2007年考研数学二真题及答案.pdf

2007 年考研数学二真题一、选择题（110 小题，每小题 4 分，共 40 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(1)当 0 时，与等价的无穷小量是(A)1 (B)11(C)1 1(D)1 【答案】B。【解析】(当 0)时11=(1)(1 )11 1 1 1 22几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。综上所述，本题正确答案是 B。【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量的性质及无穷小量的比较(2)函数()=()1()1在,上的第一类间断点是=(A)0(B)1(C)(D)22【答案】A。【解析】A：由 =0,=得00011()=1()10()=1 10=1=10()=0()1()1=110=1 1=1所以=0是()的第一类间断点；B：()=111()1()=C：()=21()12()D：()=2()1()1=2所以=1,=都是()的第二类间断点。2综上所述，本题正确答案是 A。【考点】高等数学函数、极限、连续函数间断点的类型(3)如图，连续函数=()在区间3,2,2,3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间2,0,0,2上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设()=0(),则下列结论正确的是(A)(3)=(2)43(B)(3)=(2)45(C)(3)=(2)43(D)(3)=(2)45=()-3-2-10123【答案】C。【解析】【方法一】四个选项中出现的()在四个点上的函数值可根据定积分的几何意义确定(3)=()=()+()=00228832233(2)=()=02(2)=()()=()=0222(3)=()=()=038283340320则(3)=(2)【方法二】由定积分几何意义知(2)(3)0,排除(B)又由()的图形可知()的奇函数，则()=()为偶函数，0从而(3)=(3)0,(2)=(2)0显然排除(A)和(D),故选(C)。综上所述，本题正确答案是 C。【考点】高等数学一元函数积分学定积分的概念和基本性质，定积分的应用(4)设函数()在=0处连续，下列命题错误的是(A)若()0存在，则(0)=0(B)若0()()()存在，则(0)=0(C)若(D)若00()()存在，则(0)存在存在，则(0)存在【答案】D。【解析】(A)：若0()存在，因为=0,则()=0,又已知函数000()在=0处连续，所以()=(0),故(0)=0,(A)正确；(B)：若0()()存在，则()()=(0)(0)=00,则(0)=0，故(B)正确。(C)()0存在，知(0)=0，则0()=0()(0)=(0)则(0)存在，故(C)正确(D)0()()00()(0)=()(0)()(0)存在，不能说明存在例如()=|在=0处连续，0()()存在，但是(0)不存在，故命题(D)不正确。综上所述，本题正确答案是 D。【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念(5)曲线=(1)渐近线的条数为1(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】D。【解析】由于=+(1+)=，001则=0是曲线的垂直渐近线；又 =+(1+)=011 =+(1+)=+所以=0是曲线的水平渐近线；斜渐近线：由于 一侧有水平渐近线，则斜渐近线只可能出现在+一侧。=+=1+(1+)+=1+2+(1+)+=0+1+=11+=()=+(1+)=+(1+)=+(1+111)=0则曲线有斜渐近线=，故该曲线有三条渐近线。综上所述，本题正确答案是 D。【考点】高等数学一元函数微分学函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(6)设函数()在(0,+)内具有二阶导数，且()0,令=()(=1,2,),则下列结论正确的是(A)若1 2,则必收敛(B)若1 2,则必发散(C)若1 2,则必收敛(D)若1 0，知曲线=()是凹的，显然，图 1 排除选项(A)，其中=()；图 2 排除选项(B)；图 3 排除选项(C),其中=()+；故应选(D)。121212O12O12O12图 1图 2图 3【方法二】排除法：取()=(2)2,显然在(0,+)，()=2 0,(1)=1 (2)=0,但=()=(2)2+，排除 A；取()=,在(0,+)上，()0,且(1)=1 (2)=,但211=()=1 0,排除 B；取()=,在(0,+)上，()0，且(1)=0,(1 2时，()=()(2)+(2)=()(2)+(2)(2 0，且 ,则()()0从而有()()(2)+(2)+则有=()+综上所述，本题正确答案是 D。【考点】高等数学一元函数微分学函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(7)二元函数(,)在点(0,0)处可微的一个充分条件是(A)(,)(0,0)(,)(0,0)=0=0,且=00(0,)(0,0)0(B)0(,0)(0,0)=0(C)(,)(0,0)0(,)(0,0)2+2(D)(,0)(0,0)=0,且(0,y)(0,0)=0【答案】C。【解析】由(,)(0,0)(,)(0,0)2+2=0可得2+020(,0)(0,0)=0(,0)(0,0)2=0即(0,0)=0,同理(0,0)=0从而(,)(0,0)(0,0)+(0,0)(,)(0,0)00=0=(,)(0,0)2+20根据可微的判定条件可知函数(,)在点(0,0)处可微综上所述，本题正确答案是 C。【考点】高等数学多元函数微分学多元函数的偏导数和全微分，全微分存在的必要条件和充分条件(8)设函数(,)连续，则二次积分(,)等于21(A)(,)0(B)(,)0(C)02111(,)(,)(D)021【答案】B。【解析】交换积分次序，已知 ，1,则可得20 1,1,0 )下方，轴上方的=0=00=()(II)()=2(1)3令()=0，得=1,=当1 时，()时，()0,()单调增加。所以=时，旋转体体积最小，最小体积为()=2【考点】高等数学一元函数积分学定积分的应用(19)（本题满分 10 分）2求微分方程(+)=满足初始条件(1)=(1)=1的特解【解析】设=,则=,原方程变为(+2)=则=+,解之得=(+1),将(1)=1代入得1=02223得=+23结合(1)=1，得2=3123所以=+3321【考点】高等数学常微分方程可用简单的变量代换求解的某些微分方程，可降阶的高阶微分方程(20)（本题满分 11 分）已知函数()具有二阶导数，且(0)=1,函数=()由方程 1=1所确定，设=(),求2|2=0=0,|【解析】在 1=1中令=0得=1方程 1=1两端对求导得 1 1=0=0,=1代入上式得(0)=1上式两端再对求导得+(2)1=0可得(0)=2又2=()()则|22=0=02=()()+()22+2()()=02 1=0=1|2=0【考点】高等数学一元函数微分学复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法(21)（本题满分 11 分）设函数(),g()在,上连续，在(,)内具有二阶导数，且存在相等的最大值，()=g(),()=g(),证明：存在 (,)，使得()=g()。【解析】【方法一】令()=()g(),则()=()=0设(),g()在(,)内的最大值为，且分别在 (,)，(,)时取到，即()=g()=若=,取到=,即()=0；若 ,则()=()g()=g()0()=()g()=()0此时，由连续函数介值定理知在,之间至少存在点，()=0综上所述，存在 (,)，使得()=0由 罗 尔 定 理 知，存 在 1(,),2(,),使 得(1)=0,(2)=0；再由罗尔定理知，存在 (1,2),使得()=0,即()=g()。【方法二】用反证法证明存在 (,)，使得()=0：假设不存在 (,)，使得()=0，则由()的连续性知对于一切 (,),()恒大于零或恒小于零。设()0，设g()在0(,)取到最大值，则(0)=(0)g(0)0,即(0)g(0),从而可知()在 (,)上的最大值比g()在 (,)上的最大值要大，与题设矛盾，所以假设命题不成立。存在 (,)，使得()=0所以由罗尔定理知，存在1(,),2(,),使得(1)=0,(2)=0；再由罗尔定理知，存在 (1,2),使得()=0,即()=g()。【考点】高等数学一元函数微分学微分中值定理(22)（本题满分 11 分）设二元函数(,)=2,|+|112+计算二重积分(,),其中,1|+|22=(,)|+|2【解析】因为被积函数关于,均为偶函数，且积分区域关于,轴均对称，所以(,)=4(,)，1为在第一象限内的部分1而(,)12=+1,0,01+2,0,01212+212+2=0021122+(0112+2+10=112)+2(1+2)11所以(,)=4(,)=+42(1+2)3【考点】高等数学多元函数微积分学二重积分的概念、基本性质和计算(23)（本题满分 11 分）1+2+3=0设线性方程组1+22+3=01+42+23=0与方程1+22+3=1有公共解，求的值及所有公共解。【解析】【方法一】方程组有公共解，即为将两个方程联立的解1+2+3=01+22+3=01+42+23=01+22+3=1对联立方程组的增广矩阵进行初等行变换，有11=110111011001 102420032 1021 1010 11 101 10101 00 1(1)(2)000已知方程组有解，所以应有(1)(2)=0，=1,=210=1时，00100000001此时，公共解为：=0,其中为任意常数。110110101=2时，001100000此时，有唯一的公共解为=11【方法二】1先求方程组的解，其系数行列式为|11112|=(1)(2)420100当 1,2时，方程组只有零解，但此时=(0,0,0)不是方程的解，所以公共解发生在=1或=2时，当=1时，对方程组的系数矩阵进行初等行变换111101121 0100001411方程组的通解为=0,其中为任意常数。1此解也满足方程组，所以此时方程组和的公共解为=10,其中为任意常数。1当=2时，同样求方程组的通解111111100122 011 0110330001440方程组的通解为=1,其中为任意常数。1将其代入方程组中得：0+2()+=10得=1,因此此时方程组和的公共解为=11【考点】线性代数线性方程组齐次线性方程组的基础解系和通解，非齐次线性方程组的通解(24)（本题满分 11 分）设 3 阶实对称矩阵 的特征值为1=1,2=2,3=2,且1=(1,1,1)是的属于1的一个特征向量，记=5 43+,其中为 3 阶单位矩阵。(I)验证1是矩阵的特征向量，并求的所有特征值和特征向量；(II)求矩阵。【解析】(I)由=知=,那么1=(5 43+)1=51 431+1=(15 413+1)1=21所以1是矩阵属于特征值1=2的特征向量同理，2=22，3=33，有2=(25 423+1)2=2,3=(35 433+1)3=3因此，矩阵的特征值为1=2,2=3=1。由矩阵是对称矩阵知矩阵也是对称矩阵，设矩阵关于特征值2=3=1的特征向量是=(1,2,3)，那么因为实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，有1=1 2+3=0所 以 矩 阵 关 于 特 征 值 2=3=1 的 特 征 向 量 是 2=(1,1,0),3=(1,0,1)因此，矩阵属于特征值1=2的特征向量是1(1,1,1)，其中1是不为 0 的任意常数。矩阵属于特征值=1的特征向量是2(1,1,0)+3(1,0,1)，其中2,3是不全为 0 的任意常数。(II)由1=21,2=2,3=3，有(1,2,3)=(21,2,3)所以=(21,2,3)(1,2,3)12111111=210 110 2011012111111011=210 121=101 3201110112【考点】线性代数矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵