，则徂B.2A/2C.4D.4皿B.4-2iC.6+2iD.4+2i=&/，解得 l=2yf2.故选：B.4.下列区间中，函数/（x）=7sink-j单调递增的区间是（）【答案】A【解析】【分析】解不等式 2 如 r-2如 r+J 仕 eZ）,利用赋值法可得出结论.2 o2【详解】因为函数 V=sinx 的单调递增区间为2 奴-；,2S+J（居 Z）,7T对于函数 f（）=7sinX-X-,由 2*一；工一：2*+号（上 c Z）,解得 2*一 尤 2Z+辛（上G Z）,取 k=0,可得函数 f（x）的一个单调递增区间为则。，条则。，条n2TT耳5n In耳5,A选项满足条件,B不满足条件;取 k=l,可得函数 f（x）的一个单调递增区间为3兀71 171且局且局Z”项x+（p看作一个整体代入=sinx 的相应单调区间内即可，注意要先把 3 化为正数.225.已知匕是椭圆 3+于=1 的两个焦点，点肱在 C 上，则|的最大值为（）A.13B.12C.9D.6【答案】C【解析】【分析】本题通过利用椭圆定义得到MF+MF=2a=6,借助基本不等式fRI+RlY即可得到答案.【详解】由题,/=9,=4,则|岫|+|肋叫=%=6,所以|.眺日（当且仅当MF=MF=3时,等号成立）.2 J故选：C.回川+M叫=9【点睛】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手,注意基本不等式得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大,积一定，相等 时和最小，也可快速求解.C c e sin9（l+sin2。）6.-若 tanO=-2,则=（）sin 0+cos 06A-B2-一；2C-?65【答案】C【解析】【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母（l=sin2Q+cos2。）,进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入 tan0=-2 即可得到结果.【详解】将式子进行齐次化处理得:sin 6(1+sin 20)sin0(sii?O+cos?0+2sinOcos。)=sin0(sinO+cos0)sin 9+cos 6sin 6+cos 0sin0(sin0+cos。)_ tai?6+tan0 _ 4-2 _ 2 sin2+cos23 1+tan23故选：C.【点睛】易错点睛：本题如果利用 tan0=-2,求出 sin。,cos。的值，可能还需要分象 限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论.7.若过点（。,力）可以作曲线 y=w的两条切线，则（）A.eb aC.0aebB.e Z?D.0bea1+4 5【答案】D【解析】【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函 数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线 y=W的图象根据直观即可判定点(。力)在曲线下方和 x 轴上方 时才可以作出两条切线.【详解】在曲线 y=W上任取一点外,e)，对函数W 求导得 y=e所以，曲线 y=ex在点户处的切线方程为 y-e=d(%-，)，即 y=e，x+(lT)e：由题意可知，点(。,。)在直线 y=e，x+(lT)e，上,可得b+(1(Q+1，令/(，)=(。+1-。4,则 f(t)=(a-t).当 f 0,此时函数 y。)单调递增，当a时，f(，)0,此时函数/(，)单调递减，所以，feLx=fS)=e“,由题意可知，直线 y与曲线 y=f(t)的图象有两个交点，则 bft=ea,当a+l时，f。)0,当。1时，f(r)0,作出函数/()的图象如下图所示:由图可知，当 0be时,直线 y=力与曲线 y=/（，）的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线 y=eX的图象如图所示,根据直观即可判定点（。,。）在曲线下 方和 x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知 0 b彳，VI2+22 V5 5所以，点 P 到直线 A3的距离的最小值为一 42,最大值为兴 1+40)的焦点为F,P为C上一点，PF与工轴垂直，Q为x轴上一点，且 PQLOP,若|F0=6,则 C 的准线方程为已知函数/(x)=x3(-2-2是偶函数，则 a=.3【答案】x=-【解析】【分析】先用坐标表示 P，Q,再根据向量垂直坐标表示列方程，解得。，即得结果.【详解】抛物线 c：y2=2px(p0)的焦点为 C 上一点，PF 与 X轴垂直，所以 P 的横坐标为代入抛物线方程求得 P 的纵坐标为土 P,不妨设 P(%，P),因为 Q为 X轴上一点，且 PQOP，所以 Q 在 F的右侧，又.|FQI=6,06+0),.如=(6,-p)因为PQKOP，所以 PQOP=x6-p2=0,Qp0,:.p=3,3所以。的准线方程为=-；3故答案为：x=-|.【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.15.函数/(x)=|2x-l|-21nx 的最小值为.【答案】1【解析】【分析】由解析式知/(X)定义域为(O，+0,讨论 0 x|,|xl,并结 合导数研究的单调性，即可求/(X)最小值.【详解】由题设知：/(x)=|2x-l|-21nx定义域为(0,+8),.当 0?时,/3)=1-2工一 2111 工,此时/3)单调递减；12当-x10t,f=2x-l-21nx,有 fx)=2-一 1 时,/(x)=2x-l-21nx,有 f(x)=2-一 0,此时/单调递增；x又 r(x)在各分段的界点处连续，.综上有：0l 时，f(x)单调递增；n n UUD UUD/=1故答案为：1.16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对 折,规格为 20dmxl2dm 的长方形纸，对折 1次共可以得到10dmxl2dm,20dmx6dm 两种规格的图形，它们的面积之和 S=240dm2，对折 2 次 共可以得到 5dmxl2dm,10dmx6dm,20dmx3dm 三种规格的图形,它们的面积之 和 S2=180dm2,以此类推,则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折兀次那么&=dm2.k=l【答案】.5【解析】（2）.720-型空2【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得 S“，再根据错位相减法得结果.【详解】（1）由对折 2 次共可以得到 5dmxl2dm,10dmx6dm,20dmx3dm 三种规 5格的图形，所以对着三次的结果有：-xl2,5x6,10 x3；20 x-,共 4种不同规格（单位dm1 2）；5533故对折 4 次可得到如下规格：-xl2,-x6,5x3,10 x-,20 x-（共 5种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半,故各次对着后的图形，不 论规格如何，其面积成公比为!的等比数列,首项为 120（dn?）,第次对折后的图 形面积为120 x!，对于第 n 此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程 和结论，猜想为+1种（证明从略），故得猜想$.=12；台+1）,_ 120 x2120 x3120 x4,=2。+22+L+2-120（+1）3攻 3-360120 12（+1）一 360 12（+3）2“_i*22故答案为：5；720_153）2”-4【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：120（+1）1120 x2 120 x3120 120（n+l）贝 I 一 S=.+-+-,22122T两式作差得：Ls=240+20p+M+.+_12O3+l）2（2 2 之2-1 J2（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于%结构，其中%是等差数列，如是等比数列,用错位相减法求和;（3）对于an+bn结构，利用分组求和法；（4）对于 二一 结构，其中%是等差数列，公差为雄却），则1 1/1 1-=;-，利用裂项相消法求和.%知知叭an+i）四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.、0+1,为奇数，17.已知数列%满足=1,%+1=写出如妇并求数列的通项公式；（2）求 0的前 20 项和.【答案】（1）访=2,=5；（2）300.【解析】【分析】（1）根据题设中的递推关系可得哈=如+3,从而可求的通项.（2）根据题设中的递推关系可得）的前 20项和为$2。可化为20=2（+人 2+人 9+如）一 10,利用（1）的结果可求$20.【详解】（1）由题设可得 4=。2=%+1=2,如=。4=%+1=%+2+1=5又a2k+2=a2k+l+1,a2k+l=%k+2,（k N）故a2k+2=S+3,即 bn+l=0+3,即 bn+ibn=3所以但为等差数列，故如=2+(-l)x3=3-1.（2）设%的前 20 项和为 S20,则 S20=%+。2+。3=。4 L,，19=。20 一，+。20,因为%=缶1，%所以，20=2（%+。4%8+。20）19x10=2（+凡+.+勾+0）-10=2乂 10 乂 2+、3-10=300.【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系,我们一般利用已知的关系得到奇数 项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求 解问题.18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得 20 分,否则得 0 分；3 类问题 中的每个问题回答正确得80 分,否则得 0分，己知小明能正确回答 A类问题的概率 为 0.8,能正确回答 3类问题的概率为 0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无 关.（1）若小明先回答 A类问题，记 X为小明的累计得分，求 X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【答案】【答案】（1）见解析；（2）B类.【解析】【解析】【分析】【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分 X的所有可能取值，逐一求概率列分布 列即可.（2）与（1）类似，找出先回答 3 类问题的数学期望，比较两个期望的大小 即可.【详解】【详解】（1）由题可知，X的所有可能取值为 0,20,100.p（x=o）=l-0.8=0.2；p（X=20）=0.8（1-0.6）=0.32；P（X=100）=0.8x0.6=0.48.所以 X的分布列为Xp（00.2200.321000.48(2)由(1)知，研 X)=0 x0.2+20 x0.32+100 x0.48=54.4.若小明先回答 3问题，记 P 为小明的累计得分，则 P 的所有可能取值为 0,80,100.p(y=0)=1-0.6=0.4；p(y=80)=0.6(1-0.8)=0.12；P(X=100)=0.8x0.6=0.48.所以 E(F)=0 x0.4+80 x0.12+100 x0.48=57.6.因为 54.4l 不合题意；当*时，cos/ABC=；o。z127 综上，cos ZABC=.,又b1【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及 ZADB=n-ZCDB得到 a，,C 的数量关系，结合巳知条件及余弦定理求 cosZABC.20.I八、如图，在三棱锥 A-BCD中，平面 ABD平面 BCD,AB=AD,。为的 中占（1）证明：OALCD-（2）若迎是边长为 1 的等边三角形，点 E在棱上，DE=2EA,且二面角 E-BC-D的大小为 45。，求三棱锥 A-BCD的体积.【答案】（1）详见解析（2）还6【解析】分析】（1）根据面面垂直性质定理得 AOL 平面 BCD,即可证得结果；（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.【详解】（1）因为 AB=AD,0为 BD中点，所以 AOBD因为平面 ABD0平面 BCD=BD,平面 ABD平面 BCD,AOu平面 ABD,因此 AO平面 BCD,因为 CD u 平面 BCD,所以 AOCD作 EFBD 于 F,作 FMBC于 M,连 FM因为 AOL平面 BCD,所以 AOBD,AOCD所以 EFBD,EFCD,BDcCD=D，因此 EF 上平面 BCD,即 EFBC因为 FMBC,FMI EF=F，所以 BCL平面 EFM,即 BCLMFJI则至成为二面角 E-BC-D的平面角，ZEMF=-因为 BO=OD,OCD为正三角形，所以OCD 为直角三角形111?因为BE=2ED,：.FM=JF弓（1+京二2从而 EF=FM=j/.AO=1QAC）平面 BCD,所以 V=：AO.SABCOxlx-xlx/3332-o【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投 影法.21.在平面直角坐标系 xQv中，已知点鸟（-而,0）、（垢,0）|屿|-|肱|=2,点肱的轨迹为C.（1）求。的方程；（2）设点 T在直线 x=f 上，过的两条直线分别交。于 A、3 两点和尸，。两点,且|r4|-|ZB|=|7P|-|T（2|,求直线 AB的斜率与直线 PQ的斜率之和.2【答案】【答案】（1）X2-=1（X1）；（2）0.16【解析】【解析】【分析】【分析】（I）利用双曲线的定义可知轨迹 C 是以点 q、旦为左、右焦点双曲线的 右支，求出、方的值，即可得出轨迹。的方程；（2）设点，设直线仙的方程为,设点人（工 1，叫）、研工 2，2），联立直线 A3与曲线。的方程，列出韦达定理，求出|列|国的表达式，设直线 PQ 的斜率为技,同理可得出|7?卜|712|的表达式，由TA-TBTP-TQ化简可得 kl+k2的值.【详解】【详解】因为|；|一|M句句=2!2+167 2*由韦达定理可得改+习=灼一 16X1X2 所以,七2,网网网网 i=i=（i+i+好）好）.叫叫-卜卜-?=-?=（1+1+好）（好）（产+12）（1+好）-k；-16设直线 PQ 的斜率为b，同理可得|.四|=任+：；*)，(户+12)(1+好)(？+i2)(i+&)因为网.四|=|研.|密，即=,整理可得 kf,k、16 k216即(4 一心)(&+b)=。，显然-左 2?0,故站+人 2=0.因此，直线 A3与直线 PQ 的斜率之和为 0.【点睛】方法点睛：求定值问题常见 方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.22.己知函数/(x)=x(l-lnx).(1)讨论 f(x)的单调性；(2)设。，力为两个不相等的正数，且 bna-ainb=a-b,证明：2+ye.【答案】(1)/(*)的递增区间为(0,1),递减区间为(1，+8)；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；(2)设-=xl,-=x1,原不等式等价于 2%!+x2 e,前者可构建新函数，利用极 a b值点偏移可证，后者可设易=%，从而把叫+切 e转化为(Sl)ln(f+l)Tln，0,当 xe(l,+co)时，/f(x)0,故 f(X)的递增区间为(。，1),递减区间为(1，+0.故 Z?(lni+l)=Q(lnZ?+l),即In +1lnZ?+la b(2)因为设-=X,-=X,由(1)可知不妨设 0 A-1.a b因为 xe(O,l)时，/(x)=x(l-lnx)0,xc(e,+so)时，/(x)=x(l-lnx)0,故易 2,%；+X.,2 必成立.若 x2 2,即证 X,2-x2,而 0 2-x2 f(2-x2),其中1X22.设 g(x)=/(x)-/(2-x),lx2,则 g，(x)=/,(x)+/,(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-lnx(2-x),因为lx2,故 0 x(2-x)0,所以 g(x)0,故 g(x)在(1,2)为增函数,所以 g(x)g(1)=0,故/(x)/(2-x),BP/(A2)/(2-A2)成立，所以+X22成立，综上，叫+w2 成立.设互=%,则 f 1,结合些羿，上=为,：=约可得：jq(l-lnx!)=A：a b a b2即：l_lnjq(llnl_lnxj,故 In、；要证：+x2ef即证(r+DfVe,即证 ln(7+l)+ln 否 vl,即证：ln(/+l)+-1,则则 5，(。=1!1(7+1)+号号_ _1_1混混=1111+：_岳，岳，先证明一个不等式：ln(%+l)x.1 1_ _r r,设(x)=ln(x+l)-x,贝(J“()=-1=-,x+1x+1当-lx0；当 x0 时，zZ(x)0,故在(-1,0)上为增函数，在(0,+8)上为减函数，故“响=“(0)=0,故 ln(%+l)x成立由上述不等式可得当 5 时，ln+|Z土，故 S(，)0 恒成立，kt，t t I 1故 s(，)在(l,+8)上为减函数，故 s(，)s(i)=。，故(r-l)ln(/t+l)-rlnr0成立，即叫+易 e成立.综上所述，2+y e.a b【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，一般利用通过原函数的单调性，把与自变量有关的不等式问题转化与原函数的函数值有关的不等式问题，也可以引入第三个变量，把不等式的问题转化为与新引入变量有关的不等式问题.l,240（+3）15（+3）因此，S=720-L=720-.22-4