2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(理科)—新课标1卷.pdf

2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标 1理科数学第卷一选择题：共12 小题，每题5 分，共60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。21已知集合A x x 2x3 0,B x 2 x 2，则AB()A2,1B1,2C1,1D1,21+i221-i3A1iB1iC1iD1i3设函数fx,gx的定义域都为 R，且fx是奇函数，gx是偶函数，则以下结论中正确的选项是Afxgx是偶函数Bfxgx是奇函数Cfxgx是奇函数Dfxgx是奇函数4已知F为双曲线C:x my 3mm 0的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距22离为A3B3C3mD3m54 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A1357BCD88886如图，圆O的半径为 1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数fx，则y fx在0,的图像大致为1P PO OMMA Ay1OA、y1OC、xxy1OB、y1OD、xx7执行右面的程序框图，假设输入的a,b,k分别为 1，2，3，则输出的M A2071615BCD32588设0,A31sintan且,则,0,cos222B32C22D22x y 1,的解集记为 D,有下面四个命题：x2y 4p1:x,yD,x2y 2；p2:x,yD,x2y 2；p3:x,yD,x2y 3；,p4:x,yD,x2y 1；其中的真命题是2Ap2,p3Bp1,p2Cp1,p4Dp1,p3C:y28x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,假设FP 4FQ,则QF A75B3CD22211已知函数fx ax33x21，假设fx存在唯一的零点x0，且x0 0，则a的取值范围是A2,B1,C,2D,112.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A6 2B6C4 2D4第卷第卷二填空题：本大题共四小题，每题二填空题：本大题共四小题，每题5 5分。分。13.(x y)(x y)的展开式中x y的系数为.(用数字填写答案)14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为.A，B，C 是圆 O 上的三点，假设AO 8271(AB AC)，则AB与AC的夹角为.2a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边，a=2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为.3三三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题总分值 12 分)已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，an 0，anan1Sn1，其中为常数.1证明：an2an；2是否存在，使得an为等差数列？并说明理由.18.(本小题总分值 12 分)从某企业的某种产品中抽取500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：()求这 500 件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s同一组数据用该区间的中点值作代表；由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,)，其中近似为样本平均数x，近似为样本方差s.(i)利用该正态分布，求P(187.8 Z 212.2)；ii某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记X表示这 100 件产品中质量指标值位于区间187.8,212.2的产品件数，利用i的结果，求EX.附：15012.2.2假设ZN(,)，则P(Z)=0.6826，P(2 Z 2)=0.9544.222219.(本小题总分值 12 分)如图三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB B1C.()证明：AC AB1；4假设AC AB1，CBB1 60o，ABBC，求二面角A A1B1C1的余弦值.x2y220.(本小题总分值 12 分)已知点A0，-2，椭圆E：221(a b 0)的离心率为ab32 3，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.231求E的方程；2设过点A的直线l与E相交于P,Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程.bex121.(本小题总分值 12 分)设函数f(x)ae ln x，曲线y f(x)在点1，f(1)xx处的切线为y e(x1)2.()求a,b；证明：f(x)1.22.本小题总分值 10 分选修 41：几何证明选讲如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E，且 CB=CE.()证明：D E；设AD不是三角形.DDO的直径，AD的中点为M，且MB MC，证明：ADE为等边MMOOAABBCCE E23.本小题总分值 10 分选修 44：坐标系与参数方程5x 2tx2y21，直线l：已知曲线C：t为参数.49y 22t1写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；2过曲线C上任一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值。24.本小题总分值 10 分选修 45：不等式选讲假设a 0,b 0，且33o11ab.ab1求a b的最小值；2是否存在a,b，使得2a 3b 6？并说明理由.6参考答案一、选择题21A解析：A x x 2x3 0 xx3x1 0 x x 1或x 3，又 B x 2 x 2，AB 2,1，故选 A1+i1+i 1+i2i1+i2D 解析：1i，故选 D222i1-i1-i3C 解析：fx是奇函数，gx是偶函数，则fxgx是奇函数，排除 A32fx是奇函数，fx是偶函数，gx是偶函数，则fxgx是偶函数，排除 Bfx是奇函数，gx是偶函数，则fxgx是奇函数，C 正确fx是奇函数，gx是偶函数，fxgx是奇函数，则fxgx是偶函数，排除D，故选 C4A 解析：双曲线的焦点到渐近线的距离为虚半轴长b，故距离3，选 A5D 解析：周六没有同学的方法数为1，周日没有同学的方法数为1，所以周六、周日都有2427，故选 D同学参加公益活动的概率为P 2486 C 解析：由已知OP 1,PM sinx,OM cosx，又所以fx sin x cosx 11fx OP OM MP，221sin2x，故选 C2337D 解析：当n 2时，M,a 2,b；2283815815,a,b；当n 3时，M,a,b；当n 4时，M 32383815此时运算终止，M，故选 D88C 解析:由tan1sinsin1sinsincos coscossin得coscoscos即sincos,所以sinsin,由已知0,0,222 所 以22,0 2,y sin x在,上 单 调 递 增,所 以22 272,22,故选 C9B 解析:令x2y mx ynx2ymnxm2ny,所以4m mn 1413x2y x y,解得,所以x2y 0,因而可以判断p1,p2133m2n 2n 3为真,故选 B10B 解析:由已知xP 2,xF 2,又FP 4FQ,则4 4 xQ2,xQ1,过 Q 作 QD垂直于 l，垂足为 D，所以QF QD 3，故选 B211C 解析：当a 0时，fx 3x 1有两个零点，不满足条件2当a 0时，f x 3ax 6x 3axx22，令f x 03ax x 0，aa解得x 0或x 22 232，当a 0时，fx ax 3x 1在,和0,递增，,0aaa递减，f4 2=1为极小值，f0=1为极大值，假设fx存在唯一的零点x0，且2aa4 2x0 0，只需f=21 0,即为a 2，当a 0时，fx ax33x21在aa,0和22,递增，0,递减，f0=1为极大值，aa4 2f=21为极小值，aa不可能有满足条件的极值，故选C12B 解析：几何体为如下图的一个三棱锥P ABC，底面ABC为等腰三角形，AB BC,A C 4,顶点B到AC的距离为4，面PAC 面ABC，且三角形PAC为以A为直角的等腰直角三角形，所以棱PB最长，长度为6，故选B8P PB BA AC C二、填空题1320解析：(x y)(x y)8 x(x y)8 y(x y)8，故展开式中x2y2的系数为1C8C82828 2014A解析：乙没去过 C 城市，甲没去过 B 城市，但去过的城市比乙多，所以甲去过A，C，三人都去过同一个城市，一定是A，所以填 A1解析：AO(AB AC)，如下图，O 为BC中点，即BC为圆 O 的直径，22所以AB与AC的夹角为。215A AB BC CO O163解析：(2b)(sinAsinB)(cb)sinC(2b)(ab)(cb)c2ab c bc，22b2c2a21 A因为a=2，所以2ab c bcb c a bccosA2bc232222213ABC面积S bcsin A bc，而24b2c2a2 bc b2c2bc a2 b2c2bc 4 bc 4913S bcsin A bc 324三、解答题anan1Sn1,17解析:(1)证明：当n 2时，-得aa S1 n1n1nanan1an1anSnSn1 anan1an1an,an 0an1an1,，即an2an2存在，证明如下：假设存在，使得an为等差数列，则有2a2 a1+a3，而a1=1，a21,a31，所以21 2 4，此时an为首项是 1，公差为 4 的等差数列18解析:()x 0.021700.091800.221900.332000.242100.082200.02230 200s2 0.021702000.091802000.2219020022222220.332002000.242102000.082202000.022302001502(i)由()知,=s=150,所以 150 12.2,2P(187.8 Z 212.2)P(200 12.2 Z 20012.2)0.6826ii100 件产品中质量指标值为于区间187.8,212.2的产品件数X服从二项分布B100,0.6826,所以EX 1000.6826 68.2619解析:()证明：侧面BB1C1C为菱形,令BC1B1C OBC1 B1C又AB B1C,ABBC1 BBC 面ABC11AO 面ABC1AO BC1,又 O 为B1C中点,所以三角形ACB1为等腰三角形,所以AC AB1A AA A1 1C CO OB BB B1 1C C1 110AC AB1，CBB1 60o，AB=BC，令AC 1BC 2 BCAB 2,126,BO,AO2 BO2 AB2AO BO,22又由已知可求AO AO B1C,B1CBO OAO 面BB1C1C如下图建立空间直角坐标系O xyzz zA AA A1 1C CB BO OB B1 1C C1 1y yx x33333A0,0,3,B1,0,0,B10,3,0,C0,3,0,AB10,3,3,33A1B1 AB 1,0,BC BC 1,0，1133设n x,y,z为平面AA1B1的一个法向量,则33yz 0,n AB1 0,33即,所以可取n 1,3,3n A1B1 0 x3z 03mB1C1 0,同理可取m 1,3,3设m a,b,c为平面A1B1C1的一个法向量,则m A1B1 0则cos n,m nmn m11,所以二面角A A的余弦值为B C11177c3,x2aa 2220解析:()由已知得解得椭圆E的方程：y214c 322 33c当直线l垂直于 x 轴时，OPQ不存在11x2 y21联立消去 y 有：4k21x216kx 12 0令直线l的方程为y kx2与4 16k44k2112 64k248 0k2234令Px1,y1,Qx2,y216kx x,124k2112x x 124k212PQ x x1k212 16k2484x1x21k224k 14k 1224 1k24k23整理得PQ，令点 O 到直线 l 的距离为 d,则d 24k21k 114 4k2324k 3 tt 0所以OPQ的面积SkPQ d，令224k 14 4k234t47Sk21当且仅当t 2,即k 2时取到4k21t 4t 4t此时直线 l 的方程为y 77x2或y x222x1bex111bx1xx121解析：()f(x)aelnx eaelnx22xxxx因为曲线y f(x)在点1，f(1)处的切线为y e(x1)2，所以 f(1)2a 1,代入有f(1)eb 22ex1证明：由()知f(x)e ln x，欲证f(x)1，只需证xx212x2ex1e ln x1，即证ln xx，即证xln xxexeeexx令gx xln x2x1 x,hxx,gx1ln x,hxx,eee11 xgx1ln x 0,解得x,hxx 0,解得x 1ee12111,gx 0,x,gx 0,gxmineee10 x 1,hx 0,x 1,hx 0,gxmaxe2x所以xln xx成立，所以f(x)1ee当0 x 22解析：.()证明：四边形 ABCD 是O 的内接四边形，D CBE,CB CEE CBEE D证明：取BC中点N，连接MN，由 MB=MC 得D DMMO OA AC CN NB BE EMN BCO在直线MN上，由 AD 的中点为 M 得MN AD，AD/BCCBE AADE 为等边三角形.23解析：(1)曲线C的参数方程为CBE E DA E Dx 2cos，直线l的普通方程为2x y 6 0；y 3sin2令点P坐标为2cos,3sin,点 P 到直线 l 的距离为dd 4cos3sin655 5sin64tan53|PA|d 2d,所以sin30|PA|max2dmax 2dmax24解析：()22 52 5;|PA|min2dmin 2dmin5511ab ab ab ab,aba 0,b 0ab ab ab 2 ab ab 2ab 2法一:a b 2 a b 2法二:133333ab3 4 22a3b3aba2abb2abab3ab ab abab ab23ab3 ab abab3ab3395338444令ab t，a b t 3t,而 a b 9t 15t=t9t 15，t 2a3b3 0,所以a3b3 t93t5 4 2不存在a,b，使得2a 3b 6因为2a3b 2 6ab 4 3 6,所以不存在.14